1、第 1 页（共 36 页） 2016-2017 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1如图，点 D，E 分别在ABC 的 AB，AC 边上，且 DEBC，如果 AD：AB=2：3，那么 DE：BC 等于（ ） A3 ：2 B2：5 C2：3 D3：5 2如果O 的半径为 7cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，且 d=5cm，那么O 和直线 l 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 3如果两个相似多边形的面积比为 4：9，那么它们的周长比为（ ） A4 ：9 B2：3 C
2、： D16：81 4把二次函数 y=x22x+4 化为 y=a（xh ） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ） Ay= （ x+1） 2+3 By=（x2） 2+3Cy=（x1） 2+5Dy=（x 1） 2+3 5如果某个斜坡的坡度是 1： ，那么这个斜坡的坡角为（ ） A30 B45 C60 D90 6如图，AB 是O 的直径，C，D 两点在O 上，如果C=40，那么ABD 的 度数为（ ） A40 B50 C70 D80 7如果 A（2，y 1） ，B（3，y 2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，那么 y1 与 第 2 页（共 36 页） y2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 B
3、y 1y 2 Cy 1=y2 Dy 1y 2 8如图，AB 为半圆 O 的直径，弦 AD，BC 相交于点 P，如果 CD=3，AB=4，那 么 SPDC ：S PBA 等于（ ） A16： 9 B3：4 C4：3 D9：16 9如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与 旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距 离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为（ ） A10 米 B （10 +1.5）米 C
4、11.5 米 D10 米 10如图，在菱形 ABCD 中，AB=3，BAD=120 ，点 E 从点 B 出发，沿 BC 和 CD 边移动，作 EF直线 AB 于点 F，设点 E 移动的路程为 x，DEF 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象为（ ） A B C D 第 3 页（共 36 页） 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11二次函数 y=2（x1） 25 的最小值是 12已知 ，则 = 13已知一扇形的面积是 24，圆心角是 60，则这个扇形的半径是 14请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式： 图象位于第二、四象限； 如果过图象上任意一点 A 作 ABx 轴
5、于点 B，作 ACy 轴于点 C，那么得到 的矩形 ABOC 的面积小于 6 15如图，将半径为 3cm 的圆形纸片折叠后，劣弧中点 C 恰好与圆心 O 距离 1cm，则折痕 AB 的长为 cm 16太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被 推广使用如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢， 太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，支撑角钢 EF 长为 cm，AB 的 倾斜角为 30，BE=CA=50cm，支撑角钢 CD，EF 与底座地基台面接触点分别为 D，F，CD 垂直于地面，FEAB 于点 E两个底座地基高度相同（即点 D，F 到 地面的垂直距离
6、相同） ，均为 30cm，点 A 到地面的垂直距离为 50cm，则支撑 角钢 CD 的长度是 cm，AB 的长度是 cm 第 4 页（共 36 页） 三、解答题（本题共 35 分，每小题 5 分） 17计算：6tan 30+cos245sin 60 18如图，在 RtABC 中，C=90 ，tanA= ，BC=12，求 AB 的长 19已知二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点 （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小 20如图，已知 AE 平分 BAC， = （1）求证：E=C； （2）若 AB=9，AD=5，DC=3，求
7、BE 的长 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+1 的图象的一个交点为 A（ 1，m） （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴交于点 B（ n，0） ，请确定当 xn 时， 第 5 页（共 36 页） 对应的反比例函数 y= 的值的范围 22已知：如图，AB 为 O 的直径，PA、PC 是 O 的切线，A 、C 为切点， BAC=30 （1）求P 的大小； （2）若 AB=6，求 PA 的长 23已知：ABC （1）求作：ABC 的外接圆，请保留作图痕迹； （2）至少写出两条作图的依据 四、解答题（本题
8、共 22 分，第 24 至 25 题，每小题 5 分，第 26 至 27 题，每小 题 5 分） 24青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书在销售的过程中发 现，这种图书每天的销售数量 y（本）与销售单价 x（元）满足一次函数关系： y=3x+108（20x36） 如果销售这种图书每天的利润为 p（元） ，那么销售单 第 6 页（共 36 页） 价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 25如图，将一个 RtBPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点 P 落 在线段 CD 上（不与 C，D 两点重合） ，斜边的一部分与线段 AB 重合 （1）图中与 RtB
9、CP 相似的三角形共有 个，分别是 ； （2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与BCP 相似 的证明 26有这样一个问题：探究函数 y= 的图象与性质小美根据学习函数的 经验，对函数 y= 的图象与性质进行了探究下面是小美的探究过程，请 补充完整： （1）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 2 1 1 2 3 4 第 7 页（共 36 页） y 0 1 m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性
10、质： 27如图，以ABC 的边 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中 点，连接 AE 交 BC 于点 F，ACB=2 BAE （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 sinB= ，BD=5，求 BF 的长 五、解答题（本题共 15 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 28已知抛物线 G1：y=a（x h） 2+2 的对称轴为 x=1，且经过原点 （1）求抛物线 G1 的表达式； （2）将抛物线 G1 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位后，与 x 轴分别交于 第 8 页（共 36 页） A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于
11、 C 点，求 A 点的坐标； （3）记抛物线在点 A，C 之间的部分为图象 G2（包含 A，C 两点） ，如果直线 m：y=kx 2 与图象 G2 只有一个公共点，请结合函数图象，求直线 m 与抛物线 G2 的对称轴交点的纵坐标 t 的值或范围 29如图，对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和线段 AB，给出如下定义：如果 线段 AB 上存在两个点 M，N，使得MPN=30，那么称点 P 为线段 AB 的伴随 点 （1）已知点 A（1，0） ，B（1，0）及 D（1， 1） ， E（ ， ） ，F（0，2+ ） ， 在点 D，E，F 中，线段 AB 的伴随点是 ； 第 9 页（共 36 页
12、） 作直线 AF，若直线 AF 上的点 P（m，n）是线段 AB 的伴随点，求 m 的取值 范围； （2）平面内有一个腰长为 1 的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都 是某条线段 a 的伴随点，请直接写出这条线段 a 的长度的范围 第 10 页（共 36 页） 2016-2017 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1如图，点 D，E 分别在ABC 的 AB，AC 边上，且 DEBC，如果 AD：AB=2：3，那么 DE：BC 等于（ ） A3 ：2 B2：5 C
13、2：3 D3：5 【考点】平行线分线段成比例 【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结果 【解答】解：DEBC， DE：BC=AD：AB=2：3； 故选：C 2如果O 的半径为 7cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，且 d=5cm，那么O 和直线 l 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可 【解答】解：O 的半径为 7cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，且 d=5cm， 57， 直线 l 与O 的位置关系是相交， 故选 A 第 11 页（共 36 页） 3如果两个相似多边形的面积比为 4：9，
14、那么它们的周长比为（ ） A4 ：9 B2：3 C ： D16：81 【考点】相似多边形的性质 【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平 方进行解答即可 【解答】解：两个相似多边形面积的比为 4：9， 两个相似多边形周长的比等于 2：3， 这两个相似多边形周长的比是 2：3 故选：B 4把二次函数 y=x22x+4 化为 y=a（xh ） 2+k 的形式，下列变形正确的是（ ） Ay= （ x+1） 2+3 By=（x2） 2+3Cy=（x1） 2+5Dy=（x 1） 2+3 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法整理即可得解 【解答】解：y=x 22x+4
15、， =x22x+1+3， =（ x1） 2+3 故选 D 5如果某个斜坡的坡度是 1： ，那么这个斜坡的坡角为（ ） A30 B45 C60 D90 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果 【解答】解：设这个斜坡的坡角为 ， 由题意得：tan=1 ： = ， 第 12 页（共 36 页） =30； 故选 A 6如图，AB 是O 的直径，C，D 两点在O 上，如果C=40，那么ABD 的 度数为（ ） A40 B50 C70 D80 【考点】圆周角定理 【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得DAB 的度 数由 AB 是O 的直径，
16、根据直径所对的圆周角是直角求得 ADB 的度数，进 而即可求得ABD 的度数 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB=90 ， C=40， DAB=C=40， ABD=90 DAB=50 故选 B 7如果 A（2，y 1） ，B（3，y 2）两点都在反比例函数 y= 的图象上，那么 y1 与 y2 的大小关系是（ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1=y2 Dy 1y 2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】直接把点 A（2，y 1） ，B （3，y 2）两点代入反比例函数 y= 的解析式， 求出 y1 与 y2 的值，再比较其大小即可 第 13 页（共 36 页） 【解答
17、】解：A（2，y 1） ，B （3，y 2）两点都在反比例函数 y= 的图象上， y 1= ，y 2= ， y 1y 2 故选 B 8如图，AB 为半圆 O 的直径，弦 AD，BC 相交于点 P，如果 CD=3，AB=4，那 么 SPDC ：S PBA 等于（ ） A16： 9 B3：4 C4：3 D9：16 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】根据图形可得DCP=BAP，CPD=APB，进而得出ABP CDP，根据相似三角形的性质可得，S PDC ：S PBA =（ ） 2，最后根据 CD=3，AB=4 进行计算即可 【解答】解：DCP=BAP，CPD=APB， ABPCDP
18、 ， S PDC ：S PBA =（ ） 2=（ ） 2= ， 故选：D 9如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与 旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距 离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，则旗杆的高度为（ ） 第 14 页（共 36 页） A10 米 B （10 +1.5）米 C11.5 米 D10 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】确定出DEF 和DAC 相似，根据相似三角形对应边成比例求出
19、AC， 再根据旗杆的高度=AC+BC 计算即可得解 【解答】解：FDE=ADC=30， DEF= DCA=90， DEFDAC ， = ， 即 = ， 解得 AC=10， DF 与地面保持平行，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米， BC=DG=1.5 米， 旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5 米 故选 C 10如图，在菱形 ABCD 中，AB=3，BAD=120 ，点 E 从点 B 出发，沿 BC 和 CD 边移动，作 EF直线 AB 于点 F，设点 E 移动的路程为 x，DEF 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象为（ ） 第 15 页（共 36 页） A B C
20、D 【考点】动点问题的函数图象 【分析】分两种情形求出 y 与 x 的关系即可判断 【解答】解：当 E 在 BC 边上时， y=S 菱形 ABCDSBEF SADF SDEC =2 32 x （3 x） （3x） = x2+ x 当点 E 在 CD 上时， y= （ 6x） = x+ ， 故选 C 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11二次函数 y=2（x1） 25 的最小值是 5 第 16 页（共 36 页） 【考点】二次函数的最值 【分析】由二次函数的定顶点式可得当 x=1 时，y 取得最小值5 【解答】解：y=2（x1） 25， 当 x=1 时，y 取得最小值5， 故答案为
21、：5 12已知 ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】由 ，得 x= y，再代入所求的式子化简即可 【解答】解： ，得 x= y， 把 x= y，代入 = 故答案为： 13已知一扇形的面积是 24，圆心角是 60，则这个扇形的半径是 12 【考点】扇形面积的计算 【分析】把已知数据代入扇形的面积公式 S= ，计算即可 【解答】解：设这个扇形的半径是为 R， 则 =24， 解得，R=12， 故答案为：12 14请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式： y= 第 17 页（共 36 页） 图象位于第二、四象限； 如果过图象上任意一点 A 作 ABx 轴于点 B，作 ACy 轴于点 C，那么
22、得到 的矩形 ABOC 的面积小于 6 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】设反比例函数解析式为 y= ，根据反比例函数的性质得 k0，根据 k 的几何意义得到|k|6，然后取一个 k 的值满足两个条件即可 【解答】解：设反比例函数解析式为 y= ， 根据题意得 k0，|k |6 ， 当 k 取 5 时，反比例函数解析式为 y= 故答案为 y= 15如图，将半径为 3cm 的圆形纸片折叠后，劣弧中点 C 恰好与圆心 O 距离 1cm，则折痕 AB 的长为 2 cm 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】连接 OC 并延长交O 于 D，交 AB 于 E，由点 C 是劣弧 AB 的中点
23、，得 到 OCAB ，AE=BE，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：连接 OC 并延长交O 于 D，交 AB 于 E， 点 C 是劣弧 AB 的中点， OCAB ，AE=BE， OD=3，OC=1， CE=DE=1， OE=2， 第 18 页（共 36 页） AE= = ， AB= cm； 故答案为：2 16太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被 推广使用如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢， 太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，支撑角钢 EF 长为 cm，AB 的 倾斜角为 30，BE=CA=50cm，支撑角钢 CD，EF 与底座地基台
24、面接触点分别为 D，F，CD 垂直于地面，FEAB 于点 E两个底座地基高度相同（即点 D，F 到 地面的垂直距离相同） ，均为 30cm，点 A 到地面的垂直距离为 50cm，则支撑 角钢 CD 的长度是 45 cm，AB 的长度是 300 cm 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】过 A 作 AGCD 于 G，在 RtACG 中，求得 CG=25，再根据题意得出 GD=5030=20，代入 CD=CG+GD 求出支撑角钢 CD 的长度；连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于 H，在 RtCDH 中，根据三角函数的定义得到 CH=90，在 Rt EFH 中，根据三角函数的定义
25、即可得到结论 【解答】解：过 A 作 AGCD 于 G，则CAG=30， 在 RtACG 中，CG=ACsin30=50 =25， 第 19 页（共 36 页） GD=50 30=20， CD=CG+GD=25+20=45， 即支撑角钢 CD 的长度是 45cm 连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于 H，则H=30 ， 在 RtCDH 中，CH=2CD=90， AH=CHAC=9050=40， 在 RtEFH 中，EH= = =290， AE=EH AH=29040=250， AB=AE+BE=250+50=300， 即 AB 的长度是 300cm 故答案为 45，300 三、解答题（本题
26、共 35 分，每小题 5 分） 17计算：6tan 30+cos245sin 60 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的函数值，直接计算即可 【解答】解：原式= = = 第 20 页（共 36 页） 18如图，在 RtABC 中，C=90 ，tanA= ，BC=12，求 AB 的长 【考点】解直角三角形；勾股定理 【分析】根据锐角三角函数的定义求出 AC，根据勾股定理求出 AB 即可 【解答】解：C=90 ， BC=12， ， AC=16 ， AB 2=AC2+BC2， AB 2=162+122=400， AB=20 19已知二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点
27、 （1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （1）二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点，可知=0，解方 程即可解决问题 （2）根据二次函数的增减性即可解决问题 【解答】解：（1）由题意得=1+4c=0， c= ， y= x2+x ， 当 x= = 时，y=0，顶点坐标为（ ，0） 第 21 页（共 36 页） （2）a=10，开口向下， 当 x 时，y 随 x 的增大而减小 20如图，已知 AE 平分 BAC， = （1）求证：E=C； （2）若 AB=9
28、，AD=5，DC=3，求 BE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）由 AE 平分BAC，得到BAE=EAC，根据三角形角平分线的到 来得到 ，得到 ，推出ABEADC，根据相似三角形的性质即 可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 ，列方程即可得到结论 【解答】 （1）证明：AE 平分BAC， BAE=EAC ， 又 ，得到 ， ABEADC， E=C ； （2）解：ABEADC ， ， 设 BE=x， ， 第 22 页（共 36 页） ，即 BE= 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+1 的图象的一个交点为 A（ 1，
29、m） （1）求这个反比例函数的表达式； （2）如果一次函数 y=x+1 的图象与 x 轴交于点 B（ n，0） ，请确定当 xn 时， 对应的反比例函数 y= 的值的范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）由点 A 在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可 求出点 A 的坐标，根据点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找 出反比例函数表达式； （2）令一次函数表达式中 y=0 求出 x 值，进而可得出点 B 的坐标，根据点 B 的 横坐标结合图形即可得出结论 【解答】解：（1）点 A 在一次函数 y=x+1 的图象上， m=（1）+1=2， 点 A
30、的坐标为（1，2） 点 A 在反比例函数 的图象上， k=12=2 反比例函数的表达式为 y= （2）令 y=x+1=0，解得： x=1， 第 23 页（共 36 页） 点 B 的坐标为（1，0） ， 当 x=1 时， =2 由图象可知，当 x1 时， y0 或 y2 22已知：如图，AB 为 O 的直径，PA、PC 是 O 的切线，A 、C 为切点， BAC=30 （1）求P 的大小； （2）若 AB=6，求 PA 的长 【考点】切线的性质 【分析】 （1）由圆的切线的性质，得PAB=90，结合 BAC=30得PAC=90 30=60由切线长定理得到 PA=PC，得PAC 是等边三角形，从而
31、可得 P=60 （2）连接 BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到ACB=90 ，结合 RtACB 中 AB=6 且BAC=30 ，得到 AC=ABcosBAC=3 最后在等边PAC 中，可得 PA=AC=3 【解答】解：（1）PA 是O 的切线，AB 为O 的直径， PA AB，即PAB=90 BAC=30 ， PAC=9030=60 又PA 、PC 切O 于点 A、C， 第 24 页（共 36 页） PA=PC， PAC 是等边三角形， P=60 （2）如图，连接 BC AB 是直径，ACB=90， 在 RtACB 中，AB=6，BAC=30， 可得 AC=ABcosBAC=6cos30=
32、3 又PAC 是等边三角形， PA=AC=3 23已知：ABC （1）求作：ABC 的外接圆，请保留作图痕迹； （2）至少写出两条作图的依据 【考点】作图复杂作图；三角形的外接圆与外心 【分析】 （1）分别作出线段 AB、BC 的垂直平分线，画出外接圆即可； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论 【解答】解：（1）如图O 即为所求； 第 25 页（共 36 页） （2）作图依据： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等 四、解答题（本题共 22 分，第 24 至 25 题，每小题 5 分，第 26 至 27 题，每小 题 5 分）
33、24青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书在销售的过程中发 现，这种图书每天的销售数量 y（本）与销售单价 x（元）满足一次函数关系： y=3x+108（20x36） 如果销售这种图书每天的利润为 p（元） ，那么销售单 价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】根据“ 总利润=单件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式可 得最值情况 【解答】解：p=（x20） （3x+108 ）= 3x2+168x2160=3（x 28） 2+192， 20x36，且 a=30， 当 x=28 时，y 最大 =192 答：销售单价定为 28 元时
34、，每天获得的利润最大，最大利润是 192 元 25如图，将一个 RtBPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点 P 落 在线段 CD 上（不与 C，D 两点重合） ，斜边的一部分与线段 AB 重合 （1）图中与 RtBCP 相似的三角形共有 3 个，分别是 RtEPB，Rt PDF，RtEAF ； 第 26 页（共 36 页） （2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与BCP 相似 的证明 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理得到 RtEPB，RtPDF，Rt EAF 均 与 RtBCP 相似； （2）RtBCP Rt
35、EPB利用“两角法”证得结论即可 【解答】解：（1）图中与 RtBCP 相似的三角形共有 3 个，分别是 Rt EPB，Rt PDF ，RtEAF； 故答案是：3；Rt EPB ，RtPDF ，RtEAF； （2）答案不唯一，如： 四边形 ABCD 是正方形， ABP+PBC= C=90 PBC+BPC=90， ABP=BPC 又BPE=C=90 ， RtBCPRt EPB 26有这样一个问题：探究函数 y= 的图象与性质小美根据学习函数的 经验，对函数 y= 的图象与性质进行了探究下面是小美的探究过程，请 补充完整： 第 27 页（共 36 页） （1）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是
36、 x2 且 x0 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 2 1 1 2 3 4 y 0 1 m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点根据描出的点，画出该函数的图象； （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： 当2x0 或 x0 时，y 随 x 增大而减小 第 28 页（共 36 页） 【考点】反比例函数的图象；函数自变量的取值范围 【分析】 （1）根据被开方数非负以及分母不为 0 即可得出关于 x 的一元一次不 等式组，解之即可得出结论； （2）将 x=2 代入函数解析式中求出 m 值即可； （3）连点成线即可画出函数图象
37、； （4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得：x2 且 x0 故答案为：x2 且 x0 （2）当 x=2 时，m= =1 （3）图象如图所示 （4）观察函数图象发现：当2x0 或 x0 时，y 随 x 增大而减小 故答案为：当2x0 或 x0 时，y 随 x 增大而减小 27如图，以ABC 的边 AB 为直径作O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中 点，连接 AE 交 BC 于点 F，ACB=2 BAE （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 sinB= ，BD=5，求 BF 的长 第 29 页（共 36 页） 【考点】切线
38、的判定 【分析】 （1）连接 AD，由圆周角定理得出 1= 2证出C=BAD由圆周 角定理证出DAC+BAD=90，得出BAC=90，即可得出结论 （2）过点 F 作 FGAB 于点 G由三角函数得出 ，设 AD=2m，则 AB=3m，由勾股定理求出 BD= m求出 m= 得出 AD= ，AB= 证 出 FG=FD设 BF=x，则 FG=FD=5x由三角函数得出方程，解方程即可 【解答】 （1）证明：连接 AD，如图 1 所示 E 是弧 BD 的中点， ， 1=2 BAD=21 ACB=21， C=BAD AB 为O 直径， ADB=ADC=90 DAC+C=90 C=BAD ， DAC+BA
39、D=90 BAC=90 即 ABAC 第 30 页（共 36 页） 又AC 过半径外端， AC 是O 的切线 （2）解：过点 F 作 FGAB 于点 G如图 2 所示： 在 RtABD 中，ADB=90， ， 设 AD=2m，则 AB=3m， 由勾股定理得：BD= = m BD=5， m= AD= ，AB= 1=2，ADB=90 ， FG=FD 设 BF=x，则 FG=FD=5x 在 RtBGF 中， BGF=90， ， 解得：=3 BF=3 第 31 页（共 36 页） 五、解答题（本题共 15 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 28已知抛物线 G1：y=a（x h） 2+2
40、 的对称轴为 x=1，且经过原点 （1）求抛物线 G1 的表达式； （2）将抛物线 G1 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位后，与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点，求 A 点的坐标； （3）记抛物线在点 A，C 之间的部分为图象 G2（包含 A，C 两点） ，如果直线 m：y=kx 2 与图象 G2 只有一个公共点，请结合函数图象，求直线 m 与抛物线 G2 的对称轴交点的纵坐标 t 的值或范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象 与几何变换 【分析】 （1）根据待定系数法求得即可； （2）根据关于
41、 x 轴对称的点的坐标特征即可求得； （3）求出直线 y=kx2 的解析式，再结合图象和点的坐标即可得出答案 【解答】解：（1）抛物线 G1：y=a（x h） 2+2 的对称轴为 x=1， y=a（x +1） 2+2， 抛物线 y=a（x+1） 2+2 经过原点， a （0 +1） 2+2=0 第 32 页（共 36 页） 解得 a=2， 抛物线 G1 的表达式为 y=2（x+1） 2+2=2x24x； （2）由题意得，抛物线 G2 的表达式为 y=2（x +1+1） 22=2x2+8x+6 当 y=0 时， x=1 或3 A（3 ，0） ； （3）由题意得，直线 m：y=kx2 交 y 轴于
42、点 D（0，2） ， 由抛物线 G2 的解析式 y=2x2+8x+6，得到顶点 E（ 2，2） ， 当直线 y=kx2 过 E（2，2）时与图象 G2 只有一个公共点，此时 t=2， 当直线 y=kx2 过 A（3，0）时 把 x=3 代入 y=kx2，k= ， ， 把 x=2 代入 ， y= ，即 t= ， 结合图象可知 t=2 或 29如图，对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和线段 AB，给出如下定义：如果 第 33 页（共 36 页） 线段 AB 上存在两个点 M，N，使得MPN=30，那么称点 P 为线段 AB 的伴随 点 （1）已知点 A（1，0） ，B（1，0）及 D（1，
43、1） ， E（ ， ） ，F（0，2+ ） ， 在点 D，E，F 中，线段 AB 的伴随点是 D、F ； 作直线 AF，若直线 AF 上的点 P（m，n）是线段 AB 的伴随点，求 m 的取值 范围； （2）平面内有一个腰长为 1 的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都 是某条线段 a 的伴随点，请直接写出这条线段 a 的长度的范围 【考点】三角形综合题 【分析】 （1）根据伴随点的定义，观察图象即可判定 （2）以 AB 为一边，在 x 轴上方、下方分别构造等边ABO 1 和等边ABO 2，分 别以点 O1，点 O2 为圆心，线段 AB 的长为半径画圆，求出两圆与直线 AF 的交 点的位
44、置，即可解决问题 （3）如图，DEF 的腰长为 1 的等腰直角三角形， O 是DEF 的外接圆， OAB 是等边三角形，根据伴随点的定义可知，DEF 的边上任意一点都是线段 AB 的伴随点，求出 AB 的长即可解决问题 【解答】解：（1）根据伴随点的定义卡 D、F 是线段 AB 的伴随点； 故答案为 D、 F 第 34 页（共 36 页） 以 AB 为一边，在 x 轴上方、下方分别构造等边ABO 1 和等边ABO 2， 分别以点 O1，点 O2 为圆心，线段 AB 的长为半径画圆， 线段 AB 关于 y 轴对称， 点 O1，点 O2 都在 y 轴上 AB=AO 1=2，AO=1 ，OO 1=
45、， O 1（0， ） ， 同理 O2（0， ） F（2+ ，0） ， O 1F=2+ =2， 点 F 在O 1 上 设直线 AF 交O 2 于点 C， 线段 FC 上除点 A 以外的点都是线段 AB 的“伴随点” ， 点 P（m ，n ）是线段 FC 上除点 A 以外的任意一点， 连接 O2C，作 CGy 轴于点 G， 等边O 1AB 和等边O 2AB，且 y 轴垂直 AB， AO 1B=AO 2B=O 1AB=O 2AB=60，AO 1O=AO 2O=30， O 1A=O1F， AFO 1=FAO 1=15， CAO 2=AFO 2+AO 2F=15+30=45， 第 35 页（共 36 页） O 2A=O2C， CAO 2=ACO 2=45， O 2CG=180CFG FGCACO 2=30， CG=O 2Ccos30=2 = ， m0，且 m1 （2）如图DEF 的腰长为 1 的等腰直角三角形， O 是DEF 的外接圆， OAB 是等边三角形， G= AOB=30， 根据伴随点的定义可知，DEF 的边上任意一点都是线段 AB 的伴随点， EF= = ， AB=OA=OE= ， a 时，DEF 的边上任意一点都是线段 AB 的伴随点 第 36 页（共 36 页） 2017 年 2 月 13 日
