1、第 1 页（共 26 页） 2015-2016 学年河北省保定市竞秀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 16 个小题，1-10 题，每小题 3 分；11-16 题，每小题 3 分，共 42 分） 1方程 x22x=0 的根是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A圆柱 B正方体 C球 D圆锥 3用配方法解一元二次方程 x24x5=0 的过程中，配方正确的是（ ） A （x+2） 2=1 B （x 2） 2=1 C （x+2） 2=9 D （x2） 2=9 4如图，ABC 的三个顶点都在正方形网格的
2、格点上，则 sinA 的值为（ ） A B C D 5一元二次方程 x2+2x1=0 的两根为 x1，x 2，则 x1+x2 的值为（ ） A2 B2 C1 D1 第 2 页（共 26 页） 6若反比例函数 y= 的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数的图象在（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 7如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 交于点 O，下列结论： OA=OB； ACB=45；AC BD； 正方形 ABCD 有四条对称轴上述结论正确 的有（ ） A B C D 8已知反比例函数 y= 的图象上有两点 A（x 1，y 1） ，B（x
3、2，y 2） ，当 x10x 2 时， 有 y1y 2，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm Dm 9如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（1，2） ，B（2，0） ，以原点为位似中心，将 线段 AB 放大，得到线段 CD，若 B 点的对应点 D 的坐标为（6，0） ，则点 C 的坐标为（ ） A （2，4） B （2，6） C （3，6） D （4，6） 10在同一坐标系中，作出函数 y=kx2 和 y=kx2（k0）的图象，只可能是（ ） A B C D 第 3 页（共 26 页） 11如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的中点，CD 与 BE 交于点 O，则
4、 S DOE：S BOC 的值为（ ） A B C D 12某商店 3 月份的营业额为 15 万元，4 月份的营业额比 3 月份的营业额减少了 10%，商 店经过加强管理，实施各种措施使得 5，6 月份的营业额连续增长，6 月份的营业额达到 了 20 万元；设 5，6 月份的营业额的平均增长率为 x，以题意可列方程为（ ） A15（1+x） 2=20 B20 （1+x） 2=15 C15（110%） （1+x） 2=20 D20（110% ） （1+x） 2=15 13如图，某天小明发现阳光下电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量 的 CD=8 米，BC=20 米，斜坡
5、 CD 的坡度比为 1： ，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米， 则电线杆的高度为（ ） A （14+2 ）米 B28 米 C （7+ ）米 D9 米 14如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标系原点，顶点 A 在 x 轴上， B=120，OA=2，将 菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为（ ） A （ ， ） B （ ， ） C （2， 2） D （ ， ） 15点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB=6cm，则 BC 的长为（ ） A （3 3）cm B （9 3 ）cm 第 4 页（共 26 页） C （3 3）cm 或（9 3 ）
6、cm D （93 ）cm 或（6 6）cm 16已知抛物线 y=ax2+bx+4 在坐标系中的位置如图所示，它与 x，y 轴的交点分别为 A（1， 0） ，B，P 是其对称轴 x=1 上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： 2a+b=0， x=3 是方程 ax2+bx+4=0 的一个根， PAB 周长的最小值是 5+ ， 9a+43b 其中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 17函数 y=2（x 4） 2+5 的顶点坐标为 18若 3x=5y（y0） ，则 = 19无论 x 取任何实数，代数式 2x2+4
7、x+m 与代数式 3x22x+6 的值总不相等，则 m 的取值 范围是 20在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验，表盘是ABC，其中 AB=AC=20，BAC=120，在点 A 处有一束红外光线 AP，从 AB 开始，绕点 A 逆时针匀 速旋转，每秒旋转 15，到达 AC 后立即以相同旋转速度返回 AB，到达后立即重复上述旋 转过程，设 AP 与 BC 边的交点为 M，旋转 2019 秒，则 MC= 第 5 页（共 26 页） 三、解答题（本大题共 66 分） 21某校九年级教师在讲“解直角三角形”一节时，带领一个小组登上学校教学楼上的一个 平台，测量与学校毗邻的一生活小区的一栋居民楼
8、 AB 的高度，平台 C 距离地面 D 高 10 米，在 C 处测得居民楼楼底 B 的俯角为 22.5，楼顶端 A 的仰角为 60，测完后，记录好数 据，回到教师，将示意图画在黑板上，如图所示，要求全班学生按示意图，求出居民楼 AB 的高度 （最后结果精确到 0.1） （参考数据：tan22.5 = 1， =1.73， =1.41） 22在一个不透明的袋中装着 3 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中 摸出 1 个小球，记下颜色不放回，再从袋子中任意取出 1 个小球，记下颜色： （1）若取出的第一个小球为红色，则取出的第二个小球仍为红球的概率是 ； （2）按要求从袋子中取出的
9、两个球，请画出树状图或列表格，并求出取出的两个小球中有 1 个黄球、1 个红球的概率 23如图，已知 RtABC 中， C=90，B=30，O 为 AB 边中点，将ABC 绕点 O 逆时 针旋转 60至EDA 位置，连接 CD （1）求证：ODBC ； （2）求证：四边形 AODC 为菱形 24如图，已知：矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，O 为平面直角坐 标系的原点；直线 y=x+1 分别交 x，y 轴及矩形 OABC 的 BC 边于 E，M，F，且EOM FCM；过点 F 的双曲线 y= （ x0）与 AB 交于点 N （1）求 k 的值； （2）当 x 时，
10、x+1； （3）若 F 为 BC 中点，求 BN 的长 第 6 页（共 26 页） 25某商品专营店购进一批进价为 16 元/件的商品，销售一段时间后，为了获得更多利润， 商店决定提高销售价格，经试验发现，若每件按 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件；若 每件每涨 1 元，每天少卖 10 件；设销售价格为 x（元/件）时，每天销售 y（件） ，日总利 润为 W 元物价局规定：此类商品的售价不得低于进价，又不得高于进价的 3 倍销售，即 16x48 （利润=售价 进价，或总利润=单间利润总销售件数） （1）售价 25 元/件时，日销量 件，日总利润为 元； （2）求 y 与 x 之间的关
11、系式； （3）求 W 与 x 之间的关系式，问销售价格为多少时，才能使每日获得最大利润？日最大 利润是多少？ （4）商店为减少库存，在保证日利润 3000 元的前题条件下，商店该以多少元/件销售 26如图，在 RtABC 中， C=90，AC=6cm ，BC=8cm点 P 从 A 出发，沿 AB 方向， 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向，以 1cm/s 的速度向点 A 运动； 若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为 t（s） ， APQ 的面积为 S（cm 2） （1）t=2 时，则点 P 到 AC 的距离是 cm，S=
12、cm 2； （2）t 为何值时，PQ AB； （3）t 为何值时，APQ 是以 AQ 为底边的等腰三角形； （4）求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值 第 7 页（共 26 页） 2015-2016 学年河北省保定市竞秀区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 16 个小题，1-10 题，每小题 3 分；11-16 题，每小题 3 分，共 42 分） 1方程 x22x=0 的根是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】观察本题，可用因式分解法，提取 x 后
13、，变成两个式子相乘为 0 的形式，让每个 式子都等于 0，即可求出 x 【解答】解：x 22x=0 x（ x2）=0， 可得 x=0 或 x2=0， 解得：x=0 或 x=2 故选 C 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点 解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用 2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A圆柱 B正方体 C球 D圆锥 【考点】由三视图判断几何体 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形
14、状 第 8 页（共 26 页） 【解答】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判 断出这个几何体应该是圆锥， 故选：D 【点评】主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是圆锥 3用配方法解一元二次方程 x24x5=0 的过程中，配方正确的是（ ） A （x+2） 2=1 B （x 2） 2=1 C （x+2） 2=9 D （x2） 2=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案 【解答】解：移项得：x 24x=5， 配方得：x 24x+22=5+22， （x2） 2=9， 故选 D 【
15、点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方 4如图，ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则 sinA 的值为（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理 【专题】网格型 【分析】根据勾股定理，可得 AB 的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案 【解答】解：如图 ， 由勾股定理，得 AB= = = ， 第 9 页（共 26 页） sinA= = = ， 故选：D 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 5一元二次方程 x2+2x1=0 的两根为 x1，x 2，则 x1+x2 的值为（ ）
16、A2 B2 C1 D1 【考点】根与系数的关系 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：一元二次方程 x2+2x1=0 的两根为 x1，x 2， x1+x2=2 故选 B 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两 根时，x 1+x2= ，x 1x2= 6若反比例函数 y= 的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数的图象在（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 【考点】反比例函数的性质 【分析】首先设反比例函数解析式为 y= ，再把（3，2）点代入可得 k 的值，进而可得图 象所处的象限 【解答】
17、解：设反比例函数解析式为 y= ， 图象经过点（ 3，2） ， k=6， k=60， 反比例函数的图象在二、四象限 故选 D 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质，当 k0 时，反比例函数在第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，反比例 函数在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 第 10 页（共 26 页） 7如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 交于点 O，下列结论： OA=OB； ACB=45；AC BD； 正方形 ABCD 有四条对称轴上述结论正确 的有（ ） A B C D 【考点】正方形的
18、性质 【分析】由正方形的各种性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的 两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 正方形具有四边形、 平行四边形、矩形、菱形的一切性质 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三 角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，逐项分析即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AO=CO=BO=DO，ACBD， ACB=45，故选项 正确； AD=BC=CD=AD，ADBC，ABDC， 正方形 ABCD 有四条对称轴，故选项 正确， 故选 A 【点评】本题考查了正方形的性质，正确掌握并且能够灵活运用正方形的各种性质是解题 关键 8
19、已知反比例函数 y= 的图象上有两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，当 x10x 2 时，有 y1y 2，则 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm Dm 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】先根据当 x10x 2 时，有 y1y 2，判断出 12m 的符号，求出 m 的取值范围即 可 【解答】解：反比例函数 y= 的图象上有两点 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，当 x10x 2 时，有 y1y 2， 反比例函数的图象在一三象限， 12m 0，解得 m 故选 C 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数 y
20、= 的图象在一、三象限是解答此题的关键 第 11 页（共 26 页） 9如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（1，2） ，B（2，0） ，以原点为位似中心，将 线段 AB 放大，得到线段 CD，若 B 点的对应点 D 的坐标为（6，0） ，则点 C 的坐标为（ ） A （2，4） B （2，6） C （3，6） D （4，6） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出 C 点坐标 【解答】解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内，将线段 AB 放大得到线段 CD， B 点与 D 点是对应点， B 点的对应点 D 的坐标为（ 6，0） ，
21、 位似比为：1：3， A（ 1， 2） ， 点 C 的坐标为：（3，6） 故选：C 【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键 10在同一坐标系中，作出函数 y=kx2 和 y=kx2（k0）的图象，只可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象 【分析】根据题意，分 k0 与 k0 两种情况讨论，结合一次函数、二次函数的图象与系 数的关系，分析选项可得答案 【解答】解：根据题意， 当 k0 时，函数 y=kx2 开口向上，而 y=kx2 的图象过一、三、四象限， 当 k0 时，函数 y=kx2 开口向下，而 y=kx2 的图象过二、三、四象限， 分析选
22、项可得，只有 B 符合， 故选 B 【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，要求学生牢记解析式的系数与图象 的关系 第 12 页（共 26 页） 11如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的中点，CD 与 BE 交于点 O，则 S DOE：S BOC 的值为（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】DE 为ABC 的中位线，则 DEBC，DE= BC，再证明 ODEOCB，由相似三 角形的性质即可得到结论 【解答】解：点 D、E 分别为 AB、AC 的中点， DE 为ABC 的中位线， DEBC，DE= BC， ODE=OCB，OED=
23、 OBC， ODEOCB， =（ ） 2= ， 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形 的性质定理是解题的关键 12某商店 3 月份的营业额为 15 万元，4 月份的营业额比 3 月份的营业额减少了 10%，商 店经过加强管理，实施各种措施使得 5，6 月份的营业额连续增长，6 月份的营业额达到 了 20 万元；设 5，6 月份的营业额的平均增长率为 x，以题意可列方程为（ ） A15（1+x） 2=20 B20 （1+x） 2=15 C15（110%） （1+x） 2=20 D20（110% ） （1+x） 2=15 【考点】由实际问题抽象出
24、一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】设 5，6 月份的营业额的平均增长率为 x，根据题意可得，3 月份营业额 （110%）（1+平均增长率） 2=6 月份的营业额，据此列方程 【解答】解：设 5，6 月份的营业额的平均增长率为 x， 由题意得，15（110%） （1+x） 2=20 故选 C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出 未知数，找出合适的等量关系，列出方程 第 13 页（共 26 页） 13如图，某天小明发现阳光下电线杆 AB 的影子落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量 的 CD=8 米，BC=20 米，斜坡 CD 的坡度比为 1
25、： ，且此时测得 1 米杆的影长为 2 米， 则电线杆的高度为（ ） A （14+2 ）米 B28 米 C （7+ ）米 D9 米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】根据已知条件，过 D 分别作 BC、AB 的垂线，设垂足为 E、F；在 RtDCE 中， 已知斜边 CD 的长和斜坡 CD 的坡度比为 1： ，得出DCE 的度数，满足解直角三角 形的条件，可求出 DE、CE 的长即可求得 DF、BF 的长；在 RtADF 中，已知了“ 1 米杆 的影长为 2 米”，即坡面 AD 的坡度为 ，根据 DF 的长，即可求得 AF 的长， AB=AF+BF 【解答】解：如图所示：过 D
26、作 DE 垂直 BC 的延长线于 E，且过 D 作 DFAB 于 F， 在 RtDEC 中， CD=8，斜坡 CD 的坡度比为 1： ， DCE=30， DE=4 米，CE=4 米， BF=4 米，DF=20+4 （米） ， 1 米杆的影长为 2 米， = ， 则 AF=（10+2 ）米， AB=AF+BF=10+2 +4=（14+2 ）米， 电线杆的高度（14+2 ）米 故选：A 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是设法化归为解直角三角形问题，添加辅 助线，构造出直角三角形求解 14如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标系原点，顶点 A 在 x 轴上， B=120，OA=2，将 菱
27、形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为（ ） 第 14 页（共 26 页） A （ ， ） B （ ， ） C （2， 2） D （ ， ） 【考点】菱形的性质；坐标与图形变化-旋转 【分析】首先连接 OB，OB，过点 B作 BEx 轴于 E，由旋转的性质，易得 BOB=105， 由菱形的性质，易证得AOB 是等边三角形，即可得 OB=OB=OA=2， AOB=60，继而 可求得AOB =45，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案 【解答】解：连接 OB，OB，过点 B作 BEx 轴于 E， 根据题意得：BOB =105， 四边形 OABC 是菱形，
28、OA=AB，AOB= AOC= ABC= 120=60， OAB 是等边三角形， OB=OA=2， AOB=BOBAOB=10560=45，OB =OB=2， OE=BE=OBsin45=2 = ， 点 B的坐标为：（ ， ） 故选 B 【点评】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三 角形性质此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法 15点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB=6cm，则 BC 的长为（ ） 第 15 页（共 26 页） A （3 3）cm B （9 3 ）cm C （3 3）cm 或（93 ）cm D （93 ）cm
29、 或（6 6）cm 【考点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，知 BC 可能是较长线段，也可能是较短线段，则 BC= AB 或 BC= AB，将 AB=6cm 代入计算即可 【解答】解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB=6cm， BC= AB=3 3（cm） ， 或 BC= AB=93 （cm） 故选 C 【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段 AB 分成两部分 AC 与 BC，使其中较长 的线段 AC 为全线段 AB 与较短线段 BC 的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，点 C 是线段 AB 的黄金分割点熟记较长的线段 AC= AB，较短的线段 BC= AB 是解
30、题的关键注意线段 AB 的黄金分割点有两个 16已知抛物线 y=ax2+bx+4 在坐标系中的位置如图所示，它与 x，y 轴的交点分别为 A（1， 0） ，B，P 是其对称轴 x=1 上的动点，根据图中提供的信息，得出以下结论： 2a+b=0， x=3 是方程 ax2+bx+4=0 的一个根， PAB 周长的最小值是 5+ ， 9a+43b 其中正确的是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据对称轴方程求得 a、b 的数量关系； 根据抛物线的对称性知抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标是 3； 利用两点间直线最短来求 PAB 周长的最小值；
31、 第 16 页（共 26 页） 根据图象知，当 x=3 时，y0，得到 9a3b+40，即 9a+43b 【解答】解：根据图象知，对称轴是直线 x= =1，则 b=2a，即 2a+b=0 故正确； 根据图象知，点 A 的坐标是（1，0） ，对称轴是 x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的 性质知，抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3，0） ，所以 x=3 是 ax2+bx+3=0 的一个根， 故正确； 如图所示，点 A 关于 x=1 对称的点是 A，即抛物线与 x 轴的另一个交点 连接 BA与直线 x=1 的交点即为点 P， 则PAB 周长的最小值是（BA+AB）的长度 A（ 1， 0） ，
32、B（0，4） ，A（3，0） ， AB= ，BA=5即PAB 周长的最小值是 5+ 故正确； 根据图象知，当 x=3 时，y0， 9a3b+40，即 9a+43b， 故正确 综上所述，正确的结论是： 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图 象的性质以及两点之间直线最短解答该题时，充分利用了抛物线的对称性 二、填空题（本大题 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 17函数 y=2（x 4） 2+5 的顶点坐标为 （4，5） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的顶点式直接求解 【解答】解：二次函数 y=2（x4） 2+5 的顶点坐标
33、是（4， 5） 故答案为：（4，5） 第 17 页（共 26 页） 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为 y=a（x ） 2+ ，对称轴 为直线 x= ，顶点坐标为（ ， ） ；抛物线与 y 轴的交点坐标 为（0，c） 18若 3x=5y（y0） ，则 = 【考点】比例的性质 【分析】直接利用已知得出 x= y，进而代入求出答案 【解答】解：3x=5y （y0） ， x= y， 则 = = = 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用 y 表示出 x 是解题关键 19无论 x 取任何实数，
34、代数式 2x2+4x+m 与代数式 3x22x+6 的值总不相等，则 m 的取值 范围是 m3 【考点】根的判别式 【分析】代数式 2x2+4x+m 与代数式 3x22x+6 的值不相等，即 3x22x+6（2x 2+4x+m） =x26x+6m0，令 y=x26x+6m，当0 时，y=x 26x+6m 与 x 轴无交点，由此建立关于 m 的不等式，求解即可 【解答】解：3x 22x+6（2x 2+4x+m）=x 26x+6m， 令 y=x26x+6m， 当=364（6 m）0 时，y=x 26x+6m 与 x 轴无交点，即 x26x+6m0， 解得 m3 故答案为 m3 第 18 页（共 2
35、6 页） 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如 下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 20在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验，表盘是ABC，其中 AB=AC=20，BAC=120，在点 A 处有一束红外光线 AP，从 AB 开始，绕点 A 逆时针匀 速旋转，每秒旋转 15，到达 AC 后立即以相同旋转速度返回 AB，到达后立即重复上述旋 转过程，设 AP 与 BC 边的交点为 M，旋转 2019 秒，则 MC= 20 【考点】旋转的性质 【专题
36、】规律型 【分析】由于 120=815，则可判断光线 AP 从 AB 开始，绕点 A 逆时针匀速旋转 8 秒到达 AC 后再经过 8 秒返回 AB，加上 2019=12616+3，于是可得到旋转 2019 秒时，AP 从 AB 绕点 A 逆时针匀速旋转了 3 秒，则可计算出此时 BAP=45，所以CAP=75 ，然后利用等 腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出B=C=30，再判定AMC 为等腰三角形， 从而得到 CA=CM=20 【解答】解：120=8 15，即光线 AP 从 AB 开始，绕点 A 逆时针匀速旋转 8 秒到达 AC 后 再经过 8 秒返回 AB， 而 2019=12616+
37、3， 当旋转 2019 秒时，AP 从 AB 绕点 A 逆时针匀速旋转了 3 秒， 此时 BAP=153=45， CAP=12045=75， AB=AC=20， B=C= =30， AMC=B+BAM=30+45=75， CA=CM=20 故答案为 20 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等解决本题的关键是确定旋转 2019 秒时 AP 与 AB 的夹角 三、解答题（本大题共 66 分） 21某校九年级教师在讲“解直角三角形”一节时，带领一个小组登上学校教学楼上的一个 平台，测量与学校毗邻的一生活小区的一栋居
38、民楼 AB 的高度，平台 C 距离地面 D 高 10 第 19 页（共 26 页） 米，在 C 处测得居民楼楼底 B 的俯角为 22.5，楼顶端 A 的仰角为 60，测完后，记录好数 据，回到教师，将示意图画在黑板上，如图所示，要求全班学生按示意图，求出居民楼 AB 的高度 （最后结果精确到 0.1） （参考数据：tan22.5 = 1， =1.73， =1.41） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】根据三角函数的定义得到 CE= = =10（ ） ，AE=CEtan60 =10（ 41.7，于是得到 AB=AE+BE=41.7+10=51.7 米 【解答】解：在 RtBEC
39、中，BE=CD=10 米， CE= = =10（ ） ， 在 RtACE 中， AE=CEtan60=10（ 41.7， AB=AE+BE=41.7+10=51.7 答：居民楼 AB 的高度约为 51.7 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结 合图形利用三角函数解直角三角形 22在一个不透明的袋中装着 3 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中 摸出 1 个小球，记下颜色不放回，再从袋子中任意取出 1 个小球，记下颜色： （1）若取出的第一个小球为红色，则取出的第二个小球仍为红球的概率是 ； （2）按要求从袋子中取出的两个球，请画出
40、树状图或列表格，并求出取出的两个小球中有 1 个黄球、1 个红球的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）由题意可知剩余的红球还有 2 个，而球的总数是 4 个，利用概率公式计算即 可； （2）首先根据题意画出树状图或列表，然后由树状图或列表求得所有等可能的结果与两球 恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）一个不透明的袋中装着 3 个红球和 2 个黄球，取出的第一个小球为红 色， 第 20 页（共 26 页） 剩余的红球还有 2 个，球的总数是 4 个， 取出的第二个小球仍为红球的概率= = ， 故答案为： ； （2）列表如下： 红 1 红 2
41、红 3 黄 1 黄 2 红 1 （红 1，红 2） （红 1，红 3） （红 1，黄 1 ） （红 1，黄 2） 红 2 （红 2，红 1） （红 2，红 3） （红 2，黄 1） （红 2，黄 2） 红 3 （红 3，红 1） （红 3，红 2） （红 3，黄 1） （红 3，黄 2） 绿 1 （黄 1，红 1） （黄 1，红 2） （黄 1，红 3） （黄 1，黄 2） 绿 2 （黄 2，红 1） （黄 2，红 2） （黄 2，红 3） （黄 2，黄 1） 共 20 种等可能的结果，其中两个小球中有 1 个黄球、1 个红球结果有 12 种， P（取出的两个小球中有 1 个黄球、 1 个红球
42、）= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 23如图，已知 RtABC 中， C=90，B=30，O 为 AB 边中点，将ABC 绕点 O 逆时 针旋转 60至EDA 位置，连接 CD （1）求证：ODBC ； （2）求证：四边形 AODC 为菱形 【考点】旋转的性质；菱形的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）由旋转的性质得出DOB=60再由已知条件得出OFB=90即可； （2）证出 A
43、COD，连接 OC，得出 OA=OC=OB，由旋转可知：OD=OB ，因此 OA=OC=OB=OD，证出AOC 为等边三角形，得出 AC=OA，因此 AC=OD，证出四边形 AODC 是平行四边形，再由 OA=OD，即可得出四边形 AODC 是菱形 【解答】 （1）证明：由旋转的性质可知：DOB=60 B=30， OFB=90， 第 21 页（共 26 页） ODBC； （2）证明：由（1）知OFB=90， ACB=90， ACB=OFB， ACOD， 在 RtABC 中，O 为 AB 边中点， 连接 OC，如图所示： OA=OC=OB 由旋转可知：OD=OB， OA=OC=OB=OD， 在
44、RtABC 中， C=90，B=30， CAB=60 AOC 为等边三角形， AC=OA， OA=OD， AC=OD， ACOD， 四边形 AODC 是平行四边形， 又 OA=OD， 四边形 AODC 是菱形 【点评】本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的 判定等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键 24如图，已知：矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上，O 为平面直角坐 标系的原点；直线 y=x+1 分别交 x，y 轴及矩形 OABC 的 BC 边于 E，M，F，且EOM FCM；过点 F 的双曲线 y=
45、 （ x0）与 AB 交于点 N （1）求 k 的值； （2）当 x 0x1 时， x+1； （3）若 F 为 BC 中点，求 BN 的长 第 22 页（共 26 页） 【考点】反比例函数综合题 【分析】 （1）先根据一次函数的解析式求出 E、M 两点的坐标，再由EOMFCM 得出 OM=OC=1，故可得出 F 点的坐标，根据点 F 在双曲线上即可得出 k 的值； （2）利用函数图象即可直接得出结论； （3）先求出 N 点坐标，再由矩形的性质即可得出结论 【解答】解：当 x=0 时，y=1；当 y=0 时，x=1 OE=OM=1 EOMFCM， CM=CF=OE=OM=1， F（ 1，2） （
46、1）y= 的图象过点 F（1，2） ， k=12=2； （2）由函数图象可知，当 0x1 时， x+1 故答案为：0x1； （3）F 为矩形 OABC 的 BC 边中点， B（2，2） N（ 2， a） N 在 y= 上 a= ， a=1， AN=1 AB=OC=2， BN=BAAN=21=1 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形 的性质等知识，在解答此题时要注意数形结合思想的灵活运用 25某商品专营店购进一批进价为 16 元/件的商品，销售一段时间后，为了获得更多利润， 商店决定提高销售价格，经试验发现，若每件按 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件；若 每件每涨 1 元，每天少卖 10 件；设销售价格为 x（元/件）时，每天销售 y（件） ，日总利 润为 W 元物价局规定：此类商品的售价不得低于进价，又不得高于进价的 3 倍销售，即 16x48 （利润=售价 进价，或总利润=单间利润总销售件数） （1）售价 25 元/件时，日销量 310 件，日总利润为 2790 元； （2）求 y 与 x 之间的关系式； 第 23 页（共 26 页） （3）求
