1、2005 学年第一学期高三质量调研测试 数 学 试 卷 考生注意： 1 答卷前，考生务必将学校、班级、学号、姓名等填写清楚 2 本试卷共有 22 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠 笔书写，请不要将答案写在试卷的密封线以内 3 使用新教材的考生请注意符号说明： 一 二 三题 号 1-12 13-16 17 18 19 20 21 22 总 分 得 分 一填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格 填对得 4 分，否则一律得零分 1设角 的终边过点 ，则 _(8 6)， cos 2 ( 为虚数单位)的运算结果是_206(i 3不
2、等式 的解是_1x 4设 是定义在 上的奇函数，则 的图像过定点_()fR()yfx 5已知函数 ，则 _2(1)x13 6计算： =_11lim 482nn 7设函数 满足：对任意的 ，都有 ，则()fx1 xR、 212()()0xfx 与 的大小关系是_3 符号意义 本试卷所用符号 等同于新教材符号 向量 ,yxa ),(yxa 正切 tgtn 8等差数列 中， ，则 _na171062a16S 9矩形的面积与其周长的数值相等，则矩形面积的最小值是_ 10关于 的不等式 的解集为 ，则复数x2()mxpnpR、 、 (1 2)， 所对应的点位于复平面内的第_象限pi 11函数 图像上至少
3、存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则21()y 公比的取值范围是_. 12在一次产品质量抽查中，某批次产品被抽出 10 件样品进行检验，其中恰有两件不 合格品如果对这 10 件样品逐个进行检验，则这两件不合格品恰好在第五次被全 部检出的概率是_（结果用最简分数表示） 二选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律 得零分. 13设 是两个非零向量，则“ ”是“ ”成立的 ab、 ab/a
4、 A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 14 内角分别是 ，若关于 的方程 有一个根为B ABC、 、 x220xtgA 1，则 一定是 A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 15设函数 与函数 的图像)(xfy)(xgy 如右图所示，则函数 的图f 像可能是下面的 x0y()f x0y()gx0yx0yx0yx0y A B C D 16若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是(1)lg0anna A B 102 C D 102aa或 3aa或 三. 解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要
5、的步骤. 17.（本题满分 12 分） 已知复数 是实系数一元二次方程 的一个根，向量 、2i20xbc mbc， ，求实数 和 使得 8nt， tmn 18.（本题满分 12 分） 设 ，解不等式 . 1 ()23 xf()10fx 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分. 已知 三个顶点分别是 A（3，0） 、B（0，3） 、C ，ABC(cosin)， 其中 32 （1）若 ，求角 的值； （2）若 ，求 的值1ACBsinco 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 为了缓解交通压力，某省在
6、两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公 共交通车如果该列火车每次拖 4 节车厢，每日能来回 16 趟；如果每次拖 7 节车厢， 则每日能来回 10 趟火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数 y 是每次 拖挂车厢节数 x 的一次函数，每节车厢满载时能载客 110 人 （） 求出 y 关于 x 的函数关系式； （） 这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多? 并求出每天 最多的营运人数 21.（本满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1、3 小题满分各 5 分，第 2 小题满分 6 分. 如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是
7、相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差 (1)设数列 是公方差为 的等方差数列，求 和 的关系式；napna1(2 )nN， (2)若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列 ； (3) 设数列 是首项为 ，公方差为 的等方差数列，若将 这种n212310aa， ， ， ， 顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数 22.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 7 分. 已知函数 ，当点 在 的图像上移动时，12()log()fx0()Pxy， ()fx 点 在函数 的图像上移动
8、00 tQytR， （ ） g （1） 若点 P 坐标为（ ） ，点 Q 也在 的图像上，求 的值；， ()yfxt （2） 求函数 的解析式；()ygx （3） 当 时，试探求一个函数 使得 在限定定义域为0t()hx()()fgxh 时有最小值而没有最大值1)， 2005 学年第一学期高三质量调研测试数学试卷 参考答案及评分标准 一 （第 1 至 12 题）每一题正确的得 4 分，否则一律得零分 1 2 3 4 45112x(0 )， 5 6 7 8 23()ff 9 10二 11 . 12 6 13， ， 45 二 （第 13 至 16 题）每一题正确的得 4 分，否则一律得零分 13C
9、 14B 15A 16C 三.（第 1至2 题） 17.（本题满分 12 分）解： 是实系数一元二次方程 的一个根，2i20xbc 也是方程 的根3 分i0xbc ， 7 分(2)4bi()25i 故 由 得 ，9 分 5mc， ， mn48t， ， ， ， 12 分485t120t 18.（本题满分 12 分） 解：（1）当 时，原不等式等价于 ，即 或 3 分x|1|x2x0 5 分2 （2）当 时，原不等式等价于 ，即 或 8 分30x3 10 分0x 综上所述，不等式 的解集为 12 分()1f( )2)， ， 19.（本题满分 14 分） 解：（1） 三个顶点分别是 A（3，0） 、
10、B（0，3） 、C ，ABC(cosin)， ， 2 分cos in， cos in， 由 得， 4 分ACB222(cos3)incos(in3) 即 6 分cosin ， 7 分3254 （2）由 得， 9 分1AB(cos3)sin(3)1 即 ， 10 分2sin ， 11 分4(c)sic952sico9 又 ， ， 12 分32n0o2 51(sinco)1sic() 14 分43 20.（本题满分 14 分） 解：（1）依题意，设 ，则 ，解得 ， 4 分ykxb16407kb24k 为所求(未注明定义域，不扣分) 6 分24(012yxN， （2）该列火车满载时每日的营运人数为
11、 9 分()wx （当且仅当 时取等号） 12 分2(1)05840x6x （用二次函数求解的请相应给分） 故这列火车满载时每次应拖挂 节车厢才能使每日营运人数最多，最多营运6 人数为 人 14 分15840 21.（本满分 16 分） (1)解：由等方差数列的定义可知： 5 分21nap(2 )nN， (2)证法一： 是等差数列，设公差为 ，则nad1nad 又 是等方差数列， 7 分221nn 11()()()()nna 即 ， 10 分21()0nndaad ，即 是常数列11 分0 证法二： 是等差数列，设公差为 ，则 n 1nad 1 又 是等方差数列，设公方差为 ，则 7 分ap2
12、p 2 代入 得， 1 2 20nda 3 同理有， 1 4 两式相减得：即 ，10 分22()nd ，即 是常数列11 分0da 证法三：（接证法二 、 ） 1 2 由 、 得出：若 ，则 是常数列 8 分 1 2 0dna 若 ， 则 是常数, ，矛盾10 分0d2npa0d 是常数列 11 分 (3)依题意， ，21n()N， ，4a212n ，或 ， 13 分2n 即该密码的第一个数确定的方法数是 ，其余每个数都有 “正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是 种，9251 故，这种密码共 种16 分512 22.（本题满分 18 分） 解：（1
13、）当点 坐标为（ ） ，点 的坐标为 ，2 分P， Q1( )2t， 点 也在 的图像上， ，即 5 分Q()yfx12log0t （根据函数 的单调性求得 ，请相应给分）()yfx0t （2）设 在 的图像上 Q， g 则 ，即 8 分0 1xty021xty 而 在 的图像上，0()P， ()f0102log()yx 代入得， 为所求11 分12logyxt （3） ；或 等 15 分12()lht123()lxht 如：当 时，12ogxx()()fh111222l()log()logxxtt12l()x 在 单调递减， 故 ，21x0， 0120 即 有最小值 ，但没有最大值18 分(
14、)()fgx （其他答案请相应给分） （参考思路）在探求 时，要考虑以下因素： 在 上必须有意义（否则()h()hx0 1， 不能参加与 的和运算） ；由于 和 都是以 为底的对数，所以构fxgfg2 造的函数 可以是以 为底的对数，这样与 和 进行的运算转化为真数的()12()x 乘积运算；以 为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到 最小值；为方便起见，可以考虑通过乘积消去 ；乘积的结果可以是 的二次()gxx 函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线 的左侧（否则真数会有最小值，对12 数就有最大值了） ，考虑到该二次函数的图像与 轴已有了一个公共点 ，故对x(1 0)， 称轴又应该是 轴或在 轴的右侧（否则该二次函数的值在 上的值不能恒为正数）y 0 )， ，即若抛物线与 轴的另一个公共点是 ，则 ，且抛物线开口向下x( 0)a， 12a
