1、广东省北大附中深圳南山分校 2012 届高三上学期期末试题 数学(理科) 2011.1.13 参考公式：锥体的体积公式 ，其中 S 为锥体的底面积，和 h 为锥体的高.1V=h3 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上 1.设全集 U=1，2，3，4，5，集合 M=1， 3，5，N=3，4，5，则集合( UM)N= A. 4 B. 2，3，4，5 C. 1， 3，4，5 D. 2.若复数 z1=3+i，z 2=2i，则 在复平面内对应的点位于12z A.第一象限 B.第二象限 C.第
2、三象限 D.第四象限 3.在下列函数中，是奇函数的有几个 f(x)=sin(x)； ； f(x)=x 3x； f(x)=2 x+2-x.|xf()= A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.为了解地震灾区高三学生的身体发 育状况，抽查了该地区 100 名年龄为 17 岁18 岁的男生体重(kg)，得 到如图频率分布直方图. 根据右图可 知体重在56.5，64.5)的学生人数有 A.20 人 B.30 人 C.40 人 D.50 人 5.在 2010 年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入 (单位：元) 服从正 态分布 N(3000， 2)，且 P(0.5)，且各局胜 负相
3、互独立. 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 .95 ()求实数 p 的值； ()如图为统计比赛的局数 n 和甲、乙的总得分数 S、T 的 程序框图. 其中如果甲获胜，输入 a=1，b=0；如果乙获胜， 则输入 a=0，b=1.请问在第一、第二两个判断框中应分别填 写什么条件； ()设 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 的 分布列和数学期望 E. 18.(本小题满分 14 分) 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD=AA 1=1， AB=2，点 E 在棱 AB 上移动，设 AE=x(0c0)，直线 l： 与 x 轴2 2a=c 相交于点 A，|OF|=2|FA| ，过点
4、 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 ()求椭圆的方程和离心率； ()若 ，求直线 PQ 的方程；PQ=0 ()设 (1)，过点 P 且平行于直线 的直线与椭圆相交于另一点 M，l 证明： FM D C B A1 EA B1 (命题人：南头中学 万秉生 审题人：区教研室 罗诚) 广东省北大附中深圳南山分校 2011 届高三上学期期末试题 数学(理科) 参考答案及评分标准 2011.1.13 一、选择题：（85=40 ） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A A C C B C D B 二、填空题：(65 =30) 9、6； 10、4； 11、2； 12、 ； 13、sinx；
5、14、2； 15、 .49 三、解答题：（80） 16. (本小题满分 12 分) 解：() ， ， ， 2 分sinx52， 3cosx5 又 3 分31f=2(i+s) ， 4 分 sinxco . 6 分43f()5 () ， 8 分=sicx=2sin()6 ， 10 分2T| xR， ， 11 分sin(x)26 所以函数 f(x)的最小正周期为 2，值域为2，2 12 分 17. (本小题满分 12 分) 解：() 依题意，当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束 . 有 . 2 分225p+1=9 解得 或 . 3 分3 ， . 4 分2 ()程序框图中的第一
6、个条件框应填 M=2，第二个应填 n=6. 8 分 注意：答案不唯一 如：第一个条件框填 M1，第二个条件框填 n5，或者第一、 第二条件互换，都可以. ()依题意知， 的所有可能值为 2，4，6 9 分 由已知 ，5P(=2)91313204Cp+(p)=81 . 11 分6(6)()P4 随机变量 的分布列为： 2 4 6 P 59208118 故 . 12 分5016E=2+4=988 18. (本小题满分 14 分) 解法一: () 证明：AE平面 AA1DD1， A1D 平面 AA1DD1， A1DAE， 1 分 AA1DD1 为正方形， A1DAD1， 2 分 又 A1D AE=A
7、，A 1D平面 AD1E， 3 分 A1DD1E. 4 分 () 设点 E 到面 ACD1 的距离为 h，在ACD 1 中， ， ，1AC=D512 故 ，而 ， 6 分1ADC3S=25=CESB22 ， 8 分1 1-EE1ADVh3 即 ，从而 ，所以点 E 到面 ACD1 的距离为 . 9 分h233 () 过 D 作 DHCE 于 H，连 D1H，则 D1HCE， DHD1 为二面角 D1-EC-D 的平面角， DHD1=450. 11 分 D1D=1，DH=1，又 DC=2，DCH=30 0， 12 分 ECB=600，又 BC=1，在 RtEBC 中，得 ， 13 分B3 ， 时
8、，二面角 D1-EC-D 的大小为 450. 14 分AE23x23 解法二：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC ，DD 1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A1(1，0，1)， D1(0，0，1) ， E(1，x，0)，A (1，0，0) ，C(0，2，0)， 2 分 () ， ，(1)， ， E(x)， ， 因为 ，所以 ， 6 分1=0， ， ， ， 1AE ()由 E 为 AB 的中点，有 E(1，1，0)，从而 ，()C=(120)， ， ， ， ， ，设平面 ACD1 的法向量为 ，则 ，1A0)， ， nabc， ， 1nD 也即 ，得 ，从而 ， 8 分a+2
9、b=ca2bc=(21)， ， 所以点 E 到平面 ACD1 的距离为 10 分|DEn|h.3 () 显然 是平面 AECD 的一个法向量.设平面 D1EC 的法向量为 ，1D n=(abc)， ， D C B A1 EA B1 C1D1 ， ， ，CE=(1x20)， ， 1DC=(2)， ， 1D=(0)， ， 由 ， 令 b=1，c=2，a=2x，nbca+0 12 分() ， ， 依题意 .12|cos=42nD(x)+5 （不合题意，舍去） ， .1x233 时，二面角 D1-EC-D 的大小为 450. 14 分 19. (本小题满分 14 分) 解:()f (x)=(x 2+2
10、x)ex-1+3ax2+2bx， 1 分 又 x=2 和 x=1 为函数 f(x)的极值点.f ( 2)= f (1)=0 ， 2 分 即 ，解得 ， 3 分 6a+b=03a3b1 所以， ，b=1. 4 分1 () ，b=1， f (x)=(x2+2x)ex-1x 22x=(x 2+2x)(ex-11) ， 5 分a3 令 f (x)=0，解得 x1=2，x 2=0，x 3=1， 6 分 当 x(，2)(0，1) 时，f (x)0， 8 分 f(x)在区间 (2，0)和(1，+) 上是单调递增的，在区间(，2)和(0，1) 上是单调递减的. 9 分 ()由( )得 ，由()得函数的极大值为
11、 f(x)极大值 = f(0)=0， x132f=e 10 分 函数的极小值为 ，和 11 分34f()f()e极 小 值 1f(x)f()3极 小 值 又 ， 12 分341e f(3)= (3) 2e-4+99=9e -40，f(3)= 3 2e299=9(e 22)0， 13 分 通过上面的分析可知，当 时方程 f(x)=M 恰有 4 个不等的实数根1M(0)， 所以存在实数 M，使方程 f(x)=M 有 4 个根，其 M 取值范围为 . 14 分1(0)3， 20. (本小题满分 14 分) 解:()设等差数列a n的公差为 d， a1=1，S 12=186， ， 2 分121S=a+ 即 186=12+66d. 4 分 d=3. 5 分 所以数列a n的通项公式 an=1+(n1)3=3n4. 7 分 () ，a n=3n4， . 8 分1b=()23n1b()2 当 n2 时， ， 9 分3n1()8 数列b n是等比数列，首项 ，公比 . 10 分1()1q8 . ， ， nnn12()618T=()7800，得 . 7 分61，解得 ， 12 分 12212(y+6x=251x= 因为 F(2，0)， M(x1，y 1)，故 .1121FM=(x2,y)(x3)+,y) 12=(y)(y)2， ， 13 分 而 ，所以 . 14 分22Q()=()， ， FMQ
