1、第 1 页（共 27 页） 2015-2016 学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1 的倒数是（ ） A3 B C D3 2计算 的结果是（ ） A B C D3 3不等式 3x+2 1 的解集是（ ） Ax Bx Cx 1 Dx1 4下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5若 3x=4y（xy0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 6在 RtABC 中， C=90， BC=3，AB=5，则 cosA 的值为（ ） A B C
2、 D 7如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F，若 AE=2ED，则 的值是（ ） 第 2 页（共 27 页） A B C D 8如图，O 的直径 AB=2，弦 AC=1，点 D 在O 上，则D 的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 9若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A6， B ，3 C6，3 D ， 10如图所示，扇形 AOB 的圆心角为 120，半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式：mn
3、2+6mn+9m= 12一名射击爱好者 5 次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这 5 个数据的中位数是 13如图，身高是 1.6m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆 的影子长分别为 1.2m 和 9m，则旗杆的高度为 m 14若反比例函数 的图象在每一个象限中，y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值 范围是 第 3 页（共 27 页） 15将抛物线 y=2x2 向下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 外接圆的圆心坐标是 ，半径是 三、解答题（共 13 道小题，第 17-26 小题，
4、每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，共 72 分） 17计算：cos60+tan30sin60（cos45 ） 0 18已知 ，求代数式 的值 19求二次函数 y=x24x+3 的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图 象 第 4 页（共 27 页） 20如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A（2，5）在反比例函数 y= 的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B （1）求 k 和 b 的值； （2）求OAB 的面积 21李大叔想用篱笆围成一个周长为 80 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方
5、米）随矩 形一边长 x（单位：米）的变化而变化 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？ 22已知：如图，AB 是 O 的直径，弦 ， B=60，OD AC，垂足为 D （1）求 OD 的长； （2）求劣弧 AC 的长 23在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，A=60 ，D=150，四边形周长为 32，求 BC 和 CD 的长度 24一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河 东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C 在 A 北偏西 31的方向上，沿河岸
6、向北前 行 40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽 度 （参考数值：tan31 ） 第 5 页（共 27 页） 25已知抛物线 y=（m 1）x 2+（m2）x 1 与 x 轴相交于 A、B 两点，且 AB=2，求 m 的 值 26在ABC 中，AB=6cm， AC=12cm，动点 D 以 1cm/s 的速度从点 A 出发到点 B 止， 动点 E 以 2cm/s 的速度从点 C 出发到点 A 止，且两点同时运动，当以点 A、D、E 为顶点 的三角形与ABC 相似时，求运动的时间 t 27如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，CAB
7、的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F （1）猜想 ED 与O 的位置关系，并证明你的猜想； （2）若 AB=6，AD=5，求 AF 的长 28如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 AFE=B （1）求证：ADF DEC； （2）若 AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求 AE 的长 第 6 页（共 27 页） 29已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上， OAB 是等腰直角三角形 （1）求过
8、A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出 此时 P 点的坐标和 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 第 7 页（共 27 页） 2015-2016 学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1 的倒数是（ ） A3 B C D3 【考点】倒数 【分析】根据倒数的定义即可得出答案 【解答】解： 的倒数是 3； 故选 D
9、 【点评】此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互 为倒数 2计算 的结果是（ ） A B C D3 【考点】二次根式的乘除法 【专题】计算题 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可 【解答】解： = ， 故选：B 【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比 较简单 3不等式 3x+2 1 的解集是（ ） Ax Bx Cx 1 Dx1 【考点】解一元一次不等式 【分析】先移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可 【解答】解：移项得，3x1 2， 合并同类项得，3x3， 把 x 的系数化为 1 得，x1 故选：C
10、 第 8 页（共 27 页） 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题 的关键 4下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 A 选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 选项不合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形故 C 选项不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 D 选项符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴
11、对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180后 与原图重合 5若 3x=4y（xy0） ，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【考点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，可得答案 【解答】解：A、由比例的性质，得 3x=4y，故 A 正确； B、由比例的性质，得 xy=12，故 B 错误； C、由比例的性质，得 4x=3y，故 C 错误； D、由比例的性质，得 4x=3y，故 D 错误； 故选：A 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键 6在 RtABC 中， C=90， BC=3，AB=5，则 cosA 的值
12、为（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据勾股定理求出 AC 的长，根据余弦的定义解答即可 【解答】解：C=90 ，BC=3，AB=5， AC= =4， cosA= = ， 故选：B 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 7如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F，若 AE=2ED，则 的值是（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】由四边形 ABCD 是平行四
13、边形，可得 ADBC，即可证得AFEBFC，然后由 相似三角形的对应边成比例，求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AB=CD， AFECDE， AF：CD=AE：ED， AE=2ED， AF：CD=AE：ED=2：1， = 故选 D 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角 形的判定和性质是解题的关键 8如图，O 的直径 AB=2，弦 AC=1，点 D 在O 上，则D 的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 【考点】圆周角定理；含 30 度角的直角三角形 【专题】几何图形问题 【分析】由O 的直径是 AB，得到 ACB
14、=90，根据特殊三角函数值可以求得 B 的值， 继而求得A 和 D 的值 【解答】解：O 的直径是 AB， ACB=90， 又 AB=2，弦 AC=1， 第 10 页（共 27 页） sinCBA= ， CBA=30， A=D=60， 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特 殊三角函数的取值 9若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ） A6， B ，3 C6，3 D ， 【考点】正多边形和圆 【分析】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得 它们的长度 【解答】解：正方形的边长为 6， A
15、B=3， 又AOB=45， OB=3 AO= =3 ， 即外接圆半径为 3 ，内切圆半径为 3 故选：B 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关 键 10如图所示，扇形 AOB 的圆心角为 120，半径为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D 【考点】扇形面积的计算 【专题】探究型 【分析】过点 O 作 ODAB，先根据等腰三角形的性质得出OAD 的度数，由直角三角形 的性质得出 OD 的长，再根据 S 阴影 =S 扇形 OABSAOB 进行计算即可 【解答】解：过点 O 作 ODAB， AOB=120， OA=2， 第 11 页（共 27 页
16、） OAD= = =30， OD= OA= 2=1，AD= = = ， AB=2AD=2 ， S 阴影 =S 扇形 OABSAOB= 2 1= 故选 A 【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出 S 阴影 =S 扇形 OABSAOB 是解答此题的关键 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式：mn 2+6mn+9m= m （n+3） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式 m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：mn 2+6mn+9m =m（n 2+6n+9） =m（n+3） 2 故答案为：m（n+
17、3 ） 2 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取 公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 12一名射击爱好者 5 次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这 5 个数据的中位数是 8 【考点】中位数 【分析】根据中位数的概念求解 【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9， 则中位数为：8 故答案为：8 【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个 数是偶数，则中间两个数据的平均数
18、就是这组数据的中位数 13如图，身高是 1.6m 的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆 的影子长分别为 1.2m 和 9m，则旗杆的高度为 12 m 第 12 页（共 27 页） 【考点】相似三角形的应用 【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可 【解答】解：同一时刻物高与影长成正比例 设旗杆的高是 xm 1.6：1.2=x：9 x=12 即旗杆的高是 12 米 故答案为 12 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方 程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想 14若反比例函数 的图象在每一个象限中
19、， y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m1 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的性质可得 m10，再解不等式即可 【解答】解：图象在每一个象限中 y 随着 x 的增大而减小， m1 0， 解得：m1， 故答案为：m1 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握对于反比例函数 （k0） ， （1）k0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限 内 15将抛物线 y=2x2 向下平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+1） 23 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的
20、规律 【解答】解：将抛物线 y=2x2 向下平移 3 个单位得 y=2x23，再向左平移 1 个单位，得 y=2（x+1） 23； 故所得抛物线的解析式为 y=2（x+1） 23 第 13 页（共 27 页） 故答案为：y=2（x+1 ） 23 【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 外接圆的圆心坐标是 （5，2） ，半径是 2 【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质 【分析】利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解 决 【解答】解：ABC 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
21、， 又 到 B，C 两点距离相等的点在 BC 的垂直平分线上， 三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等， （ 5， 2）点是三角形的外接圆圆心 利用勾股定理可得半径为：2 故答案为：（5，2） ，2 【点评】此题主要考查了三角形的外心相关知识，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目 比较典型 三、解答题（共 13 道小题，第 17-26 小题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，共 72 分） 17计算：cos60+tan30sin60（cos45 ） 0 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】本题涉及零指数幂
22、、乘方、特殊角的三角函数值、针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式= + 1 = + 1 =0 故答案为：0 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值，零指数幂等考点的运算 第 14 页（共 27 页） 18已知 ，求代数式 的值 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果， 然后由已知的等式用 b 表示出 a，将表示出的 a 代入化简后的式子中计算，即可得到所求 式子的值 【解答】解： （a 2b） = （a
23、2b） = ， = 0，a= b， 原式 = = = = 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简 公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出 现多项式，应将多项式分解因式后再约分 19求二次函数 y=x24x+3 的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图 象 第 15 页（共 27 页） 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点坐标以及对称轴，再求出图象与坐标轴交点， 进而得出答案 【解答】解：y=x 24x+3 =（x2） 21， 则抛物线的顶点坐标为：（2，1） ，对称轴
24、为直线：x=2， 当 y=0，则 0=（x2） 21， 解得：x 1=1，x 2=3， 故抛物线与 x 轴交点为：（1，0） ， （3，0） 如图所示： 第 16 页（共 27 页） 【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数图象画法，正确得出抛物 线顶点坐标是解题关键 20如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A（2，5）在反比例函数 y= 的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B （1）求 k 和 b 的值； （2）求OAB 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】代数几何综合题 【分析】 （1）根据待定系数法，可得答案
25、； （2）根据三角形的面积公式，可得答案 【解答】解：（1）把 A（2， 5）分别代入 y= 和 y=x+b，得 ， 解得 k=10，b=3； （2）作 ACx 轴于点 C， 由（1）得直线 AB 的解析式为 y=x+3， 点 B 的坐标为（3，0） ， OB=3， 第 17 页（共 27 页） 点 A 的坐标是（2，5） ， AC=5， = 5= 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面 积公式 21李大叔想用篱笆围成一个周长为 80 米的矩形场地，矩形面积 S（单位：平方米）随矩 形一边长 x（单位：米）的变化而变化 （1）求 S 与 x 之间的函数关
26、系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题 【分析】 （1）有题目分析可知，矩形的另一边长应为 =40x，由矩形的面积公式可 以得出 S 与 x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数的性质，以及 x 的取值范围，求出二次函数的最大值 【解答】解：（1）有分析可得： S=x（ 40x）=x 2+40x，且有 0x40， 所以 S 与 x 之间的函数关系式为：S=x（40x）= x2+40x，并写出自变量 x 的取值范围为： 0x40； （2）求 S=x2+40x 的最大值， S=x2+40x=（
27、x 20） 2+400， 所以当 x=20 时，有 S 的最大值 S=400， 答：当 x 是 20 时，矩形场地面积 S 最大，最大面积是 400 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及二次函数的最值求法，只要灵活掌握 这些内容便能熟练解决此类问题 22已知：如图，AB 是 O 的直径，弦 ， B=60，OD AC，垂足为 D （1）求 OD 的长； （2）求劣弧 AC 的长 第 18 页（共 27 页） 【考点】圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形 【专题】计算题 【分析】 （1）根据 AB 为直径，证明C=90，由垂径定理求 AD，解 RtADO 可求 OD； （2）连接 OC，
28、由（1）可知AOC=120，利用弧长公式求解 【解答】解：（1）AB 是O 的直径， C=90， 又 ODAC， AD=CD= ，ADO=90， B=60 A=30， 在 RtAOD 中，OA=2，OD=1； （2）连接 OC，则AOC=120， 的长 l= = = 【点评】本题考查了本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长公式的运用关键是根 据垂径定理，把条件集中到 RtAOD 中求解 23在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，A=60 ，D=150，四边形周长为 32，求 BC 和 CD 的长度 【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质 【分析】如图，连接 BD，构建等边ABD 、直角C
29、DB利用等边三角形的性质求得 BD=8；然后利用勾股定理来求线段 BC、CD 的长度 【解答】解：如图，连接 BD，由 AB=AD，A=60 第 19 页（共 27 页） 则ABD 是等边三角形即 BD=8， 1=60 又1+2=150，则2=90 设 BC=x，CD=16 x，由勾股定理得：x 2=82+（16 x） 2，解得 x=10，16x=6 所以 BC=10，CD=6 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质根据已知条件推知CDB 是解 题关键 24一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河 东岸点 A 处观测到河对岸水边有一点 C，测得 C
30、 在 A 北偏西 31的方向上，沿河岸向北前 行 40 米到达 B 处，测得 C 在 B 北偏西 45的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽 度 （参考数值：tan31 ） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【专题】应用题 【分析】如图，过点 C 作 CDAB 于 D，由题意知道DAC=31，DBC=45 ，设 CD=BD=x 米，则 AD=AB+BD=（40+x）米，在 RtACD 中，tan DAC= ，由此可以列 出关于 x 的方程，解方程即可求解 【解答】解：过点 C 作 CDAB 于 D， 由题意DAC=31，DBC=45， 设 CD=BD=x 米， 则 AD=AB+BD=（
31、40+x ）米， 在 RtACD 中，tan DAC= ， 则 ， 解得 x=60（米） ， 经检验得：x=60 是原方程的根， 这条河的宽度为 60 米 第 20 页（共 27 页） 【点评】此题主要考查了解直角三角形方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据 题目隐含的数量关系列出方程解决问题 25已知抛物线 y=（m 1）x 2+（m2）x 1 与 x 轴相交于 A、B 两点，且 AB=2，求 m 的 值 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】令 y=0，求关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2+（m2）x 1=0 的解，即为点 A、B 的横坐标，再根据 AB=2
32、求得 m 的值即可 【解答】解：设一元二次方程（m 1）x 2+（m2）x 1=0 的两根为 、， += ，= ， |= =2， （ +） 24=4， 即（ ） 2+ =4， 解得 m=2 或 m= 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，是个基础性的题目，比较简单 26在ABC 中，AB=6cm， AC=12cm，动点 D 以 1cm/s 的速度从点 A 出发到点 B 止， 动点 E 以 2cm/s 的速度从点 C 出发到点 A 止，且两点同时运动，当以点 A、D、E 为顶点 的三角形与ABC 相似时，求运动的时间 t 【考点】相似三角形的判定与性质 第 21 页（共 27 页） 【专
33、题】动点型 【分析】由当动点 D、E 同时运动时间为 t 时，可得 AD=t，CE=2t，AE=122t然后分别 从当ADE= B 时， ADEABC 与当ADE= C 时，ADE ACB 去分析求解即可求 得答案 【解答】解：当动点 D、E 同时运动时间为 t 时， 则有 AD=t，CE=2t，AE=122t A 是公共角， （ 1）当 ADE=B 时，ADE ABC， 有 ，即 ， t=3； （2）当ADE= C 时， ADEACB， 有 ，即 解得 t=4.8 综上可得：当点 D、E 同时运动 3s 和 4.8s 时，以点 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相 似 【点评】此题考查了相
34、似三角形的判定与性质此题难度适中，属于动点类题目，注意掌 握数形结合思想与分类讨论思想的应用 27如图，AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，CAB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F （1）猜想 ED 与O 的位置关系，并证明你的猜想； （2）若 AB=6，AD=5，求 AF 的长 【考点】切线的判定；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】 （1）连接 OD，根据CAB 的平分线交 O 于点 D，则 = ，依据垂径定理可 以得到：ODBC ，然后根据直径的定义，可以得到
35、 ODAE，从而证得：DE OD，则 DE 是圆的切线； （2）首先证明FBDBAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求 DF 的长，继而 求得答案 【解答】解：（1）ED 与O 的位置关系是相切理由如下： 连接 OD， CAB 的平分线交 O 于点 D， 第 22 页（共 27 页） = ， ODBC， AB 是O 的直径， ACB=90， 即 BCAC， DEAC， DEBC， ODDE， ED 与O 的位置关系是相切； （2）连接 BD AB 是直径， ADB=90， 在直角ABD 中，BD= = = ， AB 为直径， ACB=ADB=90， 又AFC=BFD， FBD=CAD=B
36、AD FBDBAD， = FD= AF=ADFD=5 = 【点评】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，以及切割线定理，把求 AF 的长的问题转化成求相似三角形的问题是关键 28如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 AFE=B （1）求证：ADF DEC； （2）若 AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求 AE 的长 第 23 页（共 27 页） 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 【专题】压轴题 【分析】 （1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似ADFDEC； （2）利用ADF DE
37、C，可以求出线段 DE 的长度；然后在 RtADE 中，利用勾股定理 求出线段 AE 的长度 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC， C+B=180，ADF= DEC AFD+AFE=180，AFE=B， AFD=C 在ADF 与DEC 中， ADFDEC （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB=8 由（1）知ADF DEC， ， DE= = =12 在 RtADE 中，由勾股定理得： AE= = =6 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知 识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错 2
38、9已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上， OAB 是等腰直角三角形 （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出 此时 P 点的坐标和 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 第 24 页（共 27 页） 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题；压轴题 【分析】 （1）求得直线 y=3x+3 与坐标轴的两交点坐标，然后根据 OB=OA 即可求得点 B 的坐标，然后利用待定系数法求得
39、经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式即可； （2）首先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式，然后根据 CDAB 得到两直线的 k 值相 等，根据直线 CD 经过点 C 求得直线 CD 的解析式，然后求得直线 CD 和抛物线的交点坐 标即可； （3）本问关键是求出ABP 的面积表达式这个表达式是一个关于 P 点横坐标的二次函数， 利用二次函数求极值的方法可以确定 P 点的坐标 【解答】解：（1）令 y=3x+3=0 得：x=1， 故点 C 的坐标为（ 1，0） ； 令 x=0 得：y=3x+3=30+3=3 故点 A 的坐标为（0，3） ； OAB 是等腰直角三角形 OB=OA=3， 点 B
40、 的坐标为（3，0） ， 设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式 y=ax2+bx+c， 解得： 解析式为：y=x 2+2x+3； （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 解得： 直线 AB 的解析式为： y=x+3 线 CDAB 设直线 CD 的解析式为 y=x+b 经过点 C（1，0） ， （1）+b=0 第 25 页（共 27 页） 解得：b= 1， 直线 CD 的解析式为： y=x1， 令x 1=x2+2x+3， 解得：x= 1，或 x=4， 将 x=4 代入 y=x2+2x+3=16+24+3=5， 点 D 的坐标为：（4， 5） ； （3）存在如图 1 所示，设 P（x，y
41、）是第一象限的抛物线上一点， 过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ON=x，PN=y ，BN=OBON=3x SABP=S 梯形 PNOA+SPNBSAOB = （OA+PN） ON+ PNBN OAOB = （3+y）x+ y（3x） 33 = （x+y） ， P（ x，y）在抛物线上，y= x2+2x+3，代入上式得： SPAB= （x+y） = （x 23x）= （x ） 2+ ， 当 x= 时，S PAB 取得最大值 当 x= 时，y=x 2+2x+3= ， P（ ， ） 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点 P，使得ABP 的面积最大； P 点的坐标为（ ， ） ，最大值为： 第 26 页（共 27 页） 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函 数）的解析式、图形面积的表示方法等重要知识点，难度不是很大注意第（3）问中图形 面积的表示方法并非直接用底乘以高，而是通过其他图形组合转化而来 这是压轴题中常见 的技巧，需要认真掌握 第 27 页（共 27 页） 2016 年 3 月 6 日
