1、1.1 研究简谐运动 1 学习目标定位 1.知道什么是弹簧振子，理解弹簧振子是一种理想化的物理模型 .2.借助弹 簧振子理解一次全振动、平衡位置及简谐运动的位移等概念.3.知道什么是简谐运动，知道 简谐运动的振动图像为正弦曲线(或余弦曲线) ，知道描述简谐运动的常用物理量及意义 .4. 会利用简谐运动的图像分析有关问题 1st 图像是描述物体的位移 与时间关系的图像，由图像可知任意时刻物体的位移，那么， 某时刻物体的速度等于这一时刻图像的斜率 2.弹簧振子模型：如图 1 所示，如果小球与杆之间的摩擦可以不计，且弹簧的质量与小球 的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子 图 1 3弹簧振子的位移
2、时间图像 以纵坐标表示振子的位移，横坐标表示时间，描绘出简谐运动的振子的位移随时间变化的 图像，称为简谐运动的图像，简谐运动的图像是一条正弦(或余弦) 曲线 4简谐运动 (1)定义：如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦( 或余弦)函数规律，这样 的振动叫做简谐运动 (2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动弹簧振子的运动就是 简谐运动 5描述简谐运动的物理量除了位移、速度、加速度等力学量外，还需要周期、频率、振幅 等物理量 一、什么是简谐运动 简谐运动的图像 问题设计 如图 2 所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时 间，最终停止运动 图 2 (1
3、)小球的运动有哪些特点？为什么小球最终停止运动？ (2)如果把小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多即也忽略不计，其结 果如何？ (3)如图 3 为弹簧振子在一次全振动过程中间隔相等的 8 个相继时刻的位置，请用曲线连接 各时刻小球球心的位置，并猜想一下，小球在各时刻的位移跟时间之间存在着怎样的关系？ 图 3 答案 (1)小球在中心两侧往复运动，即具有周期性小球因为受到摩擦阻力的作用最终停 止运动 (2)小球将持续振动 (3)小球的位移随时间可能按正弦( 或余弦)规律变化 要点提炼 1弹簧振子 (1)组成：如图 4 所示，它是由弹簧和小球( 振子)组成的，是一个理想模型 图 4
4、(2)理想化要求：小球在杆上能够自由滑动，球与杆间的摩擦 可以不计，弹簧的质量与小球 的质量相比也可以忽略 (3)平衡位置：小球原来静止时的位置 (4)机械振动：小球在平衡位置附近所做的周期性的往复运动，简称振动 (5)全振动：振动物体往返一次( 以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动如图 4 所示，对于水平方向运动的弹簧振子：AO BO A，即为一次全振动 (6)位移时间图像 坐标系的建立：为了研究振子的运动规律，以小球的平衡位置为坐标原点，用横坐标表 示振子振动的时间，用纵坐标表示振子相对平衡位置的位移，建立坐标系，如图 5 所示， 这就是弹簧振子运动时的位移时间图像 图 5 物理意
5、义：振动图像表示振子相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律 振动图像：理论和实验表明，弹簧振子振动时，其位移时间图像是正弦曲线(或余弦曲 线) 2简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦) 函数的规律，即它的振动图像 (xt 图像)是 一条正弦(或余弦)曲线，这样的振动叫做简谐运动简谐运动是最 简单、最基本的振 动弹簧振子的振动就是简谐运动 延伸思考 我们在研究直线运动时，可以由 st 图像得出运动物体的速度或速度的变化规律由简谐 运动的振动图像，我们可以判断振子速度的变化情况吗？ 答案 可以研究直线运动时，在 st 图像上，图线的斜率为运动物体的速度同样，在 振动图像上，图线的斜
6、率仍然代表振子的运动速度由振动图像可知，在振子经过平衡位 置时，图线的斜率最大，即振子的速度大小达到最大；离开平衡位置的过程中，图线的斜 率逐渐变小，即速度逐渐减小，在最大距离处图线的斜率为零，速度为零 例 1 如图 6 甲所示，一弹簧振子在 A、B 间振动，取向右为正方向，振子经过 O 点时开 始计时，其振动的 xt 图像如图乙所示则下列说法中正确的是( ) 图 6 At 2 时刻振子在 A 点 Bt 2 时刻振子在 B 点 C在 t1t 2 时间内，振子的位移在增大 D在 t3t 4 时间内，振子的位移在减小 解析 振子在 A 点和 B 点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到
7、A 点是正 向最大位移，运动到 B 点是负向最大位移，则 t2 时刻，振子在 A 点，t 4 时刻，振子在 B 点， 故选项 A 正确，B 错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在 t1t 2 和 t3t 4 时间内振 子的位移都在增大，故选项 C 正确，D 错误 答案 AC 二、描述简谐运动的物理量及其位移公式 问题设计 1用锤敲锣一下，锣发出响亮的声音，锣声很快变小，但音调没变，锣声变小是什么发生 了变化？音调没变又是为什么？ 答案 锣声变小是锣面的振动强度变弱了，即振幅变小了音调没变是锣的振动快慢没变， 即频率没变 2我们知道做简谐运动的物体的振动位移随时间是按正弦(余弦) 函数规律变
8、化，在数学课 上我们学习过正弦函数为 yAsin t，你知道 A、 与简谐运动的基本物理量之间的关系吗？ 答案 A 代表简谐运动的振幅； 叫做简谐运动的圆频率，它与周期 T 的关系为 . 2T 要点提炼 1振幅 A (1)振幅是标量，在数值上等于振子偏离平衡位置的最大位移 的绝对值 (2)物理意义：表示振动强弱的物理量，对同一振动系统，振幅越大，表示振动系统的 能量 越大 2周期和频率 内容 周期 频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全振动所 经历的时间叫做振动的周期 单位时间内物体完成全振动的次数叫 做振动的频率 单位 单位为秒(s) 单位为 赫兹(Hz) 物理含义 振动周期是表示物体振动快
9、慢的物理 量 频率是表示物体振动快慢的物理量 决定因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关 关系式 T 或 f 1f 1T 3.简谐运动的位移公式：xAsin _t 或 xAcos t. (1)式中 x 表示振动质点相对平衡位置的位移，t 表示振动时间 (2)A 表示振动质点偏离平衡位置的最大位移，即振幅 (3) 称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢，与周期 T 及频率 f 的关 系： 2f. 2T 所以表达式也可写成：xA sin t 或 xAsin _2ft. 2T 例 2 弹簧振子在 A、B 间做简谐振动，O 为平衡位置，A、B 间的距离是 20
10、cm，振子由 A 运动到 B 的时间是 2 s，如图 7 所示，则( ) 图 7 A从 OBO 振子做了一次全振动 B振动周期为 2 s，振幅是 10 cm C从 B 开始经过 6 s，振子通过的路程是 60 cm D从 O 开始经过 3 s，振子处在平衡位置 解析 振子从 OBO 只完成半个全振动，A 选项错误；从 AB 振子也只完成了半个全 振动，半个全振动的时间是 2 s，所以振动周期是 4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最 大位移，振幅 A10 cm，B 选项错误；t6 s1 T，所以振子经过的路程为 12 4A2A6A 60 cm，C 选项正确；从 O 开始经过 3 s，振子处在位
11、置 A 或 B，D 选项错 误 答案 C 三、对振动图像的理解 例 3 如图 8 所示，是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题： 图 8 (1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？振幅、周期、频率各是多少？ (2)在 1.5 s 和 2.5 s 两个时刻，质点向哪个方向运动？ (3)质点在第 2 秒末的位移是多少？在前 4 秒内的路程是多少？ 解析 由图像上的信息，结合质点的振动过程可知： (1)质点离开平衡位置的最大距离就是 x 的最大值为 10 cm；振幅为 10 cm，周期为 4 s，频 率为 0.25 Hz.(2)在 1.5 s 后质点位移逐渐减小，因此是向平衡位置
12、运动，在 2.5 s 后质点位 移逐渐增大，因此是背离平衡位置运动 (3)质点第 2 秒末在平衡位置，因此位移为零质点在前 4 秒内完成一个周期性运动，其路 程为 10 cm440 cm. 答案 见解析 针对训练 如图 9 所示，是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( ) 图 9 A振动周期是 2102 s B第 2 个 102 s 内物体的位移是 10 cm C物体的振动频率为 25 Hz D物体的振幅是 10 cm 答案 BCD 解析 振动周期是物体完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离， 所以周期是 4102 s又 f ，所以 f25 Hz，则 A 项错误，
13、C 项正确；正、负极大值 1T 表示物体的振幅，所以振幅 A10 cm，则 D 项正确；第 2 个 102 s 的初位置是 10 cm，末 位置是 0，根据位移的概念有 x10 cm，则 B 项正确 研究简谐运动Error! 1如图 10 所示，下列振动系统不可看作弹簧振子的是( ) 图 10 A如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统 B如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统 C如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系住一个小钢球组成的系统 D蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统 答案 D 解析 A、B、C 中都满足弹簧振子的条件， D 中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作 质
14、点，故不可看作弹簧振子 2下列关于振幅的各种说法中正确的是( ) A振幅是振子离开平衡位置的最大距离 B位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅 C振幅等于振子运动轨迹的长度 D振幅越大，表示振动越强，周期越长 答案 A 解析 振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振 动越强，但振幅的大小与周期无关，故选 A. 3弹簧振子在 AOB 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得 A、B 之间的距离为 8 cm，完 成 30 次全振动所用时间为 60 s，则( ) A振子的振动周期是 2 s，振幅是 8 cm B振子的振动频率是 2 Hz C振子完成一次全振动通过的路程
15、是 16 cm D从振子通过 O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为 24 cm 答案 CD 解析 A、B 之间的距离为 8 cm，则振幅是 4 cm，故 A 错；T2 s，f0.5 Hz，B 错；振 子完成一次全振动通过的路程是 4A，即 16 cm,3 s 内运动了 1.5 个周期，故总路程为 24 cm，C、D 正确 4如图 11 甲所示，是一个弹簧振子的示意图，O 是它的平衡位置，振子在 B、C 之间做 简谐运动，规定向右为正方向图乙是它的速度 v 随时间 t 变化的图像下列说法中正确 的是( ) 甲 乙 图 11 At2 s 时刻，它的位置在 O 点左侧 4 cm 处 Bt3 s 时刻，它的速度方向向左，大小为 2 m/s Ct4 s 时刻，它的加速度为方向向右的最大值 D振子在一个周期内通过的路程是 16 cm 答案 C
