1、2015-2016 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1下列汽车标志的图形是中心对称图形的是( ) A B C D 2下列事件为必然事件的是( ) A明天一定会下雨 B经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数 D在一个标准大气压下，水加热到 100时会沸腾 3如图，在圆 O 中，AOC=160，则ABC=( ) A20 B40 C80 D160 4将抛物线 y=4x2 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线解析式为( ) Ay=4（x+2 ） 21By=4（x 2） 21 Cy=4（x+2） 2+1 Dy=4（x
2、2） 2+1 5已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为( ) A1 B1 C1 或 1 D 6抛物线 y=x2+kx1 与 x 轴交点的个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D以上都不对 7一个直角三角形的两直角边分别为 x，y，其面积为 1，则 y 与 x 之间的关系用图象表示 为( ) A B C D 8如图两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 1，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点， 则弦 AB 的取值范围是( ) A8AB 10 B8AB 10 C4 AB5 D4AB5 9如图，从一块直径 BC 是 8m 的圆形铁皮上剪出
3、一个圆心角为 90的扇形，将剪下的扇 形围成一个圆锥，则圆锥的高是( ) A4 B4 C D 10已知二次函数 y=a（xm） 2+n 的图象经过（0，5） 、 （10，8）两点若 a0，0m 10，则 m 的值可能是( ) A2 B8 C3 D5 二、填空题 11在平面直角坐标系中，点 A（2，3）关于原点对称的点 A的坐标是_ 1210 件外观相同的产品中有 1 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格产 品的概率是_ 13已知圆 O 的内接六边形周长为 12cm，则圆 O 的面积是 _cm2（结果保留 ） 14两年前生产某种药品的成本是 5000 元，现在生产这种药品的成本是
4、 3000 元，设平均 每年降价的百分率为 x，根据题意列出的方程是_ 15如图，PA，PB 是圆 O 的切线，切点分别是 A，B，若 AOB=120，OA=1，则 AP 的 长为_ 16已知反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点 （m，2 ） ，则满足 y1y 2 的自变量 x 的取值范围是_ 三、解答题 17解下列方程 （1）x 22x3=0 （2）x（x+4）=3x+12 18如图，AOB 的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为 1 个单位长 度 （1）在网格中画出AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后的 A1OB1 的图形； （2
5、）求旋转过程中边 OB 扫过的面积（结果保留 ） 19在一个布袋中装有 2 个红球和 2 个篮球，它们除颜色外其他都相同 （1）搅匀后从中摸出一个球记下颜色，不放回继续再摸第二个球，求两次都摸到红球的概 率； （2）在这 4 个球中加入 x 个用一颜色的红球或篮球后，进行如下试验，搅匀后随机摸出 1 个球记下颜色，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的概 率稳定在 0.80，请推算加入的是哪种颜色的球以及 x 的值大约是多少？ 20如图，已知 OA 是圆 O 的半径，点 B 在圆 O 上，OAB 的平分线 AC 交圆 O 于点 C，CD AB 于点 D，求证：CD 是圆
6、 O 的切线 21已知关于 x 的一元二次方程 x22mx+m2m=o 有两个实数根 a、b； （1）求实数 m 的取值范围； （2）求代数式 a2+b23ab 的最大值 22某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价每 千克不高于 60 元且不低于 30 元，经市场调查发现，日销售量 y（千克）是销售单价 x（元） 的一次函数，且当 x=60 时，y=80，当 x=50 时，y=100 （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式； （3）求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利
7、润是多少元？ 23如图，在正方形 ABCD 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 B 的坐标为（0，3） ，反比例函 数 y= 的图象经过点 C （1）求点 C 的坐标； （2）若点 P 是反比例函数图象上的一点且 SPAD=S 正方形 ABCD；求点 P 的坐标 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为直线 x=2，以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且 点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上，点 D 在 y 轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆 A 与线段
8、AB 的交点为 E，试判断直线 DE 与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且 OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 25 （14 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0， 3） （1）求此二次函数的解析式以及顶点 D 的坐标； （2）如图，过此二次函数抛物线图象上一动点 P（m，n） （0m3）作 y 轴平行线， 交直线 BC 于点 E，是否存在一点 P，使线段 PE 的长最大？若存在，求出 PE 长的最大值； 若不存在，说明理由 （3）如图，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点
9、F，连接 DA、DB 、四边形 OAFC 沿射线 CB 方向运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 C 与点 F 重合时 立即停止运动，求运动过程中四边形 OAFC 与四边形 ADBF 重叠部分面积 S 的最大值 2015-2016 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题 1下列汽车标志的图形是中心对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故正确； B、不是中心对称图形故错误； C、不是中心对称图形故错误； D、不是中心对称图形故错误 故选 A 【点评】本题考查了中心对称
10、图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 2下列事件为必然事件的是( ) A明天一定会下雨 B经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数 D在一个标准大气压下，水加热到 100时会沸腾 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】解：A、明天一定会下雨是随机事件，故 A 不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故 B 不符合题意； C、任意买一张电影票，座位号是 2 的倍数是随机事件，故 C 不符合题意； D、在一个标准大气压下，水加热到 100时会沸腾是必然事件
11、，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件 的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定 不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事 件 3如图，在圆 O 中，AOC=160，则ABC=( ) A20 B40 C80 D160 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理解答即可 【解答】解：根据圆周角定理得：ABC= AOC， 又AOC=160 ， ABC=80 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条
12、弧所对的圆心角的一半 4将抛物线 y=4x2 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线解析式为( ) Ay=4（x+2 ） 21By=4（x 2） 21 Cy=4（x+2） 2+1 Dy=4（x2） 2+1 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先确定抛物线 y=4x2 的顶点坐标为（0，0） ，再根据点平移的规律，点（0，0）经 过平移后所得对应点的坐标为（2，1） ，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y=4x2 的顶点坐标为（0，0） ，把点（0，0）向右平移 2 个单位，再向 下平移 1 个单位后所得对应点的坐标为（2，1） ，所以平移后
13、得到的抛物线的解析式为 y=4（x 2） 21 故选 B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 5已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为( ) A1 B1 C1 或 1 D 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】由一元二次方程（a 1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，将 x=0 代入方程得到关于 a 的 方程，求出方程
14、的解得到 a 的值，将 a 的值代入方程进行检验，即可得到满足题意 a 的 值 【解答】解：一元二次方程（a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0， 将 x=0 代入方程得：a 21=0， 解得：a=1 或 a=1， 将 a=1 代入方程得二次项系数为 0，不合题意，舍去， 则 a 的值为1 故选：B 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方 程左右两边相等的未知数的值 6抛物线 y=x2+kx1 与 x 轴交点的个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D以上都不对 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】设 y=0，得到一元二次方程，根据根的判别
15、式判断有几个解就有与 x 轴有几个交 点 【解答】解： 抛物线 y=x2+kx1， 当 y=0 时，则 0=x2+kx1， =b24ac=k2+40， 方程有 2 个不相等的实数根， 抛物线 y=x2+kx与 x 轴交点的个数为 2 个， 故选 C 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，用到的知识点为：x 轴上的点的纵坐标为 0；抛物线与 x 轴的交点个数与函数值为 0 的一元二次方程的解的个数相同 7一个直角三角形的两直角边分别为 x，y，其面积为 1，则 y 与 x 之间的关系用图象表示 为( ) A B C D 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象 【分析】根据题意有：xy
16、=2；故 y 与 x 之间的函数图象为反比例函数，且根据 x y 实际意 义 x、y 应大于 0，其图象在第一象限，即可判断得出答案 【解答】解：xy=1 y= （x0，y0） 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象的对称性，现实生活中存在大 量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后 利用实际意义确定其所在的象限 8如图两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 1，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点， 则弦 AB 的取值范围是( ) A8AB 10 B8AB 10 C4 AB5 D4AB5 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】解决此
17、题首先要弄清楚 AB 在什么时候最大，什么时候最小当 AB与小圆相切 时有一个公共点，此时可知 AB最小；当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆 相交有两个公共点，此时 AB 最大，由此可以确定所以 AB 的取值范围 【解答】解：如图，当 AB 与小圆相切时有一个公共点， 在 RtADO 中，OD=3，OA =5， AD=4， AB=8； 当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点， 此时 AB=10， 所以 AB 的取值范围是 8AB10 故选 A 【点评】此题主要考查了圆中的有关性质利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆 相切的大圆的弦的一半构造直
18、角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解 决本题的关键 9如图，从一块直径 BC 是 8m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，将剪下的扇 形围成一个圆锥，则圆锥的高是( ) A4 B4 C D 【考点】圆锥的计算 【分析】连接 AO，求出 AB 的长度，然后求出 的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底 面半径，应用勾股定理，求出圆锥的高 【解答】解：连接 AO， AB=AC，点 O 是 BC 的中点， AOBC， 又BAC=90， ABO=AC0=45， AB= OB=4 （m） ， 的长为： =2 （m ） ， 剪下的扇形围成的圆锥的半径是：2 2= （m） ， 圆锥的高为：
19、 = cm， 故选：D 【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关 系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧 长 10已知二次函数 y=a（xm） 2+n 的图象经过（0，5） 、 （10，8）两点若 a0，0m 10，则 m 的值可能是( ) A2 B8 C3 D5 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可 【解答】解：a0， 抛物线开口向下， 图象经过（0，5） 、 （10，8）两点，0m10， 对称轴在 5 到 10 之间， m 的值可能是 8 故选 B 【点评
20、】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，从二次函数的对称性考虑求解是解题 的关键 二、填空题 11在平面直角坐标系中，点 A（2，3）关于原点对称的点 A的坐标是（2，3） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案 【解答】解：点 A（2， 3）关于原点对称的点 A的坐标是（2，3） ， 故答案为：（2，3） 【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称，关键是掌握点的坐标的变化规律 1210 件外观相同的产品中有 1 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格产 品的概率是 【考点】概率公式 【分析】根据不合格品件数与产品的总件
21、数比值即可解答 【解答】解：从中任意抽取 1 件检验，则抽到不合格产品的概率是 1：10= 故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 13已知圆 O 的内接六边形周长为 12cm，则圆 O 的面积是 4cm2（结果保留 ） 【考点】正多边形和圆 【分析】首先求出AOB= 360，进而证明OAB 为等边三角形，得出 OA=AB=2cm，问 题即可解决 【解答】解：如图， O 的内接正六边形 ABCDEF 的周长为 12cm， 边长 AB=2cm， AOB= 360=60，且
22、 OA=OB， OAB 为等边三角形， OA=AB=2， 即该圆的半径为 2， 圆 O 的面积 =22=4； 故答案为：4 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、圆的面 积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出圆的半径是解决问题的关键 14两年前生产某种药品的成本是 5000 元，现在生产这种药品的成本是 3000 元，设平均 每年降价的百分率为 x，根据题意列出的方程是 5000（1x） 2=3000 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】设平均每年降价的百分率为 x，根据题意可得，两年前的生产成本（1降价百分 率） 2=现在的生产成本，据此列
23、方程即可 【解答】解：设平均每年降价的百分率为 x， 由题意得，5000（1x） 2=3000 故答案为：5000（1x） 2=3000 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找 出合适的等量关系，列方程求解 15如图，PA，PB 是圆 O 的切线，切点分别是 A，B，若 AOB=120，OA=1，则 AP 的 长为 【考点】切线的性质 【分析】由 PA、PB 是O 的切线，切点分别是 A、B ，AOB=120 ，根据切线长定理， 即可得APO=30 ，又由三角函数，即可求得答案 【解答】解：PA 、PB 是O 的切线， OAP=OBP=90， AOB=1
24、20， APB=60 APO= APB=30， OA=1， AP= = ， 故答案为： 【点评】此题考查了切线长定理以及三角函数的定义此题难度不大，正确求出APB=60 是解题关键 16已知反比例函数 y1= 的图象与一次函数 y2=ax+b 的图象交于点 A（1，4）和点 （m，2 ） ，则满足 y1y 2 的自变量 x 的取值范围是 x2 或 0x1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 k 的值，确定出反比例解析式，将 B 坐标 代入反比例解析式中求出 m 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中 求出 a 与 b
25、 的值，即可确定出一次函数解析式，利用图象即可得出所求不等式的解集，即 为 x 的范围 【解答】解：（1）函数 y1= 的图象过点 A（1，4） ，即 4= ， k=4， 反比例函数的关系式为 y1= ； 又 点 B（m， 2）在 y1= 上， m=2， B（ 2，2） ， 根据图象 y1y 2 成立的自变量 x 的取值范围为 x2 或 0x1 故答案为：x2 或 0x1 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函 数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键 三、解答题 17解下列方程 （1）x 22x3=0 （2）x（x+4）=3x+
26、12 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】 （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：（1）分解因式得：（x3） （x+1）=0， x3=0， x+1=0， x1=3，x 2=1； （2）x（x+4）=3x+12， x（x+4） 3（x4）=0， （x+4） （x 3）=0， x+4=0， x3=0， x1=4， x2=3 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解 此题的关键 18如图，AOB 的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为 1
27、个单位长 度 （1）在网格中画出AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后的 A1OB1 的图形； （2）求旋转过程中边 OB 扫过的面积（结果保留 ） 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算 【专题】计算题；作图题 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B 的对应点 A1、B 1 即可得到 A1OB1； （2）由于旋转过程中边 OB 扫过的部分为以 O 为圆心，OB 为半径，圆心角为 90 度的扇 形，于是利用扇形面积公式可求解 【解答】解：（1）如图，A 1OB1 为所作； （2）OB= =3 ， 所以旋转过程中边 OB 扫过的面积= = 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的
28、性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对 应点，顺次连接得出旋转后的图形 19在一个布袋中装有 2 个红球和 2 个篮球，它们除颜色外其他都相同 （1）搅匀后从中摸出一个球记下颜色，不放回继续再摸第二个球，求两次都摸到红球的概 率； （2）在这 4 个球中加入 x 个用一颜色的红球或篮球后，进行如下试验，搅匀后随机摸出 1 个球记下颜色，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到红球的概 率稳定在 0.80，请推算加入的是哪种颜色的球以及 x 的值大约是多少？ 【考点】列表法与树状图法；利用频率估计概率
29、【专题】计算题 【分析】 （1）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数然 后根据概率公式求解； （2）由于原来摸到红求的概率为 0.5，则加于的球为红球，利用频率估计概率得到抽到红 球的概率为 0.8，于是根据概率公式得到 =0.8，然后解方程求出 x 即可 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 2 种， 所以两次都摸到红球的概率= = ； （2）根据题意得抽到红球的概率为 0.8， 则 =0.8，解得 x=6， 所以加入的是红颜色的球，x 的值大约为 6 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状
30、图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率也考查了利用频率估计概率 20如图，已知 OA 是圆 O 的半径，点 B 在圆 O 上，OAB 的平分线 AC 交圆 O 于点 C，CD AB 于点 D，求证：CD 是圆 O 的切线 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】连结 OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出OCA= DAC，证出 OCAD，由 CDAD，得出 CDOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论 【解答】证明：连结 OC，如图， AC 为OAB 的平分线， OAC=DAC， OA=OC， OAC=OCA， OCA=DAC， O
31、CAD， CDAD， CDOC， CD 是圆 O 的切线 【点评】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质；熟练掌 握切线的判定方法，证出 OCAD 是解决问题的关键 21已知关于 x 的一元二次方程 x22mx+m2m=o 有两个实数根 a、b； （1）求实数 m 的取值范围； （2）求代数式 a2+b23ab 的最大值 【考点】根的判别式；根与系数的关系；配方法的应用 【分析】 （1）根据判别式的意义得到=（ 2m） 24（m 2m）0，然后解不等式即可； （2）由根与系数的关系得出 a+b=2m，ab=m 2m，将代数式 a2+b23ab 变形为（a+b） 25ab
32、=m2+5m=（m ） 2+ ，即可求出最大值 【解答】解：（1）根据题意得=（ 2m） 24（m 2m）0， 解得 m0； （2）关于 x 的一元二次方程 x22mx+m2m=0 有两个实数根 a、b， a+b=2m，ab=m 2m， a2+b23ab=（a+b） 25ab =（2m） 25（m 2m） =m2+5m =（m ） 2+ ， 由（1）得 m0， 代数式 a2+b23ab 的最大值为 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 也考查了根与系数关系，
33、配方法的应用 22某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价每 千克不高于 60 元且不低于 30 元，经市场调查发现，日销售量 y（千克）是销售单价 x（元） 的一次函数，且当 x=60 时，y=80，当 x=50 时，y=100 （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式； （3）求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时， y=80
34、，当 x=50 时，y=100 ，可以求得 y 与 x 的函数解析式； （2）根据公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单 价每千克不高于 60 元且不低于 30 元，和第一问中求得的 y 与 x 的函数解析式，可以求得 该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式； （3）将第（2）问中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次项系数和对称轴和 x 的取值 范围可以确定当销售单价为多少元时，该公司日获利最大，最大利润是多少元 【解答】解；（1）由题意可得，设 y 与 x 的函数解析式是：y=kx+b， 当 x=60 时，y=80 ，当 x=
35、50 时，y=100， ， 解得 k=2，b=200 即 y 与 x 的函数解析式是：y=2x+200（30x60） ； （2）由题意可得， w=（x 30） （2x+200 ）= 2x2+260x6000， 即该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式是： w=2x2+260x6000； （3）w= 2x2+260x6000 w=2（x65） 2+2450 当 x 65 时，y 随 x 的增大而增大， 30x60， 当 x=60 时，w 取得最大值，此时 w=2（60 65） 2+2450=2400（元） ， 即当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，最大利润是
36、 2400 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意列出相应的函数解析式，可以 将二次函数解析式化为顶点式，根据函数图象的性质解答问题 23如图，在正方形 ABCD 中，点 A 在 y 轴正半轴上，点 B 的坐标为（0，3） ，反比例函 数 y= 的图象经过点 C （1）求点 C 的坐标； （2）若点 P 是反比例函数图象上的一点且 SPAD=S 正方形 ABCD；求点 P 的坐标 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 （1）先由点 B 的坐标为（ 0， 3）得到 C 的纵坐标为3，然后代入反比例函数的解 析式求得横坐标为 5，即可求得
37、点 C 的坐标为（5， 3） ； （2）设点 P 到 AD 的距离为 h，利用PAD 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积得到 h=10，再分类讨论：当点 P 在第二象限时，则 P 点的纵坐标 yP=h+2=12，可求的 P 点的横 坐标，得到点 P 的坐标为（ ，12） ；当点 P 在第四象限时，P 点的纵坐标为 yP=（h2）= 8，再计算出 P 点的横坐标于是得到点 P 的坐标为（ ， 8） 【解答】解：（1）点 B 的坐标为（0， 3） ， 点 C 的纵坐标为3， 把 y=3 代入 y= 得，3= 解得 x=5， 点 C 的坐标为（5，3） ； （2）C（5，3） ， BC=5， 四
38、边形 ABCD 是正方形， AD=5， 设点 P 到 AD 的距离为 h SPAD=S 正方形 ABCD， 5h=52， 解得 h=10， 当点 P 在第二象限时，y P=h+2=12， 此时，x P= = ， 点 P 的坐标为（ ，12） ， 当点 P 在第四象限时，y P=（h2）=8， 此时，x P= = ， 点 P 的坐标为（ ，8） 综上所述，点 P 的坐标为（ ，12）或（ ，8） 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得 C 点的坐标是解题的关键 24 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 O、M对称轴为
39、直线 x=2，以 OM 为直径作圆 A，以 OM 的长为边长作菱形 ABCD，且 点 B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上，点 D 在 y 轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆 A 与线段 AB 的交点为 E，试判断直线 DE 与圆 A 的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且 OPM 为锐角时，求 a 的取值范围 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）由题意可知（4，0） ，由抛物线经过点 O 可求得 c=0，将 c=0，x=4，y=0 代 入抛物线的解析式可证得：4a+b=0； （2）如图 1 所示：由菱形的性质可知：DN=
40、NB，DN AN，由 OM=AD=AB，可证明 AD=AB=DB，由 AE=2 可知 AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知 AEDE，从而可 证明 DE 与圆 A 相切； （3）如图 2 所示设点 P 的坐标为（2，m ） 由题意可知点 E 的坐标为（ 2，2） ，设抛物 线的解析式为 y=ax（x4） ，将 x=2 代入得 y=4a 即 m=4a由OPM 为锐角且抛物线的顶点 在菱形的内部可知4a 2、 4a 4 ，从而可求得 a 的取值范围 【解答】解：（1）O 的坐标为（ 0，0） ，抛物线的对称轴为 x=2， 点 M 的坐标为（ 4，0） 抛物线经过点 O， c=0 将 c=0，
41、x=4，y=0 代入抛物线的解析式得：16a+4b=0 整理得：4a+b=0 （2）DE 与圆 A 相切 理由：如图 1 所示： 四边形 ABCD 为菱形， DN=NB，DNAN AOD=AON=DNA=90， 四边形 OAND 为矩形 OA=DN=2 DB=OM=4 OM=AD=AB， AD=AB=DB AE 为圆 A 的半径， AE=EB=2 AD=DB，AE=EB AEDE DE 与圆 A 相切 （3）如图 2 所示 设点 P 的坐标为（2，m ） OM 为圆 A 的直径， OEM=90 AE=2，OA=2， 点 E 的坐标为（ 2，2） 设抛物线的解析式为 y=ax（x4） ，将 x=
42、2 代入得 y=4a m=4a OPM 为锐角， 点 P 在点 E 的下方 4a2 解得：a 在 RtAOD 中，OD= =2 AC=4 点 P 在菱形的内部， 点 P 在点 C 的上方 4a4 解得：a a 的取值范围是 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线 的判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，依据腰三角形三线合一 的性质证得 DEAE 是解答问题（2）的关键，由抛物线的顶点 P 在菱形 ABCD 的内部且 OPM 为锐角得出点 P 的纵坐标的取值范围是解问题（ 3）的关键 25 （14 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c
43、的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0， 3） （1）求此二次函数的解析式以及顶点 D 的坐标； （2）如图，过此二次函数抛物线图象上一动点 P（m，n） （0m3）作 y 轴平行线， 交直线 BC 于点 E，是否存在一点 P，使线段 PE 的长最大？若存在，求出 PE 长的最大值； 若不存在，说明理由 （3）如图，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 F，连接 DA、DB 、四边形 OAFC 沿射线 CB 方向运动，速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 C 与点 F 重合时 立即停止运动，求运动过程中四边形 OAFC 与四边形 ADBF 重叠部分面积 S
44、 的最大值 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的 坐标 （2）先求得直线 BC 的解析式，设 P（x，x 2+4x3） ，则 F（x，x 3） ，根据 PF 等于 P 点的 纵坐标减去 F 点的纵坐标即可求得 PF 关于 x 的函数关系式，从而求得 P 的坐标和 PF 的最 大值； （3）线利用待定系数法求得直线 AD 的解析式为 y=x1，直线 BC 的解析式为：y=x 3，从 而得到 ADBC，且与 x 轴正半轴夹角均为 45，由平行于与 y 轴的直线上点的坐标特点可 求得 F（1，2） ，从而可求得 AF=2，由当点
45、C 与点 F 重合时立即停止运动，可知 0t ，由 AFAF，ADC B，可知四边形 AFFA为平行四边形，根据由平行四边形的 面积公式可知当 t= 时，重合部分的面积最大，设 AF与 x 轴交于点 K，依据特殊锐角三 角函数值可求得 AK=1依据平行四边形的面积公式可求得重合部分的最大面积为 2 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x1） （x 3） ，将点 C 的坐标代入得：3a=3， 解得：a= 1 将 a=1 代入得：y=（x 1） （ x3）=x 2+4x3 抛物线的解析式为 y=x2+4x3 由抛物线的对称轴方程可知：x= =2， 将 x=2 代入抛物线的解析式得：y=1
46、 点 D 的坐标为（2，1） （2）存在 理由：设直线 BE 的解析式为 y=kx+b 将 B（3，0） ，C（0， 3）代入上式，得： ， 解得：k=1，b=3 则直线 BC 的解析式为 y=x3 PEy 轴， 点 P 与点 E 的横坐标均为 m 将 x=m 代入直线 BC 的解析式的 y=m3， 点 E 的坐标为（m 3） 将 x=m 代入抛物线的解析式得 y=m2+4m3， 点 P 的坐标为（m，m 2+4m3） PEm2+4m3（m3）= m2+3m=（m 23m+ ）= （m ）2+ 当 m= 时，PE 的长有最大值，最大值为 （3）如图所示： A（ 1， 0） 、B（3，0） 、D（2，1） 、C （0，3） ， 可求得直线 AD 的解析式为：y=x1；直线 BC 的解析式为：y=x3 ADBC，且与 x 轴正半轴夹角均为 45 AFy 轴， F（ 1， 2） ， AF=2 当点 C 与点 F 重合时立即停止运动， 0t AFAF，AD CB，
