1、北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级 第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 20151 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点所在的象限是i 1iz A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点若 中点 到抛物线准24yxFl,ABM 线的距离为 6，则线段 的长
2、为A A B C D无法确定 912 3设函数 的图象为 ，下面结论中正确的是()sin2)3fx A函数 的最小正周期是 B图象 关于点 对称C(,0)6 C图象 可由函数 的图象向右平移 个单位得到sin2gx3 D函数 在区间 上是增函数()fx(,) 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A 26 B 8 C 3 D 43 5 表示不重合的两个平面， ， 表示不重合的两条直线若 ， ml m ， ，则“ ”是“ 且 ”的llll A充分且不必要条件 B必要且不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6在 中， ，则 的最大值是B4sinAC A B C D123224
3、 7点 在 的内部，且满足 ，则 的面积与 的面OC4OA0ABCO 积之比是 A B 3 C D2252 8.设连续正整数的集合 1,2.,8I，若 T是 I的子集且满足条件：当 xT时，7xT ，则集合 中元素的个数最多是（ ） A. 204 B. 07 C. 20 D. 209 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则x(1,2)P 的值是 sin() 10双曲线 （ ）的离心率是 ；渐近线方程是 2:Cxy0 11设不等式组 表示平面区域为 ，
4、在区域 内随机取一点 ，则点 4,0xyDP 落在圆 内的概率为 P21 12有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1 点响 1 声，2 点响 2 声，3 点响 3 声， ，12 点响 12 声（12 时制） ，且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒在 一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是 12 点的报时，则此人至少 需等待 秒才能确定时间；如果此次是 11 点的报时，则此人至少需等待 秒 才能确定时间 13在锐角 的边 上有异于顶点 的 6 个点，边 上有异于顶点 的 4 个点，AOBOBO 加上点 ，以这 11 个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答） 14
5、已知函数 下列命题：1sin()()xfR 函数 既有最大值又有最小值； 函数 的图象是轴对称图形；()fx 函数 在区间 上共有 7 个零点；, 函数 在区间 上单调递增()fx(01) 其中真命题是 （填写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分 13 分） 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某 城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 2080 岁（含 20 岁和 80 岁）之 间的 600 人进行调查，并按年龄层次20,30)，30,40)，40,50)
6、，50,60) ，60,70)，70,80绘 制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在20,40) 岁的人为“青年人” ，40,60) 为 “中年人” ， 60,80为“老年人”. （）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄； （）将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率从该城市 O频 率组 距 20 30 40 50 60 80700.010.030.02 年龄 20-80 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为 ，求随机变量X 的分布列和数学期望X 1 6 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PA
7、BCD中，底面 AB是正方形，侧面 PAB底面 CD， PAB，点 E是 的中点，点 F在边 上移动 （）若 F为 中点，求证： /平面 P； （）求证： ； （）若 2，二面角 AB的余弦值等于 1 ，试判断点 F在边 BC上 的位置，并说明理由. 17 （本小题满分 13 分） 若有穷数列 ， ， （ 是正整数）满足条件：1a23,ma ，则称其为“对称数列” 例如， 和 都是1(,)imia 1,23, “对称数列” （）若 是 25 项的“对称数列” ，且 ， 是首项为 1，公比为 2 的等nb,13b415, 25b 比数列求 的所有项和 ；S （）若 是 50 项的“对称数列” ，
8、且 ， 是首项为 1，公差为 2 的等nc,26c728, 50c 差数列求 的前 项和 ， .n150nND P C B F A E 18 （本小题满分 13 分） 设函数 2e(),1 axfR （）当 时,求函数 )(f的单调区间；35 （）设 为 的导函数，当 时，函数 的图象总在 的图象的()gxf 1,2ex()fx()gx 上方，求 的取值范围a 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 过点 ，离心率为 过椭圆右顶点 的 2:1(0)xyCab3(1,)232A 两条斜率乘积为 的直线分别交椭圆 于 两点4C,MN （）求椭圆 的标准方程； （）直线 是否过定点 ？若过定点 ，求出点 的坐标；若不过，请说明理由MNDD 20 （本小题满分 13 分） 已知函数 ， ， ， ,且 123()()fxx1x23R123x （）当 ， ， 时，若方程 恰存在两个相等的实数根，求实1023(fm 数 的值；m （）求证：方程 有两个不相等的实数根；()fx （）若方程 的两个实数根是 ，试比较 与 的大小并()0fx,12x, 说明理由
