1、2015-2016 学年天津市和平区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题并 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在毎小题给出的四个选項中，只 有一項是符合题目要求的） 1将 0.0000108 用科学记数法表示应为( ) A1.0810 4 B1.08 105 C1.08 106 D10.810 6 2如图，ABCD，A=45， C=28，则AEC 的大小为 ( ) A17 B62 C63 D73 3下列计算正确的是( ) A （x+y） 2=x2+y2 B （x y） 2=x22xyy2 C （x+2y ） （x2y）=x 22y2 D （x+y） 2=x22xy+y2 4化简
2、的结果是( ) A B C D 5如图，在直角三角形 ABC 中， C=90， CAB 的平分线 ADD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平分 AB，则下列结论中错误的是( ) AAB=2AE BAC=2CD CDB=2CD DAD=2DE 6下列计算正确的是( ) A （5b ） 3=15b3 B （2x） 3（ 5xy2）=40x 4y2 C28x 6y2+7x3y=4x2y D （ 12a36a2+3a） 3a=4a22a 7下列计算错误的是( ) A （a 1b2） 3= B （a 2b2） 3= C （3ab 1） 3= D （ 2m2n2） 23m3n3= 8如图，在ABC 中，
3、AB=AC ，A=30 ，以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于 点 D，连接 BD，则ABD=( ) A30 B45 C60 D90 9如图，点 A 在 BE 上，且 AC=AB，BD=CECE，BD 交于点 F，AC，BD 交于点 GCAB= DFE则 AE 等于( ) AAD BDF CCE AB DBD AB 10如图，点 B，E，F，D 在一条直线上，且 DE=BF，点 A，C 在直线 BD 的两側，且 AB=CD，AE=CF连接 AD，AF，CB，CE，则图中的全等三角形共有( ) A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 11如图，ABC 中，AC=AD ，BC=BE，
4、ACB=100，则 ECD=( ) A20 B30 C40 D50 12一汽艇保持发动机功率不变，它在相距 25 千米的 A，B 两码头之间流动的河水中往返 一次（其中汽艇的速度大于河水的速度）与它在平静的湖水中航行 50 千米比较，两次航行 所用时间的关系是( ) A在平静的湖水中用的时间少 B在流动的河水中用的时间少 C两种情况所用时间相等 D以上均有可能 二、填空雇（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13当 x_时，分式 有意义； 当 x_时，分式 有意义； 当 x_时，分式 有意义 14分解因式： （1）4x 29=_； （2）x 2+3x+2=_； （3）2x 25
5、x3=_ 15如图，AC=BD，AC，BD 交于点 O，要使ABCDCB，只需添加一个条件，这个 条件可以是_ 16如果一个等腰三角形的周长为 27，且两边的差为 12，则这个等腰三角形的底边的长为 _ 17己知 x=1+3m，y=1 9m，用含 x 的式子表示 y 为：y= _ 18如图，ABC 中， ACB=60，ABC， BCA，CAB 都是ABC 形外的等边三角 形，点 D 在边 AC 上，且 DC=BC连接 DB，DB，DC有下列结论： CDB 是等边三角形； CBDBDC； SACDSDBA SABC+SABC=SACB+SABC 其中，正确的结论有_（请写序号，少选、错选均不得分
6、） 三、解答题（共 6 小题，共 46 分） 19如图，在ABD 和FEC 中，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 AB=FE，BC=DE ，B= E求证：ADB=FCE 20如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 21 （16 分）计算： （1） （2x+1） （x+3 ）6（x 2+x1） （2） （2x+y 6） （2xy+6 ） （3） （4） （ ） 2 + 22列方程或方程组解应用题： 近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两
7、人计划用相同的年数分别缴纳养老保险 金 15 万元和 10 万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金 0.2 万元求甲、乙两人计划每 年分别缴纳养老保险金多少万元？ 23分解因式： （1） （ab） （a4b）+ab （2） （ab） （a 2ab+b2）+ab（b a） 24已知，Rt ABC 中， ACB=90，BAC=30，分别以 AB，AC 为边在ABC 外侧作等 边三角形 ABE 与等边三角形 ACD （1）如图，求BAD 的大小； （2）如图，连接 DE 交 AB 于点 F求证：EF=DF 2015-2016 学年天津市和平区八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本大题并 12 小题
8、，每小题 3 分，共 36 分在毎小题给出的四个选項中，只 有一項是符合题目要求的） 1将 0.0000108 用科学记数法表示应为( ) A1.0810 4 B1.08 105 C1.08 106 D10.810 6 【考点】科学记数法表示较小的数 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000108=1.0810 5 故选：B 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为 由原
9、数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 2如图，ABCD，A=45， C=28，则AEC 的大小为 ( ) A17 B62 C63 D73 【考点】平行线的性质 【专题】几何图形问题 【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得ABC=C=28，再根据三角形内角与外角 的性质可得AEC=A+ ABC 【解答】解：AB CD， ABC=C=28， A=45， AEC=A+ABC=28+45=73， 故选：D 【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的性质，关键是掌握两直 线平行，内错角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和 3下列计算正确的是( ) A （x+y
10、） 2=x2+y2 B （x y） 2=x22xyy2 C （x+2y ） （x2y）=x 22y2 D （x+y） 2=x22xy+y2 【考点】完全平方公式；平方差公式 【专题】计算题 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，逐一检验 【解答】解：A、 （x+y ） 2=x2+2xy+y2，故本选项错误； B、 （xy） 2=x22xy+y2，故本选项错误； C、 （x+2y ） （x2y）=x 24y2，故本选项错误； D、 （x+y ） 2=（xy） 2=x22xy+y2，故本选项正确 故选：D 【点评】本题主要考查了对完全平方公式、平方差公式的理解能力，如何确定用哪一个公 式，主要看两
11、数的符号是相同还是相反 4化简 的结果是( ) A B C D 【考点】分式的混合运算 【分析】首先利用分式的加法法则计算括号内的式子，然后把除法转化成乘法，即可求 解 【解答】解：原式= = 故选 A 【点评】本题考查了分式的混合运算，正确理解运算顺序，理解运算法则是关键 5如图，在直角三角形 ABC 中， C=90， CAB 的平分线 ADD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平分 AB，则下列结论中错误的是( ) AAB=2AE BAC=2CD CDB=2CD DAD=2DE 【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，等
12、腰三角形的性质，角平分线的性质求出求出 CAD=BAD=B=30，根据 30角的直角三角形的性质即可判断 【解答】解：DE 垂直平分 AB， AD=BD，AB=2AE， DAB=B， CAD=DAB= BAC， BAC=2B， C=90， B=30， BAC=60， CAD=DAB=30， AD=2CD，BD=AD=2DE， AD 是 CAB 的平分线，DC AC，DEAB， DE=CD， BD=2CD， AD=2CD，ADAC， AC2CD， 故选 B 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等 腰三角形的判定，含 30 度角的直角三角形的性质的应用，注意
13、：在直角三角形中，如果有 一个角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6下列计算正确的是( ) A （5b ） 3=15b3 B （2x） 3（ 5xy2）=40x 4y2 C28x 6y2+7x3y=4x2y D （ 12a36a2+3a） 3a=4a22a 【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式 【分析】根据积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，合并同类项系数相加字母及指数不 变，多项式除以单项式，可得答案 【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故 A 错误； B、 （2x） 3（5xy 2）=8x 3（5xy 2）=40x 4y2，故 B 正确； C、不
14、是同类项不能合并，故 C 错误； D、 （12a 36a2+3a） 3a=4a22a+1，故 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了整式的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键 7下列计算错误的是( ) A （a 1b2） 3= B （a 2b2） 3= C （3ab 1） 3= D （ 2m2n2） 23m3n3= 【考点】负整数指数幂 【分析】首先利用积的乘方进行计算，再根据 ap= （a 0，p 为正整数）变负指数为正指 数 【解答】解：A、 （a 1b2） 3= 计算正确，故此选项错误； B、 （a 2b2） 3= 计算正确，故此选项错误； C、 （3ab 1） 3= 计算错误，应为
15、（3ab 1） 3=27a3b3= ，故此选项正确； D、 （2m 2n2） 23m3n3= 计算正确，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握 ap= （a 0，p 为正整数） 8如图，在ABC 中，AB=AC ，A=30 ，以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于 点 D，连接 BD，则ABD=( ) A30 B45 C60 D90 【考点】等腰三角形的性质 【专题】计算题 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出ABC=ACB ，再求出CBD，然后根据 ABD=ABCCBD 计算即可得解 【解答】解：AB=AC，A=30， ABC=ACB= （180
16、 A）= （180 30）=75 ， 以 B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交 AC 于点 D， BC=BD， CBD=1802ACB=180275=30， ABD=ABCCBD=7530=45 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是 解题的关键 9如图，点 A 在 BE 上，且 AC=AB，BD=CECE，BD 交于点 F，AC，BD 交于点 GCAB= DFE则 AE 等于( ) AAD BDF CCE AB DBD AB 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】根据已知条件和对顶角相等得到BAC=BFC ，根据对顶角相等得到 AGB=CG
17、F，推出 B=C，证得 ABDACE，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：CAB= DFE，BFC=DFE， BAC=BFC， AGB=CGF， B=C， 在ABD 与 ACE 中， ， ABDACE， AE=AD 故选 A 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题 的关键 10如图，点 B，E，F，D 在一条直线上，且 DE=BF，点 A，C 在直线 BD 的两側，且 AB=CD，AE=CF连接 AD，AF，CB，CE，则图中的全等三角形共有( ) A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 【考点】全等三角形的判定 【分析】先由 AE=BF 得到
18、 AF=BE，则可利用“SSS”判定 ABECDF，根据全等三角形 的性质得ABE=CDF ，加上 AB=CD，BF=DE ，则可利用“SAS”判定ABFCDE； ABDCDB，接着根据全等三角形的性质得 AF=CE，AD=CB，ADB= CBD，然后利用 “SSS”判定AEFCEF，利用“SAS” 判定 ADFCBE，ADE CBF 【解答】解：AE=BF， AF=BE， 而 AB=CD，AE=CF， 可根据“ SSS”判定 ABECDF， ABE=CDF， 而 AB=CD，BF=DE， 可根据“ SAS”判定ABFCDE； ABDCDB， AF=CE，AD=CB，ADB=CBD， 可根据“
19、 SSS”判定 AEFCEF，根据“SAS ”判定 ADFCBE，ADECBF 故选 C 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法， 取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角 对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另 一组角，或找这个角的另一组对应邻边 11如图，ABC 中，AC=AD ，BC=BE，ACB=100，则 ECD=( ) A20 B30 C40 D50 【考点】等腰三角形的性质 【分析】首先设ACE=x ，DCE=y，BCD=z ，由 BE=BC，AD=AC ，利
20、用等腰三角形 的性质，即可用 x，y，z 表示出ADC 与BEC 的度数，又由三角形外角的性质，得到 A 与B 的值，然后由在ABC 中，ACB=100，利用三角形内角和定理得到方程，继而求 得DCE 的大小 【解答】解：设ACE=x ，DCE=y，BCD=z ， BE=BC，AD=AC， ADC=ACD=ACE+DCE=（x+y） ，BEC=BCE=BCD+DCE=（y+z）， A=BECACE=（y+z x） ， B=ADCBCD=（x+y z）， 在 ABC 中， ACB=100， A+B=180ACB=80， y+zx+x+yz=80， 即 2y=80， y=40， DCE=40 故选
21、 C 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质此题 难度适中，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答 12一汽艇保持发动机功率不变，它在相距 25 千米的 A，B 两码头之间流动的河水中往返 一次（其中汽艇的速度大于河水的速度）与它在平静的湖水中航行 50 千米比较，两次航行 所用时间的关系是( ) A在平静的湖水中用的时间少 B在流动的河水中用的时间少 C两种情况所用时间相等 D以上均有可能 【考点】分式的加减法 【专题】应用题 【分析】设汽艇在静水中的速度为 a 千米/ 小时，水速为 b 千米/小时，根据题意列出算式， 然后再比较大小
22、即可 【解答】解：汽艇在静水中所用时间= 汽艇在河水中所用时间= = = 0 在平静的湖水中用的时间少 故选；A 【点评】本题主要考查的是分式的减法，根据题意列出汽艇在静水中和河水中所用时间的 代数式是解题的关键 二、填空雇（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13当 x0 时，分式 有意义； 当 x1 时，分式 有意义； 当 x1 时，分式 有意义 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案 【解答】解：当 x0 时，分式 有意义； 当 x1 时，分式 有意义； 当 x1 时，分式 有意义； 故答案为：0， 1，1 【点评】本题考查了分式有意义的条件
23、，利用分母不为零分式有意义是解题关键 14分解因式： （1）4x 29=（2x+3） （2x3） ； （2）x 2+3x+2=（x+1） （x+2） ； （3）2x 25x3=（2x+1 ） （x 3） 【考点】因式分解-十字相乘法等；因式分解 -运用公式法 【专题】计算题；因式分解 【分析】 （1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式利用十字相乘法分解即可； （3）原式利用十字相乘法分解即可 【解答】解：（1）原式=（2x+3） （2x3） ； （2）原式=（x+1） （x+2 ） ； （3）原式=（2x+1） （x3） ， 故答案为：（1） （2x+3） （2x3） ；（2） （x+1
24、） （x+2） ；（ 3） （2x+1） （x3） 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是 解本题的关键 15如图，AC=BD，AC，BD 交于点 O，要使ABCDCB，只需添加一个条件，这个 条件可以是 AB=DC 【考点】全等三角形的判定 【专题】开放型 【分析】可利用“SSS ”添加条件 【解答】解：AC=BD， 而 BC=CB， 当添加 AB=DC 则可根据“ SSS”判定ABCDCB 故答案为 AB=DC 【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法， 取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的
25、夹角或第三边；若已知两角 对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另 一组角，或找这个角的另一组对应邻边 16如果一个等腰三角形的周长为 27，且两边的差为 12，则这个等腰三角形的底边的长为 1 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】设等腰三角形的腰长为 x，则底边长为 x12 或 x+12，再根据三角形的周长即可求 得 【解答】解：设等腰三角形的腰长为 x，则底边长为 x12 或 x+12， 当底边长为 x12 时，根据题意， 2x+x12=27， 解得 x=13， 底边长为 1； 当底边长为 x+12 时，根据题意，2x+x+12=27，
26、解得 x=5， 因为 5+517，所以构不成三角形， 故这个等腰三角形的底边的长为 1， 故答案为 1 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系此题难度不大，注意分类讨 论思想的运用 17己知 x=1+3m，y=1 9m，用含 x 的式子表示 y 为：y= x2+2x 【考点】幂的乘方与积的乘方 【分析】根据 x=1+3m 得出 3m=x1，再把要求的式子进行变形得出 y=1（3 m） 2，然后把 3m=x1 代入进行整理即可得出答案 【解答】解：x=1+3 m， 3m=x1， y=19m=1（3 m） 2=1（x1） 2=1（x 22x+1）=x 2+2x； 故答案为：x 2+2
27、x 【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则，对要求的式子进行变形是 解题的关键 18如图，ABC 中， ACB=60，ABC， BCA，CAB 都是ABC 形外的等边三角 形，点 D 在边 AC 上，且 DC=BC连接 DB，DB，DC有下列结论： CDB 是等边三角形； CBDBDC； SACDSDBA SABC+SABC=SACB+SABC 其中，正确的结论有（请写序号，少选、错选均不得分） 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质得出BCD 是等边三角形以及C BD=60+ABD=ABC， 进而证得C BDABC，BCADCB，进一步
28、证得四边形 ABDC是平行四边形，即可 判断 【解答】解：BC=CD，ACB=60 ， BCD 是等边三角形，故 正确； ABC和 BCD 是等边三角形， ABC=DBC=60， CBD=60+ABD=ABC， 在CBD 与ABC 中， ， CBDABC， 在BCA 与DCB中， BCADCB（SAS） CBDBDC，故正确； CBDABC， CDB=ACB=60，CD=AC， DBC=60，AB=AC， CDB=DBC，CD=AB， BCCD， ABC=ACB=60， BCAB， ABDC， 四边形 ABDC是平行四边形， SACD=SDBA，故错误； SACD=SDBA，S BCD=SBC
29、D， SABC+SABC=SACB+SABC故正确 故答案为 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的 判定和性质以及三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键 三、解答题（共 6 小题，共 46 分） 19如图，在ABD 和FEC 中，点 B，C，D，E 在同一直线上，且 AB=FE，BC=DE ，B= E求证：ADB=FCE 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】根据等式的性质得出 BD=CE，再利用 SAS 得出：ABD 与FEC 全等，进而得 出ADB=FCE 【解答】证明：BC=DE， BC+CD=DE+CD， 即 BD=CE，
30、 在ABD 与 FEC 中， ， ABDFEC（SAS） ， ADB=FCE 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出 BD=CE，再利用 全等三角形的判定和性质解答 20如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】 （1）根据平行线的性质可得EDC= B=60，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证EDC 是等边三角形，再根据直
31、角三角形的性质即可求解 【解答】解：（1）ABC 是等边三角形， B=60， DEAB， EDC=B=60， EFDE， DEF=90， F=90EDC=30； （2）ACB=60，EDC=60， EDC 是等边三角形 ED=DC=2， DEF=90，F=30， DF=2DE=4 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30 度的锐角所对 的直角边等于斜边的一半 21 （16 分）计算： （1） （2x+1） （x+3 ）6（x 2+x1） （2） （2x+y 6） （2xy+6 ） （3） （4） （ ） 2 + 【考点】分式的混合运算；整式的混合运算 【专题】计算题
32、 【分析】 （1）先利用乘法公式展开，然后合并即可； （2）先变形得到原式=2x+（y6）2x （y6），然后利用平方差公式和完全平方公式计 算； （3）先把分子分母因式分解，然后约分即可； （4）先进行乘方运算，然后进行乘除运算，再通分即可 【解答】解：（1）原式=2x 2+6x+x+36x26x+6 =4x2+x+9； （2）原式=2x+（y 6） 2x（ y6） =（2x） 2（y6） 2 =4x2（ y212y+36） =4x2y2+12y36； （3）原式= = ； （4）原式= + = + = 【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同 的混合运
33、算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的 （2）最后结果 分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式也考查了整式的混合运 算 22列方程或方程组解应用题： 近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险 金 15 万元和 10 万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金 0.2 万元求甲、乙两人计划每 年分别缴纳养老保险金多少万元？ 【考点】分式方程的应用 【专题】应用题 【分析】设乙每年缴纳养老保险金为 x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元， 根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金 15 万元和 10 万元列出方
34、程，求出 方程的解即可得到结果 【解答】解：设乙每年缴纳养老保险金为 x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万 元， 根据题意得： = ， 去分母得：15x=10x+2， 解得：x=0.4， 经检验 x=0.4 是分式方程的解，且符合题意， x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元） ， 答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金 0.6 万元、0.4 万元 【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中等量关系“甲、乙两人计划用相同的年数分 别缴纳养老保险金 15 万元和 10 万元”是解本题的关键 23分解因式： （1） （ab） （a4b）+ab （2） （ab） （a 2ab+b2
35、）+ab（b a） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【专题】计算题；因式分解 【分析】 （1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可； （2）原式变形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：（1）原式=a 24abab+4b2+ab=a24ab+4b2=（a2b） 2； （2）原式=（ab） （a 2ab+b2）ab （ab）=（a b） （a 22ab+b2）= （a b） 3 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关 键 24已知，Rt ABC 中， ACB=90，BAC=30，分别以 AB，AC 为边在ABC 外侧作等 边三角形 A
36、BE 与等边三角形 ACD （1）如图，求BAD 的大小； （2）如图，连接 DE 交 AB 于点 F求证：EF=DF 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到CAD=60，由BAC=30，根据角的和差关系， 于是得到结论； （2）作 EGAD，交 AB 于点 G，由等边三角形的DAC=60，加上已知的CAB=30得到 FAD=90，然后根据两直线平行内错角相等得到 EGF=90，再根据ACB=90 ， CAB=30，利用三角形的内角和定理得到 ABC=60，由等边三角形的性质也得到 EBG=60，从而得到两角相等，再由 EB=AB，利用“ A
37、AS”证得EGBACB ，根据全等 三角形的对应边相等得到 EG=AC，再由ADC 为等边三角形得到 AD=AC，等量代换可得 EG=AD，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据 “AAS”证得EGFDAF，最后 根据全等三角形的对应边相等即可得证 【解答】 （1）解：ACD 是等边三角形， CAD=60， BAC=30， BAD=BAC+CAD=90； （2）证明：如图，作 EGAD，交 AB 于点 G， 由DAC=60 ，CAB=30得： FAD=DAC+CAB=90， EGF=FAD=90， 又ACB=90，CAB=30 ， ABC=60， 又ABE 为等边三角形， EBG=60，E
38、B=AB， EBG=ABC=60， 在EGB 和ACB 中， ， EGBACB（AAS） ， EG=AC， 又ADC 为等边三角形， AD=AC， EG=AD， 在EGF 和 DAF 中， ， EGFDAF（AAS） ， EF=DF，即 F 为 DE 中点 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质， 其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS ；ASA ；AAS；HL（直角三角形判定全等的方 法） ，常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公 共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用第二问作出辅助线构造全等三角形是本问 的突破点
