1、北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 2015.1 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项 1设集合 , ,则集合 ( )1,0A2|BxAB (A) (B) 1,0(C) 0,1(D) 1, 3在锐角 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c. 若 , ,则( 2b3sin4B ) (A) 3(B) 6(C) 3sinA(D) 2sin3A 4执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( ) (A) (B) 5 (C) 6 (D) 7 2设
2、命题 : 平面向量 和 , ,则 为( )pab|abp (A) 平面向量 和 ,|ab (B) 平面向量 和 ,ab| (C) 平面向量 和 ,ab|ab(D) 平面向量 和 , | ab a=2,x=3 开始 y x=x+1103x 输出 x 结束 否 是 5设函数 , ,则“ ”是“函数 为奇函数”的( )()3cosfxbxR0b()fx (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 8. 设 D 为不等式组 表示的平面区域,点 为坐标平面 内一点,若对 1,2xy (,)BabxOy 于区域 D 内的任一点 ,都有 成立,则 的最大值
3、等于( )(,)A1O (A)2 (B)1 (C)0 (D)3 6一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( ) (A)最长棱的棱长为 6 (B)最长棱的棱长为 3 (C)侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 (D)侧面四个三角形都是直角三角形 7. 已知抛物线 ,点 ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点 ,使得2:4Cyx(,0)PmQ ,则实数 m 的取值范围是( )90OQP=o (A) (4,8) (B) (4,)+ (C) (D) 8 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 11 1 1 1 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共
4、 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 复数 ,则 _2i1z|z 10设 为双曲线 C: 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 上一点,如12,F21(0)6xya 果 ,那么双曲线 C 的方程为_;离心率为 _.12|4P 11在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右 成等差数列,每列中的各数从上到下成等比数列,那么 _ xyz 12 如图,在 中,以 为直径的半圆分别交 , 于ABCABC 点 , ,且 ,那么 _; _EF2E F 13现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序,要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个 唱歌节目,那么演出顺序的排列种数是_.
5、(用数字作答) 14. 设 P,Q 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 ( ) 0 所以 . 73 分 又因为 , ,13pq+=0 所以 .2 所以 . 85 分 ()解:假设丙选择“投资股票”方案进行投资,且记 X 为丙投资股票的获利金额(单 位:万元) , 所以随机变量 的分布列为:X 4 0 2P1283 9 分 则 . 10 分13540(2)84EX 假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记 Y 为丙购买基金的获利金额(单位: 万元) , 所以随机变量 的分布列为:Y Y 2 0 1P136 11 分 则 . 1211520()36EY 分 因为 ,X 所以
6、丙选择“投资股市” ,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13 分 17 (本小题满分 14 分) B C A1 D1 D A B1 C 1 E F x y z M ()证明:因为 1DCBA是棱柱, 所以平面 平面 . 又因为平面 平面 ,平面 平面 ,1EF1ABCD11EFA 所以 . 2 分1AFC 又因为 平面 , 平面 ,1B1 所以 平面 . 41E 分 ()解:因为 底面 ABCD, ,1 90 所以 , , 两两垂直,以 A 为原点,以 , , 分别为 轴、BD1x 轴和 轴,如图建立空间直角坐标系 . yz 5 分 则 , , ,1(0,2)A(1,0)E(2,10)C
7、 所以 , . A 设平面 的法向量为 (,)mxyz1F 由 , , 0AE 1C 得 2,.xzy 令 ,得 . 71(,1)m 分 又因为平面 的法向量为 , 8DEC(0,1)n 分 所以 ,cos,3|mn 由图可知,二面角 的平面角为锐角,1AECD 所以二面角 的余弦值为 . 10 分1AECD13 ()解:过点 F 作 于点 ,1MB 因为平面 平面 , 平面 ,11F1ABCD 所以 平面 ,A 所以 12 分1113BEFBEABEVS .2MF 因为当 F 与点 重合时, 取到最大值 2(此时点 E 与点 B 重合) ,1D 所以当 F 与点 重合时,三棱锥 的体积的最大
8、值为 . 141BA43 分 18.(本小题满分 13 分) ()解:由题意,得 , 121()1eabf 分 且 , , 3()2fx()gx 分 由已知,得 ,即 ,1()ef2eab 解得 , . 52a3b 分 ()解:若 ,则 , ,()fxa1()gx 设切点坐标为 ,其中 ,st0s 由题意,得 , 2ln , 61as 分 由,得 ,其中 ,(21)s2s 代入,得 . (*) 71ln2s 分 因为 ,且 , 0(1)ass 所以 . 8 分2 设函数 , ,()ln1xF1(,)2x 则 . 924() 分 令 ,解得 或 (舍). 10()0Fx1x4 分 当 变化时,
9、与 的变化情况如下表所示,()Fx1(,)2 1 (,)() 0 F 12 分 所以当 时, 取到最大值 ,且当 时 .1x()F(1)0 1(,)2x()0Fx 因此,当且仅当 时 . x 所以方程(*)有且仅有一解 .s 于是 ,ln0ts 因此切点 P 的坐标为 . 13(1,) 分 19 (本小题满分 14 分) ()解:因为椭圆 C 的方程为 , 216xy 所以 , , , 24a23b2cab 分 则 , , . 3 分1ce|FA|4Pm 因为 ,|24P 所以 . 5 分8m ()解:若直线 l 的斜率不存在, 则有 , ,符合题意. 621S|PMN 分 若直线 l 的斜率
10、存在,则设直线 l 的方程为 , , .)(xky),(1y),(2x 由 ),2(16xky 得 , 72436480k 分 可知 恒成立,且 , . 803121kx348162kx 分 因为 108)()(82121 xxykPNM 分 )8()()(21121xkk )(30212x , 0)8( 24164621 xkkk 所以 . 12MPFN 分 因为 和 的面积分别为 ,1|sin2SPFMPF , 1321|sinSPFNPF 分 所以 . 1412|MS 分 20 (本小题满分 13 分) ()解: , , ,140824n20143n18203n , , ,4826513682 所以 32013n 分()证明:因为函数 , 291()9)()4fxx 所以对于非负整数 ,知 .(当 或 5 时,取到最大值) 40f x 分 因为 , 12()()()mAnfaffa 所以 6 分0m 令 ,则 1()2g31()020g 当 时, ,3 11()()2902mmm 所以 ,函数 , ( ,且 )单调递增1g0mgN3 故 ,即 ()3 12()mAn 所以当 时,对于任意的 位自然数 均有 . 9 1()0m 分 ()答: 的所有可能取值为 0,8,14,16,20,22,26,28,32,36,38 mn 14 分