1、开始 m =1, i=1 m=m (2-i)+1 m=m (2-i)+1 (2-i)+1i= i +1 m=0? 结束 输出 i 是 否 北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2016.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分 为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项. 1.已知集合 ，则 =1,01ABxABI A B C D,01,0 2. 下列函数中，既是
2、奇函数又存在零点的是 A B C D ()fx1()fx()exf()sinfx 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值为i A B C D3456 第 3 题图 4在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统 计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h120km/h ，试 估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130 车速（km/h） 频 率组 距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 A 辆 B 辆 3030 C
3、辆 D 辆1717 4 第 4 题图 5. 已知 m，n 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面，且 ,则下列说法正， mn， 确的是 A若 ，则 B若 ，则 /nm C若 ，则 D若 ，则n 6.设斜率为 2 的直线 l过抛物线 2(0)yax的焦点 F,且与 y轴交于点 ,若 （ 为坐标AOF 原点）的面积为 4,则抛物线方程为 A. B. C. D. 24yx2428x28yx 7. 已知 为圆 ( )上两个不同的点（ 为圆心），且满足BA, 9)()(:2nymC,mRC ，则13|C A. B. C. D. 22324 8. 设函数 的定义域为 ，如果存在正实数 ，使得对任意 ，当
4、 时，都有()fxDmxDm ，则称 为 上的“ 型增函数”.已知函数 是定义在 上的奇函数，(fxm()f ()fR 且当 时， （ ），若 为 上的“20 型增函数”，则实数 的取0()fxaR()fx a 值范围是 A. B. C. D. a2010a5a 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算 : ( 为虚数单位). i(1)i 10. 双曲线 的渐近线方程为 . 23yx 11. 在 中，若 ， ， ，则 , . ABC12AC1cos4ABsin 12已知正数 ， 满足约束条件 053yx，
5、则 的最小值为 .xy 21()xyz 13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 . 第 13 题图 14. 在 中， ， 为线段 的中点，若 的长为定值 ，则 面积的最ABCDACBDlABC 大值为 （用 表示）. l 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 已知数列 是等差数列，数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，nanb13ab ， 214ab3453 （）求数列 和 的通项公式；nb （）设 ，求数列 的前 项和*,caNnc 16. （本小题满分 13 分） 已知函数 的图象过
6、点 .2()cos3incosfxxa(,1)6 （）求实数 的值及函数 的最小正周期；a()f 3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 （）求函数 在 上的最小值. ()fx0,2 17. （本小题满分 13 分） 某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选 1 名男同学和 1 名女同学，组成社区服务小 组现从这个社区服务小组的 6 名同学中随机选取 2 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活 动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 2 人都是女同学的概率； （）设 “选出的 2 人来自不同年级且是 1 名男同学和 1 名女同学” 为事件 N，求事件 N 发生 的概率 18. （本小题满
7、分 14 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形点 是棱 的中点，平面 与PABCDABEPCABE 棱 交于点 PDF （）求证： ；E （）若 ，且平面 平 面 ，试证明 平面 ；ABCPCD （）在（）的条件下，线段 上是否存在点 B ,使得 平面 ?（直接给出结论，ME 不 需要说明理由） 19. （本小题满分 13 分） 已知函数 ， .()21)ln2kfxxR （）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1k(yf1,()f （）当 时，试判断函数 是否存在零点,并说明理由；e)x （）求函数 的单调区间.()fx 20. （本小题满分 14 分） 已知圆 的切线 与椭圆 相交于
8、， 两点.:O21xyl:C234xyAB （）求椭圆 的离心率；C （）求证: ；AB （）求 面积的最大值. FBDCPEA 北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案（文史类） 2016.1 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B C A D 二、填空题：（满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1i3yx,21586, 12723l （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解:（）设等差数列 n
9、a的公差为 d，等比数列 的公比为 ，且 .nbq0 依题意有， 1124,3().adbq 由 ,又 ，10 解得 3,2.qd 所以 , .1()32(1),21n nadna即 N , . 7 分bqN （）因为 nnnc 所以前 项和 1212()()nnSaab 3533 ()()21 nn .n 所以前 项和 13 分n*3(2)(1),nnSN 16. （本小题满分 13 分） 解：（）由 2()cos3icosfxxa 1n2 .1sin(2)6xa 因为函数 的图象过点 ，)f, 所以 .解得 .1(sin2)66a12 函数 的最小正周期为 . 7 分)fx （）因为 ，所
10、以 . 022x 则 .sin()x 所以当 ，即 时，函数 在 上的最小值为 . 13 分 ()fx0,212 17.（本小题满分 13 分） 解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为 A，B，C，女同学分别记为 X，Y，Z 从 6 名同学中随机选出 2 人参加活动的所有基本事件为： A， B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X ，B，Y，B，Z， C，X，C，Y，C，Z， X，Y，X，Z，Y，Z，共 15 个 4 分 （）设“选出的 2 人都是女同学”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有 X，Y，X，Z ，Y，Z，共 3 个， 所以，事件 M 发生的概率 8
11、 分 31()5P （）事件 N 包含的基本事件有 A， Y，A，Z ，B，X，B，Z，C ，X ，C ，Y，共 6 个， 所以，事件 N 发生的概率 13 分 62()15P 18. （本小题满分 14 分） （）证明：因为底面 是正方形，ABCD 所以 又因为 平面 ， 平面 ，ABPCDPC 所以 平面 又因为 四点共面，且平面 平面 ，,EFABEFDEF 所以 5 分 （）在正方形 中， ABCD 又因为平面 平面 ，P 且平面 平面 ，A 所以 平面 又 平面AFD 所以 C 由（）可知 ，BEF 又因为 ,所以 .由点 是棱 中点，所以点 是棱 中点CEPCFPD 在 中，因为
12、，所以 PADAD 又因为 ，所以 平面 11 分 （）不存在 14 分 19. （本小题满分 13 分） 解：函数 的定义域： .()fx),0(x .222 )1(11 xkxkkf （）当 时， .kxfln)( .2)1( 有 ，即切点（1,3），3l)1(f .2fk 所以曲线 在点 处切线方程是 ，()yfx1,()f )1(23xy 即 .4 分 FBDCPEA （）若 ， .eke()21)ln2fxx .2()fx 令 ，得 （舍）， .01e21x 则 .min11e()()2e)ln2(1ln2)el10fxf 所以函数 不存在零点. 8 分()f （） .2)1xk 当
13、 ，即 时，0 当 ，即 时，210k0kx),()21,(k),21()(f 0 0x 极大值 极小值 当 ，即 时，21k )2,( ),()xf 0( 极小值 ),(2),1()xf 0( 极小值 x),0(),21()f 当 ，即 时，21k 综上，当 时， 的单调增区间是 ;减区间是 .0k)(xf ),21()21,0( 当 时， 的单调增区间是 , ;减区间是 .21k)21,(k 当 时， 的单调增区间是 ;k)(xf ),0( 当 时， 的单调增区间是 ， ;21),k 减区间是 . 13 分),21(k 20. （本小题满分 14 分） 解：（）由题意可知 ， ，所以 24
14、a3b2283cab 所以 所以椭圆 的离心率为 3 分63ceC6 （）若切线 的斜率不存在，则 l:1lx 在 中令 得 214xyy 不妨设 ，则 所以 (,),AB10OAB OAB 同理，当 时，也有 :lx )(xf x)21,0( ),21(kk),()(f 0 0x 极大值 极小值 若切线 的斜率存在，设 ，依题意 ，即 l:lykxm21k22km 由 ，得 显然 234ykxm2(1)6340 设 ， ,则 ， 1(,)Axy2()B1221kx21xk 所以 .21212()kmm 所以 1Oxy 21212()kxkx222346()k 2 221)(31)mkm 243k24()40k 所以 OAB 综上所述，总有 成立 9 分 （）因为直线 与圆 相切，则圆 半径即为 的高.OAB 当 的斜率不存在时，由（）可知 则 .l 21OS 当 的斜率存在时，由（）可知， 2211()4ABkxx222634()311kmk2229(3)(3mkk2 22 21143(1)4k 2913k 所以 24222 44(1)(01)()6961kkABk 2421641616939kk （当且仅当 时，等号成立） 3k 所以 此时, .max4ABmax23(S)OAB 综上所述，当且仅当 时， 面积的最大值为 14 分3k
