1、学案 3 万有引力定律与天文学的新发现 学习目标定位 1.了解发现未知天体海王星的过程.2.会用万有引力定律求中心天体的质量 . 3.了解重力等于万有引力的条件 一、海王星的发现和哈雷彗星的预报 1海王星的发现 亚当斯和勒维烈根据万有引力定律，通过计算，各自独立地发现了海王星它被称为是在 笔尖下发现的新天体 2哈雷彗星的预报 哈雷根据万有引力定律计算出了哈雷彗星的椭圆轨道，并发现它的周期约为 76 年，由于最 近一次回归是 1986 年，预计下次回归将在 2061 年 二、计算天体质量 1太阳质量的计算： (1)依据：质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，
2、 即 G . Mmr2 42mrT2 (2)结论：M ，只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和轨道半径 r 就可以计算出太阳的 42r3GT2 质量 2其他行星的质量计算：同理，若已知卫星绕行星运动的周期 T 和卫星与行星之间的距 离 r.可计算行星的质量 M，公式是 M . 42r3GT2 三、万有引力与重力 如图 1 所示，地球上的任何物体都会受到地球的万有引力作用，F ，方向指向地 GMmR2 心 图 1 我们把 F 分解为 F1 和 F2 两个分力，F 1 即平常所说的重力，它的方向竖直向下；F 2 是物体 随地球自转所需的向心力，它的方向指向地轴F 2 非常小，无特别说明认为万有引力等
3、于 重力. 一、笔尖下发现的行星和哈雷彗星的预报 问题设计 牛顿发现的万有引力定律，开始只是一个假设，其后，天文学的哪些事情证实了万有引力 定律的正确性？ 答案 海王星的发现、哈雷慧星按预测日期回归 要点提炼 1笔尖下发现的行星 (1)发现天王星后，天文学家们根据不同观察时间的资料算出的天王星的轨道各不相同 (2)预测在天王星的轨道外面有未知行星在干扰 (3)亚当斯和勒维烈各自独立计算出这颗“新星”的运行轨道并指出其所在位置 (4)1946 年 9 月 23 日，伽勒在预测位置发现海王星 2哈雷慧星的预报 英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算出 1682 年出现的大慧星的周期约为 76 年，1
4、759 年 3 月 13 日，慧星几乎是如期而至(与预算日期仅差 1 个月) 3意义：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”的意义并不仅仅在于发现了新天体，更 重要的是确立了万有引力定律的地位 二、计算天体的质量和密度 问题设计 1我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我 们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？ 答案 由 mr 知 M ，由此可知需要知道某行星的公转周期 T 和它与太阳 GMmr2 42T2 42r3GT2 的距离 r. 2天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？ 答案 知道天体的半径，则可由 得到天体的密度 . MV M43R3
5、3M4R3 要点提炼 1计算天体质量的方法 分析围绕该天体运动的行星(或卫星) ，测出行星(或卫星) 的运行周期和轨道半径，由万有引 力提供向心力即可求中心天体的质量由 m r，得 M . GMmr2 42T2 42r3GT2 2天体密度的计算方法 根据密度的公式 ，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度 M4 3R3 (1)由天体表面的重力加速度 g 和半径 R，求此天体的密度 由 mg 和 M R3，得 . GMmR2 43 3g4GR (2)若天体的某个行星(或卫星 )的轨道半径为 r，运行周期为 T，中心天体的半径为 R，则由 G mr 和 M R3，得 . Mmr2 42T
6、2 43 3r3GT2R3 注意 R、r 的意义不同，一般地 R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若绕 近地轨道运行，则有 Rr，此时 . 3GT2 三、破解重力变化之谜 1.万有引力和重力的关系：如图 2 所示，设地球的质量为 M，半径为 R，A 处物体的质量 为 m，则物体受到地球的吸引力为 F，方向指向地心 O，由万有引力公式得 FG .引力 Mmr2 F 可分解为 F1、F 2 两个分力，其中 F1 为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F 2 就是物 体的重力 图 2 2万有引力与重力的近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg ， g 为地球表面的重力加速
7、度 GMmR2 3重力与高度的关系：若距离地面的高度为 h，则 mgG (R 为地球半径，g为 MmR h2 离地面 h 高度处的重力加速度)所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的 重力也越小 四、天体运动的分析与计算 1基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的 万有引力提供 2常用关系： (1)G ma 向 m m 2rm r. Mmr2 v2r 42T2 (2)忽略自转时，mgG (物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得： MmR2 gR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式” 3四个重要结论：设质量为 m 的天体绕另一质量为
8、M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周 运动 (1)由 G m 得 v ，r 越大，v 越小 Mmr2 v2r GMr (2)由 G m 2r 得 ，r 越大， 越小 Mmr2 GMr3 (3)由 G m( )2r 得 T2 ，r 越大，T 越大 Mmr2 2T r3GM (4)由 G ma 向 得 a 向 ，r 越大，a 向 越小 Mmr2 GMr2 一、天体质量和密度的计算 例 1 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力 加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的( ) A. 倍 B4 倍 C16 倍 D64 倍 14 解析 由 G mg 得 M ， M
9、mR2 gR2G 因为 ，所以 R ，则 4， MV gR2G 43R3 3g4GR 3g4G RR地 gg地 根据 M 64M 地 ，所以 D 项正确 gR2G 4g地 4R地 2G 64g地 R2地G 答案 D 例 2 假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星若它贴近该天体的表面做匀速 圆周运动的周期为 T1，已知万有引力常量为 G. (1)则该天体的密度是多少？ (2)若这颗卫星距该天体表面的高度为 h，测得在该处做圆周运动的周期为 T2，则该天体的 密度又是多少？ 解析 (1)设卫星的质量为 m，天体的质量为 M，卫星贴近天体表面运动时有 G m R，M MmR2 42T21
10、42R3GT21 根据数学知识可知天体的体积为 V R3 43 故该天体的密度为 . MV 42R3GT2143R3 3GT21 (2)卫星距天体表面距离为 h 时，忽略自转有 G m (Rh) MmR h2 42T2 M 42R h3GT2 . MV 42R h3GT243R3 3R h3GT2R3 答案 (1) (2) 3GT21 3R h3GT2R3 二、天体运动的分析与计算 例 3 质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运 动已知月球质量为 M，月球半径为 R，月球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考 虑月球自转的影响，则航天器的( ) A线速度
11、v B角速度 GMR gR C运行周期 T2 D向心加速度 a Rg GmR2 解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有 G mam MmR2 m 2Rm R，可得 a ，v ， ，T2 ，所以 A 正确，D v2R 42T2 GMR2 GMR GMR3 R3GM 错误；又由于不考虑月球自转的影响，则 G mg，即 GMgR 2，所以 ，T 2 MmR2 gR ，所以 B 错误，C 正确 Rg 答案 AC 三、万有引力和重力的关系 例 4 在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面的重力加速度 大小的( ) A2 倍 B1 倍 C. 倍 D. 倍 1
12、2 14 解析 由“平方反比”规律知，g ，故 2 2 . 1r2 gg地 ( RR h) (R2R) 14 答案 D 1(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度， 仅仅需要( ) A测定飞船的运行周期 B测定飞船的环绕半径 C测定行星的体积 D测定飞船的运行速度 答案 A 解析 取飞船为研究对象，由 G mR 及 M R3，知 ，故选 A. MmR2 42T2 43 3GT2 2(天体运动的分析与计算)据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号 ”绕月飞行器的圆形工作 轨道距月球表面分别约为 200 km 和 100 km，运行速度分别为 v1 和 v2，那么，v
13、 1 和 v2 的比 值为(月球半径取 1 700 km)( ) A. B. C. D. 1918 1918 1819 1819 答案 C 解析 由 G m ，得 v ，则 ，故选项 C 正确 Mmr2 v2r GMr v1v2 r2r1 1 700 1001 700 200 1819 3(万有引力与重力的关系)假如地球自转速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的 是( ) A放在赤道地面上物体的万有引力不变 B放在两极地面上物体的重力不变 C放在赤道地面上物体的重力减小 D放在两极地面上物体的重力增大 答案 ABC 解析 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项 A 正确；在两极，物体受到 的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项 B 正确，D 错误；而对放在赤道地面上的物 体， F 万 G 重 m2R，由于 增大，则 G 重 减小，选项 C 正确
