1、期末复习(四) 二元一次方程组 考点一 二元一次方程( 组) 的解的概念 【例 1】(2012菏泽)已知 是二元一次方程组 的解,则 2m-n 的算术平方根为( )2,1xy81mxny A.4 B.2 C. D.2 【解析】把 代入方程组 得 解得2,1xy8,1mxny28,1.nm3,. 所以 2m-n=4,4 的算术平方根为 2.故选 B. 【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程 (组),得到的等式一定成立,从而 转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程( 组)即可求得待求字母的值 . 1.(2012白银)若方程组 的解是 求(a+b)
2、 2-(a-b)(a+b)的值.,axyb1,.xy 考点二 二元一次方程组的解法 【例 2】(2013汕头)解方程组: 128.xy, 【分析】可以直接把代入,消去未知数 x,转化成一元一次方程求解.也可以由变形为 x-y=1,再用加减消元 法求解. 【解答】方法一:将代入到中,得 2(y+1)+y=8.解得 y=2.所以 x=3.因此原方程组的解为 3,2.xy 方法二: 1,28.xy 对进行移项,得 x-y=1. +得 3x=9.解得 x=3. 将 x=3 代入中,得 y=2. 所以原方程组的解为 3,2.xy 【方法归纳】二元一次方程组有两种解法,我们可以根据具体的情况来选择简便的解
3、法.如果方程中有未知数的系 数是 1 时,一般采用代入消元法;如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时,一般采用加减消元法; 如果方程组中的系数没有特殊规律,通常用加减消元法. 2.(2012怀化)方程组 的解是_.25,713xy 3.(2013滨州)解方程组: 49,.xy 考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围 【例 3】若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 x+y2,则 a 的取值范围为( )31,xya A.a4 C.a-4 【分析】本题运用整体思想,把二元一次方程组中两个方程相加,得到 x、y 的关系,再根据 x+y2,求得本题答案; 也可以按常规方法求出二元一次
4、方程组的解,再由 x+y2 求出 a 的取值范围,但计算量大. 【解答】由+ ,得 4x+4y=4+a,x+y=1+ ,由 x+y2,得 1+ 2,解得 a4.故选 A.4a4 【方法归纳】通过观察两个方程,运用整体思想解题,这是中考中常用的解题方法. 4.已知 x、y 满足方程组 则 x-y 的值为_.25,4xy 考点四 二元一次方程组的应用 【例 4】(2013临泉二中模拟)某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、 小明同学有关租车问题的对话: 李老师:“平安客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用,60 座客车每辆每天的租金比 45 座的
5、贵 200 元. ” 小芳:“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60 座和 2 辆 45 座的客车到韶山参观,一天的租 金共计 5 000 元 .” 小明:“我们九年级师生租用 5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐满.” 根据以上对话,解答下列问题: (1)平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元? (2)按小明提出的租车方案,九年级师生到该公司租车一天,共需租金多少元? 【分析】 (1)根据题目给出的条件得出的等量关系是 60 座客车每辆每天的租金-45 座客车每辆每天的租金=200 元, 4 辆 60 座一天的租金+2 辆 45 座的一
6、天的租金=5 000 元;由此可列出方程组求解;(2)可根据“我们九年级师生 租用 5 辆 60 座和 1 辆 45 座的客车正好坐满”以及(1 )的结果来求出答案. 【解答】 (1)设平安公司 60 座和 45 座客车每辆每天的租金分别为 x 元,y 元.由题意,得 解得20,4.xy90,7.xy 答:平安客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别为 900 元和 700 元. (2)5 900+1700=5 200(元). 答:九年级师生租车一天共需资金 5 200 元. 【方法归纳】列方程解决实际问题的解题步骤是: 1.审题:弄清已知量和未知量; 2.列未知数,并根据相等关
7、系列出符合题意的方程; 3.解这个方程; 4.验根并作答:检验方程的根是否符合题意,并写出完整的答. 5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等, 求 x,y 的值. 6.在某次亚运会中,志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间 70 名工人承接了制作丝巾的任务,已知每人每天 平均生产手上的丝巾 1 800 条或者脖子的丝巾 1 200 条,一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的 丝巾刚好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名工人生产手上的丝巾? 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列方程组中,是
8、二元一次方程组的是( ) A. B. C. D.21xyz532xy512xy2371xy 2.方程 2x+y=9 的正整数解有( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 3.方程组 的最优解法是( )32,1xy A.由 得 y=3x-2,再代入 B.由得 3x=11-2y,再代入 C.由-,消去 x D.由2+,消去 y 4.已知 是方程组 的解,那么 a,b 的值分别为( )21y, 40aby A.1,2 B.1, -2 C.-1,2 D.-1,-2 5.A、B 两地相距 6 km,甲、乙两人从 A、B 两地同时出发,若同向而行,甲 3 h 可追上乙;若相向而行,1 h 相
9、遇, 求甲、乙两人的速度各是多少?若设甲的速度为 x km/h,乙的速度为 y km/h,则得方程组为( ) A. B. C. D.3xy63xy63x63xy 6.足球比赛的记分为:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,一队打了 14 场比赛,负 5 场,共得 19 分, 那么这个队胜了( ) A.3 场 B.4 场 C.5 场 D.6 场 7.(2014抚州)已知 a、b 满足方程组 则 3a+b 的值为( )2,6ab A.8 B.4 C.-4 D.-8 8.方程组 的解是( ) 24,317xyz A. B. C. D.21xyz21xyz281xyz2xyz 9.某车
10、间有 90 名工人,每人每天平均能生产螺栓 15 个或螺帽 24 个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人 才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套?则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为( ) A.50 人,40 人 B.30 人,60 人 C.40 人,50 人 D.60 人,30 人 10.甲、乙二人收入之比为 4 3,支出之比为 85 ,一年间两人各存 5 000 元(设两人剩余的钱都存入银行) ,则甲、 乙两人年收入分别为( ) A.15 000 元,12 000 元 B.12 000 元,15 000 元 C.15 000 元, 11 250 元 D.11 250 元, 15 000 元 二
11、、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.已知 a、b 是有理数,观察下表中的运算,并在空格内填上相应的数. a 与 b 的运算 a+2b 2a+b 3a+2b 运算的结果 2 4 12.(2013咸宁)已知 是二元一次方程组 的解,则 m+3n 的立方根为_.2,1xy7,1mxny 13.孔明同学在解方程组 的过程中,错把 b 看成了 6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为2kbx 又已知 3k+b=1,则 b 的正确值应该是_.1,2xy 14.已知 |x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0,则 x=_,y=_,z=_. 15.一个两位数的十位数字与个位数字的和
12、为 8,若把这个两位数加上 18,正好等于将这个两位数的十位数字与个 位数字对调后所组成的新两位数,则原来的两位数为_. 三、解答题(共 50 分) 16.(10 分)解方程组: (1)(2013梅州) (2)251xy, ; 15.xyz, , 17.(8 分 )(2013吉林)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参,甲种人参每棵 100 元,乙种人参 每棵 70 元. 王叔叔用 1 200 元在此特产商店购买这两种人参共 15 棵,求王叔叔购买每种人参的棵数. 18.(9 分 )已知方程组 与方程组 有相同的解,求 a,b 的值.53,4xya251xyb 19.(11 分)
13、(2014菏泽)食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人 体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的 A、B 两种饮料均需加入同种添加剂,A 饮料每瓶需加该添 加剂 2 克,B 饮料每瓶需加该添加剂 3 克,已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶,问 A、B 两 种饮料各生产了多少瓶? 20.(12 分)某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电冰箱,已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱,出厂价分别为: 甲种每台 1 500 元,乙种每台 2 100 元,丙种每台 2 500 元. (1)某商场同时购进其中两种不同型
14、号电冰箱共 50 台,用去 9 万元,请你研究一下商场的进货方案; (2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利 150 元,销售一台乙种电冰箱可获利 200 元,销售一台丙种电冰箱可获利 250 元,在同时购进两种不同型号的方案中,为使销售时获利最多,你选择哪种进货方案? 参考答案 变式练习 1.把 代入方程组 得1,xy,axyb, 1,.a 整理,得 ,1.ba (a+b) 2-(a-b)(a+b)=12-(-1)1=2. 2. 3xy, 3.由,得 x=4+y. 把代入,得 3(4+y)+4y=19.解得 y=1. 把 y=1 代入,得 x=4+1=5. 原方程组的解为 51.xy, 4.1
15、5.根据题意,得 解得2,5.xy3,.x 6.设应分配 x 名工人生产脖子上的丝巾,y 名工人生产手上的丝巾,由题意得 解得70,128.0,4.xy 答:应分配 30 名工人生产脖子上的丝巾,40 名工人生产手上的丝巾. 复习测试 1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 10.C 11.6 12.2 13.-11 14.2 15.35143 16.(1)+,得 3x=6.解得 x=2. 把 x=2 代入,得 y=1. 所以原方程组的解为 1.xy, (2)+,得 x+y+z=17. -,得 2z=6,即 z=3. -,得 2x=12,即 x=6. -,得 2
16、y=16,即 y=8. 所以原方程组的解是 683.xyz, 17.设王叔叔购买甲种人参 x 棵,乙种人参 y 棵.根据题意,得 解得150720.xy, 510., 答:王叔叔购买甲种人参 5 棵,乙种人参 10 棵. 18.解方程组 得3,xy, ,2.x 将 x=1,y=-2 代入 ax+5y=4,得 a=14. 将 x=1,y=-2 代入 5x+by=1,得 b=2. 19.设 A 饮料生产了 x 瓶,B 饮料生产了 y 瓶,依题意得 解得10,237.xy30,7.y 答:A 饮料生产了 30 瓶,B 饮料生产了 70 瓶. 20.(1)设购进甲种电冰箱 x 台,购进乙种电冰箱 y
17、台,根据题意,得 解得50,1290.xy25,. 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各 25 台 . 设购进甲种电冰箱 x 台,购进丙种电冰箱 z 台,根据题意,得 解得50,1290.xz35,1. 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱 35 台,丙种电冰箱 15 台. 设购进乙种电冰箱 y 台,购进丙种电冰箱 z 台,根据题意,得 解得 不合题意,舍去 .50,2190.yz87.5,3y 故此种方案不可行. (2)上述的第一种方案可获利:150 25+20025=8 750(元) , 第二种方案可获利:15035+25015=9 000(元), 因为 8 7509 000,故应选择第二种进货方案, 即购进甲种电冰箱 35 台,乙种电冰箱 15 台.