1、2016-2017 学年天津市和平 XX 中学九年级（上）期末数学模拟 试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1方程 x（x+2）=0 的根是（ ） Ax=2 Bx=0 Cx 1=0，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 2下列事件中，属于必然事件的是（ ） A明天我市下雨 B抛一枚硬币，正面朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 3已知 x=1 是关于 x 的方程（1k）x 2+k2x1=0 的根，则常数 k 的值为（ ） A0 B1 C0 或 1 D0 或 1 4ABC 的三边长分别为 、 、2，DEF 的两边长分别为 1 和
2、，如果 ABCDEF，那么DEF 的第三边长为（ ） A B2 C D2 5某机械厂七月份生产零件 50 万个，计划八、九月份共生产零件 146 万个， 设八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（ 1+x） 2=146 B50+50（1+x）+50（1+x ） 2=146 C 50（1+x）+50 （1+x） 2=146 D50+50（1+x）+50（1+2x ）=146 6如图，随机闭合开关 S1、S 2、S 3 中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A B C D 7如图，在 RtAOB 中， AOB=90，OA=3 ，OB=2，将 RtAOB 绕点 O 顺
3、时 针旋转 90后得 RtFOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得线段 ED，分别 以 O，E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分 面积是（ ） A B C3+ D8 8已知O 的半径是 4， OP=3，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的 解集是（ ） A 1 x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5 10同一坐标系中，一次函数 y=ax+1 与二次函数 y=x2+a 的图
4、象可能是（ ） A B C D 11如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n）， 且与 x 轴的一个交点在点（ 3，0 ）和（4，0）之间则下列结论： a b+c0； 3a+b=0； b 2=4a（cn）； 一元二次方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S 2，那么 S1、S 2 的大小关系是（ ） AS 1S 2 BS 1=S2 C S1S 2 DS 1、S 2 的大小关系不确定 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分
5、，共 18 分） 13如果函数 是二次函数，那么 k 的值一定是 1)1(23kxky 14圆内接正六边形的边心距为 2 cm，则这个正六边形的面积为 cm 2 15如图，等腰直角三角形 ABC 绕 C 点按顺时针旋转到A 1B1C1 的位置 （A、C、B 1 在同一直线上），B=90，如果 AB=1，那么 AC 运动到 A1C1 所经 过的图形的面积是 16一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红 球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球 试验后，发现摸到红球的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 个 17如图，铁路口栏杆短臂长
6、1 米，长臂长 16 米，当短臂端点下降 0.5 米时， 长臂端点升高 米 18如图，在 RtABC 中，ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是 BC 边上的动点， 设 BP=x，若能在 AC 边上找到一点 Q，使BQP=90，则 x 的取值范围是 三、解答题（本大题共 7 小题，共 56 分） 19（8 分）如图，已知直线 与双曲线 （ k0）交于 A、B 两点，且 点 A 的横坐标为 4 （1）求 k 的值； （2）若双曲线 （k0）上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积 20解方程：2x 23x1=0 （2）已知关于 x 的方程（ x3）（x 2）p 2=0 求证：方程总有两个
7、不相等的实数根 当 p=2 时，求该方程的根 21（8 分）如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形 （1）当 AC、 CD、DB 满足怎样的关系时， ACPPDB； （2）当ACPPDB 时，求APB 的度数 22（8 分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每 千克 30 元物价部门规定其销售单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元经市场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，且 当 x=60 时，y=80 ；x=50 时，y=100 在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写
8、出自变量 x 的取值范围 （2）求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系 式 （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 23（8 分）如图，AB 是 O 的直径，C 是弧 AB 的中点，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 DB 于点 F，AF 交O 于 点 H，连接 BH （1）求证：AC=CD； （2）若 OB=2，求 BH 的长 24（8 分）在锐角ABC 中，AB=4 ，BC=5 ，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆 时针方向旋转，得到A 1BC1 （1）如图 1，当点 C1 在
9、线段 CA 的延长线上时，求 CC 1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC 1若ABA 1 的面积为 4，求CBC 1 的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与 最小值 25（8 分）如图，在矩形 OABC 中，AO=10 ，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O，D，C
10、三点 （1）求 AD 的长及抛物线的解析式； （2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时 动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动 到点 C 时，两点同时停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P、Q 、 C 为顶点的三角形与ADE 相似？ 2016-2017 学年天津市和平 XX 中学九年级（上）期末数 学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1方程 x（x+2）=0 的根是（ ） Ax=2 Bx=0 Cx 1=0，x 2=2
11、Dx 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】本题可根据“ 两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0”来解题 【解答】解：x（x+2）=0， x=0 或 x+2=0， 解得 x1=0，x 2=2 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接 开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的 方法 2下列事件中，属于必然事件的是（ ） A明天我市下雨 B抛一枚硬币，正面朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的
12、事件 【解答】解：A，B，C 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 一定发生的事件只有 D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然 事件，符合题意 故选 D 【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解解决此类问题，要学会关注 身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数 学素养用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件不确定 事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3已知 x=1 是关于 x 的方程（1k）x 2+k2x1=0 的根，则常数 k 的值为（ ） A0 B1 C0 或 1 D0 或 1 【考点】一元二次方程的解 【分
13、析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边 相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 x=1 代入原 方程即可求得 k 的值 【解答】解：当 k=1 时，方程（1 k）x 2+k2x1=0 为一元一次方程，解为 x=1； k1 时，方程（1k ）x 2+k2x1=0 为一元二次方程，把 x=1 代入方程（1 k） x2+k2x1=0 可得：1k+k 21=0，即k+k 2=0，可得 k（k1）=0，即 k=0 或 1（舍去）； 故选 C 【点评】该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题 1k 可为 0，同时此题也 考查了因式分解 4ABC 的三边长分别为
14、 、 、2，DEF 的两边长分别为 1 和 ，如果 ABCDEF，那么DEF 的第三边长为（ ） A B2 C D2 【考点】相似三角形的性质 【分析】由ABC 的三边长分别为 、 、2，DEF 的两边长分别为 1 和 ， 如果ABCDEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 【解答】解：设DEF 的第三边长为 x， ABC 的三边长分别为 、 、2，DEF 的两边长分别为 1 和 ， ABCDEF， ， 解得：x= 即DEF 的第三边长为 故选 C 【点评】此题考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意相似三角形的对 应边成比例定理的应用 5某机械厂七月份生产零件 50 万个，计划八、
15、九月份共生产零件 146 万个， 设八、九月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（ 1+x） 2=146 B50+50（1+x）+50（1+x ） 2=146 C 50（1+x）+50 （1+x） 2=146 D50+50（1+x）+50（1+2x ）=146 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】根据八、九月份平均每月的增长率相同，分别表示出八、九月份生产 零件的个数列出方程，即可作出判断 【解答】解：根据题意得：八月份生产零件为 50（1+x）（万个）；九月份生 产零件为 50（1+x） 2（万个）， 则 x 满足的方程是 50（1+x）+50（1+x ）
16、 2=146， 故选 C 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为 a， 变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b 6如图，随机闭合开关 S1、S 2、S 3 中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后 根据概率公式求出该事件的概率 【解答】解：随机闭合开关 S1、S 2、S 3 中的两个出现的情况列表得，所以概率 为 ，故选 B 开关 S1S2 S1S3 S2S3 结果 亮 亮 不亮 【点评】本题考查的是用列表法或画树状
17、图法求概率列表法或画树状图法可 以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件 7如图，在 RtAOB 中， AOB=90，OA=3 ，OB=2，将 RtAOB 绕点 O 顺时 针旋转 90后得 RtFOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得线段 ED，分别 以 O，E 为圆心，OA、ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD，则图中阴影部分 面积是（ ） A B C3+ D8 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质 【分析】作 DHAE 于 H，根据勾股定理求出 AB，根据阴影部分面积= ADE 的 面积+EOF 的面积+扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积、利用扇
18、形面积公式计算 即可 【解答】解：作 DHAE 于 H， AOB=90，OA=3，OB=2， AB= = ， 由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB= ， DHEBOA， DH=OB=2， 阴影部分面积=ADE 的面积+EOF 的面积+扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积 = 52+ 23+ =8， 故选：D 【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌 握扇形的面积公式 S= 和旋转的性质是解题的关键 8已知O 的半径是 4， OP=3，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 【考点】点与圆
19、的位置关系 【分析】点在圆上，则 d=r；点在圆外，d r ；点在圆内， dr（d 即点到圆心 的距离，r 即圆的半径） 【解答】解：OP=34，故点 P 与O 的位置关系是点在圆内 故选 A 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之 间的等价关系是解决问题的关键 9如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的 解集是（ ） A 1 x5 Bx5 Cx1 且 x5 Dx1 或 x5 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合 图象可得出 ax2+bx+c0 的
20、解集 【解答】解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（ 5，0）， 图象与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0） 利用图象可知： ax2+bx+c0 的解集即是 y0 的解集， x1 或 x5 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地 利用数形结合，题目非常典型 10同一坐标系中，一次函数 y=ax+1 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与 y 轴的交点为 （0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象 【解答】解：当
21、a0 时，二次函数顶点在 y 轴负半轴，一次函数经过一、二、 四象限； 当 a0 时，二次函数顶点在 y 轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限 故选 C 【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为： 二次函数和一次函数的常数项是图象与 y 轴交点的纵坐标 11如图是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n）， 且与 x 轴的一个交点在点（ 3，0 ）和（4，0）之间则下列结论： a b+c0； 3a+b=0； b 2=4a（cn）； 一元二次方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D
22、4 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ 2，0）和 （1 ，0）之间，则当 x=1 时，y0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称 轴为直线 x= =1，即 b=2a，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标 为 n 得到 =n，则可对进行判断；由于抛物线与直线 y=n 有一个公共 点，则抛物线与直线 y=n1 有 2 个公共点，于是可对进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛 物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ 2，0）和（1，0）之间 当 x=1 时， y
23、0， 即 ab+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x= =1，即 b=2a， 3a+b=3a 2a=a，所以错误； 抛物线的顶点坐标为（1，n）， =n， b 2=4ac4an=4a（cn），所以 正确； 抛物线与直线 y=n 有一个公共点， 抛物线与直线 y=n1 有 2 个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+c=n1 有两个不相等的实数根，所以正确 故选 C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时， 抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a
24、 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 位置：抛物线与 y 轴交于（0，c ）：抛物线与 x 轴交点个数由决定： =b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 12如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S 2，那么 S1、S 2 的大小关系是（ ） AS 1S 2 BS 1=S2 C S1S 2 DS 1、S 2 的大小
25、关系不确定 【考点】正方形的性质；勾股定理 【分析】设大正方形的边长为 x，根据等腰直角三角形的性质知 AC、BC 的长， 进而可求得 S2 的边长，由面积的求法可得答案 【解答】解：如图，设大正方形的边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知， AC= BC，BC=CE= CD， AC=2CD，CD= ， S 2 的边长为 x， S2 的面积为 x2， S1 的边长为 ， S1 的面积为 x2， S 1S 2， 故选：A 【点评】本题利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13如果函数 是二次函数，那么 k 的值一定是 0
26、1)1(23kxky 【考点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可 【解答】解：根据二次函数的定义，得： k23k+2=2， 解得 k=0 或 k=3； 又k30， k3 当 k=0 时，这个函数是二次函数 【点评】本题考查二次函数的定义 14圆内接正六边形的边心距为 2 cm，则这个正六边形的面积为 24 cm2 【考点】正多边形和圆 【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角 三角形的有关知识解决 【解答】解：如图， 连接 OA、OB；过点 O 作 OGAB 于点 G 在 RtAOG 中，OG=2 ，AOG=30， OG=OAcos
27、 30， OA= = =4cm， 这个正六边形的面积为 6 42 =24 cm2 故答案为：24 【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多 边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可 15如图，等腰直角三角形 ABC 绕 C 点按顺时针旋转到A 1B1C1 的位置 （A、C、B 1 在同一直线上），B=90，如果 AB=1，那么 AC 运动到 A1C1 所经 过的图形的面积是 【考点】扇形面积的计算；旋转的性质 【分析】根据已知条件可得，AC 的长度，ACA 1 的度数，从而根据扇形的面积 公式得出答案 【解答】解：由 AB=1，可得 AC= = ，ACA 1=135
28、S 扇形 ACA1= = = ， 故答案为 【点评】本题考查图形的旋转及扇形面积公式，解此题的关键是计算求出圆的 半径和圆心角 16一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红 球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球 试验后，发现摸到红球的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可 以求得总的球数，从而可以得到红球的个数 【解答】解：由题意可得， 摸到黑球和白球的频率之和为：10.4=0.6 ， 总的球数为：（8+4）0.6=20， 红球
29、有：20（8+4）=8（个）， 故答案为：8 【点评】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是明确题意，找出所求问题 需要的条件 17如图，铁路口栏杆短臂长 1 米，长臂长 16 米，当短臂端点下降 0.5 米时， 长臂端点升高 8 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】连接 AB、CD，根据相似三角形的判定定理判断出AOB COD，再 由相似三角形的对应边成比例即可得出 CD 的长 【解答】解：连接 AB、CD，由题意可知，OA=OB=1 米，OC=OD=16 米，AB=0.5 米， 在AOB 与COD 中， = ，AOB=COD， AOBCOD， = ，即 = ， 解得 CD=8 米 故答案
30、为：8 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意判断出AOB COD ，再 根据相似三角形的对应边成比例即可解答 18如图，在 RtABC 中，ABC 是直角，AB=3，BC=4，P 是 BC 边上的动点， 设 BP=x，若能在 AC 边上找到一点 Q，使BQP=90，则 x 的取值范围是 3x 4 【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【分析】根据已知首先找出 BP 取最小值时 QOAC，进而求出ABC OQC，再求出 x 的最小值，进而求出 PB 的取值范围即可 【解答】解：过 BP 中点 O，以 BP 为直径作圆， 连接 QO，当 QOAC 时，QO 最短，
31、即 BP 最短， OQC= ABC=90， C=C ， ABCOQC， = ， AB=3，BC=4， AC=5， BP=x， QO= x，CO=4 x， = ， 解得：x=3， 当 P 与 C 重合时，BP=4， BP=x 的取值范围是：3x4， 故答案为：3x4 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定 和勾股定理等知识，找出当 QOAC 时，QO 最短即 BP 最短，进而利用相似求 出是解决问题的关键 三、解答题（本大题共 7 小题，共 56 分） 19如图，已知直线 与双曲线 （k0）交于 A、B 两点，且点 A 的横 坐标为 4 （1）求 k 的值； （2）
32、若双曲线 （k0）上一点 C 的纵坐标为 8，求AOC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）根据正比例函数先求出点 A 的坐标，从而求出了 k 值为 8； （2）根据 k 的几何意义可知 SCOE =SAOF ，所以 S 梯形 CEFA=SCOA =15 【解答】解：（1）点 A 横坐标为 4， 当 x=4 时，y=2 点 A 的坐标为（4，2） 点 A 是直线 与双曲线 （k0 ）的交点， k=42=8 （2）如图， 过点 C、A 分别作 x 轴的垂线，垂足为 E、F ， 点 C 在双曲线 上，当 y=8 时，x=1 点 C 的坐标为（ 1，8 ） 点 C、A 都在
33、双曲线 上， S COE =SAOF =4 S COE +S 梯形 CEFA=SCOA +SAOF S COA =S 梯形 CEFA（6 分） S 梯形 CEFA= （2+8）3=15 ， S COA =15（8 分） 【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数 中 k 的几何意义这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何 意义 20（1 ）解方程：2x 23x1=0 （2）已知关于 x 的方程（ x3）（x 2）p 2=0 求证：方程总有两个不相等的实数根 当 p=2 时，求该方程的根 【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法 【分析】（1）应用公式法，
34、求出方程 2x23x1=0 的解是多少即可 （2）判断出0，即可推得方程总有两个不相等的实数根 当 p=2 时，应用公式法，求出该方程的根是多少即可 【解答】解：（1）2x 23x1=0， a=2，b= 3，c=1， = （ 3） 242（1） =9+8=17， x 1= ， x2= （2）方程可变形为 x25x+6p2=0， = （ 5） 241（6p 2）=1+4p 2， 4p 20 ， 0， 这个方程总有两个不相等的实数根 当 p=2 时，方程变形为 x25x+2=0， = （ 5） 2412=258=17， x 1= ，x 2= 【点评】此题主要考查了用公式法解一元二次方程，以及根的判
35、别式，要熟练 掌握 21如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形 （1）当 AC、 CD、DB 满足怎样的关系时， ACPPDB； （2）当ACPPDB 时，求APB 的度数 【考点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】（1）利用ACPPDB 的对应边成比例和等边三角形的性质可以找 到 AC、CD、DB 的关系； （2）利用相似三角形的性质对应角相等和等边三角形的性质可以求出APB 的 度数 【解答】解：（1）当 CD2=ACDB 时，ACPPDB， PCD 是等边三角形， PCD=PDC=60 ， ACP= PDB=120， 若 CD2=ACDB，由 PC=PD
36、=CD 可得：PCPD=ACDB， 即 = ， 则根据相似三角形的判定定理得ACPPDB （2）当ACPPDB 时，APC=PBD PDB=120 DPB+DBP=60 APC+BPD=60 APB=CPD+APC+ BPD=120 即可得APB 的度数为 120 【点评】此题是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性 质 22鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元物价部门规定其销售单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元经市 场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时，y=80；x=50 时，y=
37、100在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （2）求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系 式 （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）根据 y 与 x 成一次函数解析式，设为 y=kx+b，把 x 与 y 的两对值 代入求出 k 与 b 的值，即可确定出 y 与 x 的解析式，并求出 x 的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出 W 关于 x 的二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出 W 的最大值，以及此时
38、x 的值即可 【解答】解：（1）设 y=kx+b，根据题意得 ， 解得：k=2，b=200， y= 2x+200（30x60）； （2）W=（x30）（2x+200） 450=2x2+260x6450=2（x65） 2+2000； （3）W=2 （x65） 2+2000， 30x60， x=60 时，w 有最大值为 1950 元， 当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，为 1950 元 【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二 次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键 23如图，AB 是O 的直径，C 是弧 AB 的中点，O 的切线 BD 交 AC 的
39、延长 线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 DB 于点 F，AF 交O 于点 H， 连接 BH （1）求证：AC=CD； （2）若 OB=2，求 BH 的长 【考点】切线的性质 【分析】（1）连接 OC，只要证明 OCBD 即可 （2）在 Rt ABF 中，根据 BH= 计算即可 【解答】证明（1）连接 OC C 是 中点，AB 是O 的直径 OCAB ， BD 是O 切线， BDAB OCBD AO=BO， AC=CD （2）E 是 OB 中点， OE=BE 在COE 与FBE 中， CEO=FEB OE=BE COE=FBE COEFBE（ASA） BF=CO OB=2，
40、 BF=2 AF= = =2 ， AB 是直径 BH AF ABBF=AFBH BH= = = 【点评】本题考查圆的有关知识，切线的性质全等三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考 题型 24在锐角ABC 中，AB=4，BC=5 ，ACB=45 ，将ABC 绕点 B 按逆时针方向 旋转，得到A 1BC1 （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求 CC 1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC 1若ABA 1 的面积为 4，求CBC 1 的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC
41、 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与 最小值 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质 【分析】（1）由由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45 ，BC=BC 1，又由等腰 三角形的性质，即可求得CC 1A1 的度数； （2）由ABC A 1BC1，易证得ABA 1CBC 1，然后利用相似三角形的面积 比等于相似比的平方，即可求得CBC 1 的面积； （3）由当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP 1 最小； 当
42、P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转， 使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP 1 最大，即可求得线段 EP1 长度 的最大值与最小值 【解答】解：（1）由旋转的性质可得：A 1C1B=ACB=45 ，BC=BC 1， CC 1B=C 1CB=45， CC 1A1= CC1B+A 1C1B=45+45=90 （2）ABC A 1BC1， BA=BA 1，BC=BC 1，ABC=A 1BC1， ，ABC +ABC 1=A 1BC1+ABC 1， ABA 1=CBC 1， ABA 1CBC 1 ， S ABA1 =4， S CBC1 = ； （3）如图 1，过点
43、 B 作 BDAC，D 为垂足， ABC 为锐角三角形， 点 D 在线段 AC 上， 在 RtBCD 中，BD=BC sin45= ， 当 P 在 AC 上运动，BP 与 AC 垂直的时候，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP 1 最小，最小值为： EP1=BP1BE=BDBE= 2； 当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP 1 最大，最大值为：EP 1=BC+BE=2+5=7 【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质以及三角函数的应用此题难
44、度较大，注意数形结合思想的应用，注 意旋转前后的对应关系 25如图，在矩形 OABC 中，AO=10 ，AB=8 ，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建 立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O，D，C 三点 （1）求 AD 的长及抛物线的解析式； （2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时 动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动 到点 C 时，两点同时停止运动设运动时间为 t
45、秒，当 t 为何值时，以 P、Q 、 C 为顶点的三角形与ADE 相似？ 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，CED、 CBD 全等，首先在 Rt CEO 中求出 OE 的长，进而可得到 AE 的长；在 RtAED 中， AD=ABBD、ED=BD ，利用勾股定理可求出 AD 的长进一步能确定 D 点坐标， 利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）分两种情况进行讨论：当PQC=DAE=90时，ADEQPC，当 QPC= DAE=90时，ADEPQC，分别根据相似三角形的性质，得出关于 t 的方程，求得 t 的值 【解答】解：（1）四边形 ABCO 为矩形， OA
46、B= AOC=B=90 ，AB=CO=8，AO=BC=10 由折叠的性质得，BDCEDC ， B= DEC=90 ，EC=BC=10，ED=BD 由勾股定理易得 EO=6 AE=106=4 设 AD=x，则 BD=CD=8x， 由勾股定理，得 x2+42=（8 x） 2， 解得，x=3 AD=3 点 D（3， 10） 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 O（0，0）， c=0 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D（ 3，10），C（8，0 ）， ， 解得 抛物线的解析式为：y= x2 x （2）DEA +OEC=90，OCE+OEC=90， DEA= OCE， 由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5， CQ=t，EP=2t， PC=102t， 当PQC= DAE=90时，ADEQPC， = ，即 = ， 解得 t= ； 当QPC= DAE=90时，ADEPQC， = ，即 = ， 解得 t= ， 综上所述，
