1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科） 2010.1 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1 函数 1(0)yx的值域为 A 2, B (2,) C (0,) D , 2如图， PB、 分别是圆 O的割线和切线（C 为切点），若 3PAB，则 PC的长为 A 6 B6 C 3 D3 3已知双曲线 213yx ，那么它的焦点到渐近线的距离为 A1 B 3 C3 D4 4已知 ,mn为两条不同直线， ,为两个不同平面，那么使 /m成立的一个充分条件是 A /, B , C ,n D 上有不同的两个点到 的距离
2、相等 5先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于 6 的条件下，先后出现的点数中有 3 的概率 为 A 16 B 15 C 13 D 25 6如图，向量 ab等于 A 124e B 124e C 3 D 3 7某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数 ABO 2e1ba 学，但每班至多可再接收 2 名同学，那么不同的分配方案有 A72 种 B54 种 C36 种 D18 种 8点 P在曲线 C： 214xy 上，若存在过 P的直线交曲线 于 A点，交直线 l： 4x 于 B点，满足 AP或 A，则称点 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A曲线. .
3、上的所有点都是“H 点” B曲线 上仅有有限个点是 “H 点” C曲线 上的所有点都不是 “H 点” D曲线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是 “H 点” 第 II 卷（共 110 分） 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9若直线 l的参数方程为 1 23xty， （ 为 参 数 ）， ，则直线 l的斜率为_. 10阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的 y 值为 18， 则输入的实数 x 值为_. 11一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为_. 12设关于 x的不等式 2*()xnN的解集中整数的个数为 na，数列 n
4、的前 项和 为 nS，则 10的值为_. 13在区间 ,2上任取两个数 ,ab，那么函数 22()fxab无零点的概率为_. 14考虑以下数列 n， *N： 开始 x 021y 结束 输出 y 是 否 输入 x 12xy正 视 图 侧 视 图俯 视 图123123 21na； 21na； ln1a. 其中满足性质“对任意正整数 ， 都成立”的数列有 （写出满足 条件的所有序号）；若数列 n满足上述性质，且 1a， 2058，则 10a的最小值为 . 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15（本小题满分 13 分） 在 ABC中，角 ,的对
5、边分别为 ,3abcC， 5b， ABC的面积为 103. （）求 a， c的值； （）求 sin()6的值. 16（本小题满分 13 分） 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知 该题有两空，第一空答对得 3 分，答错或不答得 0 分；第二空答对得 2 分，答错或不答得 0 分. 第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷，其中该题 的得分组成容量为 1000 的样本，统计结果如下表： （ ）求 样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分； （）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名
6、学生参加考试，以样本中各种 得分情况的频率（精确到 0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这 道题第一空得分不低于第二空得分的概率. 17 （本小题满分 13 分） 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PD 底面 ABCD，E，F 分别为棱 BC，AD 的中点. （）求证：DE 平面 PFB； （）已知二面角 P-BF-C 的余弦值为 6，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 第一空得分情况 第二空得分情况 得分 0 3 得分 0 2 人数 198 802 人数 698 302 ABECDF 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 2()1xaf
7、（其中 R）. （）若函数 在点 (,)f处的切线为 12yxb，求实数 ,ab的值； （）求函数 ()fx的单调区间. 19（本小题满分 14 分） 已知抛物线 :W2yax经过点 A(2,1)，过 A 作倾斜角互补的两条不同直线 12,l. （）求抛物线 的方程及准线方程； （）当直线 1l与抛物线 相切时，求直线 2l与抛物线 W所围成封闭区域的面积； （）设直线 2,l分别交抛物线 于 B，C 两点（均不与 A 重合），若以线段 BC 为直径的 圆与抛物线的准线相切，求直线 BC 的方程. 20（本小题满分 14 分） 给定项数为 m*(,3)N的数列 na，其中 0,1i(,2)im
8、 . 若存在一个正整数 21k，若数列 中存在连续的 k 项和该数列中另一个连续的 k 项恰好按次序对应相等，则称数列 na是“k 阶可重复数列 ”， 例如数列 na0,1,. 因为 234与 567,a按次序对应相等，所以数列 na是“4 阶可重复数列”. （）分别判断下列数列 :0, 1, 0, .nb :1, , 01, .nc 是否是“5 阶可重复数列” ？如果是，请写出重复的这 5 项； （）若数为 m的数列 na一定是 “3 阶可重复数列”，则 m的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列 n不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项 a后再添加一项 0 或 1，均可 使新数列是
9、“5 阶可重复数列”，且 41a，求数列 na的最后一项 ma的值. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20101 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C C D B D 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 9 3 10 4 11 241 1210100 13 4 14;28 三、解答题(本
10、大题共 6 小题,共 80 分) 15（本小题满分 13 分） 解：（）由已知， 3C， 5b， 因为 1sin2ABSa ， 即 05i3 ， 1 分 解得 8a. 3 分 由余弦定理可得: 26480cos493c, 5 分 所以 7. 7 分 （）由（）有 951os7A, 9 分 由于 A 是三角形的内角， 易知 243sin1cos7A, 10 分 所以 ()icosin6611 分 4317234 . 13 分 16（本小题满分 13 分） 解：（）设样本试卷中该题的平均分为 x，则由表中数据可得: 0198302698302.1x， .4 分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均
11、分为 3.01 分. .5 分 （）依题意，第一空答对的概率为 0.8，第二空答对的概率为 0.3，.7 分 记“第一空答对”为事件 A， “第二空答对”为事件 B，则 “第一空答错”为事件 A， “第二 空答错”为事件 B.若要第一空得分不低于第二空得分，则 A发生或 与 B同时发生， .9 分 故有： ()0.82.7094PA. .12 分 答：该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为 0.94. .13 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 E，F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC，AD 的中点， 所以 BD , 所以， BEF为平行四边形, .2 分 得 /，
12、.3 分 又因为 F平面 PFB，且 平面 PFB, .4 分 所以 DE平面 PFB. .5 分 （）如图，以 D 为原点，射线 DA,DC,DP 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有： (1,0)(1,20).6 分 因为 PD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的 一个法向量为 (,)m， .7 分 ABEC PDFx yz 设平面 PFB 的一个法向量为 (,)xyzn，则可得 0=PFB n 即 +20xazy 令 x=1,得 1,z，所以 1(,)2an. .9 分 由已知，二面角
13、 P-BF-C 的余弦值为 6，所以得: 2 1cos|654amn , .10 分 解得 a =2. .11 分 因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高， 所以，其体积为 18243ABCDV. .13 分 18.（本小题满分 13 分） 解：由 2()1xaf ，可得 2()1)xaf . .2 分 （）因为函数 ()f在点 (,)f处的切线为 2yxb，得: 12()fb .4 分 解得 12a .5 分 （）令 ()0fx，得 0xa .6 分 当 4a，即 1时，不等式在定义域内恒成立，所以此时函数 ()fx的单调 递增区间为 (,)和 (,). .8 分 当 40a，即 1时，不
14、等式的解为 1xa或 1xa， .10 分 又因为 1x，所以此时函数 ()fx的单调递增区间为 (,1)a和 (1,)a， 单调递减区间为 (,1a和 ,1)a. .12 分 所以，当 1a时，函数 ()fx的单调递增区间为 (,)和 (1,)； 当 时，函数 f的单调递增区间为 ,1a和 ,)a， 单调递减区间为 (1,)a和 (,). .13 分 19（本小题满分 14 分） 解：（）由于 A(2,1)在抛物线 2yax上， 所以 14a，即 1. .2 分 故所求抛物线的方程为 14，其准线方程为 y. .3 分 （）当直线 1l与抛物线相切时，由 2xy，可知直线 1l的斜率为 1，
15、其倾斜角为 45，所以 直线 2l的倾斜角为 35，故直线 2l的斜率为 1，所以 2l的方程为 3yx .4 分 将其代入抛物线的方程 14yx，得 40x, 解得 12,6, .5 分 所以直线 2l与抛物线所围成封闭区域的面积为:2 22266611(3)d(3)d44xxxx .6 分 2236()1xx .8 分 （）不妨设直线 AB 的方程为 (2) (0)ykxk， .9 分 由 2 1()4ykx 得 280, .10 分 易知该方程有一个根为 2，所以另一个根为 42k， 所以点 B 的坐标为 (,41)kk, 同理可得 C 点坐标为 2, .11 分 ACBOyx1yAOy
16、x 所以 2 22|(42)()(41)(41)BCkkk88 , .12 分 线段 BC 的中点为 2(,41)k，因为以 BC 为直径的圆与准线 1y相切， 所以 241)k,由于 0， 解得 2k. .13 分 此时，点 B 的坐标为 (2,32)，点 C 的坐标为 (,32)， 直线 BC 的斜率为 )(1()， 所以，BC 的方程为 32(2)yx，即 10xy. .14 分 20（本小题满分 14 分） 解：（）记数列为 nb，因为 23456,b与 78910,b按次序对应相等，所以数列是 “5 阶可重复数列” ，重复的这五项为 0,0,1,1,0; 记数列 为 nc，因为 12
17、345,c、 23456,c、 34567,c、 45678,c、 56789,c 、 67890,没有完全相同的，所以 n不是“5 阶可重复数列”. .3 分 （）因为数列 na的每一项只可以是 0 或 1，所以连续 3 项共有 328种不同的情形.若 m11，则数列 中有 9 组连续 3 项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为 11 的 数列 na一定是“3 阶可重复数列”；若 m10，数列 0,0,1,0,1,1,1,0,0,0 不是“3 阶可重复数列”；则310 时，均存在不是 “3 阶可重复数列”的数列 na.所以，要使数列 na一定 是“3 阶可重复数列” ，则 m 的最小
18、值是 11. .8 分 （III）由于数列 na在其最后一项 ma后再添加一项 0 或 1，均可使新数列是“5 阶可重复数列”， 即在数列 的末项 m后再添加一项 01或 ，则存在 ij， 使得 1234,iiiiaa与 321,ma按次序对应相等，或 1234,jjjjaa与3,mm 按次序对应相等， 如果 1234,a与 321,maa不能按次序对应相等，那么必有 2,4ijm， ij， 使得 123,iiia、 123,jjja与 21,mmaa按次序对应相等. 此时考虑 ,ij和 4m，其中必有两个相同，这就导致数列 na中有两个连续的五项恰按 次序对应相等，从而数列 na是“5 阶可重复数列”，这和题设中数列 不是“5 阶可重复数列” 矛盾！所以 1234,a与 321,mma按次序对应相等，从而 41.ma .14 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.
