1、2014-2015 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1方程 x23x5=0 的根的情况是（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定是否有实数根 2在 RtABC 中， C=90， BC=3，AB=5，则 sinA 的值为（ ） A B C D 3若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A 长方体 B 正方体 C 圆柱 D 圆锥 4小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为 1 号、4 号、 6 号、3 号、5 号和 2 号若小丁从中随机抽取一个，则
2、抽到的座位号是偶数的概率是（ ） A B C D 5如图，ABC 和A 1B1C1 是以点 O 为位似中心的位似三角形，若 C1 为 OC 的中点， AB=4，则 A1B1 的长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 6已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是反比例函数 y= 的图象上的两点，若 x10x 2， 则下列结论正确的是（ ） A y10y 2 B y20y 1 C y1y 20 D y2y 10 7如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 为弦，OD AC 于 D，过点 O 作 OEAC 交半圆 O 于 点 E，过点 E 作 EFAB 于 F若 AC=2，则 OF 的长
3、为（ ） A B C 1 D 2 8如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，AC，BD 交于点 O点 E 为线段 AC 上的一个动点， 连接 DE，BE，过 E 作 EFBD 于 F，设 AE=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的（ ） A 线段 EF B 线段 DE C 线段 CE D 线段 BE 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 9如图，已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120，则扇形的面积为 cm2 （结果保留 ） 10在某一时刻，测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m，同时测得
4、一栋建筑物的影长为 12m，那么这栋建筑物的高度为 m 11如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，则 关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 12对于正整数 n，定义 F（n）= ，其中 f（n）表示 n 的首位数字、末 位数字的平方和例如：F（6）=6 2=36，F（123）=f（123 ）=1 2+32=10规定 F1（n） =F（n） ，F k+1（n）=F（F k（ n） ） 例如：F 1（123）=F（123）=10，F 2（123） =F（F 1（123） ）=F（10）=1 （1）求：F 2（4）= ，F 201
5、5（4）= ； （2）若 F3m（4）=89，则正整数 m 的最小值是 三、解答题（共 13 小题，满分 72 分） 13计算：（1） 2015+sin30（3.14） 0+（ ） 1 14如图，ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点，BEAC 于 E，求证：ACDBCE 15已知 m 是一元二次方程 x23x2=0 的实数根，求代数式 的值 16抛物线 y=2x2 平移后经过点 A（0，3） ，B （2，3） ，求平移后的抛物线的表达式 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=2x 与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，AC x 轴于点 C
6、，连接 BC （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 是反比例函数 y= 图象上的一点，且满足OPC 与ABC 的面积相等，请直接 写出点 P 的坐标 18如图，ABC 中， ACB=90，sinA= ，BC=8 ，D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的 垂线，垂足为点 E （1）求线段 CD 的长； （2）求 cosABE 的值 19已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=有两个不相等的实数根 x1，x 2 （1）求 m 的取值范围； （2）若 x20，且 1，求整数 m 的值 20某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应
7、的单件利润如表所示（其中 x 为正整数，且 1x10） ； 质量档次 1 2 x 10 日产量（件） 95 90 1005x 50 单件利润（万元） 6 8 2x+4 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为 x 的产品时，当天 的利润为 y 万元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值 21如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B ，C 在O 上，AD 与 O 相切，射线 AO 交 BC 于点 E，交 O 于点 F点 P 在射线 AO 上，且PCB=2 BAF （1）求证：直线 P
8、C 是O 的切线； （2）若 AB= ，AD=2，求线段 PC 的长 22阅读下面材料： 小明观察一个由 11 正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间 的距离都是 1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不 垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值 请回答： （1）如图 1，A，B，C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点 D，作出线段 CD，使得 CDAB； （2）如图 2，线段 AB 与 CD 交于点 O为了求出AOD 的正切值，小明在点阵中找到了 点 E，连接 AE，恰好满足 AECD 于点 F，再作出点阵
9、中的其它线段，就可以构造相似三 角形，经过推理和计算能够使问题得到解决 请你帮小明计算：OC= ；tanAOD= ； 解决问题： 如图 3，计算：tan AOD= 23在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，4） 、B（m，n） （1）求代数式 mn 的值； （2）若二次函数 y=（x 1） 2 的图象经过点 B，求代数式 m3n2m2n+3mn4n 的值； （3）若反比例函数 y= 的图象与二次函数 y=a（x1） 2 的图象只有一个交点，且该交点在 直线 y=x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围 24如图 1，在ABC 中，BC=4，以线段 AB 为边
10、作ABD，使得 AD=BD，连接 DC，再 以 DC 为边作CDE，使得 DC=DE，CDE= ADB= （1）如图 2，当ABC=45 且 =90时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，连接 BF，AF 若 =90，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； 请直接写出线段 AF 的长（用含 的式子表示） 25在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2）是图形 W 上的任意两点 定义图形 W 的测度面积：若|x 1x2|的最大值为 m，|y 1y2|的最大值为 n，则 S=mn 为图形
11、 W 的测度面积 例如，若图形 W 是半径为 1 的 O，当 P，Q 分别是 O 与 x 轴的交点时，如图 1，|x 1x2| 取得最大值，且最大值 m=2；当 P，Q 分别是O 与 y 轴的交点时，如图 2，|y 1y2|取得最 大值，且最大值 n=2则图形 W 的测度面积 S=mn=4 （1）若图形 W 是等腰直角三角形 ABO，OA=OB=1 如图 3，当点 A，B 在坐标轴上时，它的测度面积 S= ； 如图 4，当 ABx 轴时，它的测度面积 S= ； （2）若图形 W 是一个边长 1 的正方形 ABCD，则此图形的测度面积 S 的最大值为 ； （3）若图形 W 是一个边长分别为 3
12、和 4 的矩形 ABCD，求它的测度面积 S 的取值范围 2014-2015 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1方程 x23x5=0 的根的情况是（ ） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定是否有实数根 考点： 根的判别式 分析： 求出 b24ac 的值，再进行判断即可 解答： 解：x 23x5=0， =b24ac=（3） 241（5） =290， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选 A 点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程 a
13、x2+bx+c=0（a 、b、c 为常数，a0） 当 b24ac0 时，一元二次方程有两个不相等的实 数根，当 b24ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，当 b24ac0 时，一元二 次方程没有实数根 2在 RtABC 中， C=90， BC=3，AB=5，则 sinA 的值为（ ） A B C D 考点： 锐角三角函数的定义 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可 解答： 解：RtABC 中，C=90，BC=3，AB=5， sinA= = 故选 A 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点： 正弦函数的定义：我们把锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做 A
14、 的正弦，记作 sinA即 sinA=A 的对边：斜边=a：c 3若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A 长方体 B 正方体 C 圆柱 D 圆锥 考点： 由三视图判断几何体 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状 解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得 此几何体为圆锥 故选：D 点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果 有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定 4小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为 1 号、4 号、 6
15、 号、3 号、5 号和 2 号若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（ ） A B C D 考点： 概率公式 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为 1 号、4 号、6 号、3 号、5 号和 2 号，直接 利用概率公式求解即可求得答案 解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为 1 号、 4 号、6 号、3 号、5 号和 2 号， 抽到的座位号是偶数的概率是： = 故选 C 点评： 此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 5如图，ABC 和A 1B1C1 是以点 O 为位似中心的位似三角形，若 C1 为 OC 的中点， AB=4，则 A1B
16、1 的长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 考点： 位似变换 专题： 计算题 分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B 1C1BC，再利用平行线分线段成比例定 理得到 = ，所以 = ，然后把 OC1= OC，AB=4 代入计算即可 解答： 解：C 1 为 OC 的中点， OC1= OC， ABC 和A 1B1C1 是以点 O 为位似中心的位似三角形， = ，B 1C1BC， = ， = ， 即 = A1B1=2 故选 B 点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于 一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心注意： 两个
17、图形必须是相似形； 对应点的连线都经过同一点； 对应边平行 6已知点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是反比例函数 y= 的图象上的两点，若 x10x 2， 则下列结论正确的是（ ） A y10y 2 B y20y 1 C y1y 20 D y2y 10 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征 专题： 计算题 分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 y1= ，y 2= ，然后利用 x10x 2 即 可得到 y1 与 y2 的大小 解答： 解：A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）是反比例函数 y= 的图象上的两点， y1= ，y 2= ， x1 0 x2， y2 0 y
18、1 故选 B 点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k0） 的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 7如图，AB 是半圆 O 的直径，AC 为弦，OD AC 于 D，过点 O 作 OEAC 交半圆 O 于 点 E，过点 E 作 EFAB 于 F若 AC=2，则 OF 的长为（ ） A B C 1 D 2 考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质 分析： 根据垂径定理求出 AD，证ADO OFE，推出 OF=AD，即可求出答案 解答： 解：OD AC，AC=2， AD=CD=1， ODAC，EFAB， ADO=OFE=
19、90， OEAC， DOE=ADO=90， DAO+DOA=90，DOA+EF=90， DAO=EOF， 在ADO 和OFE 中， ， ADOOFE（AAS ） ， OF=AD=1， 故选 C 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出 ADOOFE 和求出 AD 的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦 8如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，AC，BD 交于点 O点 E 为线段 AC 上的一个动点， 连接 DE，BE，过 E 作 EFBD 于 F，设 AE=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能
20、是图 1 中的（ ） A 线段 EF B 线段 DE C 线段 CE D 线段 BE 考点： 动点问题的函数图象 分析： 作 BNAC，垂足为 N，FM AC，垂足为 M，DGAC，垂足为 G，分别找出线段 EF、CE、BE 最小值出现的时刻即可得出结论 解答： 解：作 BNAC，垂足为 N，FM AC，垂足为 M，DGAC，垂足为 G 由垂线段最短可知：当点 E 与点 M 重合时，即 AE 时，FE 有最小值，与函数图象不 符，故 A 错误； 由垂线段最短可知：当点 E 与点 G 重合时，即 AEd 时，DE 有最小值，故 B 正确； CE=ACAE，CE 随着 AE 的增大而减小，故 C
21、错误； 由垂线段最短可知：当点 E 与点 N 重合时，即 AE 时，BE 有最小值，与函数图象不 符，故 D 错误； 故选：B 点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的 时刻是解题的关键 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 9如图，已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120，则扇形的面积为 3 cm 2 （结果保 留 ） 考点： 扇形面积的计算 专题： 压轴题 分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出 解答： 解：由 S= 知 S= 32=3cm2 点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式 S= 10
22、在某一时刻，测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m，同时测得一栋建筑物的影长为 12m，那么这栋建筑物的高度为 24 m 考点： 相似三角形的应用 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解 解答： 解：设这栋建筑物的高度为 xm， 由题意得， = ， 解得 x=24， 即这栋建筑物的高度为 24m 故答案为：24 点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键 11如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，则 关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 x 1=2，x 2=1 考点： 二
23、次函数的性质 专题： 数形结合 分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解 解答： 解：抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（ 2，4） ，B（1，1） ， 方程组 的解为 ， ， 即关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 x1=2，x 2=1 故答案为 x1=2，x 2=1 点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（ ， ） ，对称轴直线 x= 也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题 12对于正整数 n，定义 F（n）= ，其中
24、f（n）表示 n 的首位数字、末 位数字的平方和例如：F（6）=6 2=36，F（123）=f（123 ）=1 2+32=10规定 F1（n） =F（n） ，F k+1（n）=F（F k（ n） ） 例如：F 1（123）=F（123）=10，F 2（123） =F（F 1（123） ）=F（10）=1 （1）求：F 2（4）= 37 ，F 2015（4）= 26 ； （2）若 F3m（4）=89，则正整数 m 的最小值是 6 考点： 规律型：数字的变化类 专题： 新定义 分析： 通过观察前 8 个数据，可以得出规律，这些数字 7 个一个循环，根据这些规律计算 即可 解答： 解：（1）F 2（
25、4）=F（F 1（4） ）=F（16）=1 2+62=37； F1（4）=F （4）=16 ，F 2（4）=37，F 3（4）=58， F4（4）=89，F 5（4）=145，F 6（4）=26，F 7（4）=40，F 8（4）=16， 通过观察发现，这些数字 7 个一个循环，2015 是 7 的 287 倍余 6，因此 F2015（4）=26； （2）由（1）知，这些数字 7 个一个循环，F 4（4）=89=F 18（4） ，因此 3m=18，所以 m=6 故答案为：（1）37，26；（2）6 点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出 变化规律是解题的
26、关键 三、解答题（共 13 小题，满分 72 分） 13计算：（1） 2015+sin30（3.14） 0+（ ） 1 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利 用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可 解答： 解：原式= 1+ 1+2= 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14如图，ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点，BEAC 于 E，求证：ACDBCE 考点： 相似三角形的判定 专题： 证明题 分析： 根据等腰三角形的性质，
27、由 AB=AC，D 是 BC 中点得到 ADBC，易得 ADC=BEC=90，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得 到结论 解答： 证明：AB=AC，D 是 BC 中点， ADBC， ADC=90， BEAC， BEC=90， ADC=BEC， 而ACD=BCE， ACDBCE 点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了等 腰三角形的性质 15已知 m 是一元二次方程 x23x2=0 的实数根，求代数式 的值 考点： 一元二次方程的解 专题： 计算题 分析： 把 x=m 代入方程得到 m22=3m，原式分子利用平方差公式化简，将 m22
28、=3m 代入 计算即可求出值 解答： 解：把 x=m 代入方程得： m23m2=0，即 m22=3m， 则原式= = =3 点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键 16抛物线 y=2x2 平移后经过点 A（0，3） ，B （2，3） ，求平移后的抛物线的表达式 考点： 二次函数图象与几何变换 专题： 计算题 分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为 y=2x2+bx+c，然后把点 A 和点 B 的坐标代入得到关于 b、c 的方程组，解方程组求出 b、c 即可得到平移后的抛物线的表达式 解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为 y=2x2
29、+bx+c， 把点 A（0，3） ，B（2，3）分别代入得 ，解得 ， 所以平移后的抛物线的表达式为 y=2x24x+3 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=2x 与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，AC x 轴于点 C，连接 BC （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 是反比例函数 y= 图象
30、上的一点，且满足OPC 与ABC 的面积相等，请直接 写出点 P 的坐标 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： （1）把 A 点横坐标代入正比例函数可求得 A 点坐标，代入反比例函数解析式可求 得 k，可求得反比例函数解析式； （2）由条件可求得 B、C 的坐标，可先求得ABC 的面积，再结合OPC 与 ABC 的面积 相等求得 P 点坐标 解答： 解： （1）把 x=2 代入 y=2x 中，得 y=22=4， 点 A 坐标为（2，4） ， 点 A 在反比例函数 y= 的图象上， k=24=8， 反比例函数的解析式为 y= ； （2）AC OC， OC=2， A、 B 关于原点对称，
31、 B 点坐标为（2，4） ， B 到 OC 的距离为 4， SABC=2SACO=2 24=8， SOPC=8， 设 P 点坐标为（x， ） ，则 P 到 OC 的距离为| |， | |2=8，解得 x=1 或1， P 点坐标为（1，8）或（1，8） 点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得 A 点坐 标、在（2）中求得 P 点到 OC 的距离是解题的关键 18如图，ABC 中， ACB=90，sinA= ，BC=8 ，D 是 AB 中点，过点 B 作直线 CD 的 垂线，垂足为点 E （1）求线段 CD 的长； （2）求 cosABE 的值 考点： 解直角三
32、角形；勾股定理 专题： 计算题 分析： （1）在ABC 中根据正弦的定义得到 sinA= = ，则可计算出 AB=10，然后根据 直角三角形斜边上的中线性质即可得到 CD= AB=5； （2）在 RtABC 中先利用勾股定理计算出 AC=6，在根据三角形面积公式得到 SBDC=S ADC，则 SBDC= SABC，即 CDBE= ACBC，于是可计算出 BE= ，然后在 Rt BDE 中利用余弦的定义求解 解答： 解：（1）在ABC 中， ACB=90， sinA= = ， 而 BC=8， AB=10， D 是 AB 中点， CD= AB=5； （2）在 RtABC 中，AB=10，BC=8，
33、 AC= =6， D 是 AB 中点， BD=5，S BDC=SADC， SBDC= SABC，即 CDBE= ACBC， BE= = ， 在 RtBDE 中，cosDBE= = = ， 即 cosABE 的值为 点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解 直角三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式 19已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=有两个不相等的实数根 x1，x 2 （1）求 m 的取值范围； （2）若 x20，且 1，求整数 m 的值 考点： 根的判别式；根与系数的关系 专题： 计算题 分析： （1）由二次项系
34、数不为 0，且根的判别式大于 0，求出 m 的范围即可； （2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出 m 的范围，找出整数 m 的值即可 解答： 解：（1）由已知得：m 0 且=（m+2） 28m=（ m2） 20， 则 m 的范围为 m0 且 m2； （2）方程解得：x= ，即 x=1 或 x= ， x2 0， x2= 0，即 m0， 1， 1，即 m 2， m0 且 m2， 2m 0， m 为整数， m=1 点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于 0 20某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应 的单件
35、利润如表所示（其中 x 为正整数，且 1x10） ； 质量档次 1 2 x 10 日产量（件） 95 90 1005x 50 单件利润（万元） 6 8 2x+4 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为 x 的产品时，当天 的利润为 y 万元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值 考点： 二次函数的应用 分析： （1）根据总利润=单件利润销售量就可以得出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论 解答： 解：（1）由题意，得 y=（
36、100 5x） （2x+4） ， y=10x2+180x+400（1 x10 的整数） ； 答：y 关于 x 的函数关系式为 y=10x2+180x+400； （2）y= 10x2+180x+400， y=10（x9） 2+1210 1x10 的整数， x=9 时，y 最大=1210 答：工厂为获得最大利润，应选择生产 9 档次的产品，当天利润的最大值为 1210 万元 点评： 本题考查了总利润=单件利润销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式 的运用，解答时求出函数的解析式是关键 21如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B ，C 在O 上，AD 与 O 相切，射线 AO 交 B
37、C 于点 E，交 O 于点 F点 P 在射线 AO 上，且PCB=2 BAF （1）求证：直线 PC 是O 的切线； （2）若 AB= ，AD=2，求线段 PC 的长 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 分析： （1）首先连接 OC，由 AD 与O 相切，可得 FAAD，四边形 ABCD 是平行四边 形，可得 ADBC，然后由垂径定理可证得 F 是 的中点，BE=CE， OEC=90，又由 PCB=2BAF，即可求得OCE+PCB=90，继而证得直线 PC 是O 的切线； （2）首先由勾股定理可求得 AE 的长，然后设O 的半径为 r，则 OC=OA=r，O
38、E=3r，则 可求得半径长，易得OCECPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段 PC 的 长 解答： （1）证明：连接 OC AD 与 O 相切于点 A， FAAD 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， FABC FA 经过圆心 O， F 是 的中点，BE=CE ，OEC=90， COF=2BAF PCB=2BAF， PCB=COF OCE+COF=180OEC=90， OCE+PCB=90 OCPC 点 C 在O 上， 直线 PC 是O 的切线 （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=2 BE=CE=1 在 RtABE 中，AEB=90 ，AB= ， 设 O
39、的半径为 r，则 OC=OA=r，OE=3r 在 RtOCE 中，OEC=90 ， OC2=OE2+CE2 r2=（3r ） 2+1 解得 ， COE=PCE，OEC=CEP=90 OCECPE， 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性 质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用 22阅读下面材料： 小明观察一个由 11 正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间 的距离都是 1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不 垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相
40、交所成锐角的正切值 请回答： （1）如图 1，A，B，C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点 D，作出线段 CD，使得 CDAB； （2）如图 2，线段 AB 与 CD 交于点 O为了求出AOD 的正切值，小明在点阵中找到了 点 E，连接 AE，恰好满足 AECD 于点 F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三 角形，经过推理和计算能够使问题得到解决 请你帮小明计算：OC= ；tanAOD= 5 ； 解决问题： 如图 3，计算：tan AOD= 考点： 相似形综合题 分析： （1）用三角板过 C 作 AB 的垂线，从而找到 D 的位置； （2）连接 AC、DB、AD、DE 由 ACODBO
41、 求得 CO 的长，由等腰直角三角形的性 质可以求出 AF，DF 的长，从而求出 OF 的长，在 RtAFO 中，根据锐角三角函数的定义 即可求出 tanAOD 的值； （3）如图，连接 AE、BF ，则 AF= ，AB= ，由AOE BOF，可以求出 AO= ，在 RtAOF 中，可以求出 OF= ，故可求得 tanAOD 解答： 解：（1）如图所示： 线段 CD 即为所求 （2）如图 2 所示连接 AC、DB、AD AD=DE=2， AE=2 CDAE， DF=AF= ACBD， ACODBO CO：DO=2：3 CO= DO= OF= tanAOD= （3）如图 3 所示： 根据图形可知
42、：BF=2，AE=5 由勾股定理可知：AF= = ，AB= = FBAE， AOEBOF AO：OB=AE：FB=5：2 AO= 在 RtAOF 中，OF= = tanAOD= 点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定 义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键 23在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，4） 、B（m，n） （1）求代数式 mn 的值； （2）若二次函数 y=（x 1） 2 的图象经过点 B，求代数式 m3n2m2n+3mn4n 的值； （3）若反比例函数 y= 的图象与二次函数 y=a（x1） 2 的图象
43、只有一个交点，且该交点在 直线 y=x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围 考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的 性质 专题： 综合题；数形结合；分类讨论 分析： （1）只需将点 A、B 的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题； （2）将点 B 的坐标代入 y=（x 1） 2 得到 n=m22m+1，先将代数式变形为 mn（m 22m+1） +2mm4n，然后只需将 m22m+1 用 n 代替，即可解决问题； （3）可先求出直线 y=x 与反比例函数 y= 交点 C 和 D 的坐标，然后分 a0 和 a0 两种 情况讨论，先求出二次函数的图象
44、经过点 D 或 C 时对应的 a 的值，再结合图象，利用二次 函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题 解答： 解：（1）反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，4） 、B （m，n） ， k=mn=14=4， 即代数式 mn 的值为 4； （2）二次函数 y=（x1） 2 的图象经过点 B， n=（m 1） 2=m22m+1， m3n2m2n+3mn4n=m3n2m2n+mn+2mn4n =mn（m 22m+1）+2mm4n =4n+244n =8， 即代数式 m3n2m2n+3mn4n 的值为 8； （3）设直线 y=x 与反比例函数 y= 交点分别为 C、D， 解 ，得：
45、或 ， 点 C（2，2） ，点 D（2，2 ） 若 a0，如图 1， 当抛物线 y=a（x1） 2 经过点 D 时， 有 a（21） 2=2， 解得：a=2 |a|越大，抛物线 y=a（x1） 2 的开口越小， 结合图象可得：满足条件的 a 的范围是 0a2； 若 a0，如图 2， 当抛物线 y=a（x1） 2 经过点 C 时， 有 a（2 1） 2=2， 解得：a= |a|越大，抛物线 y=a（x1） 2 的开口越小， 结合图象可得：满足条件的 a 的范围是 a 综上所述：满足条件的 a 的范围是 0a2 或 a 点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比
46、例 函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、 分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运 用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键 24如图 1，在ABC 中，BC=4，以线段 AB 为边作ABD，使得 AD=BD，连接 DC，再 以 DC 为边作CDE，使得 DC=DE，CDE= ADB= （1）如图 2，当ABC=45 且 =90时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF，连接 BF，AF 若 =90，依题意补全图 3，求线段 AF 的长； 请直接写出线段 AF 的长（用含 的式子表示） 考点： 几何变换综合题 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可； （2）设 DE 与 BC 相交于点 H，
