1、2015-2016 学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 14 个小题，1-5 小题每小题 2 分，6-14 小题每小题 2 分，共 37 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6，那么点 P 与 O 的位置关系是 （ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 2下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取 一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ） A B C D1 3抛物线 y=（x 2） 2+3 的顶点坐标
2、是（ ） A （2，3） B （ 2，3） C （2， 3） D （2，3） 4下列说法中错误的是（ ） A篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件 B “任意画出一个平行四边形，它是中心 对称图形”是必然事件 C “抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 D “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的 点数是 6”这一事件发生的频率稳定在 附近 5若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba 4 Ca 1 Da1 6如图，ABC 中，AB=AC ，ABC=70，点 O 是
3、 ABC 的外心，则BOC 的度数为（ ） A40 B60 C70 D80 7用配方法解一元二次方程 x26x4=0，下列变形正确的是（ ） A （x6 ） 2=4+36 B （x 6） 2=4+36 C （x 3） 2=4+9 D （x3） 2=4+9 8如图，已知四边形 ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径， EC 与 O 相切于点 C，ECB=35 ， 则D 的度数是（ ） A145 B125 C90 D80 9如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，得 ABO，则点 A的坐标为（ ） A （3，1） B （3，2） C （2，3） D （
4、1，3） 10抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，则一元二次方程x 2+bx+c=0 的根为（ ） Ax=1 Bx 1=1，x 2=1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=3 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A函数有最小值 B当 1 x2 时，y0 Ca+b+c0 D当 x ，y 随 x 的增大而减小 12如图，AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 E 为 OB 的中点， CDB=30，CD=4 ， 则阴影部分的面积为（ ） A B4 C D 13学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场） 计
5、划安排 21 场比赛，应邀请 多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（ ） Ax 2=21 B x（x 1） =21C x2=21 Dx（x1）=21 14设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示，若 AB=4，DE=3，则杯子的高 CE=（ ） A17 B11 C8 D7 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 15已知ABC 的三边长 a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 16如图，正五边形 ABCD 内接于O ，连接对角线 AC，AD，则下列结论： BCAD；BAE=3CAD； BACEAD； AC=2CD其
6、中判断正确的是 （填序号） 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，则 m+n= 18如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点 A，然后过 点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D，作 CDAB 交外圆于点 C，测得 CD=15cm，AB=60cm，则 这个摆件的外圆半径是 cm 19如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4） ，抛物线 y=a（xm ） 2+n 的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两点（C 在 D 的左侧） ，点 C 的横坐标最小值为 3，则点 D 的横坐标最
7、大值为 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20解方程： （1）x 26x6=0 （2）2x 27x+6=0 21如图，ABC 中，AB=AC=2 ， BAC=45， AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的， 连接 BE、CF 相交于点 D （1）求证：BE=CF； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD 的长 22如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（2 ，2） ，将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 120， 点 B 的对应点是点 B （1）求点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长； 在图中画出 ，并
8、直接写出点 B1 的坐标是 ； （2）有 7 个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则： 装入不透明的甲袋 装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王 易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回） ，把李南摸出的球的编号作为横坐标 x，把王易摸 出的球的编号作为纵坐标 y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在 上的概率是 23关于 x 的方程 kx2+（3k+1）x+3=0 （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）当二次函数 y=kx2+（3k+1） x+3 的图象与 x 轴两个交点的横
9、坐标均为整数，且 k 为负整数时， 求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象； （3）若 P（a，y 1） ，Q（2， y2）是（2）中抛物线上的两点，且 y1y 2，请你结合函数图象确定实 数 a 的取值范围 24如图，ABC 是等边三角形，AO BC，垂足为点 O，O 与 AC 相切于点 D，BEAB 交 AC 的延长线于点 E，与O 相交于 G，F 两点 （1）求证：AB 与 O 相切； （2）若 AB=4，求线段 GF 的长 25一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90 元，在销售过程中发现的售量 y（千克）与售价 x（元/千克）
10、满足一次函数关系，对应关系如下 表： 售价 x（元/千克） 50 60 70 80 销售量 y（千克） 100 90 80 70 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 26在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（ABC ）按如图所示放置，若 AO=2， OC=1， ACB=90 （1）直接写出点 B 的坐标是 ； （2）如果抛物线 l：y=ax 2ax2 经过点 B，试求抛物线 l 的解析式； （3）把ABC 绕着点 C 逆时针旋转 9
11、0后，顶点 A 的对应点 A1 是否在抛物线 l 上？为什么？ （4）在 x 轴上方，抛物线 l 上是否存在一点 P，使由点 A，C，B ，P 构成的四边形为中心对称图形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年河北省张家口市宣化县九年级（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 14 个小题，1-5 小题每小题 2 分，6-14 小题每小题 2 分，共 37 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6，那么点 P 与 O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 上 B
12、点 P 在O 内 C点 P 在O 外 D无法确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解：O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 6， 点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径， 点 P 在 O 外 故选 C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有 3 种设O 的半径为 r，点 P 到圆 心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外 dr ；点 P 在圆上d=r；点 P 在圆内dr 2下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取 一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是（ ） A B C D
13、1 【考点】概率公式；中心对称图形 【分析】先判断出几个图形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可 【解答】解：由图形可得出：第 1，2，3，个图形都是中心对称图形， 从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是： 故选：C 【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的 可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 3抛物线 y=（x 2） 2+3 的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （ 2，3） C （2， 3） D （2，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标
14、特点，求顶点坐标，从而得出对称轴 【解答】解：y=（x 2） 2+3 是抛物线的顶点式方程， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3） 故选：C 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式 y=a（xh） 2+k，顶点坐标是 （h，k） ，对称轴是 x=h 4下列说法中错误的是（ ） A篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件 B “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C “抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上 D “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的 点数是 6”这一
15、事件发生的频率稳定在 附近 【考点】随机事件；概率的意义 【分析】直接利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案 【解答】解：A篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确，不合题意； B “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确，不合题意； C “抛一枚硬币，正面向上的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加， “正面向上”这一事件发生的频率稳 定在 附近，此选项错误，符合题意； D “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是 6 的概率为 ”表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的 点数是 6”这一事件发生的频率稳定在 附近，正确 故选：C 【点评】此题主要考查了随机事件
16、的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键 5若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba 4 Ca 1 Da1 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程 x2+2x+a=0 的有实数解，则根的判别式 0，据此可以列出关于 a 的不等 式，通过解不等式即可求得 a 的值 【解答】解：因为关于 x 的一元二次方程有实根， 所以=b 24ac=44a0， 解之得 a1 故选 C 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式当0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没
17、有实数根 6如图，ABC 中，AB=AC ，ABC=70，点 O 是 ABC 的外心，则BOC 的度数为（ ） A40 B60 C70 D80 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】首先根据等腰三角形的性质可得A 的度数，然后根据圆周角定理可得 O=2A，进而可 得答案 【解答】解：AB=AC， ABC=ACB=70， A=180702=40， 点 O 是 ABC 的外心， BOC=402=80， 故选：D 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧 所对的圆周角等于圆心角的一半 7用配方法解一元二次方程 x26x4=0，下列变形正确的是（ ） A
18、（x6 ） 2=4+36 B （x 6） 2=4+36 C （x 3） 2=4+9 D （x3） 2=4+9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】根据配方法，可得方程的解 【解答】解：x 26x4=0， 移项，得 x26x=4， 配方，得（x3 ） 2=4+9 故选：D 【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为 1，配 方，开方 8如图，已知四边形 ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径， EC 与 O 相切于点 C，ECB=35 ， 则D 的度数是（ ） A145 B125 C90 D80 【考点】切线的性质 【分析】连接 BD，由 AB 是O
19、的直径，得 ADB=90，再由 EC 与O 相切于点 C，ECB=35 ， 知BDC=35，从而得出 D 的度数 【解答】解：连接 BD， AB 是O 的直径， ADB=90， EC 与 O 相切， ECB=35， BDC=35， D=ADB+BDC=90+35=125， 故选 B 【点评】本题考查了切线的性质，以及弦切角定理和应用，解题时要认真审题，仔细解答，合理进 行等价转化 9如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将ABO 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，得 ABO，则点 A的坐标为（ ） A （3，1） B （3，2） C （2，3） D （1，3） 【考点】坐标与图形变化-旋转
20、【分析】根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A、B 的位置，然后与点 O 顺次连接即可，再 根据平面直角坐标系写出点 A的坐标 【解答】解：如图，点 A的坐标为（1，3） 故选 D 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结 合的思想求解更简便 10抛物线 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，则一元二次方程x 2+bx+c=0 的根为（ ） Ax=1 Bx 1=1，x 2=1 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=1，x 2=3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】直接观察图象，抛物线与 x 轴交于 1，对称轴是 x=1，所以根据抛物线的
21、对称性可以求得 抛物线与 x 轴的另一交点坐标，从而求得关于 x 的一元二次方程x 2+bx+c=0 的解 【解答】解：观察图象可知，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0） ，对称轴为 x=1， 抛物线与 x 轴的另一交点坐标为（3，0） ， 一元二次方程 2x24x+m=0 的解为 x1=1，x 2=3 故选：D 【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法一元二次方程x 2+bx+c=0 的解实质上是抛 物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标的值 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A函数有最小值 B当 1 x
22、2 时，y0 Ca+b+c0 D当 x ，y 随 x 的增大而减小 【考点】二次函数的图象 【分析】A、观察可判断函数有最小值； B、由抛物线可知当1x2 时，可判断函数值的符号； C、观察当 x=1 时，函数值的符号，可判断 a+b+c 的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知 y 随 x 的增大而减小，可判断结 论 【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确； B、由抛物线可知当 1x2 时，y0，故错误； C、当 x=1 时，y0，即 a+b+c0，故正确； D、由图象可知在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，故正确 故选 B 【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的
23、关系关键是熟悉各项系数与抛物线的 各性质的联系 12如图，AB 是 O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 E 为 OB 的中点， CDB=30，CD=4 ， 则阴影部分的面积为（ ） A B4 C D 【考点】扇形面积的计算 【分析】首先证明 OE= OC= OB，则可以证得OECBED，则 S 阴影 =半圆S 扇形 OCB，利用扇 形的面积公式即可求解 【解答】解：COB=2 CDB=60， 又 CDAB， OCE=30，CE=DE， OE= OC= OB=2 ，OC=4 S 阴影 = = 故选 D 【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明OEC BED，得到 S 阴影 =半圆S 扇形
24、 OCB 是本题的关 键 13学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场） 计划安排 21 场比赛，应邀请 多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（ ） Ax 2=21 B x（x 1） =21C x2=21 Dx（x1）=21 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，x 个球队比赛总场数= 即可列方 程 【解答】解：设有 x 个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x1 ）=21 ， 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场
25、数的 等量关系 14设计师以 y=2x24x+8 的图形为灵感设计杯子如图所示，若 AB=4，DE=3，则杯子的高 CE=（ ） A17 B11 C8 D7 【考点】二次函数的应用 【分析】首先由 y=2x24x+8 求出 D 点的坐标为（1，6） ，然后根据 AB=4，可知 B 点的横坐标为 x=3，代入 y=2x24x+8，得到 y=14，所以 CD=146=8，又 DE=3，所以可知杯子高度 【解答】解：y=2x 24x+8=2（x1） 2+6， 抛物线顶点 D 的坐标为（1 ，6） ， AB=4， B 点的横坐标为 x=3， 把 x=3 代入 y=2x24x+8，得到 y=14， CD
26、=146=8， CE=CD+DE=8+3=11 故选：B 【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标，求出顶点 D 和点 B 的坐标是解决问题的关键 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 15已知ABC 的三边长 a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是 1 【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理 【分析】根据勾股定理的逆定理求出ACB 是直角三角形，设 ABC 的内切圆切 AC 于 E，切 AB 于 F，切 BC 于 D，连接 OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为 R，则 OE=OF=OD=R， 根据 SACB=SAOC+SAOB+SBOC
27、代入即可求出答案 【解答】解： a=3， b=4，c=5 ， a2+b2=c2， ACB=90， 设ABC 的内切圆切 AC 于 E，切 AB 于 F，切 BC 于 D，连接 OE、OF、OD、OA 、OC、OB ，内 切圆的半径为 R，则 OE=OF=OD=R， SACB=SAOC+SAOB+SBOC， ACBC= AC0E+ ABOF+ BCOD， 34=4R+5R+3R， 解得：R=1 故答案为：1 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题 的关键是能得出关于 R 的方程，题目比较典型，难度适中 16如图，正五边形 ABCD 内接于O ，连接
28、对角线 AC，AD，则下列结论： BCAD；BAE=3CAD； BACEAD； AC=2CD其中判断正确的是 （填序号） 【考点】正多边形和圆 【分析】分别 求出 BCD 和ADC 的度数，得到BCD+ADC=180 ，判断出 BCAD； 计算出BAE 的度数和 CAD 的度数，判断出BAE=3 CAD； 根据 AB=CB，AE=DE，AC=AD，判断出 BACEAD； 根据“三角形的两边之和大于第三边”和“正五边形的各边相等” 解答 【解答】解：BCD=18072=108，E=108 ， ADE= （180108）=36， ADC=10836=72， BCD+ADC=108+72=180，
29、BCAD，故本选项正确； BAE=108， CAD= =36， BAE=3CAD，故本选项正确； 在BAC 和 EAD 中， ， BACEAD（SSS ） ，故本选项正确； AB+BC AC， 2CDAC， 故本选项错误 故答案为： 【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键 17已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1=2，x 2=4，则 m+n= 10 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得出2+4= m， 24=n，求出即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x
30、1=2，x 2=4， 2+4=m， 24=n， 解得：m=2，n=8， m+n=10， 故答案为：10 【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出2+4= m， 24=n 是解此 题的关键 18如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点 A，然后过 点 A 作 AB 与残片的内圆相切于点 D，作 CDAB 交外圆于点 C，测得 CD=15cm，AB=60cm，则 这个摆件的外圆半径是 37.5 cm 【考点】垂径定理的应用；勾股定理 【分析】根据垂径定理求得 AD=30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径 【解答】解：如图，设点
31、 O 为外圆的圆心，连接 OA 和 OC， CD=15cm，AB=60cm ， CDAB， OCAB， AD= AB=30cm， 设半径为 rcm，则 OD=（r15 ）cm ， 根据题意得：r 2=（r15） 2+302， 解得：r=37.5 这个摆件的外圆半径长为 37.5cm； 故答案为：37.5 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关 键 19如图，点 A，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4） ，抛物线 y=a（xm ） 2+n 的顶点在线段 AB 上运动，与 x 轴交于 C、D 两 点（C 在 D 的左侧） ，点 C 的横坐标最小值为
32、3，则点 D 的横坐标最 大值为 8 【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次 函数解析式 【专题】计算题；压轴题 【分析】当 C 点横坐标最小时，抛物线顶点必为 A（1，4） ，根据此时抛物线的对称轴，可判断出 CD 间的距离； 当 D 点横坐标最大时，抛物线顶点为 B（4，4） ，再根据此时抛物线的对称轴及 CD 的长，可判断 出 D 点横坐标最大值 【 解答】解：当点 C 横坐标为3 时，抛物线顶点为 A（1，4） ，对称轴为 x=1，此时 D 点横坐标为 5，则 CD=8； 当抛物线顶点为 B（4，4）时，抛物线对称轴为 x=4，且 CD=
33、8，故 C（0，0） ，D（8，0） ； 由于此时 D 点横坐标最大， 故点 D 的横坐标最大值为 8； 故答案为：8 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用待定 系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解 一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比 较典型的题目 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 68 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20解方程： （1）x 26x6=0 （2）2x 27x+6=0 【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -配方法 【分析】 （1）求出 b24ac 的值，代入公式求出即可； （2）先分解因
34、式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：（1）x 26x6=0， b24ac=（ 6） 241（ 6）=60， x= ， x1=3+ ，x 2=3 ； （2）2x 27x+6=0， （2x3） （x 2） =0， 2x3=0， x2=0， x1= ，x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程， 难度适中 21如图，ABC 中，AB=AC=2 ， BAC=45， AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的， 连接 BE、CF 相交于点 D （1）求证：BE=CF； （2）当四边形 ABDF 为菱形时，求 CD
35、的长 【考点】旋转的性质；菱形的性质 【专题】证明题 【分析】 （1）根据旋转的性质得 AE=AF=AB=AC=2，EAF=BAC=45 ，然后根据“SAS” 证明 ABEACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质得 DF=AF=2，DFAB，再利用平行线的性质得 1=BAC=45，则可判断 ACF 为等腰直角三角形，所以 CF= AF=2 ，然后计算 CFDF 即可 【解答】 （1）证明：AEF 是由 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到的， AE=AF=AB=AC=2，EAF=BAC=45， BAC+3=EAF+3，即BAE= CAF， 在ABE 和ACF 中
36、， ABEACF， BE=CF； （2）解：四边形 ABDF 为菱形， DF=AF=2，DFAB， 1=BAC=45， ACF 为等腰直角三角形， CF= AF=2 ， CD=CFDF=2 2 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了菱形的性质 22如图 ，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（2 ，2） ，将线段 OB 绕点 O 顺时针旋转 120， 点 B 的对应点是点 B （1）求点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长； 在图中画出 ，并直接写出点 B1 的坐标是 （0，4） ； （2）有
37、 7 个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则： 装入不透明的甲袋 装入不透明的乙袋，李南从甲袋中，王 易从乙袋中，各自随机地摸出一个球（不放回） ，把李南摸出的球的编号作为横坐标 x，把王易摸 出的球的编号作为纵坐标 y，用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x，y）落在 上的概率是 【考点】作图-旋转变换；列表法与树状图法 【专题】计算题；作图题 【分析】 （1）先利用勾股定理计算出 OB，然后根据弧长公式计算点 B 绕点 O 旋转到点 B1 所经 过的路程长； 由得BOH=30，则线段 OB 绕点 O 顺
38、时针旋转 120，点 B 的对应点是点 B1 在 y 轴的负半轴 上，于是可得到 ，再写出点 B1 的坐标； （2）利用树状图展示所有 12 种等可能的结果数； （3）计算各点到原点的距离可判断点（x，y）落在 上的结果数为 2，然后根据概率公式求 解 【解答】解：（1）作 BHx 轴于点 H， 点 B 的坐标是（2 ，2） ， BH=2，OH=2 ， OB= =4， B 绕点 O 旋转到点 B1 所经过的路程长= = ； 如图， 为所作，点 B1 的坐标是（0，4） ； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数； （3）点（x，y）落在 上的结果数为 2， 所以点（x，y）落在 上的
39、概率= = 故答案为（0，4） ， 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线 段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接 得出旋转后的图形也考查了弧长公式和树状图法 23关于 x 的方程 kx2+（3k+1）x+3=0 （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）当二次函数 y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为负整数时， 求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象； （3）若 P（a，y 1） ，Q（2， y2）是（2）中抛物线上的两点，且 y
40、1y 2，请你结合函数图象确定实 数 a 的取值范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】 （1）分类讨论：当 k=0 时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当 k0 时，计算判 别式得到=（ 3k1） 2，由此得到 0，由此判断当 k0 时，方程有两个实数根； （2）先由因式分解得到 kx2+（3k+1）x+3=0（k0）的解为 x1= ，x 2=3，则二次函数 y=kx2+（3k+1 ）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为 和3，然后根据整数的整除性可确定 整数 k 的值； （3）代入点 Q（2，y 2）得出 y2，
41、进一步求得点 Q 的对称性得出对称点，结合（ 2）中的图象得出 答案即可 【解答】 （1）证明：当 k=0 时，方程变形为 x+3=0，解得 x=3； 当 k0 时，=（3k+1 ） 24k3=（3k1） 2， （ 3k1） 20， 0， 当 k0 时，方程有实数根， 无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）解：kx 2+（3k+1 ）x+3=0（k0） （kx+1） （x+3）=0， 解得：x 1= ，x 2=3， 所以二次函数 y=kx2+（3k+1）x+3 的图象与 x 轴两个交点的横坐标分别为 和3， 根据题意得 为整数，且 k 为负整数 所以整数 k=1； 二次函数为 y=x
42、22x+3； 函数图象如下： （3）解：把点 Q（2，y 2）代入 y=x22x+3 得 y2=5， 则点 Q 的对称点为（4， 5） ， 由图象可知：当4a 2 时，y 1y 2 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系 24如图，ABC 是等边三角形，AO BC，垂足为点 O，O 与 AC 相切于点 D，BEAB 交 AC 的延长线于点 E，与O 相交于 G，F 两点 （1）求证：AB 与 O 相切； （2）若 AB=4，求线段 GF 的长 【考点】切线的
43、判定与性质 【分析】 （1）过点 O 作 OMAB，垂足是 M，证明 OM 等于圆的半径 OD 即可； （2）过点 O 作 ONBE，垂足是 N，连接 OF，由垂径定理得出 NG=NF= GF，证出四边形 OMBN 是矩形，在直角 OBM 利用三角函数求得 OM 和 BM 的长，则 BN 和 ON 即可求得，在直 角ONF 中利用勾股定理求得 NF，即可得出 GF 的长 【解答】 （1）证明：过点 O 作 OMAB，垂足是 M如图 1 所示： O 与 AC 相切于点 D ODAC， ADO=AMO=90 ABC 是等边三角形， DAO=NAO， OM=OD AB 与O 相切； （2）解：过点
44、O 作 ONBE，垂足是 N，连接 OF如图：2 所示： 则 NG=NF= GF， O 是 BC 的中点， OB=2 在直角OBM 中，MBO=60， OM=OBsin60= ，BM=OB cos60=1 BEAB， 四边形 OMBN 是矩形 ON=BM=1， BN=OM= OF=OM= ， 由勾股定理得：NF= = ， GF=2NF=2 【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练掌握切线 的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键 25一个批发商销售成本为 20 元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过 90 元，
45、在销售过程中发现的售量 y（千克）与售价 x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下 表： 售价 x（元/千克） 50 60 70 80 销售量 y（千克） 100 90 80 70 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）该批发商若想获得 4000 元的利润，应将售价定为多少元？ （3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润 w（元）最大？此时的最大利润为多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据图表中的各数可得出 y 与 x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出 y 与 x 的 关系式 （2）根据想获得 4000 元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得
46、的总利润 w（元）= 售量 每件利润可表示出 w 与 x 之间的函数表达式，再利 用二次函数的最值可得出利润最大值 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b（k0） ，根据题 意得 ， 解得 故 y 与 x 的函数关系式为 y=x+150； （2）根据题意得 （x+150 ） （x20）=4000 ， 解得 x1=70，x 2=10090（不合题意，舍去） 故该批发商若想获得 4000 元的利 润，应将售价定为 70 元； （3）w 与 x 的函数关系式为： w=（ x+150） （x20） =x2+170x3000 =（x85） 2+4225， 10， 当 x=85 时，w 值最大，w 最大值是 4225 该产品每千克售价为 85 元时，批发商获得的利润 w（元）最大，此时的最大利润为 4225 元 【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意
