1、四川省广安市邻水县 2015-2016 学年八年级（下）期末数学试 卷（解析版） 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 2下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A1，2，3 B3，4，5 C4，5，6 D7，8，9 3为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查那么最 终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 4下列说法错误的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C对角线相等
2、的平行四边形是矩形 D一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5下列运算中，正确的是（ ） A（2 ） 2=6 B = C = + D = 6一次函数 y=（m 3）xm 的图象经过一、二、四象限，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm3 C0 m3 Dm0 7已知一组数据：2，1，x，7，3，5，3，2 的众数是 2，则这组数据的中位数是（ ） A2 B2.5 C3 D5 8晚饭后，郑大爷出去散步，如图描述了他散步过程中离家的距离 s（米）与散步所用时 间 t（分）之间的关系，依据图象，下面的描述符合郑大爷散步情景的是（ ） A从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
3、B从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前一段，然后回家了 C从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D从家出发，散了一会儿步，就找朋友去了， 13 分后才开始返回 9下列各命题的逆命题成立的是（ ） A全等三角形的对应角相等 B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C两直线平行，同位角相等 D如果两个角都是 45，那么这两个角相等 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，0），点 B 的 坐标为（0，1），点 C 在第一象限，对角线 BD 与 x 轴平行直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分 别交于点 E，F将菱形 ABCD 沿 x
4、轴向左平移 k 个单位，当点 C 落在EOF 的内部时 （不包括三角形的边），k 的值可能是（ ） A2 B3 C4 D5 二、填空题：每小题 4 分，共 32 分 11三角形的各边长分别是 8、10、12、则连接各边中点所得的三角形的周长是 12现有甲、乙两支球队，每支球队队员身高数据的平均数均为 1.70 米，方差分别为 S2 甲 =0.28，S 2 乙 =0.36，则身高较整齐的球队是 队（填“甲” 或“乙”） 13将函数 y=3x+1 的图象向上平移 2 个单位长度后，所得图象的函数关系式为 14在 RtABC 中，C=90，A=45，AB=10，BC= 15如图，等边ABE 与正方形
5、 ABCD 有一条共公边，点 E 在正方形外，连结 DE，则 BED= 16如图，菱形 ABCD 在平面直角坐标系中，点 A 位坐标原点，点 B 在 x 轴正半轴上， 若点 D 的坐标为（1， ），则点 C 的坐标为 17一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 18如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正 半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA=10，OC=8 ，在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻 折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，则 D 点的坐标是 三、解答题：19 题 1
6、0 分，20、21 题 9 分 19计算 （1）5 9 + （2）（2+ ） 22 20市政府决定对市直机关 500 户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查 了其中的 100 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的 条形统计图 （1）请将条形统计图补充完整； （2）求这 100 个样本数据的平均数，众数和中位数 21如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC=2，求点 C 的坐标 四、推理证明题：每题 9 分，共 27 分 22
7、如图，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，BEDF 求证：BE=DF 23已知：O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DEAC，CEBD试判断四边形 OCED 的 形状，并说明理由 24如图，在矩形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BC 于点 E，O 为对角线 AC、BD 的交 点，且CAE=15 （1）求证：AOB 为等边三角形； （2）求BOE 度数 五、实践应用题：11 分 25A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台，现决定支援 C 村 10 台，D 村 8 台，已 知从 A 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 400 元和 800 元，从
8、 B 市调运一台机 器到 C 村和 D 村的运费分别是 300 元和 500 元 （1）设 B 市运往 C 村机器 x 台，求总运费 W 关于 x 的函数关系式； （2）若要求总运费不超过 9000 元，共有几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 分析由已知条件填出下表： 库存机器 支援 C 村 支援 D 村 B 市 6 台 x 台 （6x）台 A 市 12 台 （10x）台 8（ 6x）台 六、拓展提升题：12 分 26如图，一次函数 的函数图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作 RtABC，且使ABC=30 ； （1）如
9、果点 P（m ， ）在第二象限内，试用含 m 的代数式表示四边形 AOPB 的面积， 并求当APB 与ABC 面积相等时 m 的值； （2）如果QAB 是等腰三角形并且点 Q 在坐标轴上，请求出点 Q 所有可能的坐标； （3）是否存在实数 a，b 使一次函数 和 y=ax+b 的图象关于直线 y=x 对称？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年四川省广安市邻水县八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】根据被开方数大于等于 0
10、 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x1 0， 解得 x1 故选 B 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 2下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A1，2，3 B3，4，5 C4，5，6 D7，8，9 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可 【解答】解：A、因为 12+223 2，故不是勾股数；故此选项错误； B、因为 32+42=52，故是勾股数故此选项正确； C、因为 4
11、2+526 2，故不是勾股数；故此选项错误； D、因为 72+829 2，故不是勾股数故此选项错误； 故选：B 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形 三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 3为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查那么最 终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择 【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是 描述一组数据离散程度的统计量既然是为筹备班级的初中毕
12、业联欢会做准备，那么买的 水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数 故选 C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择 和恰当的运用 4下列说法错误的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C对角线相等的平行四边形是矩形 D一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【分析】根据菱形、正方形、矩形以及平行四边形的判定定理进行选择 【解答】解：A、应该是对角线互相垂直的平行四边形是菱形故本选项错误； B、对角线互相垂直平分
13、的四边形是菱形，对角线相等的菱形是矩形，所以对角线互相垂 直平分且相等的四边形是正方形故本选项正确； C、对角线相等的平行四边形是矩形故本选项正确； D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行故 本选项正确； 故选 A 【点评】本题考查了正方形、矩形、菱形以及平行四边形的判定注意正方形是一特殊的 菱形或者矩形 5下列运算中，正确的是（ ） A（2 ） 2=6 B = C = + D = 【分析】根据二次根式的乘方，可判断 A，根据二次根式的性质，可判断 B，根据二次根 式的加法，可判断 C，根据二次根式的乘法，可判断 D 【解答】解：A、（2 ） 2=43=12
14、，故 A 错误； B、 = ，故 B 错误； C、 = =5，故 C 错误； D、 = =6，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键 6一次函数 y=（m 3）xm 的图象经过一、二、四象限，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm3 C0 m3 Dm0 【分析】根据一次函数 y=（m 2）x+3m3 的图象经过第一、二、四象限列出关于 m 的不等 式组，求出 m 的取值范围即可 【解答】解：一次函数 y=（m 3）xm 的图象经过第一、二、四象限， ， 解得 m0， 故选 A 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数
15、y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时函数的图象在一、二、四象限 7已知一组数据：2，1，x，7，3，5，3，2 的众数是 2，则这组数据的中位数是（ ） A2 B2.5 C3 D5 【分析】根据众数定义首先求出 x 的值，再根据中位数的求法，求出中位数 【解答】解：数据 2，1，x，7，3，5，3，2 的众数是 2，说明 2 出现的次数最多，x 是未 知数时 2，3，均出现两次，x=2 这组数据从小到大排列：1，2，2，2，3，3，5，7处于中间位置的数是 2 和 3，因而的 中位数是：（2+3）2=2.5 故选 B 【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数要注意，当所给数据有单位时，所
16、求得的 平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位 8晚饭后，郑大爷出去散步，如图描述了他散步过程中离家的距离 s（米）与散步所用时 间 t（分）之间的关系，依据图象，下面的描述符合郑大爷散步情景的是（ ） A从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了 B从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前一段，然后回家了 C从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D从家出发，散了一会儿步，就找朋友去了， 13 分后才开始返回 【分析】根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与 x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出
17、判断 【解答】解：从图中看，有一段时间内函数图象与 x 轴平行，说明时间在增加，而路程没 有增加，C、D 中没有停留，所以排除 C、D与 x 轴平行后的函数图象表现为随时间的增 多路程又在增加，排除 A 故选 B 【点评】读懂图象是解决本题的关键首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根 据函数图象用排除法判断 9下列各命题的逆命题成立的是（ ） A全等三角形的对应角相等 B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C两直线平行，同位角相等 D如果两个角都是 45，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假 【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
18、 B、绝对值相等的两个数相等，错误； C、同位角相等，两条直线平行，正确； D、相等的两个角都是 45，错误 故选 C 【点评】考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题 易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审 题不认真 10如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，0），点 B 的 坐标为（0，1），点 C 在第一象限，对角线 BD 与 x 轴平行直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分 别交于点 E，F将菱形 ABCD 沿 x 轴向左平移 k 个单位，当点 C 落在EOF 的内部时 （不包括三角形的边），k 的值可能是
19、（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】连接 AC，BD，交于点 Q，过 C 作 y 轴垂线，交 y 轴于点 M，交直线 EF 于点 N，如图所示，由菱形 ABCD，根据 A 与 B 的坐标确定出 C 坐标，进而求出 CM 与 CN 的 值，确定出当点 C 落在EOF 的内部时 k 的范围，即可求出 k 的可能值 【解答】解：连接 AC，BD，交于点 Q，过 C 作 y 轴垂线，交 y 轴于点 M，交直线 EF 于 点 N，如图所示， 菱形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（0，1），点 C 在第一象限， 对角线 BD 与 x 轴平行， CQ=AQ=1，CM=2，即
20、AC=2AQ=2， C（2，2）， 当 C 与 M 重合时， k=CM=2；当 C 与 N 重合时，把 y=2 代入 y=x+4 中得：x= 2，即 k=CN=CM+MN=4， 当点 C 落在EOF 的内部时（不包括三角形的边）， k 的范围为 2k4， 则 k 的值可能是 3， 故选 B 【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，坐标与图形性质，平移 的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键 二、填空题：每小题 4 分，共 32 分 11三角形的各边长分别是 8、10、12、则连接各边中点所得的三角形的周长是 15 【分析】先求出原三角形的周长，再根据三角形的中
21、位线平行于第三边并且等于第三边的 一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半 【解答】解：原三角形的周长=8+10+12=30， 连接各边中点所得的三角形的周长= 30=15 故答案为：15 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第 三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键 12现有甲、乙两支球队，每支球队队员身高数据的平均数均为 1.70 米，方差分别为 S2 甲 =0.28，S 2 乙 =0.36，则身高较整齐的球队是 甲 队（填 “甲” 或“乙”） 【分析】根据方差的意义可判断方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波
22、动性越 大，反之也成立 【解答】解：S 2 甲 S 2 乙 身高较整齐的球队是甲队 故答案为：甲 【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则 方差 S2= （ x1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越 大，波动性越大，反之也成立 13将函数 y=3x+1 的图象向上平移 2 个单位长度后，所得图象的函数关系式为 y= 3x+3 【分析】根据“上加下减” 的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减” 的原则可知，将函数 y=3x+1 的图象向上平移 2 个单位所得函 数的解析式为 y=3x+1+2
23、，即 y=3x+3 故答案为：y=3x+3 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减” 的原则是解答此题的 关键 14在 RtABC 中，C=90，A=45，AB=10，BC= 【分析】根据已知条件易推知 RtABC 是等腰直角三角形，则 AC=BC，所以根据勾股定 理来求线段 BC 的长度即可 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C=90，A=45 ， B=A=45， AC=BC， AB 2=AC2+BC2，即 BC2= AB2= 102=50， 解得，BC=5 故答案是：5 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质解题时，也可以通过解直角三角形来 求线段 BC 的
24、长度 15如图，等边ABE 与正方形 ABCD 有一条共公边，点 E 在正方形外，连结 DE，则 BED= 45 【分析】根据正方形的性质，可得 AB 与 AD 的关系，BAD 的度数，根据等边三角形的 性质，可得 AE 与 AB 的关系， AEB 的度数，根据等腰三角形的性质，可得AED 与 ADE 的关系，根据三角形的内角和，可得AED 的度数，根据角的和差，可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， BAD=90， 等边三角形 ABE， AB=AE，BAE= AEB=60， DAE=BAD+BAE=90 +60=150， AD=AE， AEB=ABE=（180DAB
25、）2=15， BED=AEB AED=6015=45 ， 故答案为：45 【点评】此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟 练掌握性质是解本题的关键 16如图，菱形 ABCD 在平面直角坐标系中，点 A 位坐标原点，点 B 在 x 轴正半轴上， 若点 D 的坐标为（1， ），则点 C 的坐标为 （3， ） 【分析】先利用两点间的距离公式计算出 AD=2，再根据菱形的性质得到 CD=AD=2，CDAB，然后根据平行于 x 轴的直线上的坐标特征写出 C 点坐标 【解答】解：点 D 的坐标为（ 1， ）， AD= =2， 四边形 ABCD 为菱形， CD=AD=2，CD
26、AB， C 点坐标为（3， ） 故答案为（3， ） 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线也考查了坐标与图形性质 17一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 x2 【分析】把 x=2 代入 y1=kx+b 与 y2=x+a，由 y1=y2 得出 =2，再求不等式的解集 【解答】解：把 x=2 代入 y1=kx+b 得， y1=2k+b， 把 x=2 代入 y2=x+a 得， y2=2+a，
27、 由 y1=y2，得： 2k+b=2+a， 解得 =2， 解 kx+bx+a 得， （k1） xa b， k0， k1 0， 解集为：x ， x2 故答案为：x2 【点评】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出 =2，把 看作整体求解集 18如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正 半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA=10，OC=8 ，在 OC 边上取一点 D，将纸片沿 AD 翻 折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处，则 D 点的坐标是 （0，5） 【分析】先由矩形的性质得到 AB=OC=8，BC=OA=10 ，再
28、根据折叠的性质得 AE=AO=10，DE=DO ，在 RtABE 中，利用勾股定理可计算出 BE=6，则 CE=BCBE=4， 设 OD=x，则 DE=x，DC=8x ，在 RtCDE 中根据勾股定理有 x2=（8x） 2+42，解方程求 出 x，即可确定 D 点坐标 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， AB=OC=8，BC=OA=10， 纸片沿 AD 翻折，使点 O 落在 BC 边上的点 E 处， AE=AO=10， DE=DO， 在 Rt ABE 中， AB=8，AE=10， BE= =6， CE=BCBE=4， 设 OD=x，则 DE=x，DC=8x ， 在 Rt CDE 中， DE
29、 2=CD2+CE2， x 2=（8 x） 2+42， x=5， D 点坐标为（0，5） 故答案为（0，5） 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相 等也考查了点的坐标、矩形的性质以及勾股定理 三、解答题：19 题 10 分，20、21 题 9 分 19计算 （1）5 9 + （2）（2+ ） 22 【分析】（1）化简二次根式，然后合并二次根式； （2）先根据乘法公式计算乘法，然后合并二次根式 【解答】解：（1）原式=10 3 +2 =9 ； （2）原式=9+4 2 =9+2 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键 20市政府决定
30、对市直机关 500 户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查 了其中的 100 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的 条形统计图 （1）请将条形统计图补充完整； （2）求这 100 个样本数据的平均数，众数和中位数 【分析】（1）利用总数 100 减去其它组的人数即可求得月用水量是 11 吨的人数，即可补 全直方图； （2）利用加权平均数公式即可求得平均数，然后根据众数和中位数的定义确定众数和中位 数 【解答】解：（1）月用水量是 11 吨的户数是：10020 102010=40（户）； ； （2）平均数是： （2010+4011+1012+2013+1
31、014）=11.6（吨）； 众数是 11 吨，中位数是 11 吨 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获 取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 21如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC=2，求点 C 的坐标 【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、点 B（0， 2）分别代入 解析式即可组成方程组，从而得到 AB 的解析式； （2）设点 C 的坐标为（x，y
32、 ），根据三角形面积公式以及 SBOC=2 求出 C 的横坐标，再 代入直线即可求出 y 的值，从而得到其坐标 【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0）， 直线 AB 过点 A（1，0）、点 B（0，2）， ， 解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=2x2 （2）设点 C 的坐标为（x，y ）， S BOC=2， 2x=2， 解得 x=2， y=22 2=2， 点 C 的坐标是（2，2） 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标 特征，还要熟悉三角形的面积公式 四、推理证明题：每题 9 分，共 27 分 22如图，E、F 是平行四边
33、形 ABCD 对角线 AC 上的两点，BEDF 求证：BE=DF 【分析】先证 BC=AD，ACB=DAC，CEB=AFD，根据 AAS 证出BEC DFA，从而得出 BE=DF 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD，BCAD， ACB=DAC， BEDF， BEC=AFD， CBE ADF， BE=DF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质 23已知：O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DEAC，CEBD试判断四边形 OCED 的 形状，并说明理由 【分析】首先由 CEBD，DEAC，可证得四边形 OCED 是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩
34、形，根据矩形的性质，易得 OC=OD，即可判定四边形 OCED 是菱形， 【解答】解：四边形 OCED 是菱形，理由如下： DEAC，CEBD， 四边形 OCED 是平行四边形， 又在矩形 ABCD 中，OC=OD， 四边形 OCED 是菱形， 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的 关键 24如图，在矩形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BC 于点 E，O 为对角线 AC、BD 的交 点，且CAE=15 （1）求证：AOB 为等边三角形； （2）求BOE 度数 【分析】（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 OA=OB，则只需求得BAC=60 ，即
35、可证 明三角形是等边三角形； （2）因为B=90，BAE=45，所以 AB=BE，又因为ABO 是等边三角形，则 OBE=30，故 BOE 度数可求 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形 BAD=ABC=90 ，AO=BO= AC= BD AE 是BAD 的角平分线； BAE=45 CAE=15 BAC=60 AOB 是等边三角形； （2）解：在 RtABE 中， BAE=45 AB=BE ABO 是等边三角形 AB=BO OB=BE OBE=30， OB=BE， BOE= （18030）=75 【点评】此题为等边三角形判定的综合题考查学生综合运用数学知识的能力，注意结合 图形解题的思
36、想 五、实践应用题：11 分 25A 市和 B 市分别有某种库存机器 12 台和 6 台，现决定支援 C 村 10 台，D 村 8 台，已 知从 A 市调运一台机器到 C 村和 D 村的运费分别是 400 元和 800 元，从 B 市调运一台机 器到 C 村和 D 村的运费分别是 300 元和 500 元 （1）设 B 市运往 C 村机器 x 台，求总运费 W 关于 x 的函数关系式； （2）若要求总运费不超过 9000 元，共有几种调运方案？ （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 分析由已知条件填出下表： 库存机器 支援 C 村 支援 D 村 B 市 6 台 x 台 （6x）台
37、 A 市 12 台 （10x）台 8（ 6x）台 【分析】（1）给出 B 市运往 C 村机器 x 台，再结合给出的分析表，根据等量关系总运费 =A 运往 C 的钱+A 运往 D 的钱+B 运往 C 的钱+B 运往 D 的钱，可得函数式； （2）列一个符合要求的不等式； （3）根据函数式的性质以及自变量的取值范围求解 【解答】解 根据题意得： （1）W=300x+500（6x）+400 （10 x）+80012（10x）=200x+8600 （2）因运费不超过 9000 元 W=200x+86009000， 解得 x2 0x6， 0x2 则 x=0，1，2，所以有三种调运方案 （3）0x2，且
38、W=200x+8600， W 随 x 的增大而增大 当 x=0 时，W 的值最小，最小值为 8600 元， 此时的调运方案是：B 市运至 C 村 0 台，运至 D 村 6 台，A 市运往 C 市 10 台，运往 D 村 2 台，最低总运费为 8600 元 【点评】函数的综合应用题往往综合性强，覆盖面广，包含的数学思想方法多它能真正 考查学生运用所学知识解决实际问题的能力一次函数的综合应用题常出现于销售、收费、 行程等实际问题当中，通常是以图象信息的形式出现 六、拓展提升题：12 分 26如图，一次函数 的函数图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作 Rt
39、ABC，且使ABC=30 ； （1）如果点 P（m ， ）在第二象限内，试用含 m 的代数式表示四边形 AOPB 的面积， 并求当APB 与ABC 面积相等时 m 的值； （2）如果QAB 是等腰三角形并且点 Q 在坐标轴上，请求出点 Q 所有可能的坐标； （3）是否存在实数 a，b 使一次函数 和 y=ax+b 的图象关于直线 y=x 对称？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）过点 P 作 PDx 轴于 D，根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，从而 求出 OA、OB，利用勾股定理列式求出 AB，然后求出ABO=30 ，再根据 S 四边形 AOPB=S 梯形 PDO
40、B+SAOBSPDO 列式整理即可得解；根据 SAPB=S 四边形 AOPBSAOP 表示出APB 的面积，再解直角三角形求出 AC，然后求出ABC 的面积，列出方程求解即可； （2）分点 A 是顶角顶点，AB 是腰时，求出 OQ 的长度，点 B 是顶角顶点，AB 是 腰时，求出 OQ 的长度，然后写出点 Q 的坐标，AB 是底边时，分点 Q 在 y 轴上和点 Q 在 x 轴上两种情况，利用等边三角形的性质求解； （3）求出 A、B 两点关于直线 y=x 的对称点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式 求出 a、b，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：（1）如图，过点 P 作 PDx
41、 轴于 D， 点 P（m， ）在第二象限内， PD= ，OD= m， 令 y=0，则 x+ =0， 解得 x=1， 令 x=0，则 y= ， 点 A（1，0），B（0， ）， OA=1 ，OB= ， 由勾股定理得，AB= = =2， ABO=30， S 四边形 AOPB=S 梯形 PDOB+SAOBSPDO， = （ + ）（m）+ 1 （m） ， = m+ ， 四边形 AOPB 的面积= m+ ； SAPB=S 四边形 AOPBSAOP， = m+ 1 ， = m+ ， ABC=30， AC=ABtan30 =2 = ， S ABC= 2 = ， APB 与 ABC 面积相等， m+ = ，
42、 解得 m= ， 故，当APB 与ABC 面积相等时， m= ； （2）点 A 是顶角顶点，AB 是腰时，AQ=AB=2， 若点 Q 在 x 正半轴，则 OQ=AO+AQ=1+2=3， 若点 Q 在 x 轴负半轴，则 OQ=AQAO=21=1， 若点 Q 在 y 轴负半轴，则 OQ=BO= ， 点 Q 的坐标为（3，0）或（ 1，0）或（0， ）， 点 B 是顶角顶点，AB 是腰时，BQ=AB=2 ， 若点 Q 在 y 轴正半轴，则 OQ=BO+BQ= +2， 若点 Q 在 y 轴负半轴，则 OQ=BQBO=2 ， 若点 Q 在 x 轴负半轴，则 OQ=AO=1， 点 Q 的坐标为（0， +2
43、）或（0， 2）或（ 1，0）； AB 是底边时，若点 Q 在 y 轴上，则 OQ=OAtan30=1 = ， 若点 Q 在 x 轴上，则 OQ=AO=1， 点 Q 的坐标为（0， ）或（ 1，0）， 综上所述，QAB 是等腰三角形时，坐标轴上点 Q 的坐标为（3，0）或（1，0）或（0， ）或（0， +2）或（0， 2）或（0， ）； （3）A（1，0）关于 y=x 的对称点为（0，1）， B（0， ）关于 y=x 的对称点为（ ，0）， ， 解得 ， = = ， = ， = ， = 【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点坐标的求解，勾 股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次根式的 化简，难点在于（2）根据三角形的腰长的不同分情况讨论，（3）点 A、B 关于直线 y=x 的对称点的求解
