1、学案 5 飞出地球去（二） 学习目标定位 1.掌握解决天体运动问题的思路和方法.2.理解赤道物体、同步卫星和近地 卫星的区别.3.会分析卫星(或飞船 )的变轨问题.4.掌握双星的运动特点及其问题的分析方 法 一、万有引力定律 1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟 物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比 2公式 F . Gm1m2r2 二、卫星运动中几个概念的区别 1天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径；卫星的轨道半径指的是卫星围 绕天体做圆周运动的圆的半径卫星的轨道半径大于等
2、于天体的半径 2自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身轴线运动一周所用的时间；公转周期是指卫星绕中心天体做圆周 运动一周所用的时间自转周期与公转周期一般不相等(填“相等”或“不相等”) 三、卫星的线速度、角速度、周期、向心力 卫星所受万有引力提供向心力，即由 mam m 2rm r GMmr2 v2r 42T2 得：a 、v 、 、T 2 ，故可看出，轨道半径越大，a、v、 越 GMr2 GMr GMr3 r3GM 小，T 越大. 一、分析天体运动问题的思路 解决天体运动问题的基本思路，行星或卫星的运动一般可看作匀速圆周运动，所需要的向 心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体运动
3、时可建立基本关系式： ma，式中 a 是向心加速度常用的关系式为 GMmr2 1G m m 2rm r，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，可得 Mmr2 v2r 42T2 v、T 与半径 r 的关系 2忽略自转 mgG ，即物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力此式两个用途： MmR2 求星体表面的重力加速度 g ，从而把万有引力定律与运动学公式结合解题 黄金 GMR2 代换式 GMgR 2. 例 1 地球半径为 R0，地面重力加速度为 g，若卫星在距地面 R0 处做匀速圆周运动，则( ) A卫星速度为 2R0g2 B卫星的角速度为 g8R0 C卫星的加速度为 g2 D卫星周期为 2
4、 2R0g 解析 由 mam m 2(2R0) GMm2R02 v22R0 m (2R0)及 GMgR 42T2 20 可得卫星的向心加速度 a ，角速度 g4 g8R0 线速度 v ，周期 T2 ，所以 A、B 正确，C、D 错误 2R0g2 8R0g 答案 AB 二、赤道物体、同步卫星和近地卫星转动量的比较 赤道上的物体、同步卫星和近地卫星都近似做匀速圆周运动，当比较它们的向心加速度、 线速度及角速度(或周期)时，要注意找出它们的共同点，然后再比较各物理量的大小 1赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点， 由 vr 和 a 2r 可分别判断线速度，向心加
5、速度的关系 2不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由 mam m 2rmr 可分别得到 a 、v ， 及 T2 GMmr2 v2r 42T2 GMr2 GMr GMr3 ，故可以看出，轨道半径越大，a、v、 越小，T 越大 r3GM 例 2 如图 1 所示，地球赤道上的山丘 e、近地资源卫星 p 和同步卫星 q 均在赤道平面上 绕地心做匀速圆周运动设 e、p、q 的圆周运动速率分别为 v1、v 2、v 3，向心加速度分别 为 a1、a 2、a 3，则( ) 图 1 Av 1v 2v 3 Bv 1v 2v 3 Ca 1a 2a 3 Da 1a 3a 2 解析 卫星的速度 v ，
6、可见卫星距离地心越远，即 r 越大，则速度越小，所以 GMr v3v 2.q 是同步卫星，其角速度 与地球自转角速度相同，所以其线速度 v3r 3v 1r 1，选项 A、 B 均错误由 G ma，得 a ，同步卫星 q 的轨道半径 Mmr2 GMr2 大于近地资源卫星 p 的轨道半径，可知 q 的向心加速度 a3a 2.由于同步卫星 q 的角速度 与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘 e 的角速度相同，但 q 轨道半径大于 e 的轨道半径，根据 a 2r 可知 a1a 3.根据以上分析可知，选项 D 正确，选项 C 错误 答案 D 三、人造卫星的变轨问题 1卫星在圆轨道上做匀速圆周运动
7、时， m 成立 GMmr2 v2r 2卫星变轨时，是线速度 v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径 r 发生 变化 (1)当人造卫星减速时，卫星所需的向心力 F 向 m 减小，万有引力大于所需的向心力， v2r 卫星将做近心运动，向低轨道变迁 (2)当人造卫星加速时，卫星所需的向心力 F 向 m 增大，万有引力不足以提供卫星所需 v2r 的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁 3卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同 4飞船对接：两飞船对接前应处于高、低不同的轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨 道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上
8、目标船与其完成对接 例 3 2013 年 5 月 2 日凌晨 0 时 06 分，我国“中星 11 号”通信卫星发射成功 “中星 11 号”是一颗地球同步卫星，它主要用于为亚太地区等区域用户提供商业通信服务图 2 为 发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行， 最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点， 则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) 图 2 A卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B卫星在轨道 3 上的角速度大于在轨道 1 上的角速度 C卫星
9、在轨道 1 上经过 Q 点时的速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的速度 D卫星在轨道 2 上经过 P 点时的速度小于它在轨道 3 上经过 P 点时的速度 解析 同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： G m ，v Mmr2 v2r GMr 因为 r1r 3，所以 v1v 3，由 得 1 3 vr 在 Q 点，卫星沿着圆轨道 1 运行与沿着椭圆轨道 2 运行时所受的万有引力相等，在圆轨道 1 上引力刚好等于向心力，即 F .而在椭圆轨道 2 上卫星做离心运动，说明引力不足 mv21r 以提供卫星以 v2 速率做匀速圆周运动时所需的向心力，即 F ，所以 v2v 1. mv2r 卫星在椭圆轨道
10、 2 上运行到远地点 P 时，根据机械能守恒可知此时的速率 v2v 2，在 P 点卫星沿椭圆轨道 2 运行与沿着圆轨道 3 运行时所受的地球引力相等，但是卫星在椭圆轨 道 2 上做近心运动，说明 Fm ，卫星在圆轨道 3 上运行时引力刚好等于向心力， v2 2r 即 Fm ，所以 v2v 3. v23r 由以上可知，速率从大到小排列为：v 2v 1v 3v 2 答案 D 四、双星问题 1双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动， 这样的两颗星组成的系统称为双星 2双星问题的特点 (1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点 (2)两星的向心力大
11、小相等，由它们间的万有引力提供 (3)两星的运动周期、角速度相同 (4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1r 2 L. 3双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 m 12r1m 22r2. Gm1m2L2 4双星问题的两个结论： (1)运动半径：m 1r1m 2r2. (2)质量之和：m 1m 2 . 42L3GT2 例 4 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星” ，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀 速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起设两者的质量分别为 m1 和 m2，两者相距为 L.求： (1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度
12、之比； (3)双星的角速度 解析 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而被吸引在一 起，从而保持两星间距离 L 不变，且两者做匀速圆周运动的角速度 必须相同如图所示， 两者轨迹圆的圆心为 O，圆半径分别为 R1 和 R2.由万有引力提供向心力，有 G m 12R1 m1m2L2 G m 22R2 m1m2L2 (1)由两式相除，得 . R1R2 m2m1 (2)因为 vR，所以 . v1v2 R1R2 m2m1 (3)由几何关系知 R1R 2L 联立式解得 . Gm1 m2L3 答案 (1) (2) (3) m2m1 m2m1 Gm1 m2L3 1(赤道物体、同步卫星和
13、近地卫星的区别) 地球同步卫星离地心的距离为 r，运行速度为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球 半径为 R，则以下正确的是( ) A. B. ( )2 a1a2 rR a1a2 Rr C. D. v1v2 rR v1v2 Rr 答案 AD 解析 设地球的质量为 M，同步卫星的质量为 m1，地球赤道上物体的质量为 m2，近地卫 星的质量为 m2，根据向心加速度和角速度的关系有： a1 r，a 2 R， 1 221 2 故 ，可知选项 A 正确， B 错误 a1a2 rR 由万有引力定律得：对同步卫星：G m 1 Mm1r2 v21r 对
14、近地卫星：G m 2 Mm2R2 v2R 由以上两式解得： ，可知选项 D 正确，C 错误 v1v2 Rr 2(人造卫星的变轨问题)2013 年 12 月 2 日，肩负着“落月 ”和“勘察”重任的“嫦娥三 号”沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面 100 km 的 P 点进行第一次制动后被月球捕 获，进入椭圆轨道绕月飞行，之后，卫星在 P 点又经过第二次“刹车制动” ，进入距月 球表面 100 km 的圆形工作轨道，绕月球做匀速圆周运动，在经过 P 点时会再一次“刹 车制动”进入近月点距地球 15 公里的椭圆轨道，然后择机在近月点下降进行软着陆，如 图 3 所示，则下列说法正确的是( ) 图
15、3 A “嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长 B “嫦娥三号”在轨道上运动的周期最长 C “嫦娥三号”经过 P 点时在轨道 上运动的线速度最大 D “嫦娥三号”经过 P 点时，在三个轨道上的加速度相等 答案 AD 解析 由于“嫦娥三号”在轨道上运动的半长轴大于在轨道上运动的半径，也大于轨 道的半长轴，根据开普勒第三定律可知， “嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系 为 T T T ，故 A 正确，B 错误 “嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在 P 点进行“刹车制动” ，所以经过 P 点时，在三个轨道上的线速度关系为 v v v ，所以 C 错误；由于“嫦娥三号”在 P 点时的加速度只与
16、所受到的月球引力有关，故 D 正确 3(三星问题)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统， 通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形 式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行； 另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运 行已知引力常量为 G，每个星体的质量均为 m. (1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期 (2)假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 答案 (1) 4 R (2) R 12 5GmR R5Gm 3125
17、解析 (1)第一种运动形式示意图如图(a)所示，以某个运动星体为研究对象，其受力情况如 图(b)所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有： F1 ，F 2 Gm2R2 Gm22R2 F1F 2mv 2/R 解得星体运动的线速度：v 12 5GmR 周期为 T，则有 T 2Rv T4 R . R5Gm (2)第二种运动形式示意图如图(c)所示，设星体之间的距离为 r，则三个星体做圆周运动的 半径为 R . r/2cos 30 以某个运动星体为研究对象，其受力情况如图(d)所示，由于星体做圆周运动所需要的向心 力由其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成法则、牛顿第二定律和万有引力定 律有 F
18、合 2 cos 30 Gm2r2 F 合 m R 42T2 联立解得 r R. 3125 4(天体运动规律的理解及应用) 在我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月球成功运行之后， 为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学试验卫星假设该卫 星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内已知卫星绕月 球运行的周期 T0，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R0，月心与地心间的距离 r，引 力常量 G，试求： (1)月球的平均密度 ； (2)月球绕地球运动的周期 T. 答案 (1) (2) 3GT20 2rR0 rg 解析 (1)设月球质量为 m，卫星质量为 m，月球半径为 Rm，对于绕月球表面飞行的卫星， 由万有引力提供向心力有 m Rm，解得 m GmmR2m 42T20 42R3mGT20 又根据 ，解得 . m4 3R3m 3GT20 (2)设地球的质量为 M，对于在地球表面的物体 m 表 有 m 表 g，即 GMR g GMm表R20 20 月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力 即 m r，解得 T . GMmr2 4 2T2 2 rR0 rg
