1、2015-2016 学年河北省张家口市宣化县九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共 14 个小题,1-5 小题每小题 2 分,6-14 小题每小题 2 分,共 37 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6,那么点 P 与 O 的位置关系是 ( ) A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 2下列四幅图的质地大小、背面图案都一样,把它们充分洗匀后翻放在桌面上,则从中任意抽取 一张,抽到的图案是中心对称图形的概率是( ) A B C D1 3抛物线 y=(x 2) 2+3 的顶点坐标
2、是( ) A (2,3) B ( 2,3) C (2, 3) D (2,3) 4下列说法中错误的是( ) A篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件 B “任意画出一个平行四边形,它是中心 对称图形”是必然事件 C “抛一枚硬币,正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 D “抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加, “抛出朝上的 点数是 6”这一事件发生的频率稳定在 附近 5若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解,则 a 的取值范围是( ) Aa1 Ba 4 Ca 1 Da1 6如图,ABC 中,AB=AC ,ABC=70,点 O 是
3、 ABC 的外心,则BOC 的度数为( ) A40 B60 C70 D80 7用配方法解一元二次方程 x26x4=0,下列变形正确的是( ) A (x6 ) 2=4+36 B (x 6) 2=4+36 C (x 3) 2=4+9 D (x3) 2=4+9 8如图,已知四边形 ABCD 内接于O ,AB 是O 的直径, EC 与 O 相切于点 C,ECB=35 , 则D 的度数是( ) A145 B125 C90 D80 9如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90,得 ABO,则点 A的坐标为( ) A (3,1) B (3,2) C (2,3) D (
4、1,3) 10抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示,则一元二次方程x 2+bx+c=0 的根为( ) Ax=1 Bx 1=1,x 2=1 Cx 1=1,x 2=2 Dx 1=1,x 2=3 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中错误的是( ) A函数有最小值 B当 1 x2 时,y0 Ca+b+c0 D当 x ,y 随 x 的增大而减小 12如图,AB 是 O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,且 E 为 OB 的中点, CDB=30,CD=4 , 则阴影部分的面积为( ) A B4 C D 13学校要组织足球比赛赛制为单循环形式(每两队之间赛一场) 计
5、划安排 21 场比赛,应邀请 多少个球队参赛?设邀请 x 个球队参赛根据题意,下面所列方程正确的是( ) Ax 2=21 B x(x 1) =21C x2=21 Dx(x1)=21 14设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE=( ) A17 B11 C8 D7 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分) 15已知ABC 的三边长 a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是 16如图,正五边形 ABCD 内接于O ,连接对角线 AC,AD,则下列结论: BCAD;BAE=3CAD; BACEAD; AC=2CD其
6、中判断正确的是 (填序号) 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=2,x 2=4,则 m+n= 18如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片,为求其外圆半径,小林在外圆上任取一点 A,然后过 点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D,作 CDAB 交外圆于点 C,测得 CD=15cm,AB=60cm,则 这个摆件的外圆半径是 cm 19如图,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和(4,4) ,抛物线 y=a(xm ) 2+n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为 3,则点 D 的横坐标最
7、大值为 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 68 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20解方程: (1)x 26x6=0 (2)2x 27x+6=0 21如图,ABC 中,AB=AC=2 , BAC=45, AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的, 连接 BE、CF 相交于点 D (1)求证:BE=CF; (2)当四边形 ABDF 为菱形时,求 CD 的长 22如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标是(2 ,2) ,将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 120, 点 B 的对应点是点 B (1)求点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长; 在图中画出 ,并
8、直接写出点 B1 的坐标是 ; (2)有 7 个球除了编号不同外,其他均相同,李南和王易设计了如下的一个规则: 装入不透明的甲袋 装入不透明的乙袋,李南从甲袋中,王 易从乙袋中,各自随机地摸出一个球(不放回) ,把李南摸出的球的编号作为横坐标 x,把王易摸 出的球的编号作为纵坐标 y,用列表法或画树状图法表示出(x,y)的所有可能出现的结果; (3)李南和王易各取一次小球所确定的点(x,y)落在 上的概率是 23关于 x 的方程 kx2+(3k+1)x+3=0 (1)求证:无论 k 取任何实数时,方程总有实数根; (2)当二次函数 y=kx2+(3k+1) x+3 的图象与 x 轴两个交点的横
9、坐标均为整数,且 k 为负整数时, 求出函数的最大(或最小)值,并画出函数图象; (3)若 P(a,y 1) ,Q(2, y2)是(2)中抛物线上的两点,且 y1y 2,请你结合函数图象确定实 数 a 的取值范围 24如图,ABC 是等边三角形,AO BC,垂足为点 O,O 与 AC 相切于点 D,BEAB 交 AC 的延长线于点 E,与O 相交于 G,F 两点 (1)求证:AB 与 O 相切; (2)若 AB=4,求线段 GF 的长 25一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品,根据物价部门规定:该产品每千克售价不得超过 90 元,在销售过程中发现的售量 y(千克)与售价 x(元/千克)
10、满足一次函数关系,对应关系如下 表: 售价 x(元/千克) 50 60 70 80 销售量 y(千克) 100 90 80 70 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)该批发商若想获得 4000 元的利润,应将售价定为多少元? (3)该产品每千克售价为多少元时,批发商获得的利润 w(元)最大?此时的最大利润为多少元? 26在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板(ABC )按如图所示放置,若 AO=2, OC=1, ACB=90 (1)直接写出点 B 的坐标是 ; (2)如果抛物线 l:y=ax 2ax2 经过点 B,试求抛物线 l 的解析式; (3)把ABC 绕着点 C 逆时针旋转 9
11、0后,顶点 A 的对应点 A1 是否在抛物线 l 上?为什么? (4)在 x 轴上方,抛物线 l 上是否存在一点 P,使由点 A,C,B ,P 构成的四边形为中心对称图形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 2015-2016 学年河北省张家口市宣化县九年级(上)期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 14 个小题,1-5 小题每小题 2 分,6-14 小题每小题 2 分,共 37 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6,那么点 P 与 O 的位置关系是( ) A点 P 在O 上 B
12、点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解:O 的半径为 5,点 P 到圆心 O 的距离为 6, 点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径, 点 P 在 O 外 故选 C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有 3 种设O 的半径为 r,点 P 到圆 心的距离 OP=d,则有:点 P 在圆外 dr ;点 P 在圆上d=r;点 P 在圆内dr 2下列四幅图的质地大小、背面图案都一样,把它们充分洗匀后翻放在桌面上,则从中任意抽取 一张,抽到的图案是中心对称图形的概率是( ) A B C D
13、1 【考点】概率公式;中心对称图形 【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形,再根据概率公式解答即可 【解答】解:由图形可得出:第 1,2,3,个图形都是中心对称图形, 从中任意抽取一张,抽到的图案是中心对称图形的概率是: 故选:C 【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义,如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的 可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= 3抛物线 y=(x 2) 2+3 的顶点坐标是( ) A (2,3) B ( 2,3) C (2, 3) D (2,3) 【考点】二次函数的性质 【分析】已知解析式为顶点式,可直接根据顶点式的坐标
14、特点,求顶点坐标,从而得出对称轴 【解答】解:y=(x 2) 2+3 是抛物线的顶点式方程, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,3) 故选:C 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质,关键是熟记:顶点式 y=a(xh) 2+k,顶点坐标是 (h,k) ,对称轴是 x=h 4下列说法中错误的是( ) A篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件 B “任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件 C “抛一枚硬币,正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 D “抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加, “抛出朝上的 点数是 6”这一
15、事件发生的频率稳定在 附近 【考点】随机事件;概率的意义 【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案 【解答】解:A篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中是随机事件,正确,不合题意; B “任意画出一个平行四边形,它是中心对称图形”是必然事件,正确,不合题意; C “抛一枚硬币,正面向上的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加, “正面向上”这一事件发生的频率稳 定在 附近,此选项错误,符合题意; D “抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加, “抛出朝上的 点数是 6”这一事件发生的频率稳定在 附近,正确 故选:C 【点评】此题主要考查了随机事件
16、的定义和概率的意义,正确把握相关定义是解题关键 5若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解,则 a 的取值范围是( ) Aa1 Ba 4 Ca 1 Da1 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解,则根的判别式 0,据此可以列出关于 a 的不等 式,通过解不等式即可求得 a 的值 【解答】解:因为关于 x 的一元二次方程有实根, 所以=b 24ac=44a0, 解之得 a1 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0,a,b,c 为常数)根的判别式当0,方 程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当 0,方程没
17、有实数根 6如图,ABC 中,AB=AC ,ABC=70,点 O 是 ABC 的外心,则BOC 的度数为( ) A40 B60 C70 D80 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】首先根据等腰三角形的性质可得A 的度数,然后根据圆周角定理可得 O=2A,进而可 得答案 【解答】解:AB=AC, ABC=ACB=70, A=180702=40, 点 O 是 ABC 的外心, BOC=402=80, 故选:D 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心,关键是掌握圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧 所对的圆周角等于圆心角的一半 7用配方法解一元二次方程 x26x4=0,下列变形正确的是( ) A
18、(x6 ) 2=4+36 B (x 6) 2=4+36 C (x 3) 2=4+9 D (x3) 2=4+9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】根据配方法,可得方程的解 【解答】解:x 26x4=0, 移项,得 x26x=4, 配方,得(x3 ) 2=4+9 故选:D 【点评】本题考查了解一元一次方程,利用配方法解一元一次方程:移项、二次项系数化为 1,配 方,开方 8如图,已知四边形 ABCD 内接于O ,AB 是O 的直径, EC 与 O 相切于点 C,ECB=35 , 则D 的度数是( ) A145 B125 C90 D80 【考点】切线的性质 【分析】连接 BD,由 AB 是O
19、的直径,得 ADB=90,再由 EC 与O 相切于点 C,ECB=35 , 知BDC=35,从而得出 D 的度数 【解答】解:连接 BD, AB 是O 的直径, ADB=90, EC 与 O 相切, ECB=35, BDC=35, D=ADB+BDC=90+35=125, 故选 B 【点评】本题考查了切线的性质,以及弦切角定理和应用,解题时要认真审题,仔细解答,合理进 行等价转化 9如图,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90,得 ABO,则点 A的坐标为( ) A (3,1) B (3,2) C (2,3) D (1,3) 【考点】坐标与图形变化-旋转
20、【分析】根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A、B 的位置,然后与点 O 顺次连接即可,再 根据平面直角坐标系写出点 A的坐标 【解答】解:如图,点 A的坐标为(1,3) 故选 D 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转,熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形,利用数形结 合的思想求解更简便 10抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示,则一元二次方程x 2+bx+c=0 的根为( ) Ax=1 Bx 1=1,x 2=1 Cx 1=1,x 2=2 Dx 1=1,x 2=3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】直接观察图象,抛物线与 x 轴交于 1,对称轴是 x=1,所以根据抛物线的
21、对称性可以求得 抛物线与 x 轴的另一交点坐标,从而求得关于 x 的一元二次方程x 2+bx+c=0 的解 【解答】解:观察图象可知,抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的一个交点为(1,0) ,对称轴为 x=1, 抛物线与 x 轴的另一交点坐标为(3,0) , 一元二次方程 2x24x+m=0 的解为 x1=1,x 2=3 故选:D 【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法一元二次方程x 2+bx+c=0 的解实质上是抛 物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中错误的是( ) A函数有最小值 B当 1 x
22、2 时,y0 Ca+b+c0 D当 x ,y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的图象 【分析】A、观察可判断函数有最小值; B、由抛物线可知当1x2 时,可判断函数值的符号; C、观察当 x=1 时,函数值的符号,可判断 a+b+c 的符号;D、由抛物线对称轴和开口方向可知 y 随 x 的增大而减小,可判断结 论 【解答】解:A、由图象可知函数有最小值,故正确; B、由抛物线可知当 1x2 时,y0,故错误; C、当 x=1 时,y0,即 a+b+c0,故正确; D、由图象可知在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小,故正确 故选 B 【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的
23、关系关键是熟悉各项系数与抛物线的 各性质的联系 12如图,AB 是 O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,且 E 为 OB 的中点, CDB=30,CD=4 , 则阴影部分的面积为( ) A B4 C D 【考点】扇形面积的计算 【分析】首先证明 OE= OC= OB,则可以证得OECBED,则 S 阴影 =半圆S 扇形 OCB,利用扇 形的面积公式即可求解 【解答】解:COB=2 CDB=60, 又 CDAB, OCE=30,CE=DE, OE= OC= OB=2 ,OC=4 S 阴影 = = 故选 D 【点评】本题考查了扇形的面积公式,证明OEC BED,得到 S 阴影 =半圆S 扇形
24、 OCB 是本题的关 键 13学校要组织足球比赛赛制为单循环形式(每两队之间赛一场) 计划安排 21 场比赛,应邀请 多少个球队参赛?设邀请 x 个球队参赛根据题意,下面所列方程正确的是( ) Ax 2=21 B x(x 1) =21C x2=21 Dx(x1)=21 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场) ,x 个球队比赛总场数= 即可列方 程 【解答】解:设有 x 个队,每个队都要赛(x1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得: x(x1 )=21 , 故选:B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是读懂题意,得到总场
25、数的 等量关系 14设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示,若 AB=4,DE=3,则杯子的高 CE=( ) A17 B11 C8 D7 【考点】二次函数的应用 【分析】首先由 y=2x24x+8 求出 D 点的坐标为(1,6) ,然后根据 AB=4,可知 B 点的横坐标为 x=3,代入 y=2x24x+8,得到 y=14,所以 CD=146=8,又 DE=3,所以可知杯子高度 【解答】解:y=2x 24x+8=2(x1) 2+6, 抛物线顶点 D 的坐标为(1 ,6) , AB=4, B 点的横坐标为 x=3, 把 x=3 代入 y=2x24x+8,得到 y=14, CD
26、=146=8, CE=CD+DE=8+3=11 故选:B 【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标,求出顶点 D 和点 B 的坐标是解决问题的关键 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分) 15已知ABC 的三边长 a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是 1 【考点】三角形的内切圆与内心;勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理求出ACB 是直角三角形,设 ABC 的内切圆切 AC 于 E,切 AB 于 F,切 BC 于 D,连接 OE、OF、OD、OA、OC、OB,内切圆的半径为 R,则 OE=OF=OD=R, 根据 SACB=SAOC+SAOB+SBOC
27、代入即可求出答案 【解答】解: a=3, b=4,c=5 , a2+b2=c2, ACB=90, 设ABC 的内切圆切 AC 于 E,切 AB 于 F,切 BC 于 D,连接 OE、OF、OD、OA 、OC、OB ,内 切圆的半径为 R,则 OE=OF=OD=R, SACB=SAOC+SAOB+SBOC, ACBC= AC0E+ ABOF+ BCOD, 34=4R+5R+3R, 解得:R=1 故答案为:1 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,三角形的面积,三角形的内切圆等知识点的应用,解此题 的关键是能得出关于 R 的方程,题目比较典型,难度适中 16如图,正五边形 ABCD 内接于O ,连接
28、对角线 AC,AD,则下列结论: BCAD;BAE=3CAD; BACEAD; AC=2CD其中判断正确的是 (填序号) 【考点】正多边形和圆 【分析】分别 求出 BCD 和ADC 的度数,得到BCD+ADC=180 ,判断出 BCAD; 计算出BAE 的度数和 CAD 的度数,判断出BAE=3 CAD; 根据 AB=CB,AE=DE,AC=AD,判断出 BACEAD; 根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等” 解答 【解答】解:BCD=18072=108,E=108 , ADE= (180108)=36, ADC=10836=72, BCD+ADC=108+72=180,
29、BCAD,故本选项正确; BAE=108, CAD= =36, BAE=3CAD,故本选项正确; 在BAC 和 EAD 中, , BACEAD(SSS ) ,故本选项正确; AB+BC AC, 2CDAC, 故本选项错误 故答案为: 【点评】本题考查了正多边形和圆,熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=2,x 2=4,则 m+n= 10 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得出2+4= m, 24=n,求出即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x
30、1=2,x 2=4, 2+4=m, 24=n, 解得:m=2,n=8, m+n=10, 故答案为:10 【点评】本题考查了根与系数的关系的应用,能根据根与系数的关系得出2+4= m, 24=n 是解此 题的关键 18如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片,为求其外圆半径,小林在外圆上任取一点 A,然后过 点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D,作 CDAB 交外圆于点 C,测得 CD=15cm,AB=60cm,则 这个摆件的外圆半径是 37.5 cm 【考点】垂径定理的应用;勾股定理 【分析】根据垂径定理求得 AD=30cm,然后根据勾股定理得出方程,解方程即可求得半径 【解答】解:如图,设点
31、 O 为外圆的圆心,连接 OA 和 OC, CD=15cm,AB=60cm , CDAB, OCAB, AD= AB=30cm, 设半径为 rcm,则 OD=(r15 )cm , 根据题意得:r 2=(r15) 2+302, 解得:r=37.5 这个摆件的外圆半径长为 37.5cm; 故答案为:37.5 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是本题的关 键 19如图,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和(4,4) ,抛物线 y=a(xm ) 2+n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两 点(C 在 D 的左侧) ,点 C 的横坐标最小值为
32、3,则点 D 的横坐标最 大值为 8 【考点】二次函数综合题;解一元二次方程-直接开平方法;二次函数的性质;待定系数法求二次 函数解析式 【专题】计算题;压轴题 【分析】当 C 点横坐标最小时,抛物线顶点必为 A(1,4) ,根据此时抛物线的对称轴,可判断出 CD 间的距离; 当 D 点横坐标最大时,抛物线顶点为 B(4,4) ,再根据此时抛物线的对称轴及 CD 的长,可判断 出 D 点横坐标最大值 【 解答】解:当点 C 横坐标为3 时,抛物线顶点为 A(1,4) ,对称轴为 x=1,此时 D 点横坐标为 5,则 CD=8; 当抛物线顶点为 B(4,4)时,抛物线对称轴为 x=4,且 CD=
33、8,故 C(0,0) ,D(8,0) ; 由于此时 D 点横坐标最大, 故点 D 的横坐标最大值为 8; 故答案为:8 【点评】本题主要考查了二次函数的性质,用待定 系数法求二次函数的解析式,用直接开平方法解 一元二次方程等知识点,理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键,此题是一个比 较典型的题目 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 68 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20解方程: (1)x 26x6=0 (2)2x 27x+6=0 【考点】解一元二次方程-公式法;解一元二次方程 -配方法 【分析】 (1)求出 b24ac 的值,代入公式求出即可; (2)先分解因
34、式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可 【解答】解:(1)x 26x6=0, b24ac=( 6) 241( 6)=60, x= , x1=3+ ,x 2=3 ; (2)2x 27x+6=0, (2x3) (x 2) =0, 2x3=0, x2=0, x1= ,x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程, 难度适中 21如图,ABC 中,AB=AC=2 , BAC=45, AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的, 连接 BE、CF 相交于点 D (1)求证:BE=CF; (2)当四边形 ABDF 为菱形时,求 CD
35、的长 【考点】旋转的性质;菱形的性质 【专题】证明题 【分析】 (1)根据旋转的性质得 AE=AF=AB=AC=2,EAF=BAC=45 ,然后根据“SAS” 证明 ABEACF,于是根据全等三角形的性质即可得到结论; (2)根据菱形的性质得 DF=AF=2,DFAB,再利用平行线的性质得 1=BAC=45,则可判断 ACF 为等腰直角三角形,所以 CF= AF=2 ,然后计算 CFDF 即可 【解答】 (1)证明:AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的, AE=AF=AB=AC=2,EAF=BAC=45, BAC+3=EAF+3,即BAE= CAF, 在ABE 和ACF 中
36、, ABEACF, BE=CF; (2)解:四边形 ABDF 为菱形, DF=AF=2,DFAB, 1=BAC=45, ACF 为等腰直角三角形, CF= AF=2 , CD=CFDF=2 2 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角;旋转前、后的图形全等也考查了菱形的性质 22如图 ,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标是(2 ,2) ,将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 120, 点 B 的对应点是点 B (1)求点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长; 在图中画出 ,并直接写出点 B1 的坐标是 (0,4) ; (2)有
37、 7 个球除了编号不同外,其他均相同,李南和王易设计了如下的一个规则: 装入不透明的甲袋 装入不透明的乙袋,李南从甲袋中,王 易从乙袋中,各自随机地摸出一个球(不放回) ,把李南摸出的球的编号作为横坐标 x,把王易摸 出的球的编号作为纵坐标 y,用列表法或画树状图法表示出(x,y)的所有可能出现的结果; (3)李南和王易各取一次小球所确定的点(x,y)落在 上的概率是 【考点】作图-旋转变换;列表法与树状图法 【专题】计算题;作图题 【分析】 (1)先利用勾股定理计算出 OB,然后根据弧长公式计算点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经 过的路程长; 由得BOH=30,则线段 OB 绕点 O 顺
38、时针旋转 120,点 B 的对应点是点 B1 在 y 轴的负半轴 上,于是可得到 ,再写出点 B1 的坐标; (2)利用树状图展示所有 12 种等可能的结果数; (3)计算各点到原点的距离可判断点(x,y)落在 上的结果数为 2,然后根据概率公式求 解 【解答】解:(1)作 BHx 轴于点 H, 点 B 的坐标是(2 ,2) , BH=2,OH=2 , OB= =4, B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长= = ; 如图, 为所作,点 B1 的坐标是(0,4) ; (2)画树状图为: 共有 12 种等可能的结果数; (3)点(x,y)落在 上的结果数为 2, 所以点(x,y)落在 上的
39、概率= = 故答案为(0,4) , 【点评】本题考查了作图旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线 段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接 得出旋转后的图形也考查了弧长公式和树状图法 23关于 x 的方程 kx2+(3k+1)x+3=0 (1)求证:无论 k 取任何实数时,方程总有实数根; (2)当二次函数 y=kx2+(3k+1)x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数,且 k 为负整数时, 求出函数的最大(或最小)值,并画出函数图象; (3)若 P(a,y 1) ,Q(2, y2)是(2)中抛物线上的两点,且 y
40、1y 2,请你结合函数图象确定实 数 a 的取值范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值 【分析】 (1)分类讨论:当 k=0 时,方程变形为一元一次方程,有一个实数解;当 k0 时,计算判 别式得到=( 3k1) 2,由此得到 0,由此判断当 k0 时,方程有两个实数根; (2)先由因式分解得到 kx2+(3k+1)x+3=0(k0)的解为 x1= ,x 2=3,则二次函数 y=kx2+(3k+1 )x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为 和3,然后根据整数的整除性可确定 整数 k 的值; (3)代入点 Q(2,y 2)得出 y2,
41、进一步求得点 Q 的对称性得出对称点,结合( 2)中的图象得出 答案即可 【解答】 (1)证明:当 k=0 时,方程变形为 x+3=0,解得 x=3; 当 k0 时,=(3k+1 ) 24k3=(3k1) 2, ( 3k1) 20, 0, 当 k0 时,方程有实数根, 无论 k 取任何实数时,方程总有实数根; (2)解:kx 2+(3k+1 )x+3=0(k0) (kx+1) (x+3)=0, 解得:x 1= ,x 2=3, 所以二次函数 y=kx2+(3k+1)x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为 和3, 根据题意得 为整数,且 k 为负整数 所以整数 k=1; 二次函数为 y=x
42、22x+3; 函数图象如下: (3)解:把点 Q(2,y 2)代入 y=x22x+3 得 y2=5, 则点 Q 的对称点为(4, 5) , 由图象可知:当4a 2 时,y 1y 2 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b24ac,二次函数的对称性,以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系 24如图,ABC 是等边三角形,AO BC,垂足为点 O,O 与 AC 相切于点 D,BEAB 交 AC 的延长线于点 E,与O 相交于 G,F 两点 (1)求证:AB 与 O 相切; (2)若 AB=4,求线段 GF 的长 【考点】切线的
43、判定与性质 【分析】 (1)过点 O 作 OMAB,垂足是 M,证明 OM 等于圆的半径 OD 即可; (2)过点 O 作 ONBE,垂足是 N,连接 OF,由垂径定理得出 NG=NF= GF,证出四边形 OMBN 是矩形,在直角 OBM 利用三角函数求得 OM 和 BM 的长,则 BN 和 ON 即可求得,在直 角ONF 中利用勾股定理求得 NF,即可得出 GF 的长 【解答】 (1)证明:过点 O 作 OMAB,垂足是 M如图 1 所示: O 与 AC 相切于点 D ODAC, ADO=AMO=90 ABC 是等边三角形, DAO=NAO, OM=OD AB 与O 相切; (2)解:过点
44、O 作 ONBE,垂足是 N,连接 OF如图:2 所示: 则 NG=NF= GF, O 是 BC 的中点, OB=2 在直角OBM 中,MBO=60, OM=OBsin60= ,BM=OB cos60=1 BEAB, 四边形 OMBN 是矩形 ON=BM=1, BN=OM= OF=OM= , 由勾股定理得:NF= = , GF=2NF=2 【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理;熟练掌握切线 的判定和等边三角形的性质,正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键 25一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品,根据物价部门规定:该产品每千克售价不得超过 90 元,
45、在销售过程中发现的售量 y(千克)与售价 x(元/千克)满足一次函数关系,对应关系如下 表: 售价 x(元/千克) 50 60 70 80 销售量 y(千克) 100 90 80 70 (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)该批发商若想获得 4000 元的利润,应将售价定为多少元? (3)该产品每千克售价为多少元时,批发商获得的利润 w(元)最大?此时的最大利润为多少元? 【考点】二次函数的应用 【分析】 (1)根据图表中的各数可得出 y 与 x 成一次函数关系,从而结合图表的数可得出 y 与 x 的 关系式 (2)根据想获得 4000 元的利润,列出方程求解即可; (3)根据批发商获得
46、的总利润 w(元)= 售量 每件利润可表示出 w 与 x 之间的函数表达式,再利 用二次函数的最值可得出利润最大值 【解答】解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0) ,根据题 意得 , 解得 故 y 与 x 的函数关系式为 y=x+150; (2)根据题意得 (x+150 ) (x20)=4000 , 解得 x1=70,x 2=10090(不合题意,舍去) 故该批发商若想获得 4000 元的利 润,应将售价定为 70 元; (3)w 与 x 的函数关系式为: w=( x+150) (x20) =x2+170x3000 =(x85) 2+4225, 10, 当 x=85 时,w 值最大,w 最大值是 4225 该产品每千克售价为 85 元时,批发商获得的利润 w(元)最大,此时的最大利润为 4225 元 【点评】本题考查二次函数的应用,难度较大,解答本题的关键是根据题意列出方程,另外要注意