1、北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2015.1 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设集合 ， ，则集合 （ ）1,0A2|BxAB （A） （B） 1,0（C） 0,1（D） 1, 3在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c. 若 ， ，则（ 2b3sin4B ） （A） 3（B） 6（C） 3sinA（D） 2sin3A 4执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ） （A） （B） 5 （C） 6 （D） 7 2设
2、命题 ： 平面向量 和 ， ，则 为（ ）pab|abp （A） 平面向量 和 ，|ab （B） 平面向量 和 ，ab| （C） 平面向量 和 ，ab|ab（D） 平面向量 和 ， | ab a=2，x=3 开始 y x=x+1103x 输出 x 结束 否 是 5设函数 ， ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）()3cosfxbxR0b()fx （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8. 设 D 为不等式组 表示的平面区域，点 为坐标平面 内一点，若对 1,2xy (,)BabxOy 于区域 D 内的任一点 ，都有 成立，则 的最大值
3、等于（ ）(,)A1O （A）2 （B）1 （C）0 （D）3 6一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为 6 （B）最长棱的棱长为 3 （C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D）侧面四个三角形都是直角三角形 7. 已知抛物线 ，点 ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 ，使得2:4Cyx(,0)PmQ ，则实数 m 的取值范围是（ ）90OQP=o （A） (4,8) （B） (4,)+ （C） （D） 8 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 11 1 1 1 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共
4、 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 复数 ，则 _2i1z|z 10设 为双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 为双曲线 C 上一点，如12,F21(0)6xya 果 ，那么双曲线 C 的方程为_；离心率为 _.12|4P 11在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右 成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 _ xyz 12 如图，在 中，以 为直径的半圆分别交 ， 于ABCABC 点 ， ，且 ，那么 _； _EF2E F 13现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个 唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是_.
5、（用数字作答） 14. 设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 （ ） 0 所以 . 73 分 又因为 ， ，13pq+=0 所以 .2 所以 . 85 分 （）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额（单 位：万元） ， 所以随机变量 的分布列为：X 4 0 2P1283 9 分 则 . 10 分13540(2)84EX 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位： 万元） ， 所以随机变量 的分布列为：Y Y 2 0 1P136 11 分 则 . 1211520()36EY 分 因为 ，X 所以
6、丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13 分 17 （本小题满分 14 分） B C A1 D1 D A B1 C 1 E F x y z M （）证明：因为 1DCBA是棱柱， 所以平面 平面 . 又因为平面 平面 ，平面 平面 ，1EF1ABCD11EFA 所以 . 2 分1AFC 又因为 平面 ， 平面 ，1B1 所以 平面 . 41E 分 （）解：因为 底面 ABCD， ，1 90 所以 ， ， 两两垂直，以 A 为原点，以 ， ， 分别为 轴、BD1x 轴和 轴，如图建立空间直角坐标系 . yz 5 分 则 ， ， ，1(0,2)A(1,0)E(2,10)C
7、 所以 , . A 设平面 的法向量为 (,)mxyz1F 由 ， , 0AE 1C 得 2,.xzy 令 ,得 . 71(,1)m 分 又因为平面 的法向量为 ， 8DEC(0,1)n 分 所以 ，cos,3|mn 由图可知，二面角 的平面角为锐角，1AECD 所以二面角 的余弦值为 . 10 分1AECD13 （）解：过点 F 作 于点 ,1MB 因为平面 平面 ， 平面 ,11F1ABCD 所以 平面 ,A 所以 12 分1113BEFBEABEVS .2MF 因为当 F 与点 重合时， 取到最大值 2（此时点 E 与点 B 重合） ，1D 所以当 F 与点 重合时，三棱锥 的体积的最大
8、值为 . 141BA43 分 18.（本小题满分 13 分） （）解：由题意，得 ， 121()1eabf 分 且 ， ， 3()2fx()gx 分 由已知，得 ，即 ，1()ef2eab 解得 ， . 52a3b 分 （）解：若 ，则 ， ，()fxa1()gx 设切点坐标为 ，其中 ,st0s 由题意，得 ， 2ln ， 61as 分 由，得 ，其中 ，(21)s2s 代入，得 . （*） 71ln2s 分 因为 ，且 ， 0(1)ass 所以 . 8 分2 设函数 ， ，()ln1xF1(,)2x 则 . 924() 分 令 ，解得 或 (舍). 10()0Fx1x4 分 当 变化时，
9、与 的变化情况如下表所示，()Fx1(,)2 1 (,)() 0 F 12 分 所以当 时， 取到最大值 ，且当 时 .1x()F(1)0 1(,)2x()0Fx 因此，当且仅当 时 . x 所以方程（*）有且仅有一解 .s 于是 ，ln0ts 因此切点 P 的坐标为 . 13(1,) 分 19 （本小题满分 14 分） （）解：因为椭圆 C 的方程为 ， 216xy 所以 , , , 24a23b2cab 分 则 ， ， . 3 分1ce|FA|4Pm 因为 ，|24P 所以 . 5 分8m （）解：若直线 l 的斜率不存在， 则有 ， ，符合题意. 621S|PMN 分 若直线 l 的斜率
10、存在，则设直线 l 的方程为 ， ， .)(xky),(1y),(2x 由 ),2(16xky 得 ， 72436480k 分 可知 恒成立，且 ， . 803121kx348162kx 分 因为 108)()(82121 xxykPNM 分 )8()()(21121xkk )(30212x ， 0)8( 24164621 xkkk 所以 . 12MPFN 分 因为 和 的面积分别为 ，1|sin2SPFMPF ， 1321|sinSPFNPF 分 所以 . 1412|MS 分 20 （本小题满分 13 分） （）解： ， ， ，140824n20143n18203n ， ， ，4826513682 所以 32013n 分（）证明：因为函数 ， 291()9)()4fxx 所以对于非负整数 ，知 .（当 或 5 时，取到最大值） 40f x 分 因为 ， 12()()()mAnfaffa 所以 6 分0m 令 ，则 1()2g31()020g 当 时， ，3 11()()2902mmm 所以 ，函数 ， （ ，且 ）单调递增1g0mgN3 故 ，即 ()3 12()mAn 所以当 时，对于任意的 位自然数 均有 . 9 1()0m 分 （）答： 的所有可能取值为 0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38 mn 14 分
