1、XXX学校毕业论文（设计）对角化矩阵的应用学生姓名学院专业班级学号指导教师2015年4月25日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负学生（签名）2015年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高
2、次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换APPLICATIONOFDIAGONALIZATIONMATRIXABSTRACTMATRIXDIAGONALIZATIONPROBLEMISTHEKEYISSUEINTHEMATRIXTHEORYINTHISPAPER,BYUSINGMATRIXDIAGONALIZATIONCONDITIONS,DIAGONALIZATIONMATRIXPROPERTIESANDMATRIXDIAG
3、ONALIZATIONMETHODWESTUDYSOMEAPPLICATIONSOFDIAGONALIZATIONMATRIX,INCLUDINGFORHIGHORDEREXPONENTOFMATRIX,FINDINGTHEINVERSEMATRIX,MATRIXTODETERMINEWHETHERITISSIMILAR,THEEIGENVALUEOFSPECIALMATRIX,INTHEVECTORSPACETHATMATRIXSIMILARTOADIAGONALMATRIX,USINGLINEARTRANSFORMATIONMATRIXISADIAGONALMATRIX,FORTHESER
4、IESOFGENERALTERMFORMULAANDLIMIT,THEDETERMINANTOFVALUEKEYWORDSTHEDIAGONALIZATIONEIGENVALUEFEATUREVECTORSIMILARLINEARTRANSFORMATION目录引言11矩阵对角化111矩阵对角化的几个条件112对角化矩阵的性质313矩阵对角化的方法52对角化矩阵的应用521求方阵的高次幂522反求矩阵623判断矩阵是否相似724求特殊矩阵的特征值725在向量空间中应用726在线性变换中应用727求数列通项公式与极限828求行列式的值1129对角化矩阵在其他方面的应用12参考文献14致谢15第1
5、页共16页引言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用1矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过
6、矩阵的一系列初等变换（指行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的11矩阵对角化的几个条件引理1设NNPBA,且,2AA,2BBBAAB,则存在可逆矩阵P,使BA,可同时对角化引理22如果NNNPDIAGP,21的N个对角元互不相同,矩阵NNPB,那么BPPB当且仅当B本身就是对角阵因为任何一个幂等矩阵2AAA一定相似于一个对角矩阵000RE,所以任何一个对角矩阵
7、都是能够进行谱分解的,即NIIIAA1,其中I是矩阵A的特征值,矩阵IA为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢有如下结论定理31若第2页共16页,2211NNKKKANKKK,21是N个数,N，21是N个幂矩阵,并且他们两两可替换,JIIJJI,则矩阵A可对角化证明若N，21是N个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵1P,使得N，21,可同时对角化NNNNPDPPDP111111，1是对角矩阵，NDD,PDKDKDKPPDKPPDKPPDKPKKKANNNNNN2211112211112211,由是对角矩阵，NDD1知NNDKDKDK2211同样是对角矩阵,即矩阵
8、A为对角化的矩阵定理42如果NNPA,21，是它两个不相同的特征值,那么矩阵A可对角化一定有幂等矩阵,满足121EA证明必要性如果A是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P,满足2211111EEAPP是一个对角阵121211121211111211000PEPEPEPPEPPEPPAPA,并且相似于2121212000PEPPEPPEP,第3页共16页若为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵满足121EA充分性若存在使得121EA,因为是幂矩阵,所以一定会有一个T,满足TET210,TEETTEETTETEA221111212112100,因此，TEETATT221111,即矩阵A为可对角化
9、的定理53设矩阵NNPA存在N个不同的特征值,则对于矩阵NNPB,BAAB,当且仅当矩阵BA,同时可以对角化证明必要性若矩阵A存在N个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵A为对角化的矩阵设APPT1,其中,21NDIAGT,则ABPPBPAPPPBPPT1111TBPPAPBPPP111,即T与BPP1是可以进行交换的,因此得知BPP1是对角矩阵,且矩阵B也是为对角化的矩阵充分性如果矩阵BA,可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P,使得PDPA11,PDPB21其中为21DD，对阵,BAPDPPDPPDDPPDDPPDPPDPAB11211212112111,因此我们可以通过上述的
10、一系列条件，来求出A的特征值，且这是两个相互不同的数从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件如果2这个条件成立，那么就认为矩阵A可对角化,否则就认为矩阵A不能可对角化,其中/21EA12对角化矩阵的性质定理64设A为数域P上的一个N阶的矩阵,且它为可对角化的，T,21是A的相互不同的特征根,则一定会有N阶的TAAA,21满足1TTAAAA2211；第4页共16页2EEAAAT,21是单位矩阵；3IIAA2；4JIAAJI,0,其中1TTBAII证明（1）如果A可对角化,那么在数域P上一定会存在一个可逆矩阵T,并且它的阶数为N阶，满足BATTT00211,其中I的重数为IS,由于矩阵11000011
11、1TB,将它记为TTBBB2211,因此，1111122111TTBTTBTBBBTTBTATTTT,将其记为TTAAA2211,其中1TTBAI,所以TTAAAA22112如果每个IB为对角形的幂矩阵,那么EBBBT21,ETETTTBTTBTTBAAATT11121121,故EAAAT213如果1TTBAII,那么IIIIIIIIIIATTBTTBTBTBTTBTTBTTBTTBA112111112,故IIAA24当JI时,011111TBTBTTBTTBTTBTTBAAJIJIJIJI,0为零矩阵,故JIAAJI,0例1在数域P上，若已知6788152051115A的三个特征根分别是3,
12、2,1,则一定会有一个211243132T,满足BATT3000200011,其中1111342561T,将矩阵第5页共16页10030102001B,记32132BBB,则，321132113232AAATBBBTTBTA其中1TTBAII,于是222222111,134412163912,2566151841012321AAA,并且满足132132AAAA；2EAAA321；33,2,12IAAII；4JIAAJI,0可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的13矩阵对角化的方法131运用矩阵初等变换的方法在数域P上,一个N维空间V,研究和探讨它能否可以找到一组
13、基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时,如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题当发现矩阵A不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵A,并且能够判定它是否可以对角化类似地,可有矩阵EQQQTSS111111,做如下的初等变换,则可以将矩阵A化简为对角形矩阵B,并且可以求得T或由B求A的一系列特征值132求解齐次方程组的方法设矩阵A是实对称矩阵,则求证交矩阵T使得,211NDIAGATT的问题,一般的解法为1求其特征值；2求其对应的特征向量；3写出矩阵T及,211NDIAGATT从而可以求出正交
14、矩阵T,可以避免了商的繁琐运算定理75设A是实对称矩阵,则有121重，N,N，321对应于第6页共16页21，,记1L由1生成的一个空间,且32NL，由N，32生成的空间2对角化矩阵的应用21求方阵的高次幂例2设在数域P上，有一个二维的线性空间V,21，是这个线性空间V的一组基,那么线性变换在21，这组基的作用下的矩阵0112A,试通过上述给出的条件计算出矩阵KA解通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换在线性空间V的另一组基21，作用下的矩阵,令2111,2121,则10112111011211122111011221111,易知1011011KK,再运用上面得出的几个关系10112111
15、011221111,即111112101211121111011211101121KKKKKKK22反求矩阵例3设有一个实对称矩阵A，且它的阶数为3阶，已知11321，,1对应于TP1,1,01,求解A第7页共16页解根据矩阵A是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A可以对角化的结论,即得出矩阵A是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且132对应于TXXXP,321,因为它和1P正交,即003211XXXPP,所以可以求出TTPP1,1,00,0,132，,它们分别对应132取100010001101101010,321BPPPP，,则BAPP1,于是0101000012121000121
16、2101000100011011010101PBPA23判断矩阵是否相似例4请判断下述三个矩阵是否会相似300020102,300120012,300020002321AAA解我们可以很容易的得出三个矩阵321,AAA的特征值分别都是21二重,32,其中矩阵1A已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵32,AA是否都可以对角化通过21,022XAE,可以推出T0,0,11,因为21,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵2A与矩阵1A不相似的结论通过21,023XAE,得出TT0,1,0,0,0,121,通过32，033XAE,得出T1,0,13,通过
17、上述所推出的结论，我们可知矩阵3A有三个线性无关的特征向量,即矩阵3A与矩阵1A这两个矩阵相似24求特殊矩阵的特征值例85设有一个实对称矩阵A，并且它的阶数为N阶，满足AA22,NRAR,求出A的全部特征值解假设为矩阵A的一个特征值,而我们令为矩阵A的特征向量,它对应于特征值，因为A,所以22AA,又因为AA22,所以222AA,即22,由此我们可以推出02或,根据矩阵A是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A一定能够进行对角化,即第8页共16页0022BA,与RAR,所以A的秩数就是2的个数,以及A有R个2和RN个0的特征值25在向量空间中应用例96在N维的V空间中,有一个复矩阵，并且它的
18、阶数为N阶，还有一个复数,令0,21AEVWVAEW,则矩阵A相似于对角阵,并且021WW证明因为对于任意一个210WWX,则有0AEX和00XAE,所以02AE又因为发现矩阵A相似于对角阵,所以我们可以推出00XAE与02AE两个的解空间是完全相同的，即021WW26在线性变换中应用例107设1NXPN是数域P上的一个全体,且它是一个次数小于N的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在NXP的任一组基下，矩阵通过微分变换能否变为对角形矩阵证明如果取1211NXXXN，,那么矩阵可以表示为0001NE,所以有NAE如果在某一组基的作用下，微分变换的矩阵B为对角矩阵,由已知的矩阵BA可推出矩
19、阵A可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T能够使得BATT1,所以1TBTA通过已知的微分变换的全为零,可以推出0B,0A这是不可能的,所以在NXP的任何一组基的作用下，微分变换的矩阵都不可能成为对角阵第9页共16页27求数列通项公式与极限例118设两个数列NNQP,都满足条件1,21111QPQPQQPPNNNNNN,则请求解NNNQPLIM解把已知条件中的几个递推关系组NNNNNNQPQQPP11,2,通过化简改写成下面的列矩阵的形式111111211121QPQPQPNNNNN,由1121A和0AE,可以求出A的21,2121,并且1，分别对应TTXX1,2,1,221取,21XXX,则2
20、1212211X,1210021XXA,从而2212122121112100211111111NNNNNNNXXQP,因此22121NNNP,22121NNNQ,并且22121212212LIMLIMNNNNNNNNQP例9已知,2,12,2,11111NBABBAABANNNNNN这四个条件,请证明NNNNBALIMLIM及存在并且相等,给出证明过程，同时请求出这两个的极限值证明把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出434,2211NNNNNNBABBAA,然后再改写为另一种矩阵的形式第10页共16页11114341212143412121BABABANNNNN,由43412121A和0A
21、E,可以求出A的14121，,并且21，分别对应TTXX11,1221，,取1112,21XXX,则323131311X,110041XXA,因为1004111XBANN,324131314131324231314231111NNNNBAX,所以3242313142311NNNA,3242313142311NNNB,即NNNNBALIM3231LIM例10设有10X,EX1,111NXXXNNN这三个条件,请求出NNXLIM解从已知的三个条件可以推出,2,10NXN,以及LNLN21LN11NNNXXX,令NNXALN,则00A,11A,12111NAAANNN,所以0111012121012
22、121AAAAAANNNNN,由012121A和0AE,求得A的21121，,并且21，分别对应TTXX121,1121，取,2XXX,令第11页共16页11211321X,121001XXA,则NNNNNXXAA211211320121001111,从而推出21132NNA,即21132NEXN,32LIMEXNN例11设11X,NNXX111,求NNXLIM解令1NNNAAX,根据条件NNXX111,将其简化为NNNAAA12,然后再写成矩阵20111011112111NAAAAAANNNNN,由0111A和0AE,求出A的25125121，,且21，分别对应的是TTXX1,121，,取1
23、1,21XXX,则100XXA,112211511100NNNNNNNXXAA,即21511LIMLIMLIMLIM1122111NNNNNNNNNNNNNAAX28求行列式的值例1212设有一个N阶的行列式，化简并求出它的值第12页共16页0SINCOS21000001COS2100000001COS21000001COS21000001COS2ND,解按照第一列展开的21COS2NNNDDD,可以写成矩阵的另外一种形式211011COS2NNNNDDDD,记矩阵011COS2A,则2122211NDDADDADDNNNNN,通过0AE,我们可以计算出矩阵A的IAIAEE21，,且21，分别
24、对应TIATIAEXEX1,121，,取11,21IAIAEEXXX,则100XEEXAIAIA,推出COS21COS40021221XEEXDDNIANIANN,即0SINSIN1SINNDN例13设有一个实对称矩阵A,并且它的阶数是N阶，满足条件AA2,且R为矩阵A的秩,通过上述条件求出行列式AE2的值解因为AA2,XXAAXX22,所以有02X因为0X,所以01,10或因为矩阵A是一个N阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵A的秩为R,所以一定会存在一个可逆矩阵P,可以使得BEAPPR0001,其中矩阵RE表示的是R阶单位矩阵,所以可以推出第13页共16页220022211RN
25、EEBEPBPPPAERNR29对角化矩阵在其他方面的应用例14在某个城市的就业数据中显示，一共有30万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商，假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示1在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人,工业的有9万人,经商的有6万人；2在投身于农业的人中,每年大概有10的人转行去经商,20的人转行去做工业；3在投身于工业的人中,每年大概有20的人转行去干农业,10的人转行去经商；4在投身于经商的人中,每年大概有10的人转行去做工业,10的人转行去干农业现在请大概预测一下，在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年
26、以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势解第I年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个3维的向量IX去表示它，则TX6,9,150如果想要求21XX，,并且能够很精确地考察在N时,NX的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个3阶矩阵IJAA,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况那我们就能够得出矩阵801010107020102070A,通过矩阵的乘法法则，我们可以得出2799912001AXXAXT,048231073110212XAAXX,所以01XAAXXNNN,如果要继续进一步精确地分析NX,那么必须要事先计算矩阵A的N次幂NA,所以我们先可以将矩阵A进行对
27、角化,50701801010107020102070EA,第14页共16页所以能够得出特征值50,70,1321,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量321,QQQ,于是令,321QQQQ,则就会有矩阵1QBQA,从而推出1QQBANN,0XAXNN,50701B,NNNB50701,当N时,矩阵NB将趋向于001,从而推出矩阵NA将趋向于1001QQ,因为矩阵NX跟我们已经确定下来的常量X非常接近,所以可以得出1NX亦必趋于X,再通过1NNAXX的转化，就能够准确得知X必需要满足条件AXX,进而可以推断出X是矩阵A属于特征值11的一个特征向量TTTTTTX,111，,303TTTT
28、10T,按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后，那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等,三者平均下来为10万人第15页共16页参考文献1北京大学教学系几何与代数教研室高等代数第二版M北京高等教育出版社,19882胡显佑主编线性代数挚习指导M天津南开大学出版社,19973刘九兰,张乃一,曲问薄主编线性代数考研M天津天津大学出版社,200054谢国瑞主编线性代数及应用M北京高等教育出版社19995张学元主编线性代数能力试题题解M武汉华中理工大学出版社,20006徐仲主编线性代数典型题分析解集M西北工业大学出版社,1998,67樊辉,钱吉林主编,代数学辞典M武汉华中师范大学出艋社1994,128曹
29、锡皓高等代数M北京北京师范大学出版社,19879张远达线性代数原理M上海上海科学出版社,198110KLINEMORRISMATHEMATICALTHOUGHTFROMANCIENTTOMODERNTIMESMNEWYORKOXFORDUNIVERSITYPRESS,197211REBOLLONEIRAL，FERNANDEZRUBIOJONTHEINVERSEWINDOWEDFOURIERTRANSFORMMIEEETRANKSONINFORMATIONTHEORY，199912BABAIEZADEH，MJUTTEN,C，MOHIMANI,HONTHEERROROFESTIMATINGTHESPARSESTSOLUTIONOFUNDERDETERMINEDLINEARSYSTEMSM2011致谢在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢王老师的严谨治学态度让我受益匪浅在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文与此同时，我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友
