1、湖北省孝感市应城市 2015-2016 学年九年级（上）期末数学试 卷（解析版） 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、 填错或填的序号超过一个的不给分，每小题 3 分，共 30 分 1下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2方程 x29=0 的根是（ ） Ax= 3 Bx 1=3，x 2=3 Cx 1=x2=3 Dx=3 3把抛物线 y=（x 1） 2+2 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线是（ ） Ay=x 2 By= （x2） 2 Cy=（x 2） 2+4 Dy=x 2+4 4下列说法：
2、三点确定一个圆； 垂直于弦的直径平分弦； 三角形的内心到三条边的距离相等； 圆的切线垂直于经过切点的半径 其中正确的个数是（ ） A0 B2 C3 D4 5如图，底边长为 2 的等腰 RtABO 的边 OB 在 x 轴上，将ABO 绕原点 O 逆时针旋 转 45得到OA 1B1，则点 A1 的坐标为（ ） A（1， ） B（1，1） C（ ） D（ ，1） 6如图，点 A、C、B 在O 上，已知AOB=ACB=则 的值为（ ） A135 B120 C110 D100 7如图，O 的半径为 5，点 O 到直线 l 的距离为 7，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 与 O 相切于点 Q，则 P
3、Q 的最小值为（ ） A B C2 D2 8关于 x 的函数 y=k（x+1）和 y= （k0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 9若 A（3，y 1），B（5，y 2），C（ 2，y 3）是抛物线 y=x2+4x+k 上的三点，则 y1、y 2、y 3 的大小关系为（ ） Ay 2y 1y 3 By 3y 2y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 3y 1y 2 10二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（ 1，0），对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0； 9a+c3b； 25a+5b+c=0； 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 其中正确的
4、结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分 11用配方法解方程 x22x7=0 时，配方后的形式为_ 12如图，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 42，得到AB C，点 C恰好落在边 AB 上，连 接 BB，则 B BC的大小为_ 13如图，点 P 在反比例函数 y= （x0）的图象上，PAx 轴于点 A，PAO 的面积为 5，则 k 的值为_ 14将半径为 5 的圆形纸片，按如图方式折叠，若 和 都经过圆心 O，则图中阴影部分 的面积是_ 15如图，一次函数 y1=k1+b 与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（1，2）、B （2，1） 两
5、点，则 y2y 1 时，x 的取值范围是_ 16如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，O 的半径为 2，将O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动时间_秒时，直线 MN 恰好与圆相切 三、解答题：共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解下列方程： （1）x 22x3=0； （2）（x5） 2=2（5x） 18如图，等腰 RtABC 中，BA=BC，ABC=90，点 D 在 AC 上，将ABD 绕点 B 沿 顺时针方向旋转 90后，得到CBE （1）求DCE 的度数； （2）若 AB=4，CD=3AD，求 DE 的长 19如图，在平面直角坐
6、标系中，已知点 A（1，3）、B（3，3）、C（4，2） （1）请在图中作出经过点 A、B、C 三点的M，并写出圆心 M 的坐标； （2）若 D（1，4），则直线 BD 与M_ A、相切 B、相交 20在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、 黄球各 1 个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是 （1）求暗箱中红球的个数； （2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸 到的球颜色不同的概率 21已知关于 x 的方程 x22（ k+1）x+k 2=0 有两个实数根 x1、x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x2
7、=3x1x26，求 k 的值 22（10 分）（2015 秋 应城市期末）如图，O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上， M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 E，过点 C 作O 的切线，交 ME 于点 F （1）求证：EF=CF； （2）若B=2A，AB=4 ，且 AC=CE，求 BM 的长 23（10 分）（2015 秋 应城市期末）某大学毕业生响应国家“ 自主创业”的号召，投资开 办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了 30 天的试销售，购进价格为 40 元/件销售结束后，得知日销售量 P（件）与销售时间 x（天）之间有如下关系： P=
8、2x+120（1x30，且 x 为整数）；销售价格 Q（元/件）与销售时间 x（天）之间有如 下关系：Q= x+50（1x30 ，且 x 为整数） （1）试求出该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关系式； （2）在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分 别求出这个最大利润和最小利润 24（12 分）（2015 德阳）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（ 3，0），与 y 轴交于点 C，且 OC=OB （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，
9、求四边形 BOCE 面积的最大值， 并求出此时点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰 好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标 2015-2016 学年湖北省孝感市应城市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、 填错或填的序号超过一个的不给分，每小题 3 分，共 30 分 1下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求
10、解即可 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 故选 C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 2方程 x29=0 的根是（ ） Ax= 3 Bx 1=3，x 2=3 Cx 1=x2=3 Dx=3 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】首先把常数项 9 移到方程的右边，再两边直接开平方即可 【解答】解：移项得：x 2=9， 两边
11、直接开平方得：x=3， 即 x1=3，x 2=3 故选：B 【点评】此题主要考查了利用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未 知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数 的开方直接求解 3把抛物线 y=（x 1） 2+2 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线是（ ） Ay=x 2 By= （x2） 2 Cy=（x 2） 2+4 Dy=x 2+4 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】已知抛物线的顶点坐标为（1，2），向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后， 顶点坐标为（0，0），根据抛物线顶点式求解析式 【解
12、答】解：抛物线 y=（x1） 2+2 的顶点坐标为（1，2）， 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线解析式为 y=x2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的 平移，用顶点式表示抛物线解析式 4下列说法： 三点确定一个圆； 垂直于弦的直径平分弦； 三角形的内心到三条边的距离相等； 圆的切线垂直于经过切点的半径 其中正确的个数是（ ） A0 B2 C3 D4 【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；确定圆的条件；切线的性质 【分析】根据确定圆的条件对进行判断；根据垂径定理对进行判断；根据三角形内 心的
13、性质对进行判断；根据切线的性质对 进行判断 【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以错误； 垂直于弦的直径平分弦，所以正确； 三角形的内心到三条边的距离相等，所以正确； 圆的切线垂直于经过切点的半径，所以正确 故选 C 【点评】本题考查了三角形内心的性质、垂直定理、确定圆的条件和切线的性质注意对 进行判断时要强调三点不共线 5如图，底边长为 2 的等腰 RtABO 的边 OB 在 x 轴上，将ABO 绕原点 O 逆时针旋 转 45得到OA 1B1，则点 A1 的坐标为（ ） A（1， ） B（1，1） C（ ） D（ ，1） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】A 1B1 交 x 轴于 H，
14、如图，根据等腰直角三角形的性质得OAB=45 ，再利用旋转 的性质得 A1B1=AB=2，1=45，OA 1B1=45，则2=45 ，于是可判断 OHA 1B1，则 根据等腰直角三角形的性质得到 OH=A1H=B1H= A1B1=1，然后写出点 A1 的坐标 【解答】解：A 1B1 交 x 轴于 H，如图， OAB 为等腰直角三角形， OAB=45， ABO 绕原点 O 逆时针旋转 45得到OA 1B1， A 1B1=AB=2，1=45 ，OA 1B1=45， 2=45， OHA 1B1， OH=A 1H=B1H= A1B1=1， 点 A1 的坐标为（1，1） 故选 B 【点评】本题考查了坐标
15、与图形变换旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的 特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45 ，60，90 ， 180解决本题的关键是判断 A1B1 被 x 轴垂直平分 6如图，点 A、C、B 在O 上，已知AOB=ACB=则 的值为（ ） A135 B120 C110 D100 【考点】圆周角定理 【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ”，再运用 周角 360即可解 【解答】解：ACB=a 优弧所对的圆心角为 2a 2a+a=360 a=120 故选 B 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等
16、弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 7如图，O 的半径为 5，点 O 到直线 l 的距离为 7，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 与 O 相切于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ） A B C2 D2 【考点】切线的性质 【分析】由切线的性质得出OPQ 是直角三角形由 OQ 为定值，得出当 OP 最小时，PQ 最小根据垂线段最短，知 OP=7 时 PQ 最小根据勾股定理得出结果即可 【解答】解：PQ 切O 于点 Q， OQP=90 ， PQ 2=OP2OQ2， 而 OQ=5， PQ 2=OP252，即 PQ= ， 当 OP 最小时，PQ 最小， 点 O 到直线 l 的距离
17、为 7， OP 的最小值为 7， PQ 的最小值= =2 故选 C 【点评】此题综合考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识点，如何确定 PQ 最 小时点 P 的位置是解题的关键 8关于 x 的函数 y=k（x+1）和 y= （k0）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得 一次函数图象经过的象限 【解答】解：当 k0 时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三 象限，故 A、C 错误； 当 k0 时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第
18、二、三、四象限，故 B 错误， D 正确； 故选：D 【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质： （1）反比例函数 y= ：当 k0，图象过第一、三象限；当 k0，图象过第二、四象限； （2）一次函数 y=kx+b：当 k0，图象必过第一、三象限，当 k0，图象必过第二、四象 限当 b0，图象与 y 轴交于正半轴，当 b=0，图象经过原点，当 b0，图象与 y 轴交于 负半轴 9若 A（3，y 1），B（5，y 2），C（ 2，y 3）是抛物线 y=x2+4x+k 上的三点，则 y1、y 2、y 3 的大小关系为（ ） Ay 2y 1y 3 By 3y 2y 1 Cy 1y 2y 3 Dy
19、3y 1y 2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将 A（3，y 1），B（5，y 2），C（ 2，y 3） 分别代入二次函数的关系式，分别求得 y1，y 2，y 3 的值，最后比较它们的大小即可 【解答】解：A（3，y 1）， B（5，y 2），C（ 2，y 3）为二次函数 y=x2+4x+k 的图象上 的三点， y 1=9+12+k=3+k， y2=25+20+k=5+k， y3=48+k=12+k， 3+k5+k 12+k， y 1y 2y 3 故选 C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征经过图象上的某点，该点一定在函数 图象上 10二
20、次函数 y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（ 1，0），对称轴为直线 x=2，下列结论： 4a+b=0； 9a+c3b； 25a+5b+c=0； 当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线的对称轴为直线 x= =2，则有 4a+b=0；观察函数图象得到当 x=3 时，函数值小于 0，则 9a3b+c0，即 9a+c3b；由于 x=5 时，y=0，则 25a+5b+c=0，再 根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线 x=2，根据二次函数的性质得到当 x2 时，y 随
21、x 的增大而减小 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x= =2， b=4a，即 4a+b=0，（故正确）； 当 x=3 时，y0， 9a3b+c0， 即 9a+c3b，（故正确）； 抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线 x=2， 抛物线与 x 轴的一个交点为（5，0）， 25a+5b+c=0，（故 正确）， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x=2， x2 时，y 随 x 的增大而减小，（故正确） 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次项 系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛
22、物线 向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0 ），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由决定， =b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分 11用配方法解方程 x22x7=0 时，配方后的形式为 （x1） 2=8 【考点】解一元二次方程-配方
23、法 【分析】将常数项移至右边，根据等式性质左右两边配上一次项系数一半的平方，再写成 完全平方形式即可 【解答】解：x 22x=7， x22x+1=7+1， （x1） 2=8， 故答案为：（x1） 2=8 【点评】本题考查配方法解一元二次方程，形如 x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移 到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方 式 12如图，把ABC 绕点 A 逆时针旋转 42，得到AB C，点 C恰好落在边 AB 上，连 接 BB，则 B BC的大小为 69 【考点】旋转的性质 【分析】由旋转的性质可知 AB=AB，BAB =42，接下来，依据等腰
24、三角形的性质和三 角形的内角和定理可求得BBC 的大小 【解答】解：把ABC 绕点 A 逆时针旋转 42，得到 ABC，点 C恰好落在边 AB 上， BAB=42 ，AB=AB ABB=ABB BBC= （18042）=69 故答案为：69 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得 ABB是等腰三角形是解题的关键 13如图，点 P 在反比例函数 y= （x0）的图象上，PAx 轴于点 A，PAO 的面积为 5，则 k 的值为 10 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】由PAO 的面积为 5 可得 |k|=5，再结合图象经过的是第二象限，从而可以
25、确 定 k 值 【解答】解：S PAO=5， |xy|=5，即 |k|=5，则|k|=10 图象经过第二象限， k0， k=10 【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线 上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得三角形面积为 |k| 14将半径为 5 的圆形纸片，按如图方式折叠，若 和 都经过圆心 O，则图中阴影部分 的面积是 5 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出OAD=30 ，得到 AOB=2AOD=120，进而求得AOC=120，再利用阴影部分的面积 =S 扇形 AOC 求解 【解答】解；
26、如图，作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO， OD= AO， OAD=30 ， AOB=2AOD=120， 同理BOC=120， AOC=120， 阴影部分的面积=S 扇形 AOC= =5 故答案为：5 【点评】本题考查的是翻折变换的性质和扇形面积的计算，折叠是一种对称变换，它属于 轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 15如图，一次函数 y1=k1+b 与反比例函数 y2= 的图象相交于 A（1，2）、B （2，1） 两点，则 y2y 1 时，x 的取值范围是 x1 或 0x2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】根据一次函数与反比例函数图
27、象的交点、结合图象解答即可 【解答】解：由图象可知，当1x0 或 x3 时，y 1y 2， 当 x1 或 0 x2 时，y 2 y1， 故答案为 x1 或 0x2 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐 标特征、灵活运用数形结合思想是解题的关键 16如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点，O 的半径为 2，将O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 42 或 4+2 秒时，直线 MN 恰好与 圆相切 【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质 【分析】作 EF 平行于 MN，且与O 切，交 x
28、 轴于点 M，交 y 轴于点 N，设直线 MN 的 解析式为 y=x+b，由O 与直线 MN 相切依据点到直线的距离即可得出关于 b 的含绝对值 符号的一元一次方程，解方程即可求 b 值，从而得出点 E 的坐标，根据运动的相对性，即 可得出结论 【解答】解：作 EF 平行于 MN，且与O 切，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，如图所 示 设直线 MN 的解析式为 y=x+b，即 xy+b=0， MN 与O 相切，且O 的半径为 2， = |b|=2， 解得：b=2 或 b=2 ， 直线 MN 的解析式为 y=x+2 或 y=x2 ， 点 M 的坐标为（2 ，0）或（2 ，0） 令 y=x
29、4 中 y=0，则 x=4， 点 M（4，0） 根据运动的相对性，且O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动， 移动的时间为 42 秒或 4+2 秒 故答案为：42 或 4+2 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质， 解题的关键是求出点 E、M 的坐标本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利 用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度 三、解答题：共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解下列方程： （1）x 22x3=0； （2）（x5） 2=2（5x） 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）用十字相乘法因式
30、分解可以求出方程的根； （2）首先移项后提取公因式（x5），再解两个一元一次方程即可 【解答】解：（1）x 22x3=0， （x3 ）（x+ 1）=0 ， x3=0 或 x+1=0， x 1=3，x 2=1； （2）（x5） 2=2（5x） （x5 ） 22（ x5）=0， （x5 ）（x 52）=0， x5=0 或 x7=0， x 1=5，x 2=7 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 18如图，等腰 RtABC 中，BA=BC，ABC=90，点 D 在 AC 上，将ABD 绕点 B 沿 顺时针方向旋转 90后，得到CBE （1）求DCE 的度
31、数； （2）若 AB=4，CD=3AD，求 DE 的长 【考点】旋转的性质 【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得BAD、BCD 的度数，然后由旋转的 性质可求得BCE 的度数，故此可求得 DCE 的度数； （2）由（1）可知DCE 是直角三角形，先由勾股定理求得 AC 的长，然后依据比例关系 可得到 CE 和 DC 的长，最后依据勾股定理求解即可 【解答】解：（1）ABCD 为等腰直角三角形， BAD=BCD=45 由旋转的性质可知BAD=BCE=45 DCE=BCE+BCA=45+45=90 （2）BA=BC，ABC=90， AC= =4 CD=3AD， AD= ，DC=3 由旋转的
32、性质可知：AD=EC= DE= =2 【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得 DCE=90是解题的关键 19如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，3）、B（3，3）、C（4，2） （1）请在图中作出经过点 A、B、C 三点的M，并写出圆心 M 的坐标； （2）若 D（1，4），则直线 BD 与M A A、相切 B、相交 【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质 【分析】（1）连接 AB，BC，分别作出线段 BD，BC 的垂直平分线，交点即为圆心； （2）连接 MB，DB ，DM，利用勾股定理的逆定理证明DBM=90即可得到直线 BD 与 M 相切
33、【解答】解： （1）如图所示：圆心 M 的坐标为（2，1）； （2）连接 MB，DB ，DM， DB= ，BM= ，DM= ， DB 2+BM2=DM2， DBM 是直角三角形， DBM=90， 即 BMDB ， 直线 BD 与M 相切， 故选 A 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及勾股定理和其逆定理的运用，结合题意 画出符合题意的图形，从而得出答案是解题的关键 20在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、 黄球各 1 个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是 （1）求暗箱中红球的个数； （2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸
34、出一个球，求两次摸 到的球颜色不同的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】（1）设红球有 x 个数，利用概率公式得到 = ，然后解方程即可； （2）先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色不同的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解：（1）设红球有 x 个数， 根据题意得 = ，解得 x=2， 所以暗箱中红球的个数为 2 个； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不同的结果数为 10， 所以两次摸到的球颜色不同的概率= = 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求 出 n，再从中选
35、出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的 概率 21已知关于 x 的方程 x22（ k+1）x+k 2=0 有两个实数根 x1、x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）若 x1+x2=3x1x26，求 k 的值 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】（1）根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式 =b 24ac 的意义得到 0，即 4（k+1） 241k20，解不等式即可得到 k 的范围； （2）根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系得到 x1+x2=2（k+1）， x1x2=k2，则 2（k+1）=
36、3k 26，即 3k22k8=0，利用因式分解法解得 k1=2，k 2= ，然后由 （1）中的 k 的取值范围即可得到 k 的值 【解答】解：（1）方程 x22（k+1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2， 0，即 4（k+1） 241k20，解得 k ， k 的取值范围为 k ； （2）方程 x22（k+1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2， x 1+x2=2（k+1），x 1x2=k2， x 1+x2=3x1x26， 2（k+1）=3k 26，即 3k22k8=0， k 1=2，k 2= ， k ， k=2 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的
37、根的判别式 =b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没 有实数根也考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系 22（10 分）（2015 秋 应城市期末）如图，O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上， M 是 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 E，过点 C 作O 的切线，交 ME 于点 F （1）求证：EF=CF； （2）若B=2A，AB=4 ，且 AC=CE，求 BM 的长 【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心 【分析】（1）延长 FC 至 H，由 AB 是O 的直径，得出AC
38、B=90 ，由 EMAB，得出 EMB=ACB=90 ，证得ABCEMB，得出CEF=CAB，由弦切角定理得出 CAB=BCH，由对顶角相等得出BCH=ECF，推出 CEF=ECF，即可得出结论； （2）利用含 30 度的直角三角形三边的性质得出 BC= AB=2，AC= BC=2 ，则 CE=2 ，所以 BE=BC+CE=2+2 ，然后在 RtBEM 中计算出 BM= BE 即可 【解答】（1）证明：延长 FC 至 H，如图所示： O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上， AB 是O 的直径， ACB=90， EMAB， EMB=ACB=90 ， ABC=EBM， ABCEMB， C
39、EF=CAB ， FC 是 O 的切线， CAB=BCH， BCH=ECF CAB=ECF ， CEF=ECF， EF=CF ； （2）解：ACB=90，B=2A， B=60 ，A=30， 在 Rt ABC 中，ACB=90，A=30，AB=4， BC= AB=2，AC= BC=2 ， AC=CE， CE=2 ， BE=BC+CE=2+2 ， 在 Rt BEM 中， BME=90，BEM=A=30 BM= BE=1+ 【点评】本题考查了切线的性质、含 30 度的角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性 质、弦切角定理等知识；熟练掌握弦切角定理与含 30 度的角直角三角形的性质是解决问题 的关键
40、 23（10 分）（2015 秋 应城市期末）某大学毕业生响应国家“ 自主创业”的号召，投资开 办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了 30 天的试销售，购进价格为 40 元/件销售结束后，得知日销售量 P（件）与销售时间 x（天）之间有如下关系： P=2x+120（1x30，且 x 为整数）；销售价格 Q（元/件）与销售时间 x（天）之间有如 下关系：Q= x+50（1x30 ，且 x 为整数） （1）试求出该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关系式； （2）在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分 别求出这个最大利润和最
41、小利润 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量（一件的销售价一 件的进价），建立函数关系式； （2）将（1）中函数关系式配方可得其顶点式，结合自变量 x 的范围，根据二次函数的性 质可得函数的最值情况 【解答】解：（1）该商店日销售利润 w（元）与销售时间 x（天）之间的函数关系式为： W=（ x+5040）（2x+120） =x2+40x+120（1x30，且 x 为整数）； （2）W= x2+40x+120=（x 20） 2+1600， 当 x=20 时，W 最大 =1600 元， 1x30， 当 x=1 时，W 最小 =1239 元， 答：
42、在这 30 天的试销售中，第 20 天的日销售利润最大，为 1600 元，第 1 天的日销售利润 最小，为 1239 元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销售问题中的基本等量关系建立函数关系 式是根本，由自变量 x 的范围，根据二次函数的性质讨论函数的最值情况是解题的关键 24（12 分）（2015 德阳）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（ 3，0），与 y 轴交于点 C，且 OC=OB （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值， 并求出此时点 E 的坐
43、标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰 好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定 系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进 行计算，过 E 作 EFx 轴于 F，四边形 BOCE 的面积= 三角形 BFE 的面积+直角梯形 FOCE 的面积直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵 坐标，
44、就知道了 OC 的长在三角形 BFE 中，BF=BOOF ，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大 值及对应的 E 的横坐标的值即可求出此时 E 的坐标； （3）由 P 在抛物线的对称轴上，设出 P 坐标为（1，m），如图所示，过 A作 AN对称 轴于 N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对 直角相等，利用 AAS 得到A NPPMA，由全等三角形的对应边相等得到 AN=PM=|m|，PN=A
45、M=2 ，表示出 A坐标，将 A坐标代入抛物线解析式中求出相应 m 的 值，即可确定出 P 的坐标 【解答】解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0）， OB=3， OC=OB， OC=3， c=3， ， 解得： ， 所求抛物线解析式为：y=x 22x+3； （2）如图 2，过点 E 作 EF x 轴于点 F，设 E（a ，a 22a+3）（3a0）， EF= a22a+3， BF=a+3，OF=a ， S 四边形 BOCE= BFEF+ （ OC+EF）OF， = （ a+3）（ a22a+3）+ （ a22a+6）（a ）， = a+
46、， = （a+ ） 2+ ， 当 a= 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 此时，点 E 坐标为（ ， ）； （3）抛物线 y=x22x+3 的对称轴为 x=1，点 P 在抛物线的对称轴上， 设 P（1，m）， 线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上， 当 m0 时， PA=PA 1，APA 1=90， 如图 3，过 A1 作 A1N对称轴于 N，设对称轴于 x 轴交于点 M， NPA 1+MPA=NA 1P+ NPA1=90， NA 1P=NPA， 在A 1NP 与 PMA 中， ， A 1NP PMA， A 1N=PM=m，PN=AM=2， A 1（m1，m+2）， 代入 y=x22x+3 得：m+2= （m 1） 22（m
