1、河南省周口市太康县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1tan45 的值为（ ） A B1 C D 2为备战 2016 届中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ） A B C D 3已知一个函数图象经过（1，4） ， （2， 2）两点，在自变量 x 的某个取值范围内，都有函数值 y 随 x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 4下
2、列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ） A条形图 B扇形图 C折线图 D直方图 5如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25，则 BOD 的度数是（ ） A25 B30 C40 D50 6在下列二次函数中，其图象对称轴为 x=2 的是（ ） Ay= （ x+2） 2 By=2x 22 Cy= 2x22 Dy=2 （x2） 2 7如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ） A8AB 10 B8AB 10 C4 AB5 D4AB5 8如图是二次函数 y=ax2+bx+c=（a 0）图象的一部分，对称轴是直线
3、x=2关于下列结论： ab0；b 24ac0；9a 3b+c0；b4a=0；方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0，x 2=4， 其中正确的结论有（ ） A B C D 二、填空题：每小题 3 分，共 21 分 9计算：2015 0|2|= 10抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 11如图，在ABC 中，AC=BC，B=70，分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧， 两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E，连结 AE，则AED 的度数是 12如果将抛物线 y=x2+2x1 向上平移，使它经过点 A（0，3） ，那么所得新抛物线的表达式是
4、13如图，菱形 ABCD 的边长为 2，DAB=60，E 为 BC 的中点，在对角线 AC 上存在一点 P，使 PBE 的周长最小，则 PBE 的周长的最小值为 14如图，PA 为 O 的切线， A 为切点，B 是 OP 与 O 的交点若P=20，OA=3，则 的长为 （结果保留 ） 15如图，在半径为 5 的O 中，弦 AB=8，P 是弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A 作 AP 的垂线交射线 PA 于点 C，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 三、解答题：本大题共 8 个小题，满分 64 分 16已知 2a2+3a6=0求代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2
5、a 1）的值 17如图，抛物线 y1=x2+mx+n 与直线 y2=x1 交于点 A（a，2）和 B（b，2） （1）求 a，b 的值； （2）观察图象，直接写出当 y1y 2 时 x 的取值范围 18如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm，B=60，G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上 的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是矩形； 当 AE= cm 时，四边形 CEDF 是菱形 （直接写出答案，不需要说明理由） 19某中心校为迎接县教研室举行
6、的师生写字比赛，对教师组进行了预赛，将各位教师成绩划分为 A、B、C 、D 四个等级，绘制了两种不完整的统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加写字比赛的教师共有 人，扇形统计图中 m= ，n= ，并把条形统计图补充完整 （2）中心校欲从 A 等级 2 名男教师 2 名女教师中随机选取两人，参加教体局决赛，请利用列表法 或树状图，求 A 等级中一男一女参加决赛的概率（男教师分别用代码 A1、A 2 表示，女教师分别用 代码 B1、B 2 表示） 20如图，已知 BC 是O 的直径，AC 切O 于点 C，AB 交O 于点 D，E 为 AC 的中点，连结 DE （1）若 AD=DB，
7、OC=5，求切线 AC 的长； （2）求证：ED 是O 的切线 21如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距 离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（ CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点 B、D、F 在同一直线上） （1）求小敏到旗杆的距离 DF （结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据： 1.4， 1.7） 22问题：如图（1） ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上， EAF=45，试判断 BE、EF
8、、FD 之间的数量关系 【发现证明】 小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述 结论 【类比引申】 如图（2） ，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180 ，点 E、F 分别在边 BC、CD 上， 则当EAF 与 BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD 【探究应用】 如图（3） ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知 AB=AD=80 米，B=60， ADC=120，BAD=150 ，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F，且 AEAD，DF=40（ 1）米， 现要在 E、F 之间修一条
9、笔直道路，求这条道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73） 23如图，已知抛物线 y=ax25ax+2（a 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 BC 的解析式； （3）若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NHx 轴，垂足为 H，以 B，N，H 为顶点的三角形是 否能够与OBC 相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能， 请说明理由 河南省周口市太康县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分，下列各小题均
10、有四个答案，其中只有一个是正确的 1tan45 的值为（ ） A B1 C D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据 45角这个特殊角的三角函数值，可得 tan45=1，据此解答即可 【解答】解：tan45=1， 即 tan45的值为 1 故选：B 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记 30、45 、 60角的各种三角函数值 2为备战 2016 届中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】卓玛同学
11、的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，可得一共有 6 种 等可能的结果，又由语文试卷 2 张，根据概率公式即可求得答案 【解答】解：卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张， 一共有 2+3+1=6 种等可能的结果， 恰好是语文试卷的有 2 种情况， 恰好是语文试卷的概率是 = 故选：B 【点评】此题考查了概率公式的应用明确概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键 3已知一个函数图象经过（1，4） ， （2， 2）两点，在自变量 x 的某个取值范围内，都有函数值 y 随 x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A正比
12、例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质 【专题】压轴题 【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断 【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b， 由题意得， ， 解得， ， k 0， y 随 x 的增大而增大， A、 B 错误， 设反比例函数解析式为：y= ， 由题意得，k=4， k0， 在每个象限，y 随 x 的增大而增大， C 错误， 当抛物线开口向上，x1 时，y 随 x 的增大而减小 故选：D 【点评】本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增 减性
13、是解题的关键 4下列统计图能够显示数据变化趋势的是（ ） A条形图 B扇形图 C折线图 D直方图 【考点】统计图的选择 【分析】根据统计图的特点，要显示数据的变化趋势，选择折线统计图 【解答】解：易于显示数据的变化趋势和变化规律的统计图是折线统计图 故选 C 【点评】考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示 的是事物的变化情况；而条形统计图和直方图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方 图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别 5如图，在O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25，则 BOD 的度数是（
14、） A25 B30 C40 D50 【考点】圆周角定理；垂径定理 【专题】压轴题 【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知DOB=2 C，得到答案 【解答】解：在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， = ， DOB=2C=50 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 6在下列二次函数中，其图象对称轴为 x=2 的是（ ） Ay= （ x+2） 2 By=2x 22 Cy= 2x22 Dy=2 （x2） 2 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出
15、正确的选项 【解答】解：y=（x+2 ） 2 的对称轴为 x=2，A 正确； y=2x22 的对称轴为 x=0，B 错误； y=2x22 的对称轴为 x=0，C 错误； y=2（x 2） 2 的对称轴为 x=2，D 错误 故选：A 【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键 7如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ） A8AB 10 B8AB 10 C4 AB5 D4AB5 【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理 【分析】此题可以首先计算出当 AB 与小圆相切的时候的弦长连接
16、过切点的半径和大圆的一条半 径，根据勾股定理和垂径定理，得 AB=8若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时 AB8；又因为大圆最长的弦是直径 10，则 8AB10 【解答】解：当 AB 与小圆相切， 大圆半径为 5，小圆的半径为 3， AB=2 =8 大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交， 8AB10 故选：A 【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的 弦长，再进一步分析有公共点时的弦长 8如图是二次函数 y=ax2+bx+c=（a 0）图象的一部分，对称轴是直线 x=2关于下列结论： ab0；b 24ac0；9a 3b+c0；
17、b4a=0；方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0，x 2=4， 其中正确的结论有（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， =2， b=4a， ab0， 错误，正确， 抛物线与 x 轴交于 4，0 处两点， b24ac0，方程 ax2+bx=0 的两个根为 x1=0，x 2=4， 正确， 当 x=3 时 y0，即 9a3b+c0， 错误， 故正确的有 故选：B
18、 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系， 以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用 二、填空题：每小题 3 分，共 21 分 9计算：2015 0|2|= 1 【考点】实数的运算；零指数幂 【专题】计算题 【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结 果 【解答】解：原式=1 2 =1 故答案为：1 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，
19、用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写 出顶点坐标 【解答】解：y=x 2+2x+3=x2+2x+11+3=（x+1） 2+2， 抛物线 y=x2+2x+3 的顶点坐标是（1，2） 故答案为：（1，2） 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数 y=a（xh） 2+k 的顶点坐标为（h，k） ，对称轴为 x=h，此题还考查了配方法求顶点式 11如图，在ABC 中，AC=BC，B=70，分别以点 A、C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧， 两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AC、BC 于点 D、E，连结 AE，则AED 的度数是 50 【考点】作图基本作图；等腰三角形的
20、性质 【分析】由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出结论 【解答】解：由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线， CE=AE， C=CAE， AC=BC，B=70 ， C=40， AED=50， 故答案为：50 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是 解答此题的关键 12如果将抛物线 y=x2+2x1 向上平移，使它经过点 A（0，3） ，那么所得新抛物线的表达式是 y=x2+2x+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】设平移后的抛物线解析式为 y=x2+2x1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可得到 b 的值 【解答
21、】解：设平移后的抛物线解析式为 y=x2+2x1+b， 把 A（0，3）代入，得 3=1+b， 解得 b=4， 则该函数解析式为 y=x2+2x+3 故答案是：y=x 2+2x+3 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律 求函数解析式会利用方程求抛物线与坐标轴的交点 13如图，菱形 ABCD 的边长为 2，DAB=60，E 为 BC 的中点，在对角线 AC 上存在一点 P，使 PBE 的周长最小，则 PBE 的周长的最小值为 +1 【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质 【分析】连接 BD，与 AC 的交点即为使PBE 的周长最小的点 P；由菱形
22、的性质得出BPC=90 ， 由直角三角形斜边上的中线性质得出 PE=BE，证明PBE 是等边三角形，得出 PB=BE=PE=1，即可 得出结果 【解答】解：连结 DE BE 的长度固定， 要使 PBE 的周长最小只需要 PB+PE 的长度最小即可， 四边形 ABCD 是菱形， AC 与 BD 互相垂直平分， PD=PB， PB+PE 的最小长度为 DE 的长， 菱形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，DAB=60， BCD 是等边三角形， 又 菱形 ABCD 的边长为 2， BD=2，BE=1，DE= ， PBE 的最小周长=DE+BE= +1， 故答案为： +1 【点评】本题考查
23、了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练 掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 14如图，PA 为 O 的切线， A 为切点，B 是 OP 与 O 的交点若P=20，OA=3，则 的长为 （结果保留 ） 【考点】切线的性质；弧长的计算 【分析】根据切线性质得出OAP=90，求出 POA 度数，根据弧长公式求出即可 【解答】解：PA 切O 于 A， PAO=90， P=20， POA=70， = ， 故答案为： 【点评】本题考查了弧长公式，切线的性质的应用，能正确运用弧长公式进行计算是解此题的关键， 注意：圆的切线垂直于过切点的半径 15如图，在半径为
24、5 的O 中，弦 AB=8，P 是弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP，过点 A 作 AP 的垂线交射线 PA 于点 C，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 8， ， 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【专题】分类讨论 【分析】由于本题的等腰三角形底和腰不确定，所以要分三种情况讨论：当 BA=BP 时，利用直 角三角形斜边的中线等于斜边的一半；当 AB=AP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O 作 OEAB 于点 E，易得AOEABD ，利用相似三角形的性质求得 BD，PB ，然后利用相似三角 形的判定定理ABD CPA，代入数据得出结果；当 PA=
25、PB 时，如图 2，连接 PO 并延长，交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB，则 PFAB，易得 AF=FB=4， 利用勾股定理得 OF=3，FP=8，易得 PFBCGB，利用相似三角形的性质可求出 CG：BG 的值， 设 BG=t，则 CG=2t，利用相似三角形的判定定理得 APFCAG，利用相似三角形的性质得比例 关系解得 t，在 RtBCG 中，得 BC 的长 【解答】解：当 BA=BP 时， 则 AB=BP=BC=8，即线段 BC 的长为 8 当 AB=AP 时，如图 1，延长 AO 交 PB 于点 D，过点 O 作 OEAB 于点 E，则
26、 ADPB，AE= AB=4， BD=DP， 在 RtAEO 中，AE=4，AO=5， OE=3， OAE=BAD， AEO=ADB=90， AOEABD， ， BD= ， BD=PD= ， 即 PB= ， AB=AP=8， ABD=P， PAC=ADB=90， ABDCPA， ， CP= ， BC=CPBP= = ； 当 PA=PB 时， 如图 2，连接 PO 并延长，交 AB 于点 F，过点 C 作 CGAB，交 AB 的延长线于点 G，连接 OB， 则 PFAB， AF=FB=4， 在 RtOFB 中，OB=5，FB=4，OF=3， FP=8， PAF=ABP=CBG， AFP=CGB=
27、90， PFBCGB， ， 设 BG=t，则 CG=2t， PAF=ACG，AFP= AGC=90， APFCAG， ， ，解得 t= ， 在 RtBCG 中，BC= t= ， 综上所述，当PAB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为 8， ， ， 故答案为：8， ， 【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结 合，分类讨论是解答此题的关键 三、解答题：本大题共 8 个小题，满分 64 分 16已知 2a2+3a6=0求代数式 3a（2a+1）（2a+1） （2a 1）的值 【考点】整式的混合运算化简求值 【专题】计算题 【分析】原式第一项利用单项式乘
28、以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得 到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】解：2a 2+3a6=0，即 2a2+3a=6， 原式 =6a2+3a4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17如图，抛物线 y1=x2+mx+n 与直线 y2=x1 交于点 A（a，2）和 B（b，2） （1）求 a，b 的值； （2）观察图象，直接写出当 y1y 2 时 x 的取值范围 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入直线解析式求解即可； （2）根据函数图象写出
29、抛物线在直线的下方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：（1）由2=a 1 得， a=1， 由 2=b1 得，b=3； （2）由图可知，y 1y 2 时 x 的取值范围1x3 【点评】本题考查了二次函数与不等式组，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征， （2）根据函 数图象的位置关系求不等式的解集是常用的方法，要熟练掌握 18如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm，B=60，G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上 的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）当 AE= 3.5 cm 时，四边
30、形 CEDF 是矩形； 当 AE= 2 cm 时，四边形 CEDF 是菱形 （直接写出答案，不需要说明理由） 【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定 【专题】证明题；动点型 【分析】 （1）证CFGEDG，推出 FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可； （2）求出MBAEDC，推出CED= AMB=90，根据矩形的判定推出即可； 求出CDE 是等边三角形，推出 CE=DE，根据菱形的判定推出即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CFED， FCG=EDG， G 是 CD 的中点， CG=DG， 在FCG 和 EDG 中， ， FCGEDG（ASA） F
31、G=EG， CG=DG， 四边形 CEDF 是平行四边形； （2）解：当 AE=3.5 时，平行四边形 CEDF 是矩形， 理由是：过 A 作 AMBC 于 M， B=60，AB=3， BM=1.5， 四边形 ABCD 是平行四边形， CDA=B=60，DC=AB=3，BC=AD=5 ， AE=3.5， DE=1.5=BM， 在MBA 和EDC 中， ， MBAEDC（SAS ） ， CED=AMB=90， 四边形 CEDF 是平行四边形， 四边形 CEDF 是矩形， 故答案为：3.5； 当 AE=2 时，四边形 CEDF 是菱形， 理由是：AD=5，AE=2， DE=3， CD=3，CDE=
32、60， CDE 是等边三角形， CE=DE， 四边形 CEDF 是平行四边形， 四边形 CEDF 是菱形， 故答案为：2 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判 定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直 角的平行四边形是矩形 19某中心校为迎接县教研室举行的师生写字比赛，对教师组进行了预赛，将各位教师成绩划分为 A、B、C 、D 四个等级，绘制了两种不完整的统计图 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）参加写字比赛的教师共有 40 人，扇形统计图中 m= 20 ，n= 30 ，并把条形统计图补 充
33、完整 （2）中心校欲从 A 等级 2 名男教师 2 名女教师中随机选取两人，参加教体局决赛，请利用列表法 或树状图，求 A 等级中一男一女参加决赛的概率（男教师分别用代码 A1、A 2 表示，女教师分别用 代码 B1、B 2 表示） 【考点】列表法与树状图法；条形统计图 【分析】 （1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：410%=40（人） ，然后由扇形统计图的知识， 可求得 m，n 的值，继而补全统计图； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与 A 等级中一男一女参加比 赛的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）根据题意得：参加写字比赛的教师共有：4
34、10%=40（人） ， n%=1640100%=40%， m%=140%10%30%=20%， m=20，n=30 ； 如图： 故答案为：40，20，30； （2）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，A 等级中一男一女参加决赛的有 8 种情况， A 等级中一男一女参加决赛的概率为： = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概 率=所求情况数与总情况数之比 20如图，已知 BC 是O 的直径，AC 切O 于点 C，AB 交O 于点 D，E 为 AC 的中点，连结 DE （1）若 AD=DB，OC=5，求切线 AC 的长； （2）求证：ED 是O
35、 的切线 【考点】切线的判定与性质 【分析】 （1）连接 CD，由直径所对的圆周角为直角可得：BDC=90，即可得：CDAB，然后根 据 AD=DB，进而可得 CD 是 AB 的垂直平分线，进而可得 AC=BC=2OC=10； （2）连接 OD，先由直角三角形中线的性质可得 DE=EC，然后根据等边对等角可得 1=2，由 OD=OC，根据等边对等角可得3= 4，然后根据切线的性质可得2+4=90 ，进而可得： 1+3=90，进而可得：DEOD，从而可得：ED 是O 的切线 【解答】 （1）解：连接 CD， BC 是 O 的直径， BDC=90， 即 CDAB， AD=DB，OC=5， CD 是
36、 AB 的垂直平分线， AC=BC=2OC=10； （2）证明：连接 OD，如图所示， ADC=90， E 为 AC 的中点， DE=EC= AC， 1=2， OD=OC， 3=4， AC 切O 于点 C， ACOC， 1+3=2+4=90， 即 DEOD， ED 是O 的切线 【点评】此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半 径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径 21如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度已知小亮站着测量，眼睛与地面的距 离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30；小敏蹲着测量，
37、眼睛与地面的距离（ CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45两人相距 5 米且位于旗杆同侧（点 B、D、F 在同一直线上） （1）求小敏到旗杆的距离 DF （结果保留根号） （2）求旗杆 EF 的高度 （结果保留整数，参考数据： 1.4， 1.7） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）过点 A 作 AMEF 于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N设 CN=x，分别表示出 EM、AM 的长度，然后在 RtAEM 中，根据 tanEAM= ，代入求解即可； （2）根据（1）求得的结果，可得 EF=DF+CD，代入求解 【解答】解：（1）过点 A 作 AMEF
38、于点 M，过点 C 作 CNEF 于点 N， 设 CN=x， 在 RtECN 中， ECN=45， EN=CN=x， EM=x+0.71.7=x1， BD=5， AM=BF=5+x， 在 RtAEM 中， EAM=30 = ， x1= （x+5） ， 解得：x=4+3 ， 即 DF=（4+3 ） （米） ； （2）由（1）得： EF=x+0.7=4+ +0.7 4+31.7+0.7 9.810（米） 答：旗杆的高度约为 10 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角 函数的知识求解 22问题：如图（1） ，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的
39、边 BC、CD 上， EAF=45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系 【发现证明】 小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述 结论 【类比引申】 如图（2） ，四边形 ABCD 中，BAD90，AB=AD，B+D=180 ，点 E、F 分别在边 BC、CD 上， 则当EAF 与 BAD 满足 BAD=2 EAF 关系时，仍有 EF=BE+FD 【探究应用】 如图（3） ，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知 AB=AD=80 米，B=60， ADC=120，BAD=150 ，道路 BC、CD 上分别有景点
40、 E、F，且 AEAD，DF=40（ 1）米， 现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73） 【考点】四边形综合题 【专题】压轴题 【分析】 【发现证明】根据旋转的性质可以得到ADG ABE，则 GF=BE+DF，只要再证明 AFGAFE 即可 【类比引申】延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM，证 ADFABM，证FAE MAE，即可 得出答案； 【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到ABE 是等边三角形，则 BE=AB=80 米把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，只要再证明BAD=2EAF 即可得出
41、EF=BE+FD 【解答】 【发现证明】证明：如图（1） ，ADGABE， AG=AE，DAG=BAE，DG=BE， 又EAF=45，即 DAF+BEA=EAF=45， GAF=FAE， 在GAF 和FAE 中， ， AFGAFE（SAS） GF=EF 又 DG=BE， GF=BE+DF， BE+DF=EF 【类比引申】BAD=2EAF 理由如下：如图（2） ，延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM， ABC+D=180， ABC+ABM=180， D=ABM， 在ABM 和ADF 中， ， ABMADF（SAS） ， AF=AM，DAF= BAM， BAD=2EAF， DAF+BAE
42、=EAF， EAB+BAM=EAM=EAF， 在FAE 和 MAE 中， ， FAEMAE（SAS） ， EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即 EF=BE+DF 故答案是：BAD=2EAF 【探究应用】如图 3，把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至ADG，连接 AF，过 A 作 AHGD，垂 足为 H BAD=150， DAE=90， BAE=60 又B=60， ABE 是等边三角形， BE=AB=80 米 根据旋转的性质得到：ADG= B=60， 又ADF=120 ， GDF=180，即点 G 在 CD 的延长线上 易得，ADGABE， AG=AE，DAG=BAE，DG=BE， 又
43、AH=80 =40 ，HF=HD+DF=40+40 （ 1）=40 故HAF=45 ， DAF=HAFHAD=4530=15 从而EAF= EADDAF=9015=75 又BAD=150 =275=2EAF 根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（ 1）109（米） ，即这条道路 EF 的长约为 109 米 【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明BAD=2 EAF此题是一道 综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫 23如图，已知抛物线 y=ax25ax+2（a 0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B （1）求抛物线的
44、解析式； （2）求直线 BC 的解析式； （3）若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NHx 轴，垂足为 H，以 B，N，H 为顶点的三角形是 否能够与OBC 相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能， 请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】 （1）把点 A 坐标代入抛物线 y=ax25ax+2（a0）求得抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线的对称轴，再求得点 B、C 坐标，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，再把 B、C 两 点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，求得 k 和 b 即可； （3）设 N（x，ax 25ax
45、+2） ，分两种情况讨论： OBCHNB， OBCHBN，根据相似， 得出比例式，再分别求得点 N 坐标即可 【解答】解：（1）点 A（1 ，0）在抛物线 y=ax25ax+2（a 0）上， a5a+2=0， a= ， 抛物线的解析式为 y= x2 x+2； （2）抛物线的对称轴为直线 x= ， 点 B（4，0） ，C（0，2） ， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B、C 两点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，得 ， 解得 k= ，b=2， 直线 BC 的解析式 y= x+2； （3）设 N（x， x2 x+2） ，分三种情况讨论： 当OBCHNB 时，如图 1， = ， 即 = ， 解得 x1=5，x 2=4（不合题意，舍去） ， 点 N 坐标（ 5，2） ； 当OBCHBN 时，如图 2， = ， 即 = ， 解得 x1=2，x 2=4（不合题意舍去） ， 点 N 坐标（ 2， 1） ； 当 N（x， x2 x+2）在第二象限时， H（x，0）在 x 轴的负半轴上， BH=4x， OBCHNB， ， 即 = ， 得到 x2x12=0 解得 x1=4（舍去） ； x2=3， N 点的坐标为（ 3，14） 综上所述，N 点的坐标为（5 ，2） 、 （2，1）或（3，14） 【点评】本题考查了二次函数的综合题
