1、第六章 万有引力与航天 第四节 万有引力理论的成就 阿基米德曾说过一句话：“假如给我一个杠杆，一个支点，我就能撬动地球”他想， 地球的质量可以通过计算这个杠杆的动力臂与阻力臂的比来得出，相信很多人都有同样的想 法这当然不能够实现，但现在我们可以用“万有引力定律”这个法宝来“测”地球和太阳的 质量 1了解万有引力定律在天文学上的应用 2会用万有引力定律计算天体的质量，理解“称量地球的质量”“计算太阳的质量”的 基本思路 3认识万有引力定律的科学成就，体会科学思想方法 一、计算中心天体的质量和密度 1天体质量的计算 (1)对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有
2、引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力 若已知卫星绕中心天体做圆周运动的周期 T 和半径 r，则由 G mr ，解得中心天体 mMr2 4 2T2 的质量为 M 4 2r3GT2 如果测出周期 T 和半径 r，就可以算出中心天体的质量 (2)对于没有卫星的天体(或虽有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量)，可忽略天体自 转的影响，根据万有引力等于重力的关系列式，计算天体质量 若已知天体的半径 r 和该天体表面的重力加速度 g，则有 mgG . mMr2 解得天体的质量为 M gR2G 2天体密度的计算 如果中心天体为球体，则密度 ，式中 R 为中心天体的半径，r 为 MV 4 2r3GT2 43 R
3、3 3 r3GT2R3 中心天体与行星(卫星)间的距离 特例：当做匀速圆周运动的天体在中心天体表面运行时，rR，则 3GT2 二、发现未知天体 1海王星的发现过程 18 世纪，人们观测发现，1781 年发现的太阳系的第七颗行星天王星的运动轨道与根 据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自 独立地利用万有引力定律计算出这颗行星的轨道 1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为 “笔尖下发现的行星”后来，这颗行星命名为海王星 2哈雷彗星的“按时回归” 1705 年，英国天文学
4、家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了 它的回归，这就是哈雷彗星 解决天体运动问题的两条思路 一、两条思路 1我们在应用万有引力定律解决有关天体运动问题时，常把天体的运动近似看做匀速圆 周运动，其所需向心力由万有引力提供，有下列关系式可选用： G Mmr2 ma向 mv2r m 2rm v m4 2T2r) 由此可推出重要比例关系： a 向 G ，或 a 向 ；v ，或 v ； Mr2 1r2 GMr 1r ，或 ；T2 ，或 T . GMr3 1r3 r3GM r3 2根据研究问题的实际情况，还可以利用物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体 的重力这一关系，即 mgG
5、 . MmR2 式中的 R 为地球(天体)的半径，g 为地球(天体)表面物体的重力加速度 则可以得到 GMgR 2，此式被称为“黄金代换”公式 二、典例剖析 已知地球半径约为 6.4106 m，已知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，运 动周期为 27 天，则可估算出月球到地心的距离约为_m(结果只保留一位有效数字) 解析：由地球表面物体的重力近似等于万有引力，即 mg . GMmR2 由月球绕地球做圆周运动的向心力为地球对它的万有引力，有 G m 月 r， Mm月r2 (2T)2 整理得 r . 3GMT24 2 3R2T2g4 2 地球表面的重力加速度 g 取 10 m/s2， 月球的
6、运动周期 T27 天，代入数据得 r410 8 m. 答案：410 8 1如果我们能测出月球表面的加速度 g，月球的半径 r 和月球绕地球运转的周期 T，就 能根据万有引力定律“称量”月球的质量了已知引力常量 G，用 M 表示月球的质量，关于月 球质量，下列正确的是(A) AM BM gr2G Gr2g CM DM 4 2r3GT2 T2r34 2G 2一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行认为行星是密度均匀的球体，要确 定该行星的密度，只需要测量(C) A飞船的轨道半径 B飞船的运行速度 C飞船的运行周期 D行星的质量 3有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力
7、加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的(D) A. B4 倍 14 C16 倍 D64 倍 4若已知某行星的一颗卫星绕其运转时轨道半径为 r，周期为 T，引力常量为 G，则可 求得(B) A该卫星的质量 B行星质量 C该卫星的平均密度 D行星的平均密度 一、选择题 1设在地球上和在 x 天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比 为 k(均不计阻力)，且已知地球和 x 天体的半径比也为 k，则地球质量与 x 天体的质量比为(B) A1 Bk Ck 2 D. 1k 2已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量 M(引力常量 G 为已知)(AC) A月球绕地球运行的周期 T1及
8、月球到地球中心的距离 r1 B地球绕太阳运行的周期 T2及地球到太阳中心的距离 r2 C人造卫星在地面附近的运行速度 v3和运行周期 T3 D地球绕太阳运行的速度 v4及地球到太阳中心的距离 r4 解析：根据求解中心天体质量的方法，如果知道绕中心天体运动的行星(卫星)的某些量 便可求解，方法是利用万有引力提供向心力，则可由 G mr 2m mvmv 等分析 Mmr2 v2r 2T 3地球的半径为 R，地球表面处物体所受的重力为 mg，近似等于物体所受的万有引 力关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是(C) A离地面高度 R 处为 4mg B离地面高度 R 处为 mg2 C离地面高
9、度 2R 处为 mg9 D离地心 处为 4mg R2 4太阳表面半径为 R，平均密度为 ，地球表面半径和平均密度分别为 R 和 ， 地球表面附近的重力加速度为 g0 ，则太阳表面附近的重力加速度 g等于(C) A. g0 B. g0 RR C. g0 D. g0 R R RR 5假设火星和地球都是球体，火星质量 M 火 和地球质量 M 地 之比为 p，火星半径 R 火 M火M地 和地球半径 R 地 之比为 q，那么火星表面处的重力加速度 g 火 和地球表面处的重力加速度 g R火R地 地 之比 等于(A) g火g地 A. 2 Bpq 2 C. Dpq pq pq 6设地球表面重力加速度为 g0
10、，物体在距离地心 4R(R 是地球的半径)处，由于地球的作 用而产生的加速度为 g，则 为(D) gg0 A1 B. C. D. 19 14 116 7如图所示，有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的 周期为 T1，B 行星的周期为 T2，在某一时刻两行星相距最近，则(BD) A经过时间 tT 1T 2，两行星再次相距最近 B经过时间 t ，两行星再次相距最近 T1T2T2 T1 C经过时间 t ，两行星相距最远 T1 T22 D经过时间 t ，两行星相距最远 T1T22（ T2 T1） 解析：紧扣运动的等时性及两行星转过的角度之差展开分析 解法一 单位时间
11、内两行星转过的角度之差为 ， 则 1 2 . 2T1 2T2 当两星再次相遇时，转过的角度之差为 2， 所需时间 t 为 t . 2 T1T2T2 T1 两行星相距最远时，转过的角度之差为 ，所需时间 t 为 t .选项 T1T22（ T2 T1） B、D 正确 解法二 设 t s 后两行星相遇，B 行星转过 n 周，A 行星转过(n1)周，则 nT2(n1) T1t， 解得 t . T1T2T2 T1 当两行星相距最远时， 可得 nT2(n )T1t， 12 得 t T1T22（ T2 T1） 二、非选择题 8两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗恒星必须各以一定的速率绕某一中心转动，才 不至于
12、因万有引力作用而吸引在一起，已知双星的质量分别为 m1和 m2，相距为 L，求： (1)双星转动中心的位置； (2)双星的转动周期 解析：(1)设双星的转动中心与其中一颗恒星(质量为 m1)的距离为 x，它们做圆周运动的 向心力为双星之间的万有引力，所以它们的向心力大小相等，转动的周期相同根据牛顿第二 定律，对双星分别列方程，有：G m 1 x， m1m2L2 4 2T2 G m 2 (Lx)， m1m2L2 4 2T2 联立，得：x L. m2m1 m2 (2)将(1)问的 x 值代入，可解得 T2L . L（ m1 m2） G 答案：(1) L (2)2L m2m1 m2 L（ m1 m2
13、） G 9某星球自转的周期为 T，在它的两极处用弹簧秤称得某物体的重力为 W，在赤道上称 得该物体的重力为 W，求该星球的平均密度 . 解析：设物体质量为 m，在星球的两极物体受星球的引力与弹簧秤的弹力作用，因该处 的物体无圆周运动，则有 F 引 WG ， MmR2 又 MV R 3， 43 代入式后整理得 ， 3W4 GRm 在星球赤道处，物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，物体随星球自转做圆周运动， 所以：F 引 Wm R， 4 2T2 又 F 引 W， 则 WWm R， 4 2T2 mR . （ W W ） T24 2 代入中，整理后得 . 3WGT2（ W W ） 答案： 3WGT2（ W W ）
