1、学案 7 习题课：电磁感应中的动力学及能量问题 学习目标定位 1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法.2.掌握电磁感应现象中的能 量转化与守恒问题，并能用来处理力、电综合问题 1垂直于匀强磁场放置、长为 L 的直导线通过电流为 I 时，它所受的安培力 FBIL ，安培力方向的判断用左手定则 2牛顿第二定律：Fma，它揭示了力与运动的关系 做加速运动的物体，当加速度 a 与速度 v 方向相同时，速度增大，反之速度减小当 加速度 a 为零时，物体做匀速直线运动 3做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，功是能 量转化的量度 几种常见的功能关系 (1)合外力所做的功等于物体
2、动能的变化 (2)重力做的功等于重力势能的变化 (3)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化 (4)除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能 的变化 (5)安培力做的功等于电能的变化 4电流通过导体时产生的热量 焦耳定律：QI 2Rt. 一、电磁感应中的动力学问题 1电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与 力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是： (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向 (2)求回路中的电流强度的大小和方向 (3)分析研究导体受力情况(包括安培力 ) (4)列动力学方程或平衡方程求解 2电磁感应现象中涉及的具有收尾
3、速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况 的动态分析； 周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到稳定运动状态 3两种状态处理 导体匀速运动，应根据平衡条件列式分析；导体做匀速直线运动之前，往往做变加速 运动，处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律或结合功能关系分析 例 1 如图 1 甲所示，两根足够长的直金属导轨 MN、PQ 平行放置在倾角为 的绝缘 斜面上，两导轨间距为 L，M 、P 两点间接有阻值为 R 的电阻一根质量为 m 的均匀直金 属杆 ab 放在两导轨上，并与导轨垂直整套装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁 场方向垂直于斜面向下导轨和金属杆的电阻可忽略，让 ab 杆沿导轨由静
4、止开始下滑，导 轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦 图 1 (1)由 b 向 a 方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab 杆下滑过程中某时刻的 受力示意图 (2)在加速下滑过程中，当 ab 杆的速度为 v 时，求此时 ab 杆中的电流及其加速度的大 小 (3)求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值 解析 (1)如图所示， ab 杆受：重力 mg，竖直向下；支持力 N，垂直于斜面向上；安培力 F 安 ，沿斜面向 上 (2)当 ab 杆速度为 v 时，感应电动势 EBLv，此时 电路中电流 I ER BLvR ab 杆受到安培力 F 安 BIL B2L2vR 根据牛顿第二定律，有
5、 mamgsin F 安 mgsin B2L2vR agsin . B2L2vmR (3)当 a0 时，ab 杆有最大速度：v m . mgRsin B2L2 答案 (1)见解析图 (2) gsin (3) BLvR B2L2vmR mgRsin B2L2 例 2 如图 2 所示，MN 和 PQ 是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨 足够长，且电阻不计ab 是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆开始时， 将开关 S 断开，让杆 ab 由静止开始自由下落，过段时间后，再将 S 闭合，若从 S 闭合开 始计时，且已知金属杆接入电路的电阻为 R，则金属杆 ab 的速度 v 随时间
6、t 变化的图像可 能是图中的( ) 图 2 答案 ACD 解析 S 闭合时，若 mg，先减速再匀速，D 项有可能；若 mg，匀速， B2L2vR B2L2vR A 项有可能；若 FcFb BF cFd DF cFbFd 答案 D 解析 线圈从 a 到 b 做自由落体运动，在 b 处开始进入磁场切割磁感线，产生感应电 流，受到安培力作用，由于线圈的上下边的距离很短，所以经历很短的变速运动而完全进 入磁场，在 c 处线圈中磁通量不变不产生感应电流，不受安培力作用，但线圈在重力作用 下依然加速，因此线圈在 d 处离开磁场切割磁感线时，产生的感应电流较大，故该处所受 安培力必然大于 b 处综合分析可知
7、，选项 D 正确 4.如图 4 所示，在平行水平地面的有理想边界的匀强磁场上方，有三个大小相同的， 用相同的金属材料制成的正方形线框，线框平面与磁场方向垂直A 线框有一个缺口， B、C 线框都闭合，但 B 线框导线的横截面积比 C 线框大现将三个线框从同一高度由静 止开始同时释放，下列关于它们落地时间说法正确的是 ( ) 图 4 A三个线框同时落地 B三个线框中，A 线框最早落地 CB 线框在 C 线框之后落地 DB 线框和 C 线框在 A 线框之后同时落地 答案 BD 解析 A 线框由于有缺口，在磁场中不能形成电流，所以下落时不受安培力作用，故 下落的加速度一直为 g；设正方形边长为 l，电
8、阻率为 ，B、C 线框的底边刚进入磁场时的 速度为 v，则根据牛顿第二定律知 mgB lma，即 ag 其中 Rm 4lS 密 BlvR B2l2vRm 4lS 16l 2 密 ，所以加速度与线框横截面积无关，故两线框的运动情况完全相同，即在 A 线 框之后 B、C 线框同时落地选项 B、D 正确 题组二 电磁感应中的能量问题 5如图 5 所示，位于一水平面内的两根平行的光滑金属导轨，处在匀强磁场中，磁场 方向垂直于导轨所在的平面，导轨的一端与一电阻相连；具有一定质量的金属杆 ab 放在导 轨上并与导轨垂直现用一平行于导轨的恒力 F 拉杆 ab，使它由静止开始向右运动杆和 导轨的电阻、感应电流
9、产生的磁场均可不计用 E 表示回路中的感应电动势，i 表示回路 中的感应电流，在 i 随时间增大的过程中，电阻消耗的功率等于 ( ) 图 5 AF 的功率 B安培力的功率的绝对值 CF 与安培力的合力的功率 DiE 答案 BD 6.如图 6 所示，边长为 L 的正方形导线框质量为 m，由距磁场 H 高处自由下落，其下 边 ab 进入匀强磁场后，线圈开始做减速运动，直到其上边 dc 刚刚穿出磁场时，速度减为 ab 边刚进入磁场时的一半，磁场的宽度也为 L，则线框穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热 为( ) 图 6 A2mgL B2mgL mgH C2mgL mgH 34 D2mgL mgH 14 答
10、案 C 解析 设线框刚进入磁场时的速度为 v1，刚穿出磁场时的速度 v2 v12 线框自开始进入磁场到完全穿出磁场共下落高度为 2L.由题意得 mv mgH 12 21 mv mg2 L mv Q 12 21 12 2 由得 Q2mgL mgH.C 选项正确 34 7如图 7 所示，纸面内有一矩形导体闭合线框 abcd，ab 边长大于 bc 边长，置于垂直 纸面向里、边界为 MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同， 方向均垂直于 MN.第一次 ab 边平行 MN 进入磁场，线框上产生的热量为 Q1，通过线框导 体横截面积的电荷量为 q1；第二次 bc 边平行于 MN
11、进入磁场，线框上产生的热量为 Q2， 通过线框导体横截面的电荷量为 q2，则 ( ) 图 7 AQ 1Q 2，q 1q 2 BQ 1Q 2，q 1q 2 CQ 1Q 2，q 1q 2 DQ 1Q 2，q 1q 2 答案 A 解析 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即 Q1W 1F 1lbc lbc lab B2l2abvR B2SvR 同理 Q2 lbc，又 labl bc，故 Q1Q 2； B2SvR 因 q t t ，I ER R 故 q1q 2.因此 A 正确 8.水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为 L、质量为 m 的导体棒 ab，ab 处在磁感应 强度为 B、方向
12、如图 8 所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为 R 的电阻，导轨及导体 棒电阻不计现使 ab 在水平恒力 F 作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过位移 为 x 时，ab 达到最大速度 vm.此时撤去外力，最后 ab 静止在导轨上在 ab 运动的整个过 程中，下列说法正确的是( ) 图 8 A撤去外力后，ab 做匀减速运动 B合力对 ab 做的功为 Fx CR 上释放的热量为 Fx mv 12 2m DR 上释放的热量为 Fx 答案 D 解析 撤去外力后，导体棒水平方向只受安培力作用，而 F 安 ，F 安 随 v 的变 B2L2vR 化而变化，故棒做加速度变化的变速运动，A 错；对整个过
13、程由动能定理得 W 合 Ek0，B 错；由能量守恒定律知，外力做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化 为 R 上释放的热量，即 QFx，C 错，D 正确 题组三 电磁感应中的动力学及能量综合问题 9如图 9 所示，间距为 L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端 用一阻值为 R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为 m、有效电阻也为 R 的金属棒，金属棒 与导轨接触良好整个装置处于竖直向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场中现使金属棒以 初速度 v 沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为 q.下列说法正确的 是 ( ) 图 9 A金属棒在导轨上做匀减速运动 B整个过程中
14、金属棒在导轨上发生的位移为 qRBL C整个过程中金属棒克服安培力做功为 mv2 12 D整个过程中电阻 R 上产生的焦耳热为 mv2 12 答案 C 解析 因为金属棒向右运动时受到向左的安培力作用，且安培力随速度的减小而减小， 所以金属棒向左做加速度减小的减速运动； 根据 E ，qIt t ， t BLxt E2R BLx2R 解得 x ； 2RqBL 整个过程中金属棒克服安培力做功等于金属棒动能的减少量 mv2；整个过程中电路中 12 产生的热量等于机械能的减少量 mv2，电阻 R 上产生的焦耳热为 mv2. 12 14 10如图 10 所示，MN 和 PQ 是电阻不计的平行金属导轨，其间
15、距为 L，导轨弯曲部 分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接右端接一个阻值为 R 的定值电阻平直部分导轨 左边区域有宽度为 d、方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场质量为 m、电阻 也为 R 的金属棒从高度为 h 处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止已知金属棒与平直 部分导轨间的动摩擦因数为 ，金属棒与导轨间接触良好则金属棒穿过磁场区域的过程 中 ( ) 图 10 A流过金属棒的最大电流为 Bd2gh2R B通过金属棒的电荷量为 BdLR C克服安培力所做的功为 mgh D金属棒上产生的焦耳热为 (mghmgd ) 12 答案 D 解析 金属棒下滑到底端时的速度为 v ，感应电动势 EB
16、Lv，所以流过金属棒2gh 的最大电流为 I ；通过金属棒的电荷量为 q ；克服安培力所做的功为 BL2gh2R 2R BLd2R Wmgh mgd ；电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，所以金属棒上产生的焦耳 热为 (mghmgd )选项 D 正确 12 11如图 11 所示，在倾角为 的光滑斜面上，存在着两个匀强磁场，磁场 垂直斜面 向上、磁感应强度大小为 B，磁场垂直斜面向下、磁感应强度大小为 2B，磁场的宽度 MJ 和 JG 均为 L，一个质量为 m、电阻为 R、边长也为 L 的正方形导线框，由静止开始沿 斜面下滑，当 ab 边刚越过 GH 进入磁场区时，线框恰好以速度 v1 做匀
17、速直线运动；当 ab 边下滑到 JP 与 MN 的中间位置时，线框又恰好以速度 v2 做匀速直线运动，从 ab 进入 磁场至 ab 运动到 JP 与 MN 中间位置的过程中，线框的机械能减少量为 E，重力对线 框做功的绝对值为 W1，安培力对线框做功的绝对值为 W2，下列说法中正确的是 ( ) 图 11 Av 1v 241 Bv 1v 291 C EW 1 DE W 2 答案 BD 解析 线框两次都做匀速直线运动，说明受力平衡，由平衡条件得沿斜面方向： Fmgsin ，FBLL， I ，EBL v， ER 解得 F B2L2v1R 线框速度为 v2 时，E 23BLv 2，I 2 3BLv2R
18、 所以 FF dcF abBI 2L2BI 2L ， 9B2L2v2R 由此得 v1v 291，A 错， B 对；线框的机械能减少是由于安培力对它做负功，有 EW 2，C 错，D 对，所以本题选 B、D. 12如图 12 所示，倾角为 的“U”形金属框架下端连接一阻值为 R 的电阻，相互平 行的金属杆 MN、PQ 间距为 L，与金属杆垂直的虚线 a1b1、a 2b2 区域内有垂直框架平面向 上的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，a 1b1、a 2b2 间距离为 d，一长为 L、质量为 m、电阻 为 R 的导体棒在金属框架平面上与磁场上边界 a2b2 距离 d 处从静止开始释放，最后匀速通 过磁场
19、下边界 a1b1.重力加速度为 g(金属框架摩擦及电阻不计 )求： 图 12 (1)导体棒刚到达磁场上边界 a2b2 时速度大小 v1； (2)导体棒匀速通过磁场下边界 a1b1 时速度大小 v2； (3)导体棒穿越磁场过程中，回路产生的电能 答案 (1) (2)2gdsin 2mgRsin B2L2 (3)2mgdsin 2m3g2R2sin2 B4L4 解析 (1)导体棒在磁场外沿斜面下滑，只有重力做功， 由机械能守恒定律得：mgdsin mv 12 21 解得：v 1 2gdsin (2)导体棒匀速通过匀强磁场下边界 a1b1 时，由平衡条件： mgsin F 安 F 安 BIL B2L
20、2v22R 解得：v 2 2mgRsin B2L2 (3)由能量守恒定律得：mgdsin Q mv mv 12 2 12 21 解得：Q2mgdsin . 2m3g2R2sin2B4L4 13.如图 13 所示，固定的光滑平行金属导轨间距为 l，导轨电阻不计，上端 a、b 间接 有阻值为 R 的电阻，导轨平面与水平面的夹角为 ，且处在磁感应强度为 B、方向垂直于 导轨平面向上的匀强磁场中质量为 m、电阻为 r 的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨 上初始时刻，弹簧恰好处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度 v0.整个运动过程 中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触已知弹簧的劲度系数为 k，弹簧的
21、中心轴线与 导轨平行 图 13 (1)求初始时刻通过电阻 R 的电流 I 的大小和方向； (2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为 v，求此时导体棒的加速度大小 a； (3)导体棒最终静止时弹簧的弹性势能为 Ep，求导体棒从开始运动直到停止的过程中， 电阻 R 上产生的焦耳热 Q. 答案 (1) ba Blv0R r (2)gsin B2l2vmR r (3)见解析 解析 (1)初始时刻，导体棒产生的感应电动势 E1Bl v0 通过 R 的电流大小 I1 E1R r Blv0R r 电流方向为 ba (2)回到初始位置时，导体棒产生的感应电动势为 E2Bl v 感应电流 I2 E2R r BlvR r 导体棒受到的安培力大小为 FBI 2l ，方向沿斜面向上 B2l2vR r 根据牛顿第二定律有： mgsin Fma 解得 agsin B2l2vmR r (3)导体棒最终静止，有：mg sin kx 弹簧压缩量 x mgsin k 设整个过程中回路中产生的焦耳热为 Q0，根据能量守恒定律有： mv mgxsin E pQ 0 12 20 Q0 mv E p 12 20 mgsin 2k 电阻 R 上产生的焦耳热 Q Q0 mv E p RR r RR r12 20 mgsin 2k
