1、第 1 页（共 22 页） 2015-2016 学年陕西省安康市汉滨区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1一元二次方程 x2+2x=0 的根是（ ） Ax=0 Bx= 2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球 的概率为 0.2，摸出白球的概率为 0.5，那么摸出黑球的概率为（ ） A0.2 B0.7 C0.5 D0.3 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 E，如果
2、 CE=2，那么 AB 的长是 （ ） A4 B8 C6 D10 5将抛物线 y=5x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到新的抛物线，则新抛 物线的表达式是（ ） Ay=5（x+2 ） 2+3 By=5（x 2） 2+3Cy=5（x 2） 23 Dy=5（x+2） 23 6已知点 A（1，2） ，O 是坐标原点，将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90，点 A 旋转后的 对应点是 A1，则点 A1 的坐标是（ ） A （2， 1） B （2， 1） C （ 1，2） D （1，2） 7某市 2004 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 200
3、6 年 底增加到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意，所列方程正确的是（ ） A300（1+x） =363 B300 （1+x） 2=363 C300（1+2x ）=363 D363（1x） 2=300 第 2 页（共 22 页） 8已知抛物线 y=x28x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 等于（ ） A4 B8 C 4 D16 9圆锥的母线长 5cm，底面半径长 3cm，那么它的侧面展开图的面积是（ ） A10 B12 C15 D20 10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是 x=1，且过点（ 3，0） ，下列 说法：abc0；2ab=0；4a+2
4、b+c0；若（ 5，y 1） ， （ ，y 2）是抛物线上两点， 则 y1y 2，其中说法正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，共 12 分） 11若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 没有实数根，则实数 m 取值范围是 12己知拋物线 y=x22x3，当 2x0 时，y 的取值范围是 选做（请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的笫一題计分） 13在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 一个球，摸到红球的概率 0.75，若白球有 3 个，则红球有 个 14已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与
5、x 轴交于点 A（2，0） ，B（4，0） ，则拋物线的对称 轴是 15如图，AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转到 A的位 置，则图中阴影部分的面积为 第 3 页（共 22 页） 三、解答题（本题共 11 小题，共 78 分） 16解方程：x 22x8=0 17如图，O 的半径 OC=10cm，直线 lCO，垂足为 H，交O 于 A，B 两点， AB=16cm，直线 l 平移多少厘米时能与O 相切？ 18如图在大圆中有一个小圆 O用尺规作图确定大圆的圆心；并作直线 1，使其将两 圆的面积平均二等分 19如图，二次函数 y1=a（x2） 2 的图象与直
6、线交于 A（0，1） ，B （2，0）两点 （1）确定二次函数的解析式； （2）设直线 AB 解析式为 y2，根据图形，确定当 y1y 2 时，自变量 x 的取值范围 20如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE=65 ，E=70， 且 ADBC，垂足为 F，求BAC 的度数 第 4 页（共 22 页） 21如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方 米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 22已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实
7、数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 23甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比 赛 （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； （2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概 率 24如图，Rt ABC 中， ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 第 5 页（共 22 页） 25如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，4） ，与直线 y
8、=x+1 相交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） 点 M 是直线 AB 上方的抛物线上 一动点，过 M 作 MP 丄 x 轴，垂足为点 P，交直线 AB 于点 N，设点 M 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，线段 MN 取最大值？并求出这个最大值 26如图，ABCD 中，AB=2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E，连接 DE、AC、AE （1）求证：AEDDCA； （2）若 DE 平分 ADC 且与A 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积 第 6 页（共 22 页） 2015-
9、2016 学年陕西省安康市汉滨区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1一元二次方程 x2+2x=0 的根是（ ） Ax=0 Bx= 2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】方程利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程变形得：x（x+2）=0， 可得 x=0 或 x+2=0， 解得：x 1=0，x 2=2 故选 C 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B
10、 C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 故选：A 【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形 的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要 寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3口袋内装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球 的概率
11、为 0.2，摸出白球的概率为 0.5，那么摸出黑球的概率为（ ） A0.2 B0.7 C0.5 D0.3 【考点】概率公式 【分析】让 1 减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率 【解答】解：根据概率公式摸出黑球的概率是 10.20.5=0.3 第 7 页（共 22 页） 故选 D 【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：各个部分的概率之和为 1 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 E，如果 CE=2，那么 AB 的长是 （ ） A4 B8 C6 D10 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OA，由于半径 OCAB，利用垂径定理可知 AB=2AE，又 CE=2，OC=
12、5，易 求 OE，在 RtAOE 中利用勾股定理易求 AE，进而可求 AB 【解答】解：连接 OA， 半径 OCAB， AE=BE= AB， OC=5，CE=2， OE=3， 在 RtAOE 中，AE= = =4， AB=2AE=8， 故选 B 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键 5将抛物线 y=5x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到新的抛物线，则新抛 物线的表达式是（ ） Ay=5（x+2 ） 2+3 By=5（x 2） 2+3Cy=5（x 2） 23 Dy=5（x+2） 23 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】几
13、何变换 【分析】先确定抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，0） ，再利用点平移的规律得到点（0，0） 平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向左平移 2 个单位，再向 上平移 3 个单位后得到对应点的坐标为（2，3） ，所以新抛物线的表达式是 y=5（x+2 ） 2+3 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求
14、出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 6已知点 A（1，2） ，O 是坐标原点，将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90，点 A 旋转后的 对应点是 A1，则点 A1 的坐标是（ ） A （2， 1） B （2， 1） C （ 1，2） D （1，2） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答 【解答】解：如图，根据旋转的性质可知， OB1=OB=1，A 1B1=AB=2， 可知点 A1 的坐标是（2，1） ， 故选 A 【点评】本题考查了坐标与图形的变化旋转，熟悉旋转的性质是解题的关键 7某市 2004 年底已有绿化面积 300 公顷，经过
15、两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2006 年 底增加到 363 公顷设绿化面积平均每年的增长率为 x，由题意，所列方程正确的是（ ） A300（1+x） =363 B300 （1+x） 2=363 C300（1+2x ）=363 D363（1x） 2=300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】知道 2004 年的绿化面积经过两年变化到 2006，绿化面积成为 363，设绿化面积平 均每年的增长率为 x，由题意可列出方程 【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为 x， 300（1+x） 2=363 故选 B 【点评】本题考查的是个增长率问题，关键是知道增长前的面积
16、经过两年变化增长后的面 积可列出方程 第 9 页（共 22 页） 8已知抛物线 y=x28x+c 的顶点在 x 轴上，则 c 等于（ ） A4 B8 C 4 D16 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是 0据此作答 【解答】解：根据题意，得 =0， 解得 c=16 故选 D 【点评】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式，比较简单 9圆锥的母线长 5cm，底面半径长 3cm，那么它的侧面展开图的面积是（ ） A10 B12 C15 D20 【考点】圆锥的计算 【分析】圆锥的侧面积= 底面半径母线长，把相应数值代入即可求解 【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积
17、是 53=15cm2， 故选 C 【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关圆锥的计算公式，难度不大 10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是 x=1，且过点（ 3，0） ，下列 说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（ 5，y 1） ， （ ，y 2）是抛物线上两 点，则 y1y 2，其中说法正确的是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线开口方向得到 a0，根据抛物线的对称轴得 b=2a0，则 2ab=0，则 可对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c0，则 abc0，于是可对 进行判断；由于
18、x=2 时，y0，则得到 4a+2b+c0，则可对进行判断；通过点 （5 ，y 1）和点（ ，y 2）离对称轴的远近对 进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， 第 10 页（共 22 页） a0， 抛物线对称轴为直线 x= =1， b=2a 0，则 2ab=0，所以 正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以 正确； x=2 时，y0， 4a+2b+c0，所以错误； 点（ 5，y 1）离对称轴要比点（ ，y 2）离对称轴要远， y1 y2，所以错误 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，二次项系 数 a 决定
19、抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向 下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同 右异） 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数：=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本题共 2 小题，每小题 3 分，共 12 分） 11若关于 x 的一元二次方程 x2
20、2x+m=0 没有实数根，则实数 m 取值范围是 m 1 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于 0 列出关于 m 的不等式，求出不等式 的解集即可得到 m 的范围 【解答】解：根据方程没有实数根，得到=b 24ac=44m0， 解得：m1 故答案为：m1 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于 0，方程有两个不相等的实数根；根的 判别式等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于 0，方程没有实数根 12己知拋物线 y=x22x3，当 2x0 时，y 的取值范围是 4y5 【考点】二次函数的性质 第 11 页（共 22 页） 【分析】先根
21、据 a=1 判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形 式可知对称轴 x=1，最小值 y=4，再根据2 x0 可知当 x=2 时 y 最大，把 x=2 代入即可得 出结论 【解答】解：二次函数 y=x22x3 中 a=10， 抛物线开口向上，有最小值， y=x22x3=（x1） 24， 抛物线的对称轴 x=1，y 最小 =4， 2x0， 当 x=2 时，y 最大=4+43=5 4y5 故答案为：4y5 【点评】本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小 值，再根据 x 的取值范围进行解答 选做（请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的笫一
22、題计分） 13在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 一个球，摸到红球的概率 0.75，若白球有 3 个，则红球有 9 个 【考点】概率公式 【分析】设红球有 x 个，再根据概率公式求解即可 【解答】解：设红球有 x 个， 白球有 3 个， 口袋中有（x+3）个球， 从中任意摸出一个球，摸到红球的概率 0.75， =0.75，解得 x=9（个） 故答案为：9 【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果 数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 14已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A
23、（2，0） ，B（4，0） ，则拋物线的对称 轴是 直线 x=1 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，则拋物线 的对称轴是直线 x= ，根据以上知识点求出即可 第 12 页（共 22 页） 【解答】解；抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0） ，B （4，0） ， 拋物线的对称轴是直线 x= =1 故答案为：直线 x=1 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点的应用，能理解知识点（已知抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B（x
24、 2，0） ，则拋物线的对称轴是直线 x= ）是解此题的关键 15如图，AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转到 A的位 置，则图中阴影部分的面积为 2 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质 【专题】计算题 【分析】根据旋转的性质得 S 半圆 AB=S 半圆 AB，ABA=45 ，由于 S 阴影部分 +S 半圆 AB=S 半 圆 AB， +S 扇形 ABA，则 S 阴影部分 =S 扇形 ABA，然后根据扇形面积公式求解 【解答】解：半圆绕点 B 顺时针旋转 45，点 A 旋转到 A的位置， S 半圆 AB=S 半圆 AB，ABA=45， S 阴影部分 +S
25、 半圆 AB=S 半圆 AB，+S 扇形 ABA， S 阴影部分 =S 扇形 ABA= =2 故答案为 2 【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是 n，圆的半径为 R 的扇形面积为 S，则 S 扇形 = R2 或 S 扇形 = lR（其中 l 为扇形的弧长） 求阴影面积常用的方法：直接用公式 法；和差法；割补法 三、解答题（本题共 11 小题，共 78 分） 16解方程：x 22x8=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为 0，可运用因式分解法解方程 【解答】解：原方程化为（x+2） （x4）=0， 解得 x+2=0，x4=
26、0 ， 第 13 页（共 22 页） x1=2， x2=4 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 17如图，O 的半径 OC=10cm，直线 lCO，垂足为 H，交O 于 A，B 两点， AB=16cm，直线 l 平移多少厘米时能与O 相切？ 【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质 【分析】连接 OA，延长 CO 交O 于 D，由垂径定理得 OC 平分 ABAH=8，由勾股定 理可得 OH=6，求得 CH=4cm，DH=16cm 【解答】解法 1：如图，连接 OA，延长 CO 交O 于 D，
27、 lOC， OC 平分 AB， AH=8， 在 RtAHO 中， ， CH=4cm，DH=16cm 答：直线 AB 向左移 4cm，或向右平移 16cm 时与圆相切 解法 2：设直线 AB 平移 xcm 时能与圆相切， （10x） 2+82=102 x1=16，x 2=4， CH=4cm，DH=16cm 答：略 （只答一个方向的平移扣 2 分） 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解 18如图在大圆中有一个小圆 O用尺规作图确定大圆的圆心；并作直线 1，使其将两 圆的面积平均二等分 第 14 页（共 22 页） 【考点】作图应用与设计作图 【分析】首先作出大圆的两条弦，进而做其垂直平线得出到
28、交点即为大圆的圆心，进而连 接两圆的圆心得出直线 l 【解答】解：如图所示：直线 l 即为所求 【点评】此题主要考查了应用设计与作图，根据题意得出大圆的圆心位置是解题关键 19如图，二次函数 y1=a（x2） 2 的图象与直线交于 A（0，1） ，B （2，0）两点 （1）确定二次函数的解析式； （2）设直线 AB 解析式为 y2，根据图形，确定当 y1y 2 时，自变量 x 的取值范围 【考点】二次函数与不等式（组） ；待定系数法求二次函数解析式 【专题】计算题 【分析】 （1）将点 A（0，1） ，代入抛物线解析式，即可求出 a 值，进而确定二次函数解 析式 （2）确定 y1y 2 时，自
29、变量 x 的取值范围即为抛物线图象在一次函数图形上方时对应的 x 的取值范围，观察图形即可得出 【解答】解：（1）二次函数 y1=a（x2） 2 的图象与直线交于 A（0，1） ， 1=a（x2） 2， 解得：a= ， 第 15 页（共 22 页） 二次函数的解析式为：y 1= （x2） 2 （2）二次函数 y1=a（x 2） 2 的图象与直线交于 A（0，1） ，B（2，0）两点，直线 AB 解 析式为 y2， y1 y2 时，自变量 x 的取值范围为 0x2 【点评】题目考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组，解决此类问 题的关键是画出函数图象，利用数形结合法求出答案，题目
30、设计巧妙，对学生能力考查较 高，适合课后训练 20如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转一定角度，得到ADE若CAE=65 ，E=70， 且 ADBC，垂足为 F，求BAC 的度数 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质 【分析】根据旋转的性质知，旋转角CAE= BAD=65，对应角 C=E=70，则在直角 ABF 中易求 B=25，所以利用 ABC 的内角和是 180来求 BAC 的度数即可 【解答】解：根据旋转的性质知，EAC= BAD=65， C=E=70 如图，设 ADBC 于点 F，则AFB=90， 在 RtABF 中， B=90BAD=25， 在 ABC 中， BAC=180BC
31、=1802570=85， 即BAC 的度数为 85 【点评】本题考查了旋转的性质解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形 的两个锐角互余的性质来求相关角的度数 21如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方 米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 第 16 页（共 22 页） 【考点】一元二次方程的应用 【专题】应用题 【分析】设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程 【解答】解：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为米 根据题意得 x=400， 解得 x1=20，x
32、2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025 ， x2=5 舍去 即 AB=20，BC=20 答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 22已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法 【专题】证明题 【分析】 （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2
33、）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m 的值 【解答】 （1）证明：=（m+2） 28m =m24m+4 =（m2） 2， 不论 m 为何值时， （m 2） 20， 0， 方程总有实数根； （2）解：解方程得，x= ， x1= ，x 2=1， 方程有两个不相等的正整数根， 第 17 页（共 22 页） m=1 或 2，m=2 不合题意， m=1 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根 的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0 方程有两个相等的 实数根；0方程没有实数根是解题的关键 23甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓
34、球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比 赛 （1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； （2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概 率 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】 （1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全 部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率； （2）由一共有 3 种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有 1 种，即可求得答案 【解答】解：（1）方法一 画树状图得： 方法二 列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 / 甲、 乙 甲、 丙 甲、 丁 乙 乙、 甲 / 乙、
35、 丙 乙、 丁 丙 丙、 甲 丙、 乙 / 丙、 丁 丁 丁、 甲 丁、 乙 丁、 丙 / 所有等可能性的结果有 12 种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种， 恰好选中甲、乙两位同学的概率为： = ； （2）一共有 3 种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有 1 种， 恰好选中乙同学的概率为： 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法列表法或画 树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识 点为：概率=所求情况数与总情况数之比 24如图，Rt ABC 中， ABC=90，以 AB 为直径作半圆O
36、 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）连接 OD，OE，由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形，再由 E 为斜边 BC 的中点，得到 DE=BE=DC，再由 OB=OD，OE 为公共边，利用 SSS 得到三角 形 OBE 与三角形 ODE 全等，由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直，即可得证； （2）在直角三角形 ABC 中，由 BAC=30，得到 BC 为 AC 的一半，根据 BC=2DE 求出 BC 的长
37、，确定出 AC 的长，再由C=60，DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形，可得 出 DC 的长，由 ACCD 即可求出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，OE，BD， AB 为圆 O 的直径， ADB=BDC=90， 在 RtBDC 中，E 为斜边 BC 的中点， DE=BE， 在OBE 和ODE 中， ， OBEODE（SSS） ， ODE=ABC=90， 则 DE 为圆 O 的切线； （2）在 RtABC 中， BAC=30， BC= AC， BC=2DE=4， AC=8， 又C=60，DE=CE， 第 19 页（共 22 页） DEC 为等边三角形，即 DC=DE=2
38、， 则 AD=ACDC=6 【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方 法是解本题的关键 25如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，4） ，与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） 点 M 是直线 AB 上方的抛物线上 一动点，过 M 作 MP 丄 x 轴，垂足为点 P，交直线 AB 于点 N，设点 M 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，线段 MN 取最大值？并求出这个最大值 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）首先求得 A 和 B 的坐
39、标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）当 x=m 是， M 和 N 的纵坐标即可利用 m 表示出来，然后根据二次函数的性质求得 MN 的最大值 【解答】解：（1）在 y=x+1 中，令 x=0，解得 y=1，则 A 的坐标是（0，1） 在 y=x+1 中，令 x=3，则 y=3+1=4，则 B 的坐标是（ 3，4） 根据题意得： ， 解得： 则抛物线的解析式是 y=x24x+1； 第 20 页（共 22 页） （2）当 x=m 是， M 的纵坐标是 m24m+1，N 的纵坐标是 m+1， 则 MN=（m 24m+1）（m+1）= m23m=（m 2+3m）=（m+ ） 2+ 则当
40、m= 时，MN 有最大值是 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，求函数最值 问题常用的方法是转化为函数的性质问题 26如图，ABCD 中，AB=2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E，连接 DE、AC、AE （1）求证：AEDDCA； （2）若 DE 平分 ADC 且与A 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积 【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算 【分析】 （1）由四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AE，易证得四边形 AECD 是等腰梯形， 即可得 AC=DE，然后由 SSS，即可证得：AED
41、DCA； （2）由 DE 平分 ADC 且与A 相切于点 E，可求得 EAD 的度数，继而求得BAE 的度 数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ADBC， 四边形 AECD 是梯形， AB=AE， AE=CD， 四边形 AECD 是等腰梯形， AC=DE， 在AED 和 DCA 中， ， AEDDCA（SSS） ； （2）解：DE 平分ADC， ADC=2ADE， 四边形 AECD 是等腰梯形， DAE=ADC=2ADE， DE 与A 相切于点 E， AEDE， 即AED=90 ， 第 21 页（共 22 页） ADE=30， DAE=60， DCE=AEC=180DAE=120， 四边形 ABCD 是平行四边形， BAD=DCE=120， BAE=BADEAD=60， S 阴影 = 22= 【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及 平行四边形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 第 22 页（共 22 页） 2016 年 3 月 6 日
