1、第 1 页(共 26 页) 2016-2017 学年广东省中山市九年级(上)期末数学试卷 一、单项选择题(共 10 个小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A B C D 2从数据 ,6,1.2, 中任取一数,则该数为无理数的概率为( ) A B C D 3若关于 x 的方程(m2)x 2+mx1=0 是一元二次方程,则 m 的取值范围是( ) Am 2 Bm=2 Cm 2 Dm0 4若反比例函数 y= (k 0 )的图象过点(2,1 ) ,则这个函数的图象一定过 点( ) A (2 , 1) B (1,2) C ( 2,1) D (2,
2、1) 5商场举行摸奖促销活动,对于“抽到一等奖的概率为 O.1”下列说法正确的 是( ) A抽 10 次奖必有一次抽到一等奖 B抽一次不可能抽到一等奖 C抽 10 次也可能没有抽到一等奖 D抽了 9 次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖 6如果一个扇形的弧长是 ,半径是 6,那么此扇形的圆心角为( ) A40 B45 C60 D80 7抛物线 y=2(x1) 23 与 y 轴交点的横坐标为( ) A 3 B4 C5 D 1 第 2 页(共 26 页) 8直角三角形两直角边长分别为 和 1,那么它的外接圆的直径是( ) A1 B2 C3 D4 9如图,过O 上一点 C 作O 的切线,
3、交O 直径 AB 的延长线于点 D若 D=40,则A 的度数为( ) A20 B25 C30 D40 10二次函数 y=a(x+m) 2+n 的图象如图,则一次函数 y=mx+n 的图象经过( ) A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11如图,在ABC 中, BAC=60 ,将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40后得到 ADE,则 BAE= 12已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1,则它的另一个根是 13袋中装有 6 个黑球和 n 个白球,经过若干次试验,发现“若从中任摸一个球,
4、第 3 页(共 26 页) 恰好是白球的概率为 ”,则这个袋中白球大约有 个 14如图,已知点 P(1,2 )在反比例函数 的图象上,观察图象可知,当 x1 时,y 的取值范围是 15如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点(1,0) 、 (3,0)和(0,2) , 当 x=2 时,y 的值为 16如图,等边三角形 ABC 的内切圆的面积 9,则ABC 的周长为 三、解答题(一) (共 3 个小题,每小题 6 分,满分 18 分) 17解方程:x 2+2x=1 18已知:二次函数 y=x2(m 1)x m (1)若图象的对称轴是 y 轴,求 m 的值; (2)若图象与 x 轴只有一个
5、交点,求 m 的值 第 4 页(共 26 页) 19在如图所示的直角坐标系中,解答下列问题: (1)将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90,画出旋转后的A 1B1C1; (2)求经过 A1B1 两点的直线的函数解析式 四、解答题(二) (共 3 个小题,每小题 7 分,满分 21 分) 20如图,O 的半径为 10cm,弦 ABCD ,AB=16cm,CD=12cm,圆心 O 位 于 AB、CD 的上方,求 AB 和 CD 间的距离 21将分别标有数字 1,3,5 的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上 (1)随机地抽取一张,求抽到数字恰好为 1 的概率; (2)请你通过列表或画树状图分析:随机地
6、抽取一张作为十位上的数字(不放 回) ,再抽取一张作为个位上的数字,求所组成的两位数恰好是“35”的概率 22反比例函数 y= 在第一象限的图象如图所示,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂 线,交反比例函数 y= 的图象于点 M,AOM 的面积为 3 (1)求反比例函数的解析式; (2)设点 B 的坐标为(t,0) ,其中 t1若以 AB 为一边的正方形有一个顶点 在反比例函数 y= 的图象上,求 t 的值 第 5 页(共 26 页) 五、解答题(三) (共 3 个小题,每小题 9 分,满分 27 分) 23如图,O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点,以 O 为圆心,OA 长为半径的
7、O 与 BC 相切于点 M (1)求证:CD 与O 相切; (2)若O 的半径为 1,求正方形 ABCD 的边长 24将一条长度为 40cm 的绳子剪成两段,并以每一段绳子的长度为周长围成 一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2,那么这段绳子剪成两段后的长 度分别是多少? (2)求两个正方形的面积之和的最小值,此时两个正方形的边长分别是多少? 25如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=1,且抛物线经 过 A(1,0 ) ,C (0,3)两点,与 x 轴相交于点 B (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M,使点 M
8、 到点 A 的距离与到点 C 的距 离之和最小,求出点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点,求使BPC 为直角三角形的 第 6 页(共 26 页) 点 P 的坐标 第 7 页(共 26 页) 2016-2017 学年广东省中山市九年级(上)期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题(共 10 个小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形;轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:A、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; B、不
9、是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; C、是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确; D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误; 故选:C 2从数据 ,6,1.2, 中任取一数,则该数为无理数的概率为( ) A B C D 【考点】概率公式;无理数 【分析】从题中可以知道,共有 5 个数,只需求出 5 个数中为无理数的个数就 可以得到答案 【解答】解:从 ,6, 1.2, 中可以知道 和 为无理数其余都为有理数 第 8 页(共 26 页) 故从数据 ,6,1.2, 中任取一数,则该数为无理数的概率为 , 故选 B 3若关于 x 的方程(m2)x 2+mx1=0 是一元二次方程
10、,则 m 的取值范围是( ) Am 2 Bm=2 Cm 2 Dm0 【考点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解,一元二次方程必须满足两个条件: 未知数的最高次数是 2;二次项系数不为 0由这两个条件得到相应的关系式, 再求解即可 【解答】解:由题意,得 m20, m2, 故选:A 4若反比例函数 y= (k 0 )的图象过点(2,1 ) ,则这个函数的图象一定过 点( ) A (2 , 1) B (1,2) C ( 2,1) D (2,1) 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先把(2,1)代入 y= 求出 k 得到反比例函数解析式为 y= ,然后根 据反比例
11、函数图象上点的坐标特征,通过计算各点的横纵坐标的积进行判断 【解答】解:把(2,1)代入 y= 得 k=21=2, 所以反比例函数解析式为 y= , 因为 2(1)=2,1( 2)=2,21=2, 2(1)=2, 所以点(2,1)在反比例函数 y= 的图象上 第 9 页(共 26 页) 故选 D 5商场举行摸奖促销活动,对于“抽到一等奖的概率为 O.1”下列说法正确的 是( ) A抽 10 次奖必有一次抽到一等奖 B抽一次不可能抽到一等奖 C抽 10 次也可能没有抽到一等奖 D抽了 9 次如果没有抽到一等奖,那么再抽一次肯定抽到一等奖 【考点】概率的意义 【分析】根据概率是频率(多个)的波动稳
12、定值,是对事件发生可能性大小的 量的表现进行解答即可 【解答】解:根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为 O.1”就是说抽 10 次可 能抽到一等奖,也可能没有抽到一等奖, 故选:C 6如果一个扇形的弧长是 ,半径是 6,那么此扇形的圆心角为( ) A40 B45 C60 D80 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长的公式 l= 可以得到 n= 【解答】解:弧长 l= , n= = =40 故选 A 7抛物线 y=2(x1) 23 与 y 轴交点的横坐标为( ) A 3 B4 C5 D 1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】令 x=0,求出 y 的值即可得出结论 第 10 页(共 2
13、6 页) 【解答】解:令 x=0,则 y=2(x1) 23=5, 抛物线 y=2(x1) 23 与 y 轴交点的纵坐标坐标为5, 故选 C 8直角三角形两直角边长分别为 和 1,那么它的外接圆的直径是( ) A1 B2 C3 D4 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长,根据直角三角形的外心的性 质解答即可 【解答】解:由勾股定理得,直角三角形的斜边长= =2, 它的外接圆的直径是 2, 故选:B 9如图,过O 上一点 C 作O 的切线,交O 直径 AB 的延长线于点 D若 D=40,则A 的度数为( ) A20 B25 C30 D40 【考点】切线的性质;三
14、角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的 性质;圆周角定理 【分析】连接 OC,根据切线的性质求出OCD,求出 COD,求出 A=OCA,根据三角形的外角性质求出即可 【解答】解:连接 OC, CD 切O 于 C, OCCD, 第 11 页(共 26 页) OCD=90, D=40, COD=18090 40=50, OA=OC, A=OCA, A+OCA=COD=50 , A=25 故选 B 10二次函数 y=a(x+m) 2+n 的图象如图,则一次函数 y=mx+n 的图象经过( ) A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 【考点】二次函数的图
15、象;一次函数的性质 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限,得出 n0,m0,即可得出一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限 【解答】解:抛物线的顶点在第四象限, 第 12 页(共 26 页) m0,n0, m0, 一次函数 y=mx+n 的图象经过二、三、四象限, 故选 C 二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11如图,在ABC 中, BAC=60 ,将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40后得到 ADE,则 BAE= 100 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转角可得CAE=40,然后根据 BAE=BAC +CAE,代入数据 进行计算即可得解 【解答】解:AB
16、C 绕着点 A 顺时针旋转 40后得到ADE, CAE=40 , BAC=60 , BAE=BAC +CAE=60+40=100 故答案为:100 12已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1,则它的另一个根是 3 【考点】根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系,两个根的积是 3,即可求解 【解答】解:设方程的另一个解是 a,则 1a=3, 解得:a=3 故答案是:3 第 13 页(共 26 页) 13袋中装有 6 个黑球和 n 个白球,经过若干次试验,发现“若从中任摸一个球, 恰好是白球的概率为 ”,则这个袋中白球大约有 2 个 【考点】概率公式 【分析】根据若从中任摸
17、一个球,恰好是白球的概率为 ,列出关于 n 的方程, 解方程即可 【解答】解:袋中装有 6 个黑球和 n 个白球, 袋中一共有球(6+n)个, 从中任摸一个球,恰好是白球的概率为 , = , 解得:n=2 故答案为:2 14如图,已知点 P(1,2 )在反比例函数 的图象上,观察图象可知,当 x1 时,y 的取值范围是 y2 或 y0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据图象,结合反比例函数的图象性质,分析其增减性及过点的坐标 易得答案 【解答】解:根据题意,反比例函数 y= 的图象在第一象限, y 随 x 的增大而 减小; 其图象过点(1,2) ; 当 0x1 时,y 的取值范
18、围时 y2;当 x0 时,y0 第 14 页(共 26 页) 故答案为:y2 或 y0 15如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点(1,0) 、 (3,0)和(0,2) , 当 x=2 时,y 的值为 2 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】把三点坐标代入二次函数解析式求出 a,b ,c 的值,即可确定出二次 函数解析式,然后把 x=2 代入解析式即可求得 【解答】解:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点(1,0) 、 (3,0)和 (0,2) , , 解得: , 则这个二次函数的表达式为 y= x2+ x+2 把 x=2 代入得,y= 4+ 2+2=2 故答案为
19、2 16如图,等边三角形 ABC 的内切圆的面积 9,则ABC 的周长为 第 15 页(共 26 页) 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】根据等边三角形的内切圆的面积是 9,得其内切圆的半径是 3设圆 和 BC 的切点是 D,连接 OB,OD再根据等边三角形的三线合一,则三角形 BOD 是一个 30的直角三角形,得 BD=3 ,再求得边长从而可求三角形的周 长 【解答】解:设圆和 BC 的切点是 D,连接 OB,OD,则: 内切圆的面积是 9, 内切圆的半径 OD=3; OBD=30, BD=3 , BC=6 , ABC 的周长是 18 三、解答题(一) (共 3 个小题,每小题 6 分,
20、满分 18 分) 17解方程:x 2+2x=1 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】方程左右两边同时加上 1,则左边是完全平方式,右边是常数,再利 用直接开平方法即可求解 【解答】解:x 2+2x=1, 第 16 页(共 26 页) x 2+2x+1=1+1, (x+1) 2=2, x+1= , x=1 18已知:二次函数 y=x2(m 1)x m (1)若图象的对称轴是 y 轴,求 m 的值; (2)若图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】 (1)根据二次函数的性质得到 =0,然后解关于 m 的方程即可; (2)根据判别式的意义得到(m 1)
21、241( m)=0 ,然后解关于 m 的方程 即可 【解答】解:(1)抛物线的对称轴是 y 轴, =0, m=1; (2)图象与 x 轴只有一个交点,则 =0 , 即(m1) 241(m)=0, m=1 19在如图所示的直角坐标系中,解答下列问题: (1)将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90,画出旋转后的A 1B1C1; (2)求经过 A1B1 两点的直线的函数解析式 第 17 页(共 26 页) 【考点】作图-旋转变换;待定系数法求一次函数解析式 【分析】 (1)根据旋转的性质,可得答案; (2)根据待定系数法,可得函数解析式 【解答】解:(1)如图 , (2)设线段 B1A1 所在直线 l
22、 的解析式为:y=kx+b( k0) , B 1(2,3 ) ,A 1(2 ,0) , , , 线段 B1A1 所在直线 l 的解析式为: 四、解答题(二) (共 3 个小题,每小题 7 分,满分 21 分) 20如图,O 的半径为 10cm,弦 ABCD ,AB=16cm,CD=12cm,圆心 O 位 于 AB、CD 的上方,求 AB 和 CD 间的距离 第 18 页(共 26 页) 【考点】垂径定理;勾股定理 【分析】过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 E,延长 AE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC;由于 ABCD,则 OFCD,EF 即为 AB、CD 间的距离;由垂径定理, 易求
23、得 AE、CF 的长,在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出 OE、OF 的长,也就求出了 EF 的长,即弦 AB、CD 间的距离 【解答】解:过点 O 作弦 AB 的垂线,垂足为 E,延长 OE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC, ABCD, OFCD , AB=30cm, CD=16cm, AE= AB= 16=8cm, CF= CD= 12=6cm, 在 RtAOE 中, OE= = =6cm, 在 RtOCF 中, OF= = =8cm, EF=OFOE=86=2cm 答:AB 和 CD 的距离为 2cm 21将分别标有数字 1,3,5 的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上 (
24、1)随机地抽取一张,求抽到数字恰好为 1 的概率; (2)请你通过列表或画树状图分析:随机地抽取一张作为十位上的数字(不放 回) ,再抽取一张作为个位上的数字,求所组成的两位数恰好是“35”的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 (1)让 1 的个数除以数的总数即为所求的概率; 第 19 页(共 26 页) (2)列举出所有情况,看所组成的两位数恰好是“35”的情况数占总情况数的多 少即可 【解答】解:(1)卡片共有 3 张,有 1,3,5,1 有一张, 抽到数字恰好为 1 的概率 ; (2)画树状图: 由树状图可知,所有等可能的结果共有 6 种,其中两位数恰好是 35 有 1 种 P(3
25、5)= 22反比例函数 y= 在第一象限的图象如图所示,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂 线,交反比例函数 y= 的图象于点 M,AOM 的面积为 3 (1)求反比例函数的解析式; (2)设点 B 的坐标为(t,0) ,其中 t1若以 AB 为一边的正方形有一个顶点 在反比例函数 y= 的图象上,求 t 的值 【考点】待定系数法求反比例函数解析式;解一元二次方程-因式分解法;反比 例函数系数 k 的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;正方形的性质 【分析】 (1)根据反比例函数 k 的几何意义得到 |k|=3,可得到满足条件的 第 20 页(共 26 页) k=6,于是得到反比例函数解析
26、式为 y= ; (2)分类讨论:当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y= 的 图象上,则 D 点与 M 点重合,即 AB=AM,再利用反比例函数图象上点的坐标 特征确定 M 点坐标为(1,6) ,则 AB=AM=6,所以 t=1+6=7;当以 AB 为一边的 正方形 ABCD 的顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上,根据正方形的性质得 AB=BC=t1, 则 C 点坐标为(t,t 1) ,然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 t(t 1) =6,再解方程得到满足条件的 t 的值 【解答】解:(1)AOM 的面积为 3, |k|=3, 而 k0 , k=6, 反
27、比例函数解析式为 y= ; (2)当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 D 在反比例函数 y= 的图象上,则 D 点与 M 点重合,即 AB=AM, 把 x=1 代入 y= 得 y=6, M 点坐标为(1,6) , AB=AM=6, t=1+6=7; 当以 AB 为一边的正方形 ABCD 的顶点 C 在反比例函数 y= 的图象上, 则 AB=BC=t1, C 点坐标为(t,t 1) , t(t1 )=6, 第 21 页(共 26 页) 整理为 t2t6=0,解得 t1=3,t 2=2(舍去) , t=3, 以 AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数 y= 的图象上时,t 的值为 7
28、 或 3 五、解答题(三) (共 3 个小题,每小题 9 分,满分 27 分) 23如图,O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点,以 O 为圆心,OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点 M (1)求证:CD 与O 相切; (2)若O 的半径为 1,求正方形 ABCD 的边长 【考点】切线的判定与性质;勾股定理;正方形的性质 【分析】 (1)过 O 作 ONCD 于 N,连接 OM,由切线的性质可知,OMBC, 再由 AC 是正方形 ABCD 的对角线可知 AC 是 BCD 的平分线,由角平分线的性质可知 OM=ON,故 CD 与O 相切; (2)先根据正方形的性质得出MOC 是等腰直角
29、三角形,由勾股定理可求出 OC 的长,进而可求出 AC 的长,在 RtABC 中,利用勾股定理即可求出 AB 的 长 【解答】 (1)证明:过 O 作 ONCD 于 N,连接 OM, O 与 BC 相切于点 M, OMBC, 四边形 ABCD 为正方形, B=90,ABCD ABOM DC, 第 22 页(共 26 页) AC 为正方形 ABCD 对角线, NOC=NCO=MOC=MCO=45 , OM=ON, CD 与O 相切; (2)解:由(1)易知MOC 为等腰直角三角形,OM 为半径, OM=MC=1 , OC 2=OM2+MC2=1+1=2, , 在 RtABC 中,AB=BC, 有
30、 AC2=AB2+BC2, 2AB 2=AC2, = 故正方形 ABCD 的边长为 24将一条长度为 40cm 的绳子剪成两段,并以每一段绳子的长度为周长围成 一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2,那么这段绳子剪成两段后的长 度分别是多少? (2)求两个正方形的面积之和的最小值,此时两个正方形的边长分别是多少? 【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用 第 23 页(共 26 页) 【分析】 (1)设其中一个正方形的边长为 xcm,则另一个正方形的边长为 (10x)cm,依题意列方程即可得到结论; (2)设两个正方形的面积和为 y,于是得到 y=x2+(10 x) 2
31、=2(x5) 2+50,于 是得到结论 【解答】解:(1)设其中一个正方形的边长为 xcm,则另一个正方形的边长为 (10x)cm, 依题意列方程得 x2+(10x) 2=58, 整理得:x 210x+21=0, 解方程得 x1=3,x 2=7, 34=12cm,4012=28cm,或 47=28cm,4028=12cm 因此这段绳子剪成两段后的长度分别是 12cm、28cm; (2)设两个正方形的面积和为 y,则 y=x2+(10 x) 2=2(x5) 2+50, 当 x=5 时,y 最小值 =50,此时, 105=5cm, 即两个正方形的面积之和的最小值是 50cm2,此时两个正方形的边长
32、都是 5cm 25如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x=1,且抛物线经 过 A(1,0 ) ,C (0,3)两点,与 x 轴相交于点 B (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距 离之和最小,求出点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点,求使BPC 为直角三角形的 点 P 的坐标 第 24 页(共 26 页) 【考点】二次函数综合题 【分析】 (1)由对称轴公式及 A、C 两点的坐标直接求解即可; (2)由于 B 点与 A 点关于对称轴对称,故连接 BC 与对称
33、轴的交点即为 M 点; (3)设出 P 点的纵坐标,分别表示出 BP,PC ,BC 三条线段的长度的平方,分 三种情况,用勾股定理列出方程求解即可 【解答】解:(1) ,解得: , 抛物线解析式为 y=x22x+3=(x+3) (x 1) , B(3,0 ) , 把 B(3,0 ) 、C (0,3)分别代入直线 y=mx+n, ,解得: , 直线 BC 解析式为 y=x+3; (2)设直线 BC 与对称轴 x=1 的交点为 M, 则此时 MA+MC 的值最小 把 x=1 代入直线 y=x+3,得 y=2, M( 1,2) , 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标
34、为(1,2) ; 第 25 页(共 26 页) (3)设 P(1,t ) ,又 B( 3,0) ,C(0,3) , BC2=18,PB 2=(1+3) 2+t2=4+t2,PC 2=(t 3) 2+12=t26t+10, 若 B 为直角顶点,则:BC 2+PB2=PC2, 即:18+4 +t2=t26t+10,解得: t=2; 若 C 为直角顶点,则:PB 2+PC2=PB2, 即:18+t 26t+10=4+t2,解得:t=4; 若 P 为直角顶点,则 PB2+PC2=BC2, 即:4+t 2+t26t+10=18,解得:t= 综上所述,满足要求的 P 点坐标为(1, 2) , (1,4) , (1, ) , ( 1, ) 第 26 页(共 26 页) 2017 年 2 月 20 日