1、第 1 页（共 24 页） 2015-2016 学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） 1下列“QQ 表情” 中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 2一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C12 D9 或 12 3某种感冒病毒的直径为 0.0000000031 米，用科学记数法表示为（ ） A3.110 9 米 B3.1 109 米 C 3.1109 米 D0.3110 8 米 4 （附加题）如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1，2 之间的数量关系是（
2、 ） AA=1+2 BA=21 C2A=1+ 2 D3 A=2（1+2） 5下列计算错误的是（ ） A5a 3a3=4a3B （a 2b） 3=a6b3 C （ab） 3（ba ） 2=（a b） 5 D2 m3n=6m+n 6下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A （x1 ） （x 2）=x 23x+2 Bx 23x+2=（x1） （x 2） Cx 2+4x+4=x（x 4）+4 Dx 2+y2=（x+y） （xy） 7下列说法错误的是（ ） A三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分 B三角形的三条中线，角平分线都相交于一点 C直角三角形三条高交于三角形的一个顶点 D钝角
3、三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 第 2 页（共 24 页） 8已知 x2+kxy+64y2 是一个完全平方式，则 k 的值是（ ） A8 B 8 C16 D16 9分式 的值为零时，则 x 的值为（ ） Ax=3 Bx= 3 Cx= 3 D以上都不对 10若分式 ，则分式 的值等于（ ） A B C D 11如图所示，ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，则 四个结论正确的是（ ） 点 P 在A 的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP A全部正确 B仅和正确 C仅 正确 D仅和 正确 12某服装加工厂计划加工 400 套运动
4、服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率 比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服， 根据题意可列方程为（ ） A B C D 13如图 1，在ABC 中，ABC 的平分线 BF 与ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DEBC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E，通过上述条件，我们不难发现： BD+CE=DE；如图 2， ABC 的平分线 BF 与 ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 第 3 页（共 24 页） DEBC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E，根据图 1 所得的结论，试
5、猜想 BD，CE，DE 之间存在什么关系？（ ） ABDCE=DE BBD+CE=DE CCE DE=BD D无法判断 14如图，动点 P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当点 P 第 2015 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ） A （3，0） B （7，4） C （8，1） D （1，4） 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 15分解因式：a 2bb3= 16我们已经学过用面积来说明公式如 x2+2xy+y2=（x+y） 2 就可以用如图甲中的面积来 说明 请写出图乙的面积所说明的公式：x 2+（p+q）x+pq= 17如图，
6、1 、 2、3、 4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若 A=100，则 1+2+3+4= 第 4 页（共 24 页） 18在平面直角坐标系中，A （4，0） ，B（0，4） ，D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为 等腰三角形，则OBD 的度数为 19若分式方程： 有增根，则 k= 三、填空题（共 63 分） 20计算 （1） （ ） 2（ ） 2012（1.5） 2013+20140 （2）分解因式：x2xy+xy 2 21解方程： 22先化简，再求值： ，其中 x=3 23在边长为 1 的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角坐标系，已知 格点三角形 ABC（三角形
7、的三个顶点都在小正方形上） （1）画出ABC 关于直线 l： x=1 的对称三角形A 1B1C1；并写出 A1、B 1、C 1 的坐标 （2）在直线 x=l 上找一点 D，使 BD+CD 最小，满足条件的 D 点为 提示：直线 x=l 是过点（1，0）且垂直于 x 轴的直线 第 5 页（共 24 页） 24如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分 别与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF求证：AE=AF 25阅读下面材料完成分解因式 x2+（p+q）x+pq 型式子的因式分解 x2+（p+q）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x
8、 2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q （x+p） =（x+p） （x+q ） 这样，我们得到 x2+（p+q ）x+pq=（x+p） （x+q ） 利用上式可以将某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 例把 x2+3x+2 分解因式 分析：x 2+3x+2 中的二次项系数为 1，常数项 2=12，一次项系数 3=1+2，这是一个 x2+（p+q）x+pq 型式子 解：x 2+3x+2=（x+1） （x+2 ） 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式： x2+7x+10； 2y214y+24 26问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=
9、90 E，F 分别是 BC，CD 上的点且 EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明 ABE ADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ； 第 6 页（共 24 页） 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180 E，F 分别是 BC，CD 上的点， 且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥 中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中
10、心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向 正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前 进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 第 7 页（共 24 页） 2015-2016 学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分） 1下列“QQ 表情” 中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称
11、图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 A 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合 2一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C12 D9 或 12 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 2 和 5，而没有明确腰、底分别是多少，所以 要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：当腰为 5 时，周长=5+5+2=12； 当腰长为 2 时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据
12、三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为 5，这个三角形的周长是 12 故选 C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题 目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键 3某种感冒病毒的直径为 0.0000000031 米，用科学记数法表示为（ ） A3.110 9 米 B3.1 109 米 C 3.1109 米 D0.3110 8 米 【考点】科学记数法表示较小的数 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指
13、数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000000031=3.110 9， 第 8 页（共 24 页） 故选：A 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4 （附加题）如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则A 与1，2 之间的数量关系是（ ） AA=1+2 BA=21 C2A=1+ 2 D3 A=2（1+2） 【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题） 【分析】可连接 AA，分别在 AEA、 AD
14、A中，利用三角形的外角性质表示出 1、2； 两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论 【解答】解：连接 AA 则AED 即为折叠前的三角形， 由折叠的性质知：DAE= DAE 由三角形的外角性质知： 1=EAA+EAA， 2=DAA+DAA； 则1+2=DAE+ DAE=2DAE， 即1+2=2A 故选 C 【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系 是解决问题的关键 5下列计算错误的是（ ） A5a 3a3=4a3B （a 2b） 3=a6b3 C （ab） 3（ba ） 2=（a b） 5 D2 m3n=6m+n 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；
15、同底数幂的乘法 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解 【解答】解：A、5a 3a3=4a3，计算正确，故本选项错误； B、 （a 2b） 3=a6b3，计算正确，故本选项错误； C、 （ab） 3（ba ） 2=（a b） 5，计算正确，故本选项错误； 第 9 页（共 24 页） D、2 m3n6m+n，计算错误，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，掌握运 算法则是解答本题的关键 6下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A （x1 ） （x 2）=x 23x+2 Bx 23x+2=（x1） （x 2） Cx 2+4x
16、+4=x（x 4）+4 Dx 2+y2=（x+y） （xy） 【考点】因式分解的意义 【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式 【解答】解：根据因式分解的概念，A ，C 答案错误； 根据平方差公式：（x+y） （xy）=x 2y2 所以 D 错误； B 答案正确 故选 B 【点评】注意对因式分解概念的理解 7下列说法错误的是（ ） A三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分 B三角形的三条中线，角平分线都相交于一点 C直角三角形三条高交于三角形的一个顶点 D钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】根据三角形的面积公式以及
17、三角形的中线、角平分线、高的概念可知 【解答】解：A、三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，错误； B、三角形的三条中线，角平分线都相交于一点，正确； C、直角三角形三条高交于直角顶点，正确； D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，正确 故选 A 【点评】注意三角形的中线、角平分线、高的概念以及三角形的中线、角平分线、高的 交点的位置 8已知 x2+kxy+64y2 是一个完全平方式，则 k 的值是（ ） A8 B 8 C16 D16 【考点】完全平方式 【分析】根据完全平方公式的特点求解 【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式， 64y2=（ 8y） 2， 原式可化成
18、=（x8y） 2， 展开可得 x216xy+64y2， kxy=16xy， k=16 第 10 页（共 24 页） 故选：D 【点评】本题利用了完全平方公式求解：（ab） 2=a22ab+b2注意 k 的值有两个，并且 互为相反数 9分式 的值为零时，则 x 的值为（ ） Ax=3 Bx= 3 Cx= 3 D以上都不对 【考点】分式的值为零的条件 【专题】计算题 【分析】分母不为 0，分子为 0 【解答】解：根据题意，得 x29=0 且 x30， 解得，x= 3 故选 B 【点评】本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1） 分子为 0；（2）分母不为 0这两个条件缺
19、一不可 10若分式 ，则分式 的值等于（ ） A B C D 【考点】分式的值 【分析】根据已知条件，将分式 整理为 yx=2xy，再代入则分式 中求 值即可 【解答】解：整理已知条件得 yx=2xy； xy=2xy 将 xy=2xy 整体代入分式得 = = 第 11 页（共 24 页） = = 故答案为 B 【点评】由题干条件找出 xy 之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可 11如图所示，ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PRAB 于 R，PSAC 于 S，则 四个结论正确的是（ ） 点 P 在A 的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP A全部正确 B仅和正确
20、C仅 正确 D仅和 正确 【考点】等边三角形的性质 【分析】因为ABC 为等边三角形，根据已知条件可推出 RtARPRtASP，则 AR=AS，故（2）正确，BAP=CAP，所以 AP 是等边三角形的顶角的平分线，故（ 1） 正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP 也是 BC 边上的高和中线，即点 P 是 BC 的中点，因为 AQ=PQ，所以点 Q 是 AC 的中点，所以 PQ 是边 AB 对的中位线，有 PQAB，故（3）正确，又可推出BRPQSP，故（4）正确 【解答】解：PRAB 于 R，PSAC 于 S ARP=ASP=90 PR=PS，AP=AP RtARPRtASP AR=A
21、S，故（ 2）正确，BAP=CAP AP 是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确 AP 是 BC 边上的高和中线，即点 P 是 BC 的中点 AQ=PQ 点 Q 是 AC 的中点 PQ 是边 AB 对的中位线 PQAB，故（ 3）正确 B=C=60，BRP= CSP=90，BP=CP BRPQSP，故（4）正确 全部正确 故选 A 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的 性质求解 12某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率 比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部
22、任务设原计划每天加工 x 套运动服， 根据题意可列方程为（ ） A B C D 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【专题】工程问题 【分析】关键描述语为：“共用了 18 天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+ 采用新技术后所用的时间=18 【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为： 天，采用新技术后所用的时间可表示 为： 天 方程可表示为： 故选：B 【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系找到关键描述语，找到等量关系是 解决问题的关键本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化 13如图 1，在ABC 中，ABC 的平分线 BF 与ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点
23、F 作 DEBC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E，通过上述条件，我们不难发现： BD+CE=DE；如图 2， ABC 的平分线 BF 与 ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DEBC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E，根据图 1 所得的结论，试猜想 BD，CE，DE 之间存在什么关系？（ ） ABDCE=DE BBD+CE=DE CCE DE=BD D无法判断 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 【分析】由ABC 的平分线 BF 与 ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DEBC， 易证得BDF 与CEF 是等腰三角形，
24、继而可求得答案 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：如图 2，DEBC， DFB=CBF，EFC= 1， ABC 的平分线 BF 与ACB 的外角平分线 CF 相交于 F， DBC=CBF，1=2， DBC=DFB，EFC= 2， BD=DF，EF=CE， DF=DE+EF， BD=DE+CE 即 BDCE=DE 故选 A 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定此题难度适中，注意掌握数形结合思想的 应用 14如图，动点 P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时 反射角等于入射角，当点 P 第 2015 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ） A （3，0）
25、 B （7，4） C （8，1） D （1，4） 【考点】规律型：点的坐标 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组依次循环， 用 2015 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可 【解答】解：如图， 第 14 页（共 24 页） 经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3） ， 20156=3355， 当点 P 第 2015 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 5 次反弹， 点 P 的坐标为（1，4） 故选：D 【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每 6 次反弹为一个 循环组依次循环是解题的关键 二、填空题（每题
26、3 分，共 15 分） 15分解因式：a 2bb3= b（ a+b） （a b） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解平方差公式：a 2b2=（a+b） （ab） 【解答】解：a 2bb3， =b（a 2b2） ， （提取公因式） =b（a+b） （a b） （平方差公式） 故答案为：b（a+b） （a b） 【点评】本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次 分解，注意分解因式要彻底 16我们已经学过用面积来说明公式如 x2+2xy+y2=（x+y） 2 就可以用如图甲中的面积来 说明 请写出图乙的面积所说明
27、的公式：x 2+（p+q）x+pq= （x+p） （x+q） 【考点】完全平方公式的几何背景 【分析】利用面积分割法可证，大长方形的面积=三个长方形的面积+小正方形的面积，用 代数式表示即可 【解答】解：根据题意可知， x2+（p+q）x+pq= （x+p ） （x+q） 故答案为：（x+p） （x+q ） 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题考查了十字相乘法的几何意义，利用了面积分割法，根据面积相等列式是解 题的关键 17如图，1 、 2、3、 4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若 A=100，则 1+2+3+4= 280 【考点】多边形内角与外角 【分析】先根据邻补角的定义得
28、出与EAB 相邻的外角5 的度数，再根据多边形的外角和 定理即可求解 【解答】解：如图，EAB+5=180， EAB=100， 5=80 1+2+3+4+5=360， 1+2+3+4=36080=280 故答案为 280 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，比较简单 18在平面直角坐标系中，A （4，0） ，B（0，4） ，D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为 等腰三角形，则OBD 的度数为 45，60，75，15 【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质 【分析】根据DOA 为等腰三角形，分三种情况： OD=AD；OD=OAOA=OD 分 别求得各边的长度
29、，再利用三角函数即可得出答案 【解答】解：如图， D 在第一象限，且 DO=DB，DOA 为等腰三角形， 第 16 页（共 24 页） 点 D 分四种情况：OD 1=AD1；OD 2=OA；OA=OD 3； AD4=OA OBD1=45， OBD2=60， OBD3=15+60=75， OBD4=15 故答案为：45，60，75 ，15 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及坐标与图形的性质，熟练利用等腰三角形的性 质是解题关键 19若分式方程： 有增根，则 k= 1 【考点】分式方程的增根 【专题】计算题 【分析】把 k 当作已知数求出 x= ，根据分式方程有增根得出 x2=0，2x=0，求
30、 出 x=2，得出方程 =2，求出 k 的值即可 【解答】解： ， 去分母得：2（x2）+1 kx=1， 整理得：（2k ）x=2， 第 17 页（共 24 页） 分式方程 有增根， x2=0， 解得：x=2， 把 x=2 代入（2 k）x=2 得：k=1 故答案为：1 【点评】本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出 整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于 0，则此数是分式方程的增根，即不是分 式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目 三、填空题（共 63 分） 20计算 （1） （ ） 2（ ） 2012（1.5） 2013+20140 （2）分解因式
31、：x2xy+xy 2 【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 （1）分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数 混合运算的法则进行计算即可； （2）先提取公因式，字啊根据完全平方公式进行分解即可 【解答】解：（1）原式=4 1.5+1 =3.5； （2）原式=x（1 2y+y2） =x（1y ） 2 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 21解方程： 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，求出整式方程中 x 的值，代入公分母进行检 验即可 【解答】
32、解：方程两边同时乘以 2（3x1） ，得 42（3x1）=3， 化简，6x= 3，解得 x= 第 18 页（共 24 页） 检验：x= 时，2（3x 1）=2（3 1）0 所以，x= 是原方程的解 【点评】本题考查的是解分式方程在解答此类题目时要注意验根，这是此类题目易忽略 的地方 22先化简，再求值： ，其中 x=3 【考点】分式的化简求值 【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解化简求出即可 【解答】解： ， = + = = ， 当 x=3 时，原式=2 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确因式分解得出是解题关键 23在边长为 1 的小正方形组成的正方形网格中建立如图片所示的平面直角
33、坐标系，已知 格点三角形 ABC（三角形的三个顶点都在小正方形上） （1）画出ABC 关于直线 l： x=1 的对称三角形A 1B1C1；并写出 A1、B 1、C 1 的坐标 （2）在直线 x=l 上找一点 D，使 BD+CD 最小，满足条件的 D 点为 （ 1，1） 提示：直线 x=l 是过点（1，0）且垂直于 x 轴的直线 第 19 页（共 24 页） 【考点】作图-轴对称变换；轴对称 -最短路线问题 【分析】 （1）分别作出点 A、 B、C 关于直线 l：x=1 的对称的点，然后顺次连接，并写出 A1、B 1、C 1 的坐标； （2）作出点 B 关于 x=1 对称的点 B1，连接 CB1
34、，与 x=1 的交点即为点 D，此时 BD+CD 最小，写出点 D 的坐标 【解答】解：（1）所作图形如图所示： A1（3，1） ，B 1（0，0） ，C 1（1，3） ； （2）作出点 B 关于 x=1 对称的点 B1， 连接 CB1，与 x=1 的交点即为点 D， 此时 BD+CD 最小， 点 D 坐标为（1，1） 故答案为：（1，1） 【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的 位置，并顺次连接 24如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分 别与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF求证：AE
35、=AF 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质 【专题】证明题；压轴题 【分析】方法一：连接 CE，由与 EF 是线段 AC 的垂直平分线，故 AE=CE，再由 AEBC 可知ACB= DAC，故可得出AOECOF，故 AE=CF，所以四边形 AFCE 是平行四边 形，再根据 AE=CE 可知四边形 AFCE 是菱形，故可得出结论 第 20 页（共 24 页） 方法二：首先证明AOECOF，可得 OE=OF，进而得到 AC 垂直平分 EF，再根据线段 垂直平分线的性质可得 AE=AF 【解答】证明：连接 CE， EF 是线段 AC 的垂直平分线， AE=CE，OA=OC， AEB
36、C， ACB=DAC， 在AOE 与 COF 中， ， AOECOF， AE=CF， 四边形 AFCE 是平行四边形， AE=CE， 四边形 AFCE 是菱形， AE=AF 另法：ADBC， EAO=FCO，AEO=CFO， ， AOECOFASA， OE=OF， AC 垂直平分 EF， AE=AF 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线， 构造出平行四边形是解答此题的关键 25阅读下面材料完成分解因式 x2+（p+q）x+pq 型式子的因式分解 x2+（p+q）x+pq=x 2+px+qx+pq=（x 2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q （x
37、+p） =（x+p） （x+q ） 这样，我们得到 x2+（p+q ）x+pq=（x+p） （x+q ） 利用上式可以将某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 第 21 页（共 24 页） 例把 x2+3x+2 分解因式 分析：x 2+3x+2 中的二次项系数为 1，常数项 2=12，一次项系数 3=1+2，这是一个 x2+（p+q）x+pq 型式子 解：x 2+3x+2=（x+1） （x+2 ） 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式： x2+7x+10； 2y214y+24 【考点】因式分解-十字相乘法等 【专题】阅读型 【分析】仿照上述的方法，将原式分解即可 【解答】解：x 2+7x+
38、10=（ x+2） （x+5） ； 2y214y+24=2（y 27y+12）=2（y3） （y 4） 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键 26问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90 E，F 分别是 BC，CD 上的点且 EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明 ABE ADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，
39、B+D=180 E，F 分别是 BC，CD 上的点， 且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥 中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向 正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前 进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】压轴题；探究型 【分析】问题背景：根据全等
40、三角形对应边相等解答； 探索延伸：延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG，根据同角的补角相等求出B=ADG ， 然后利用“边角边” 证明ABE 和 ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 第 22 页（共 24 页） AE=AG，BAE=DAG ，再求出 EAF=GAF，然后利用“ 边角边”证明AEF 和GAF 全 等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可； 实际应用：连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，然后求出 EOF= AOB，判断出符合探 索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可 【解答】解：问题背景：EF=BE+DF； 探索延伸：EF=BE+DF
41、 仍然成立 证明如下：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 AG， B+ADC=180， ADC+ADG=180， B=ADG， 在ABE 和ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， AE=AG，BAE= DAG， EAF= BAD， GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF， EAF=GAF， 在AEF 和 GAF 中， ， AEFGAF（SAS） ， EF=FG， FG=DG+DF=BE+DF， EF=BE+DF； 实际应用：如图，连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C， AOB=30+90+（9070）=140， EOF=70， EOF= AOB， 又 OA=OB， OAC+OBC=（9030）+ （70+50 ）=180， 符合探索延伸中的条件， 结论 EF=AE+BF 成立， 即 EF=1.5（60+80 ）=210 海里 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里 第 23 页（共 24 页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造 出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点 第 24 页（共 24 页） 2016 年 3 月 6 日
