1、怎样描述圆周运动习题课教案 教学目标：1、圆周运动的临界问题 2、 “质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 3、求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 重 点： 圆周运动的临界问题 难 点：求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 知识简析 一、圆周运动的临界问题 1.圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力 公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值 2.特例（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面 做圆周运动过最高点的情况：
2、 注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=mv2/Rv 临界 = Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过 的速度） 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹 力的合力作为向心力，此时临界速度 V 临 Rg 能过最高点的条件：v Rg，当 V 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力 不能过最高点的条件：V V 临界 （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道） （2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力 当 v0 时，Nmg（N 为支持力）
3、当 0v Rg时， N 随 v 增大而减小，且 mgN 0，N 为支持力 当 v= 时，N0 当 v g时，N 为 拉力，N 随 v 的增大而增 大（此时 N 为拉力，方向指向圆心） 注意：管壁支撑情况与杆子一样 若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动因为轨道对小球不能产生拉力 注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场 力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 gRV0 。要具体问题具体分析，但分 析方法是相同的。 二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系 （1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处
4、于非平衡状 态。 (2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴 上的任意微小质量团（可说成质点） ，则均在做匀速圆周运动。 规律方法 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态， 然后分析该状态下物体的受力特点结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程 【例 1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘 中心，另一端系住一个质量为 m 的物块 A，设弹簧劲度系数为 k，弹簧原长为 L。将物 块置于离圆心 R 处，RL，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并 使转速 逐渐增大，物块 A 相对
5、圆盘始终未惰动。当 增大到 54Rlm时，物 块 A 是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。 【解析对物块 A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为 0，此时向心力仅为弹簧 弹力；若 0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若 0，则 需要较小的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。 依向心力公式有 m 02R=k(RL)，所以 0kRlm，故 54kRlm时,得 0。可见物块所受静摩擦力指向圆心。 【例 2】如图 16 所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为 L，圆形轨道半径为 R， （R 远大于一节车 厢的高度 h 和长度 l，但 L2R）.已知列车的车轮是
6、卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而 不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度 V0，才能使列车通过圆形轨道？ 分析与解：列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达到最小 值 V，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨 道，然后列车开始加速。由于轨道光滑，列车机械能 守恒，设单位长列车的质量为 m，则有：2201.LVRg 要使列车能通过圆形轨道，则必有 V0,解得 LgV20。 【例 3】如图所示，细绳长为 L，一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m、电荷量 为+q 的小球，置于电场强度为 E 的匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运
7、动，小球至最高点时速度应该是多大？ 解析：小球至最高点时能以 L 为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无拉力， 则 MgEq=mv 02/L，得 mqgv/0，故小球在竖直平面内能够做圆周运 动时，小球至最高点的速度 LE 拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做 圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右如图，当 金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为 A 点，物理最低点为 B 点，而几何最高点为 C 点，几何最低点为 D 点（这种情况下，两个最高点已不再重合，两个最低点也不再重合） A 处速度的最小值（临界速度）应满足： 222/
8、EqmgFRvA合 思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？ 【例 4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管的半径 V0 R E m， q L O O O / R 大得多） ，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点） 。A 球的质量为 m1，B 球的质量为 m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 v0。设 A 球运动 到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1，m 2，R 与 v0 应满足怎样的关系式? 解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A 球在圆管最低点必 受向上弹力 N1
9、，此时两球对圆管的合力为零，m 2必受圆管向下的弹力 N2，且 N1=N2。 据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低点有 RvmgN2011 同理 m2在最高点有 Rvg212 m 2球由最高点到最低点 机械能守恒 20212vg又 N1=N2 【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会 变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。 【例 5】如图所示，赛车在水平赛道上作 900 转弯，其内、外车道转弯处的半 径分别为 r1 和 r2，车与路面间的动 摩擦因数和静摩擦因数都是 试问：竞赛中车手应选图中的内道 转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正
10、确选择较错误选择所赢得的时间是 多少？ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为 vm。转弯时，车 做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制， 只能达到一定的大小为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小 到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到 vm。车道的 选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定 对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为 v2，则应有 mv22 /r2=mg 解得 v2= 2rg 如图所示，设车自 M 点开始减速，至 N 点其速度减为 v2，且刚
11、好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为 a=mg/m=g 此减速过程中行驶的路径长度（即 MN 的长度）为 x2= am= g 2r 车沿弯道到达 A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为 x2的路程上加速，才能达 到速度 vm。上述过程所用的总时间为 t2=t 减速 t 圆弧 t 加速 = avm2 r avm2= g（2 ） gr2 同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t1= m（2 ） r1 另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道 多走了长度 L r 2 r l 同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 x=2
12、x 12x 2= r2 r l 由于上述的 L 和 x 刚好相等，可见车在直道上以 vm匀速行驶的路程长度对于内外两道 来说是相等的这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的 t1和 t2即可由于 t2t 1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为 t=t 1一 t2= 21()rg 2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 【例 6】如图，直杆上 0102 两点间距为 L，细线 O1A 长为 3L，O 2A 长为 L,A 端小球质量 为 m， 要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度 转动？ 解析:当 较小时线 O1A 拉直，O 2A 松弛，而当 太大时 O2A 拉直
13、, O 1A 将松弛 设 O2A 刚好拉直,但 FO2A仍为零时角速度为 1，此时O 2O1A =300,对小球： 在竖直方向 FO1Acos300mg 在水平方向：F O1Asin300 2013sinmL 由得 123gL 设 O1A 由拉紧转到刚被拉直,F O1A变为零时角速度为 2 对小球：F O2Acos600=mg FO2Asin600=m 22Lsin600 由得 2gL,故 23gL 【例 7】一根长约为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平 面内转动，杆最初在水平位置。杆上距 O 为 a 处放有一个小物体 B（可 视为质点） 。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此
14、杆突然以匀角速 度 绕 O 轴转动，问当 取什么值时，小物体与杆可能相碰。 【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A 做匀速转动，B 做自由 落体运动。若 B 能与杆相碰，只可能在 B 下落的竖直线上，那么，杆转动的高 度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。 我们分两种情况进行 讨论： （1）当杆的转速 较小时，物体 B 有 可能追上细杆与细杆相碰。设物体 B 下 落到 C 作用的时间为 t1，杆转过 角所用时间为 t2，两 物要能相碰，t 1和 t2就满足下列 条件：t 1t 2 又因为 LBCgt 12，=t 2，由几何关系 LBC= a，Lcos=a，所以 LBCgt 12=2
15、a 解得 t1= ga 由 =t 2=arccos/L 解得 t2=1arccos（a/L） 将 tl、t 2代入式，得 gaL 1arccos（a/L）解得 O A a L B 2garccos（a/L）/ 42aL （2）当杆的转速 较大时，杆转过一周 后有可能追上 B 而与物体 B 相碰，设杆转过中角所用的时间为 t2/，杆要与 B 相碰，t 2/和 tl必须满足下列条件：t lt 2/ 由 2+=t 2/，所以 t2/=（2+）=（2+arccos（a/L） ）/ 代入得gaL2 （2+arccos（a/L） ）/，解得 2garccos（a/L）/ 42aL 由以上分析可知，当杆转动的角速度满足： arccos（a/L）/ 42或 2arccos（a/L）/ 42aL时，物体 B均有可能和细杆相碰。
