1、2015-2016 学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1如果 4a=5b（ab 0） ，那么下列比例式变形正确的是（ ） A B C D 2在 RtABC 中，如果 C=90，AB=10，BC=8，那么 cosB 的值是（ ） A B C D 3已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 8，那么点 P 与 O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 4小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果袋子里有三种颜色的
2、 糖果，它们的大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示小明抽到红色糖果 的概率为（ ） A B C D 5如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点， DBC=A，BC= ，AC=3 ，则 CD 的长为（ ） A1 B C2 D 6将抛物线 y=5x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的 表达式是（ ） Ay=5（x+2 ） 2+3 By=5（x 2） 2+3Cy=5（x 2） 23 Dy=5（x+2） 23 7已知点 A（1，m）与点 B（3，n）都在反比例函数 的图象上，那么 m 与 n 之间的关系是（ ） Amn Bmn Cmn
3、Dmn 8如图，点 A（6，3） 、B（6，0）在直角坐标系内以原点 O 为位似中心，相似比为 ，在第一 象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，那么点 C 的坐标为（ ） A （3，1） B （2，0） C （3，3） D （2，1） 9如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB，CAB=20，则AOD 等于（ ） A160 B150 C140 D120 10如图，点 C 是以点 O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（点 C 不与点 A、B 重合） ，如 果 AB=4，过点 C 作 CDAB 于 D，设弦 AC 的长为 x，线段 CD 的长为 y，那么在下列图象中，能 表示
4、y 与 x 函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11如果两个相似三角形的相似比是 1：3，那么这两个三角形面积的比是 12颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、 苏州留园并称为中国四大名园该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为 2 米的正六边形，那么 这个地基的周长是 米 13图 1 中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图 2 是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图 2 中的数据，可知 的长是 m 14写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的
5、表达式，y= 15 “圆材埋壁 ”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知 大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题： “如图， CD 为O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE=1，AB=10，求 CD 的长”根据题意可得 CD 的长为 16学习了反比例函数的相关内容后，张老师请同学们讨论这样的一个问题：“已知反比例函数 ，当 x1 时，求 y 的取值范围？”同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手回答说： “由于反比例函数 的图象位于第四象限，因此 y 的取值范围是 y0 ”你认为小明的回答是否 正确： ，你的理由是： 三
6、、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17计算： | 18如图，在 RtABC 中， ACB=90，CD 是边 AB 上的高 （1）求证：ABCCBD ； （2）如果 AC=4，BC=3 ，求 BD 的长 19已知二次函数 y=x26x+5 （1）将 y=x26x+5 化成 y=a（xh） 2+k 的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小 20如图，在 RtABC 中， ABC=90，BC=1，AC= （1）以点 B 为旋转中心，将 ABC 沿逆时针方向旋转 90得到A BC，请画出变换后的图形； （2）求点 A 和点 A
7、之间的距离 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A（1， n） （1）求反比例函数 y= 的解析式； （2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标 22 “永定楼 ”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践 活动如图，他们在 A 点测得顶端 D 的仰角DAC=30，向前走了 46 米到达 B 点后，在 B 点测得 顶端 D 的仰角DBC=45 求永定楼的高度 CD （结果保留根号） 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23已知二次函数 y=mx2（m+2）x
8、+2（m 0） （1）求证：此二次函数的图象与 x 轴总有交点； （2）如果此二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数 m 的值 24如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，过点 C 作 CEAD 交 AB 于 E，连接 AC、DE，AC 与 DE 交于点 F （1）求证：四边形 AECD 为平行四边形； （2）如果 EF=2 ， FCD=30，FDC=45 ，求 DC 的长 25已知二次函数 y1=x2+2x+m5 （1）如果该二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如果该二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且点 B 的
9、坐标为（1，0） ， 求它的表达式和点 C 的坐标； （3）如果一次函数 y2=px+q 的图象经过点 A、C，请根据图象直接写出 y2y 1 时，x 的取值范围 26如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为 O 的直径，BA 平分CBF ，过点 A 作 ADBF，垂足 为 D （1）求证：AD 为O 的切线； （2）若 BD=1，tan BAD= ，求O 的直径 五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 8 分，第 29 题 7 分） 27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过点 A（0，2）和 B（1， ） （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点 C 与点 A
10、关于此抛物线的对称轴对称，点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4，求点 C 与点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在点 A，D 之间的部分（含点 A，D）记为图象 G，如果图象 G 向下平移 t（t0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t 的取值范围 28在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P（x，y）和 Q（ x，y） ，给出如下定义： 如果 y= ，那么称点 Q 为点 P 的“关联点” 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6） ，点（5，6）的“ 关联点” 为点（5， 6） （1）点（2，1）的“关联点 ”为 ； 如果点 A（3， 1） ，B（1，3）的“
11、关联点”中 有一个在函数 的图象上，那么这个点是 （填“点 A”或“点 B”） （2）如果点 M*（ 1，2）是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的“关联点” ， 那么点 M 的坐标为 ；如果点 N*（m+1，2）是一次函数 y=x+3 图象上点 N 的“关联 点”，求点 N 的坐标 （3）如果点 P 在函数 y=x2+4（2xa ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标 y的取值范围是4y 4，那么实数 a 的取值范围是 29在菱形 ABCD 中，BAD=120，射线 AP 位于该菱形外侧，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E， 连接 BE、DE，直线 DE 与直线 AP 交于 F，连接 B
12、F，设PAB= （1）依题意补全图 1； （2）如图 1，如果 030 ，判断ABF 与 ADF 的数量关系，并证明； （3）如图 2，如果 30 60，写出判断线段 DE，BF，DF 之间数量关系的思路；（可以不写出 证明过程） （4）如果 6090，直接写出线段 DE，BF，DF 之间的数量关系 2015-2016 学年北京市门头沟区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1如果 4a=5b（ab 0） ，那么下列比例式变形正确的是（ ） A B C D 【考点】比例的性质 【分析】根据等式
13、的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式） ，结果不变，可得答案 【解答】解：两边都除以 ab，得 = ，故 A 正确； B、两边都除以 20，得 = ，故 B 错误； C、两边都除以 4b，得 = ，故 C 错误； D、两边都除以 5a，得 = ，故 D 错误 故选：A 【点评】本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式） ，结果不变是解题 关键 2在 RtABC 中，如果 C=90，AB=10，BC=8，那么 cosB 的值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，可得答案 【解答】解：cosB= = =
14、， 故选：D 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦 为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 8，那么点 P 与 O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】根据点在圆上，则 d=r；点在圆外，dr；点在圆内， dr （d 即点到圆心的距离，r 即圆 的半径） 【解答】解：OP=85， 点 P 与O 的位置关系是点在圆外 故选：C 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解
15、 决问题的关键 4小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果袋子里有三种颜色的 糖果，它们的大小、形状、质量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示小明抽到红色糖果 的概率为（ ） A B C D 【考点】概率公式；条形统计图 【专题 】计算题 【分析】先利用条形统计图得到绿色糖果的个数为 2，红色糖果的个数为 5，紫色糖果的个数为 8，然后根据概率公式求解 【解答】解：根据统计图得绿色糖果的个数为 2，红色糖果的个数为 5，紫色糖果的个数为 8， 所以小明抽到红色糖果的概率= = 故选 B 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结
16、果数除以所有可 能出现的结果数也考查了条形统计图 5如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点， DBC=A，BC= ，AC=3 ，则 CD 的长为（ ） A1 B C2 D 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由条件可证明CBD CAB，可得到 = ，代入可求得 CD 【解答】解：DBC= A，C= C， CBDCAB， = ，即 = ， CD=2， 故选 C 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键 6将抛物线 y=5x2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的 表达式是（ ） Ay=5（x+2 ） 2+3
17、By=5（x 2） 2+3Cy=5（x 2） 23 Dy=5（x+2） 23 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】几何变换 【分析】先确定抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，0） ，再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后 所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【解答】解：抛物线 y=5x2 的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后得到对应点的坐标为（2，3） ，所以新抛物线的表达式是 y=5（x+2 ） 2+3 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求 平移后的
18、抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待 定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 7已知点 A（1，m）与点 B（3，n）都在反比例函数 的图象上，那么 m 与 n 之间的关系是（ ） Amn Bmn Cmn Dmn 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据反比例函数图象的增减性来比较 m 与 n 的大小 【解答】解：反比例函数 中系数 20， 反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 又 点 A（1，m）与点 B（3，n）都位于第一象限，且 13， mn 故选：A 【点评】本题考查了反
19、比例函数图象上点的坐标特征，解答该题时，也可以把点 A、B 的坐标分别 代入函数解析式求得相应的 m、n 的值，然后比较它们的大小即可 8如图，点 A（6，3） 、B（6，0）在直角坐标系内以原点 O 为位似中心，相似比为 ，在第一 象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，那么点 C 的坐标为（ ） A （3，1） B （2，0） C （3，3） D （2，1） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】根据得 A、B 的坐标求出 OB、AB 的长，根据位似的概念得到比例式，计算求出 OD、CD 的长，得到点 C 的坐标 【解答】解：A（6，3） 、B（6，0） ， OB=6，AB=3， 由
20、题意得，ODC OBA，相似比为 ， = = ， OD=2，CD=1， 点 C 的坐标为（2，1） ， 故选：D 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质以及坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形一定是 相似形和相似三角形的性质是解题的关键 9如图，线段 AB 是 O 的直径，弦 CD 丄 AB， CAB=20，则AOD 等于（ ） A160 B150 C140 D120 【考点】圆周角定理；垂径定理 【专题】压轴题 【分析】利用垂径定理得出 = ，进而求出BOD=40 ，再利用邻补角的性质得出答案 【解答】解：线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB， = ， CAB=20， BOD=40
21、， AOD=140 故选：C 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出BOD 的度数是解题关键 10如图，点 C 是以点 O 为圆心、AB 为直径的半圆上的一个动点（点 C 不与点 A、B 重合） ，如 果 AB=4，过点 C 作 CDAB 于 D，设弦 AC 的长为 x，线段 CD 的长为 y，那么在下列图象中，能 表示 y 与 x 函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】计算题 【分析】连结 BC，如图，根据圆周角定理得到ACB=90 ，则利用勾股定理得到 BC= ， 再利用面积法可得到 y= ，CD 为半径时最大，即 y 的最大值为
22、 2，此时 x=2 ，由于 y 与 x 函数关系的图象不是抛物线，也不是一次函数图象，则可判断 A、C 错误；利用 y 最大时， x=2 可对 B、D 进行判断 【解答】解：连结 BC，如图， AB 为直径， ACB=90， BC= = ， CDAB= ACBC， y= ， y 的最大值为 2，此时 x=2 故选 B 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过 看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力解决本 题的关键是利用圆周角定理得到ACB=90 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11如果两个相似
23、三角形的相似比是 1：3，那么这两个三角形面积的比是 1：9 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可 【解答】解：两个相似三角形的相似比是 1：3， 又 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 这两个三角形面积的比是 1：9 故答案为：1：9 【点评】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方 12颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、 苏州留园并称为中国四大名园该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为 2 米的正六边形，那么 这个地基的周长是 12 米 【考点】正多边形和圆 【分析】由
24、正六边形的半径为 2，则 OA=OB=2 米；由AOB=60，得出AOB 是等边三角形，则 AB=OA=OB=2 米，即可得出结果 【解答】解：如图所示： 正六边形的半径为 2 米， OA=0B=2 米， 正六边形的中心角AOB= =60， AOB 是等边三角形， AB=OA=OB， AB=2 米， 正六边形的周长为 62=12（米） ； 故答案为：12 【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多 边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决 13图 1 中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图 2 是旋转门的俯视
25、图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图 2 中的数据，可知 的长是 m 【考点】弧长的计算 【专题】应用题 【分析】首先根据题意，可得 ，然后根据圆的周长公式，求出直径是 2m 的圆的周长是 多少；最后用直径是 2m 的圆的周长除以 3，求出 的长是多少即可 【解答】解：根据题意，可得 ， （m） ， 即 的长是 m 故答案为： 【点评】此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是 判断出 ，并求出直径是 2m 的圆的周长是多少 14写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式，y= 答案不唯一，如 y=x 等 【考点】正比例函数的性质 【专题】开放型 【分
26、析】根据正比例函数的系数与图象所过象限的关系，易得答案 【解答】解：根据正比例函数的性质，其图象位于第二、四象限，则其系数 k0； 故只要给出 k 小于 0 的正比例函数即可；答案不唯一，如 y=x 等 【点评】解题关键是掌握正比例函数的图象特点 15 “圆材埋壁 ”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知 大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题： “如图， CD 为O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE=1，AB=10，求 CD 的长”根据题意可得 CD 的长为 26 【考点】垂径定理的应用 【专题】压轴题 【分析】根据垂
27、径定理和勾股定理求解 【解答】解：连接 OA，ABCD， 由垂径定理知，点 E 是 AB 的中点，AE= AB=5，OE= OCCE=OACE， 设半径为 r，由勾股定理得， OA2=AE2+OE2=AE2+（OACE） 2，即 r2=52+（r1） 2， 解得 ：r=13， 所以 CD=2r=26， 即圆的直径为 26 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解 16学习了反比例函数的相关内容后，张老师请同学们讨论这样的一个问题：“已知反比例函数 ，当 x1 时，求 y 的取值范围？”同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手回答说： “由于反比例函数 的图象位于第四象限，因此 y 的取值范围
28、是 y0 ”你认为小明的回答是否 正确： 否 ，你的理由是： y2 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增加性解答 【解答】解：否，理由如下： 反比例函数 ，且 x1， 反比例函数 的图象位于第四象限， y 2 故答案是：否；y2 【点评】本题考查了反比例函数的性质注意在本题中，当 x0 时，y0 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17计算： | 【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实数 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】解：原式= + 1 = 1 【点评】此题考查了实数
29、的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18如图，在 RtABC 中， ACB=90，CD 是边 AB 上的高 （1）求证：ABCCBD ； （2）如果 AC=4，BC=3 ，求 BD 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据相似三角形的判定，由已知可证A=DCB，又因为ACB= BDC=90，即证 ABCCBD， （2）根据勾股定理得到 AB=5，根据三角形的面积公式得到 CD= ，然后根据勾股定理 即可得到结论 【解答】 （1）证明：CD AB， BDC=90 A+ACD=90 ACB=90， DCB+ACD=90 A=DCB 又ACB=BDC=90 ， ABCCBD；
30、（2）解：ACB=90，AC=4，BC=3， AB=5， CD= ， CDAB， BD= = = 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的 关键 19已知二次函数 y=x26x+5 （1）将 y=x26x+5 化成 y=a（xh） 2+k 的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质 【分析】 （1）运用配方法把一般式化为顶点式； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可 【解答】解：（1）y=x 26x+
31、5=（x 3） 24； （2）二次函数的图象的对称轴是 x=3，顶点坐标是（3，4） ； （3）抛物线的开口向上，对称轴是 x=3， 当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式和二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点 式是解题的关键，注意二次函数的性质的应用 20如图，在 RtABC 中， ABC=90，BC=1，AC= （1）以点 B 为旋转中心，将 ABC 沿逆时针方向旋转 90得到A BC，请画出变换后的图形； （2）求点 A 和点 A之间的距离 【考点】作图- 旋转变换 【专题】作图题 【分析】 （1）在 BA 上截取 BC=BC，延长 CB
32、 到 A使 BA=BA，然后连结 AC，则ABC 满足条 件； （2）先利用勾股定理计算出 AB=2，再利用旋转的性质得 BA=BA， ABA=90，然后根据等腰直 角三角形的性质计算 AA的长即可 【解答】解：（1）如图，ABC为所作； （2）ABC=90，B C=1， AC= ， AB= =2， ABC 沿逆时针方向旋转 90得到A BC， BA=BA，ABA=90 ， ABA为等腰直角三角形， AA= AB=2 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线 段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接 得出
33、旋转后的图形 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A（1， n） （1）求反比例函数 y= 的解析式； （2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA=OA，直接写出点 P 的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】计算题 【分析】 （1）先把 A（1，n）代入 y=2x 求出 n 的值，确定 A 点坐标为（ 1，2） ，然后把 A（1， 2）代入 y= 可求出 k 的值，从而可确定反比例函数的解析式； （2）过 A 作 ABx 轴于点 B，ACy 轴于点 C，则 B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0，2） ，由
34、于 PA=OA，然后利用等腰三角形的性质易确定满足条件的 P 点坐标 【解答】解：（1）把 A（1，n）代入 y=2x 得 n=2（ 1）=2， A 点坐标为（ 1，2） ， 把 A（1，2）代入 y= 得 k=12=2， 反比例函数的解析式为 y= ； （2） 过 A 作 ABx 轴于点 B，ACy 轴于点 C，如图， 点 A 的坐标为（ 1，2） ， B 点坐标为（1，0） ，C 点坐标为（0，2） 当 P 在 x 轴上，其坐标为（ 2，0） ； 当 P 点在 y 轴上，其坐标为（0，4） ； 点 P 的坐标为（2，0）或（0，4） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例
35、函数图象与一次函数图象的交点坐 标满足两函数的解析式也考查了等腰三角形的性质 22 “永定楼 ”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践 活动如图，他们在 A 点测得顶端 D 的仰角DAC=30，向前走了 46 米到达 B 点后，在 B 点测得 顶端 D 的仰角DBC=45 求永定楼的高度 CD （结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】根据题意得出 DC=BC，进而利用 tan30= 求出答案 【解答】解：由题意可得：AB=46m，DBC=45， 则 DC=BC， 故 tan30= = = ， 解得：DC=23（ +1） 答：永定楼
36、的高度 CD 为 23（ +1）m 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的 利用边角关系求解 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 23已知二次函数 y=mx2（m+2）x+2（m 0） （1）求证：此二次函数的图象与 x 轴总有交点； （2）如果此二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数 m 的值 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】证明题 【分析】 （1）令 y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中的值，即可证明结论； （2）令 y=0，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函
37、数的图象与 x 轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数 m 的值 【解答】解：（1）证明：二次函数 y=mx2（m+2 ）x+2（m0） ， 当 y=0 时，0=mx 2（m+2 ） x+2（m0） ， =（m+2） 24m2=m2+4m+48m=m24m+4=（m 2） 20 0=mx2（m+2 ）x+2 （m 0）有两个实数根， 即二次函数 y=mx2（m+2）x+2（m 0）的图象与 x 轴总有交点； （2）二次函数 y=mx2（m+2）x+2（m0） ， 当 y=0 时，0=mx 2（m+2 ） x+2=（mx 2） （x1） ， ， 又 此二次函数的图象与 x 轴两
38、个交点的横坐标都是整数， 正整数 m 的值是： 1 或 2， 即正整数 m 的值是 1 或 2 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，解题的关键是建立二次函数与一元二次方程之间的关系， 然后找出所求问题需要的条件 24如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，过点 C 作 CEAD 交 AB 于 E，连接 AC、DE，AC 与 DE 交于点 F （1）求证：四边形 AECD 为平行四边形； （2）如果 EF=2 ， FCD=30，FDC=45 ，求 DC 的长 【考点】平行四边形的判定与性质 【分析】 （1）由平行四边形的定义即可得出四边形 AECD 为平行四边形； （2）作 FMCD 于 M
39、，由平行四边形的性质得出 DF=EF=2 ，由已知条件得出DFM 是等腰直 角三角形，DM=FM= DF=2，由含 30角的直角三角形的性质和勾股定理得出 CF=2FM=4，CM=2 ，得出 DC=DM+CM=2+2 即可 【解答】 （1）证明：AB CD，CEAD， 四边形 AECD 为平行四边形； （2）解：作 FMCD 于 M，如图所示： 则FND= FMC=90， 四边形 AECD 为平行四边形， D F=EF=2 ， FCD=30，FDC=45， DFM 是等腰直角三角形， DM=FM= DF=2，CF=2FM=4， CM=2 ， DC=DM+CM=2+2 【点评】本题考查了平行四边
40、形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含 30角的直角三 角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解决 问题（2）的关键 25已知二次函数 y1=x2+2x+m5 （1）如果该二次函数的图象与 x 轴有两个交点，求 m 的取值范围； （2）如果该二次函数的图象 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且点 B 的坐标为（1，0） ， 求它的表达式和点 C 的坐标； （3）如果一次函数 y2=px+q 的图象经过点 A、C，请根据图象直接写出 y2y 1 时，x 的取值范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数与不等式（组） 【分析
41、】 （1）由二次函数的图象与 x 轴有两个交点得出判别式0，得出不等式，解不等式即可； （2）二次函数 y1=x2+2x+m5 的图象经过把点 B 坐标代入二次函数解析式求出 m 的值，即可得出 结果；点 B（1，0） ； （3）由图象可知：当 y2y 1 时，比较两个函数图象的位置，即可得出结果 【解答】解：（1）二次函数 y1=x2+2x+m5 的图象与 x 轴有两个交点， 0， 224（ m5）0， 解得：m6； （2）二次函数 y1=x2+2x+m5 的图象经过点（1，0） ， 1+2+m5=0， 解得：m=2， 它的表达式是 y1=x2+2x3， 当 x=0 时，y=3， C（0，3
42、） ； （3）由图象可知：当 y2y 1 时，x 的取值范围是 x3 或 x0 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与 x 轴的交点；由题意求出二次函数的 解析式是解决问题的关键 26如图，O 为ABC 的外接圆，BC 为 O 的直径，BA 平分CBF ，过点 A 作 ADBF，垂足 为 D （1）求证：AD 为O 的切线； （2）若 BD=1，tan BAD= ，求O 的直径 【考点】切线的判定 【分析】 （1）要证 AD 是O 的切线，连接 OA，只证DAO=90 即可 （2）根据三角函数的知识可求出 AD，从而根据勾股定理求出 AB 的长，根据三角函数的知识即可 得出 O
43、 的直径 【解答】 （1）证明：连接 OA； BC 为 O 的直径，BA 平分CBF，ADBF ， ADB=BAC=90，DBA=CBA； OAC=OCA， DAO=DAB+BAO=BAO+OAC=90， DA 为 O 的切线 （2）解：BD=1，tan BAD= ， AD=2， AB= = ， cosDBA= ； DBA=CBA， BC= = =5 O 的直径为 5 【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点 （即为半径） ，再证垂直即可同时考查了三角函数的知识 五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 8 分，第 29 题 7
44、 分） 27在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过点 A（0，2）和 B（1， ） （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点 C 与点 A 关于此抛物线的对称轴对称，点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 4，求点 C 与点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在点 A，D 之间的部分（含点 A，D）记为图象 G，如果图象 G 向下平移 t（t0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，求 t 的取值范围 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 【专题】计算题 【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组求出 b、c
45、即可得到抛物线解析式； （2）利用配方法得到 y= （x1） 2+ ，则抛物线的对称轴为直线 x=1，利用点 C 与点 A 关于直线 x=1 对称得到 C 点坐标为（2，2） ；然后利用二次函数图象上点的坐标特征求 D 点坐标； （3） 画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y= x+1，再利用平移的性质 得到图象 G 向下平移 1 个单位时，点 A 在直线 BC 上；图象 G 向下平移 3 个单位时，点 D 在直线 BC 上，由于图象 G 向下平移 t（t 0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点，所以 1t3 【解答】解：（1）把 A（0， 2）和 B（1， ）代入
46、 得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为 y= x2x+2； （2）y= x2x+2= （x1） 2+ ， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 点 C 与点 A 关于此抛物线的对称轴对称， C 点坐标为（2，2） ； 当 x=4 时，y= x2x+2=84+2=6， D 点坐标为（4，6） ； （3）如图， 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n， 把 B（1， ） ，C（2，2）代入得 ，解得 ， 直线 BC 的解析式为 y= x+1， 当 x=0 时，y= x+1=1， 点图象 G 向下平移 1 个单位时，点 A 在直线 BC 上， 当 x=4 时，y= x+1=3， 点图象 G 向下平移 3 个单位时，点 D 在直线 BC 上， 当 1 t3 时，图象 G 向下平移 t（t0）个单位后与直线 BC 只有一个公共点 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求 平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待 定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式也考查了待定系数法求函 数解析式 28在
