1、2015-2016 学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1下列四个图形中，是中心对称图形的为（ ） A B C D 2一元二次方程 x22x=0 的根是（ ） Ax 1=0，x 2=2 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 3下列事件是必然事件的是（ ） A地球绕着太阳转 B抛一枚硬币，正面朝上 C明天会下雨 D打开电视，正在播放新闻 4 O 的半径为 7cm，点 P 到圆心 O 的距离 OP=10cm，则点 P 与圆 O 的位置关系为（ ） A点 P 在圆上 B点 P 在圆内 C点 P
2、 在圆外 D无法确定 5反比例函数 y= 的图象位于（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、四象限 D第二、三象限 6若一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba4 Ca 1 Da1 7在一个不透明的盒子中有 20 个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀， 随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率 稳定于 0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ） A3 B6 C7 D14 8如图，AB 是 O 的直径，BC 是O 的弦，若AOC=80，则 B 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 9
3、如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 半径为 2，则六边形的边心距 OM 的长为（ ） A2 B2 C4 D 10二次函数 y=x22x3 的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ） A函数的对称轴是直线 x=1 B当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 C函数的开口方向向上 D函数图象与 y 轴的交点坐标是（ 0，3） 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11从分别标有数5， 2，1，0，1，3，4 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的 绝对值小于 2 的概率是 12如果将抛物线 y=2x2+5x1 向上平移，使它经过点 A（0，3） ，那么所得新抛物线的
4、解 析式为 13已知方程 x2+mx3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 14如图，在ABC 中， CAB=62，将ABC 在平面内绕点 A 旋转到AB C的位置，使 CCAB，则旋转角的度数为 15如图，直线 y=x4 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y= 的图象在第 一象限交于点 A，连接 OA若 SAOB：S BOC=1：2，则 k 的值为 16如图，在半径为 4，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D，连接 CD，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 三、解答题（共 9 小题，满分 66 分） 17用配方法解方程 2x24x3=0
5、18如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知， CD=8，AE=2，求 O 的半径 19如图，二次函数 y=x2+2x+8 图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （4，0） （1）求此二次函数的顶点坐标； （2）根据函数的图象，直接写出当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围 20一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相 同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图等方法求出 两次摸到的球都是白球的概率 21如图，在平面直角坐标
6、系内，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，5） ，B （4，1） ， C（1，1） ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 ABC，点 B，C 的对应点分别为点 B，C （1）画出ABC； （2）写出点 A，B 关于原点 O 的对称点 A，B的坐标； （3）求出在ABC 旋转的过程中，点 C 经过的路径长 22如图，一次函数 y=x+5 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，且 k0）的图象交于 A（1，a） ，B 两点 （1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； （2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标 23某商店将成本为每件 60 元的某
7、商品标价 100 元出售 （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价 2 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可 销售 100 件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多 少？ 24如图，四边形 ABCD 为矩形，E 为 BC 边中点，以 AD 为直径的O 与 AE 交于点 F （1）求证：四边形 AOCE 为平行四边形； （2）求证：CF 与O 相切； （3）若 F 为 AE 的中点，求ADF 的大小 25如图，已知一次函数 y= x+2 的图象分别交 x
8、轴，y 轴于 B 点、A 点，抛物线 y=ax2+ x+c 的图象经过 A、B 两点，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作 DEx 轴，垂 足为 E，交 AB 于点 F （1）求此抛物线的解析式； （2）若 G 为线段 DE 上一点，F 为线段 DG 的中点，以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当 G 与 y 轴相切时，求点 D 的坐标； （3）设点 D 的横坐标为 m，以 A，B，D 为顶点的三角形面积为 S，求 S 关于 m 的函数关 系式，并求出 S 的最大值 2015-2016 学年广东省中山市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题
9、3 分，满分 30 分） 1下列四个图形中，是中心对称图形的为（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】由中心对称图形的定义，即可求得答案 【解答】解：中心对称图形的有： ；轴对称图形的有： 故选 C 【点评】此题考查了中心对称图形的定义注意理解中心对称图形的定义是关键 2一元二次方程 x22x=0 的根是（ ） Ax 1=0，x 2=2 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x 22x=0， x（x2） =0， x=0，x 2=0
10、， x1=0，x 2=2， 故选 D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一 元一次方程，难度适中 3下列事件是必然事件的是（ ） A地球绕着太阳转 B抛一枚硬币，正面朝上 C明天会下雨 D打开电视，正在播放新闻 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故 A 符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 不符合题意； C、明天会下雨是随机事件，故 C 不符合题意； D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故 D 不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了随机事件
11、，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件 的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定 不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事 件 4 O 的半径为 7cm，点 P 到圆心 O 的距离 OP=10cm，则点 P 与圆 O 的位置关系为（ ） A点 P 在圆上 B点 P 在圆内 C点 P 在圆外 D无法确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时， 点在圆内 【解答】解：POr=5，P 在圆外 故选：C 【点评】本题考查了对点与圆的位置关
12、系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距 离为 d，则有：当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr 时，点在圆内 5反比例函数 y= 的图象位于（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、四象限 D第二、三象限 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数图象的性质，k=5，反比例函数图象位于第二、四象限进行解 答 【解答】解：k= 50， 反比例函数图象位于第二、四象限 故选 B 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数 y= 的图象是双曲线，当 k0 时， 它的两个分支分别位于第一、三象限；当 k0 时，它的两个分支分别位于第二、四象限 6若一元二次
13、方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba4 Ca 1 Da1 【考点】根的判别式 【分析】首先得出根的判别式=b 24ac=44a0，进一步求得不等式的解集得出答案即可 【解答】解：一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根， 0，即=44a 0， a1 故选：A 【点评】此题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有 实数根 7在一个不透明的盒子中有 20 个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀， 随机摸出一个球记下颜色后再放
14、回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率 稳定于 0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ） A3 B6 C7 D14 【考点】利用频率估计概率 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可 以从比例关系入手，列出方程求解 【解答】解：由题意可得： ， 解得：x=6， 故选 B 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计 事件的概率关键是根据红球的频率得到相应的等量关系 8如图，AB 是 O 的直径，BC 是O 的弦，若AOC=80，则 B 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 【考点】圆周角定理 【分析
15、】根据圆周角定理直接来求B 的度数 【解答】解：如图，AB 是 O 的直径，BC 是O 的弦，AOC=80 ， B= AOC=40 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半 9如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，O 半径为 2，则六边形的边心距 OM 的长为（ ） A2 B2 C4 D 【考点】正多边形和圆 【分析】连接 OB、OC，证明OBC 是等边三角形，得出 BC=OB=2，由垂径定理求出 BM，再由勾股定理求出 OM 即可 【解答】解：连接 OB、OC，如图所示： 则BOC=60， OB=OC， OBC
16、是等边三角形， BC=OB=2， OMBC， BM=CM= BC=1， OM= = ， 故选：D 【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形 的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出 BM 是解决问题的关键 10二次函数 y=x22x3 的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ） A函数的对称轴是直线 x=1 B当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 C函数的开口方向向上 D函数图象与 y 轴的交点坐标是（ 0，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】利用二次函数的解析式与图象，判定开口方向，求得对称轴，与 y 轴的交点坐标
17、， 进一步利用二次函数的性质判定增减性即可 【解答】解：y=x 22x3=（x1） 24， 对称轴为直线 x=1， 又 a=10，开口向上， x 1 时， y 随 x 的增大而减小， 令 x=0，得出 y=3， 函数图象与 y 轴的交点坐标是（0，3） 因此错误的是 B 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质 是解决本题的关键 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11从分别标有数5， 2，1，0，1，3，4 的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的 绝对值小于 2 的概率是 【考点】概率公式 【分析】首先得出负数的绝对
18、值，再利用概率公式求出答案 【解答】解：| 5|=5，|2|=2，| 1|=1，0，1，3，4， 在七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的有 3 种情况， 故所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练应用概率公式是解题关键 12如果将抛物线 y=2x2+5x1 向上平移，使它经过点 A（0，3） ，那么所得新抛物线的解 析式为 y=2x 2+5x+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】设平移后的抛物线解析式为 y=2x2+5x1+b，把点 A 的坐标代入进行求值即可得到 b 的值 【解答】解：设平移后的抛物线解析式
19、为 y=2x2+5x1+b， 把 A（0，3）代入，得 3=1+b， 解得 b=4， 则该函数解析式为 y=2x2+5x+3 故答案是：y=2x 2+5x+3 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下 减并用规律求函数解析式会利用方程求抛物线与坐标轴的交点 13已知方程 x2+mx3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 3 【考点】根与系数的关系 【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关 系进行计算 【解答】解：设方程的另一根为 x1， 根据根与系数的关系可得：x 11=3， 解得 x1=3 故答案为：3 【点评】本题考
20、查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 14如图，在ABC 中， CAB=62，将ABC 在平面内绕点 A 旋转到AB C的位置，使 CCAB，则旋转角的度数为 56 【考点】旋转的性质 【专题】计算题 【分析】先根据平行线的性质得ACC =CAB=62，再根据旋转的性质得CAC等于旋转 角，AC=AC ，则利用等腰三角形的性质得 ACC=ACC=62，然后根据三角形内角和定 理可计算出CAC的度数，从而得到旋转角的度数 【解答】解：CC AB， ACC=CAB=62 ABC 在平面内绕点 A 旋转到 AB
21、C的位置， CAC等于旋转角， AC=AC， ACC=ACC=62， CAC=180ACCACC=180262=56， 旋转角为 56 故答案为 56 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 15如图，直线 y=x4 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 B，与反比例函数 y= 的图象在第 一象限交于点 A，连接 OA若 SAOB：S BOC=1：2，则 k 的值为 12 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】由直线求得 C 的坐标，然后根据 SAOB：S BOC=1：2，得出 A 的纵坐标为 2，
22、代 入直线解析式求得 A 的坐标，代入 y= 即可求得 k 的值 【解答】解：由直线 y=x4 可知 C（0，4） ， OC=4， SAOB：S BOC=1：2， A 的纵坐标为 2， 把 y=2 代入 y=x4 得，x=6， A（ 6， 2） ， k=62=12； 故答案为 12 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法确定函数的解析式， 根据题意求得 A 的坐标是解题的关键 16如图，在半径为 4，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直径作半圆交 AB 于点 D，连接 CD，则阴影部分的面积是 44 （结果保留 ） 【考点】扇形面积的计算 【分析】根据 BC 为直径可
23、知CDB=90，在等腰直角三角形 ABC 中，CD 垂直平分 AB，CD=DB，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形 ACB 的面积与ADC 的 面积之差 【解答】解：在 RtACB 中， AC=BC=4， AB= =4 ， BC 是半圆的直径， CDB=90， 在等腰 RtACB 中， CD 垂直平分 AB，CD=BD=2 ， D 为半圆的中点， S 阴影部分 =S 扇形 ACBSADC= 42 （2 ） 2=44 故答案为：44 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键 三、解答题（共 9 小题，满分 66 分） 17用配方法解方程 2x24x3=0
24、 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为 ，开方，即可解决问题 【解答】解：2x 24x3=0， ， ， x1= ， 【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键 18如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知， CD=8，AE=2，求 O 的半径 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OC，根据垂径定理求出 CE 的长和OEC 的度数，设 OC=OA=x，根据勾股 定理列出方程，解方程即可 【解答】解：连接 OC， AB 是O 的直径，CDAB， CE= CD=4， OEC=90， 设 OC=OA=x，则 OE
25、=x2， 根据勾股定理得：CE 2+OE2=OC2， 即 42+（x 2） 2=x2， 解得 x=5， 所以 O 的半径为 5 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧是解题的关键 19如图，二次函数 y=x2+2x+8 图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （4，0） （1）求此二次函数的顶点坐标； （2）根据函数的图象，直接写出当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （1）把抛物线的解析式化为顶点式即可求出其顶点坐标； （2）当 y0 时，即抛物线在 x 轴的上方的部分，写出对应的 x 的取值
26、范围即可 【解答】解：（1）y= x2+2x+8=（x 1） 29， 顶点坐标为（1， 9） ； （2）由函数图象可知当 y0 时，即抛物线在 x 轴的上方的部分，此时对应自变量 x 的取 值范围是2x 4 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点的问题以及借组与函数的图形求自变量取值范围， 能够结合函数图象正确的判定自变量的取值范围是解题关键 20一个不透明的布袋里装有 2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相 同，从中任意摸出 1 个球，是白球的概率为 （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球，请用列表法或画树状图等方法求出 两次
27、摸到的球都是白球的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】 （1）设红球的个数为 x，根据白球的概率可得关于 x 的方程，解方程即可； （2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率 【解答】解：（1）设红球的个数为 x，由题意可得： ， 解得：x=1， 即红球的个数为 1 个； （2）画树状图如下： P（摸得两白）= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 21如图，在平面
28、直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，5） ，B （4，1） ， C（1，1） ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 ABC，点 B，C 的对应点分别为点 B，C （1）画出ABC； （2）写出点 A，B 关于原点 O 的对称点 A，B的坐标； （3）求出在ABC 旋转的过程中，点 C 经过的路径长 【考点】作图-旋转变换 【专题】计算题 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出点 B、C 的对应点 B、C 即可得到， ABC； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解； （3）利用弧长公式计算 【解答】解：（1）如图，ABC 为所作； （2）点 A的坐标为（1，5）
29、； 点 B的坐标为（4，1） ； （3）点 C 经过的路径= =2 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对 应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了弧长的计算 22如图，一次函数 y=x+5 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，且 k0）的图象交于 A（1，a） ，B 两点 （1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； （2）在 y 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题） 【分析】
30、（1）把点 A（1，a）代入一次函数 y=x+5，即可得出 a，再把点 A 坐标代反比例 函数 y= ，即可得出 k，两个函数解析式联立求得点 B 坐标； （2）作点 B 作关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，交 y 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小， 求出直线 AD 的解析式，令 x=0，即可得出点 P 坐标 【解答】解：（1）把点 A（ 1，a）代入一次函数 y=x+5， 得 a=1+5， 解得 a=4， A（ 1， 4） ， 点 A（1，4）代入反比例函数 y= ， 得 k=4， 反比例函数的表达式 y= ， 两个函数解析式联立列方程组得 ， 解得 或 点 B 坐标（4，1） ；
31、 （2）作点 B 作关于 y 轴的对称点 D（4，1） ，连接 AD，交 y 轴于点 P，此时 PA+PB 的值 最小， 设直线 AD 的解析式为 y=mx+n， 把 A，D 两点代入得， ， 解得 m= ，n= ， 直线 AD 的解析式为 y= x+ ， 令 x=0，得 y= ， 点 P 坐标（0， ） 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及轴对称最短路线问题，利用了 待定系数法求解析式，两点之间线段最短的性质 23某商店将成本为每件 60 元的某商品标价 100 元出售 （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为 81 元，若两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率；
32、（2）经调查，该商品每降价 2 元，每月可多售出 10 件，若该商品按原标价出售，每月可 销售 100 件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多 少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1 降价的百分率） ，则第一次降价后的价格是 100（1x） ，第二次后的价格是 100（1 x）2，据 此即可列方程求解； （2）销售定价为每件 x 元，每月利润为 y 元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最 值即可 【解答】解：（1）根据题意得：100（1x） 2
33、=81， 解得：x 1=0.1，x 2=1.9， 经检验 x2=1.9 不符合题意，x=0.1=10% ， 答：每次降价百分率为 10%； （2）设销售定价为每件 x 元，每月利润为 y 元，则 y=（x60 ）100+5 （100 x） =5（x 90） 2+4500， a=50， 当 x=90 元时，w 最大为 4500 元 答：（1）下降率为 10%；（ 2）当定价为 90 元时，w 最大为 4500 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找 到题目中的等量关系且利用其列出方程 24如图，四边形 ABCD 为矩形，E 为 BC 边中点，以 AD
34、为直径的O 与 AE 交于点 F （1）求证：四边形 AOCE 为平行四边形； （2）求证：CF 与O 相切； （3）若 F 为 AE 的中点，求ADF 的大小 【考点】圆的综合题 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 ADBC，AD=BC，ADC=90 ，由 E 为 BC 边中点， AO=DO，得到 AO= AD，EC= BC，等量代换得到 AO=EC，AOEC，即可得到结论； （2）利用平行四边形的判定方法得出四边形 OAEC 是平行四边形，进而得出ODC OFC（SAS） ，求出 OFCF，进而得出答案； （3）如图，连接 DE，由 AD 是直径，得到 AFD=90，根据点 F 为 AE
35、的中点，得到 DF 为 AE 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到 DE=AD，推出ABE DCE，根 据全等三角形的性质得到 AE=DE，推出三角形 ADE 为等边三角形，即可得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，AD=BC，ADC=90， E 为 BC 边中点，AO=DO， AO= AD，EC= BC， AO=EC，AO EC， 四边形 OAEC 是平行四边形； （2）如图 1，连接 OF， 四边形 OAEC 是平行四边形 AEOC， DOC=OAF， FOC=OFA， OA=OF， OAF=OFA， DOC=FOC， 在ODC 与 OFC 中， ，
36、ODCOFC（SAS） ， OFC=ODC=90， OFCF， CF 与O 相切； （3）如图 2，连接 DE， AD 是直径， AFD=90， 点 F 为 AE 的中点， DF 为 AE 的垂直平分线， DE=AD， 在ABE 与 RDCE 中， ， ABEDCE， AE=DE， AE=DE=AD， 三角形 ADE 为等边三角形， DAF=60， ADF=30 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切 线的判定等知识，得出ODCOFC 是解题关键 25如图，已知一次函数 y= x+2 的图象分别交 x 轴，y 轴于 B 点、A 点，抛物线 y=ax2+
37、x+c 的图象经过 A、B 两点，在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过 D 作 DEx 轴，垂 足为 E，交 AB 于点 F （1）求此抛物线的解析式； （2）若 G 为线段 DE 上一点，F 为线段 DG 的中点，以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当 G 与 y 轴相切时，求点 D 的坐标； （3）设点 D 的横坐标为 m，以 A，B，D 为顶点的三角形面积为 S，求 S 关于 m 的函数关 系式，并求出 S 的最大值 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得 A、B 点坐标，根据待定系数法，可 得函数解析式； （2）根据平行于 y 轴上的直线上两点之间的
38、距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DF 的长，根据线段中点的性质，可得 DG 的长根据圆与 y 轴相切，可得关于 x 的方程，根 据解方程，可得 x，可得 D 点坐标； （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案 【解答】解：（1）在 y= x+2 中，当 x=0 时，y=2 ；当 y=0 时，x=4 所以 A（0，2） ，B（4，0） 把 A（0，2） ，B（4，0）代入 y=ax2+ x+c 中，得 ， 解得 ， 所以二次函数的解析式为 y= x2+ x+2； （2）设 F 点的坐标为（x， x+2） ， 则 D 点的坐标为（x， x2+ x+2） ， DF=
39、x2+ x+2（ x+2）= x2+x G 点与 D 点关于 F 点对称， GD=2FD=2（ x2+x）= x2+2x 若以 G 为圆心，GD 为半径作圆，使得G 与 y 轴相切，即 x2+2x=x， 解得：x=2，x=0（舍去） 综上所述：D 点的坐标为（2 ，2） ； （3）如图， ， 连接 DA，AB，DO， 点 D 的坐标为（m， m2+ m+2） SABD=SAOD+SDOBSAOB = 2m+ 4（ m2+ m+2） 24 = m2+2m = （ m2） 2+2 当 m=2 时，S 有最大值 2 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与 y 轴相切 得出关于 x 的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次 函数的性质
