1、 第 1 页 共 8 页 2010 学年度第一学期期末质量诊断 高 三 数 学 试 卷 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1.若 （ 是虚数单位， ） ，则乘积 的值是 .1+7i2-abi,abRab 2.已知 ， ，则函数 sin(),1x sin(),1x()fx 的最小正周期是 . 3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，半径为 18 cm 的扇形，则43 圆锥母线与底面所成角的余弦值为_ 4.若关于 x 的方程 有两个不相等实数根，|1|2
2、,(0,1)xaa 则实数 的取值范围是 . 5.某校要求每位学生从 7 门选修课程中选修 4 门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课 方案有_种 （以数字作答） 6.已知 的图像与 的图像关于直线 对称，则 ()yfx1ln2yxyx()fx 7.二项式 的展开式前三项系数成等差数列，则展开式中 2项的系数为 12 nx 8.已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组无解，则 0241357a a 9.等比数列 中， ， ，公比 ，若na1cosx(,)sinqx ，12limn 则 x 10过抛物线 的焦点，方向向量为 的直线的一个点方向式方程是 2yx(2,3)d 11已知等差数列
3、 的前 n项和为 ， ， ，则 anS109a209072S201S 第 2 页 共 8 页 12.设 ， ， ， ，21S22122231S ，nn ，某学生猜测 ，老师回答正确，则 2()Sabab 13.已知数列 中， ， ，则通项公式 . na141,()nanNna 14.定义在 R 上的函数 f(x)的图像过点 M（6，2）和 N（2，6） ，且对任意正实数 k，有 f(x+k) f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|4 的解集为( 4,4)时，实数 t 的值为 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论，其中有且只有
4、一个结论是正确的必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分 15给出下列命题，其中正确的命题是 （ ） (A) 若 ，且 ，那么 一定是纯虚数 (B)若 、 且 ，则zC20zz1zC2021z 21z (C) 若 ，则 不成立 (D) 若 ，则方程 只有一个根R|zx3x 16已知 ， ，若存在 使得 =2,1ABCxy是 圆 上 不 同 的 三 个 点 0OAB,实 数 OC ，则 的关系为 （ ）O, (A) (B) (C) (D) 2111 1 17函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到()sin()fxAx0,|2A 的图像
5、，则只要将 的图像 co2g()fx （ ） （A）向右平移 个单位长度 （B）向右平移6 个单位长度12 （C）向左平移 个单位长度 （D ）向左平移 个单位长度 18已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ） (A)求数列 1n的前 10 项和 )(*Nn18 题图 第 3 页 共 8 页 (B)求数列 21n的前 10 项和 )(*Nn (C)求数列 的前 11 项和 (D)求数列 的前 11 项和 )(* 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题 务 必写在黑色矩形边框内 19 （本题满分 12 分）设三角形 的内角 的对边分别为
6、，若ABC， ， abc， ， ，求 的大小和 的取值范围223acbcosin 20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知正四棱锥 P-ABCD 的全面积为 2，记正四棱锥的高为 h （1）用 h 表示底面边长,并求正四棱锥体积 V 的最大值； （2）当 取最大值时，求异面直线 AB 和 PD 所成角的大小. V （结果用反三角函数值表示） 21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 （ 是常实数） txfx1)( （1）若函数的定义为 R， 求 的值域；(
7、)yfx （2）若存在实数 t 使得 是奇函数，证明 的图像在 图像()yfx1()2xg 的下方 22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满 分 7 分 给定椭圆 0 ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆 的 2:1(xyCab)O2abC “伴随圆” 若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 1(2,F1F3 （1）求椭圆 的方程及其“伴随圆”方程； AB CDP 第 4 页 共 8 页 （2）若倾斜角为 的直线 与椭圆 C 只有一个公共点，且与椭圆 的伴随圆相交于 M、N 两045l C 点，求弦 M
8、N 的长； （3）点 是椭圆 的伴随圆上的一个动点，过点 作直线 ，使得 与椭圆 都只有一PCP12,l12,l 个公共点，求证： .1l2 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题 满分 8 分 已知数列 是首项 ，公比 的等比数列，设 ，常数 ，na133q315lognnbat*Nt 数列 nbc满 足 （1）求证： n是等差数列； （2）若 是递减数列，求 t 的最小值； c （3）是否存在正整数 k，使 重新排列后成等比数列？若存在，求 k，t 的值；若不12,kkc 存在，说明理由 数学试卷参考答案 一填空题
9、 1. -3 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 223 10,2521()xfe)(R358 9. 10. 11. 2011 12. 1 13. 14. 2642yx 2n 二选择题 15.A 16. A 17. D 18.B 三解答题 19.解：由 和余弦定理得 ，3 分223acb22cosacbB 所以 4 分6BcosincosinACAcosin6A 9 分13i2i3 第 5 页 共 8 页 因为 ，所以 3A0sin13A 所以， 的取值范围为 12 分cosinC(， 20.解：（1）设底面边长为 a，斜高为 H，由题意 ，所以 ，2 分2a1aH 又因为 ，所以 4
10、分 22Hh21h 因而 ，213Vah 当且仅当 时，体积最大， 8 分hmax16V 此时 ， 12a34H （2） 即为异面直线 AB 和 PD 所成的角11 分PDQ3tana 所以异面直线 AB 和 PD 所成角的大小 14 分3arctn 21解：（1）因为 恒成立，所以 ，2 分20xt0t 当 时， 的值域为 ； 4 分0t()yf(,1) 当 时，由 得， ，因而 t21xt20xty2(1)0yt 即 的值域为 。 6 分()yfx),(t （2）由 是奇函数得 ，所以 8 分11()2xf ，2()1()xxfxg OQ 第 6 页 共 8 页 11 分0)12(4)(
11、xxgxf 当“=”成立时，必有 ，即 ，此式显然不成立13 分x 所以对任意实数 x 都有 )(xgf 即 的图像在 图像的下方14 分()yf12 22解：（1）因为 ，所以 2 分,3cab 所以椭圆的方程为 ， 213xy 伴随圆的方程为 .4 分24 （2）设直线 的方程 ，由 得 lyxb213yxb224630bx 由 得 6 分22(6)1(3)0b24 圆心到直线 的距离为 l|bd 所以 8 分2|MNr （3）当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，12,l 1l 因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ，l 3x 当 方程为 时，此时 与伴随圆交于点1l3x1l(,1
12、), 此时经过点 （或 且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或 ，即 为(,),) 1y)2l (或 ，显然直线 垂直；1y12,l 同理可证 方程为 时，直线 垂直.10 分1l3x12,l 当 都有斜率时，设点 其中 ，2, 0(,)Pxy204xy 设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ，0(,)Pxy 0()kxy 由 ，消去 得到 ，213 yky2203()3xky 第 7 页 共 8 页 即 ，12 分2 200(13)6()3()30kxykxykx ，22041 经过化简得到： ， 2000(3)1xky 因为 ，所以有 ，14 分204xy2()(3)0xk 设 的斜率分别
13、为 ，因为 与椭圆都只有一个公共点，12,l12,k12,l 所以 满足方程 ，,k000(3)(3)xykx 因而 ，即 垂直.16 分1212,l 23.解：（1）由题意知， ，1 分3 nna 因为 ， 1135log5nnb131log5bat 数列 是首项为 ，公差 的等差数列4 分n1btd （2）由（1）知， ， ，5nt31(5)nnct 恒成立，即 恒成立，7 分133510ntct 351tn 因为 是递减函数，3()fn 所以，当 n=1 时取最大值， ，9 分max35()6.1fn 因而 ，因为 ，所以 10 分6.ttN7t （3）记 ， ，5ktx33(5)kkkctx ， 11133()()kkkct 2223311(50)(0)kkcktx 若 是等比中项，则由 得 化简得k 21kkc 122333()()kkkxx ，解得 或 （舍） ，11 分2150x0x5 第 8 页 共 8 页 所以 ，因而 13 分510nt15nt 及 14 分2t 若 是等比中项，则由 得 化简得1kc 21kkc2233311(0)5kkkxx ，显然不成立16 分2(0)5xx 若 是等比中项，则由 得 化简得2kc 21kkc12433311(5)0kk kxx ，因为 不是完全不方数，因而，x 的值是无理数，510x2540 显然不成立18 分
