1、第 1 页（共 30 页） 2015-2016 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1已知点（2，2）在二次函数 y=ax2 上，那么 a 的值是（ ） A1 B2 C D 2在 RtABC 中， C=90， AB=2BC，那么 sinA 的值为（ ） A B C D1 3如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A三棱锥 B圆柱 C球 D圆锥 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 C，若 OC=3，则弦 AB 的长为（ ） A8 B6 C4 D10 5如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝
2、”字所在的面相对的面上标的字是 （ ） A考 B试 C顺 D利 6如果点 M（2，y 1） ，N（1，y 2）在抛物线 y=x 2+2x 上，那么下列结论正确的是 （ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y2Dy 1y2 7如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树的高度是（ ） 第 2 页（共 30 页） A7m B6m C5m D4m 8如果弧长为 6 的弧所对的圆心角为 60，那么这条弧所在的圆的半径是（ ） A18 B12 C36 D6 9如图，A
3、B 是 O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交O 于 C 点，连接 BC，若 A=30，AB=2 ，则 AC 等于（ ） A4 B6 C D 10如图 1，AD，BC 是 O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发沿图中某一个扇形 顺时针匀速运动，设APB=y（单位：度） ，如果 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的函 数关系的图象大致如图 2 所示，那么点 P 的运动路线可能为（ ） AOBAO BO ACO COC DO DO BDO 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 12把二次
4、函数的表达式 y=x24x+6 化为 y=a（xh） 2+k 的形式，那么 h+k= 第 3 页（共 30 页） 13如图，边长为 a 的正方形发生形变后成为边长为 a 的菱形，如果这个菱形的一组对边 之间的距离为 h，记 =k，我们把 k 叫做这个菱形的“ 形变度” 若变形后的菱形有一个角是 60，则形变度 k= 14学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题： “如图，在正方形网格上有A 1B1C1 和A 2B2C2，这两个三角形是否相似？” 那么你认为 A1B1C1 和A 2B2C2 （填相似或不相似） ；理由是 15小明四等分弧 AB，他的作法如下： （
5、1）连接 AB（如图） ； （2）作 AB 的垂直平分线 CD 交弧 AB 于点 M，交 AB 于点 T； （3）分别作 AT，TB 的垂直平分线 EF，GH ，交弧 AB 于 N，P 两点，则 N，M，P 三点 把弧 AB 四等分 你认为小明的作法是否正确： ，理由是 16如图，弦 AB 的长等于O 的半径，那么弦 AB 所对的圆周角的度数是 第 4 页（共 30 页） 三、解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17如图，已知1=2， AED=C，求证： ABCADE 18已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（2，1）和（4，3）两点，求二次函数 y=x2+bx+c 的表达式 1
6、9已知：如图，A，B，C 为 O 上的三个点，O 的直径为 4cm，ACB=45 ，求 AB 的长 20如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角 形”，这条中线为“ 有趣中线”如图，在 ABC 中， C=90，较短的一条直角边 BC=1，且 ABC 是“有趣三角形”，求ABC 的“有趣中线”的长 21如图所示，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，作 AD，BC 于 E，F，延长 BA 交 A 于 G，判断弧 EF 和 EG 是否相等，并说明理由 第 5 页（共 30 页） 22如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，
7、连结 AE，BD，且 AE，BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，求 DE：EC 的值 23一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB=50cm，拉杆最大伸长距离 BC=30cm，点 A 到地面的距离 AD=8cm，旅行箱与水平面 AE 成 60角，求拉杆把手处 C 到地面的距离（精确到 1cm） （参考数据： ） 24 （1）抛物线 m1：y 1=a1x2+b1x+c1 中，函数 y1 与自变量 x 之间的部分对应值如表： x 2 1 1 2 4 5 y1 5 0 4 3 5 12 设抛物线 m1 的顶点为 P，与 y 轴的交点为 C，则点 P 的坐标为 ，点 C 的坐标
8、为 （2）将设抛物线 m1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 m2：y 2=a2x2+b2x+c2，则当 x=3 时，y 2= （3）在（1）的条件下，将抛物线 m1 沿水平方向平移，得到抛物线 m3设抛物线 m1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，抛物线 m3 与 x 轴交于 M，N 两点（点 M 在 点 N 的左侧） 过点 C 作平行于 x 轴的直线，交抛物线 m3 于点 K问：是否存在以 A，C，K，M 为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点 K 的坐标；若不存在，请 说明理由 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 与 y 轴相切于点 ，与 x 轴相交于
9、M、N 两点如果点 M 的坐标为 ，求点 N 的坐标 第 6 页（共 30 页） 26根据下列要求，解答相关问题 （1）请补全以下求不等式2x 24x0 的解集的过程 构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y=2x 24x；并在下面的坐标系 中（图 1）画出二次函数 y=2x 24x 的图象（只画出图象即可） 求得界点，标示所需，当 y=0 时，求得方程2x 24x=0 的解为 ；并用锯 齿线标示出函数 y=2x 24x 图象中 y0 的部分 借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式2x 24x0 的解集为 2x0请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式 x22x+14
10、的解集 27如图，在 RtABC 中， C=90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D （1）动手操作：利用尺规作圆 O，使圆 O 经过点 A、D，且圆心 O 在 AB 上；并标出圆 O 与 AB 的另一个交点 E，与 AC 的另一个交点 F（保留作图痕迹，不写作法） （2）综合应用：在你所作的图中 判断直线 BC 与圆 O 的位置关系，并说明理由； 如果BAC=60 ，CD= ，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根 号和 ） 第 7 页（共 30 页） 28王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第 31 页遇到这样一道 题，如图 1，在ABC
11、 中，P 是边 AB 上的一点，连接 CP，要使ACPABC，还需要补 充的一个条件是 ，或 请回答： （1）王华补充的条件是 ，或 （2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题： 如图 2，在ABC 中， A=30，AC 2=AB2+ABBC求C 的度数 29定义：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 的长度的最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离 已知 O（0，0） ，A（4，0） ，B（m，n） ，C（m+4 ，n）是平面直角坐标系中四点 （1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ；当 m=5，n=2 时，如图
12、 2，线段 BC 与线段 OA 的距离为 ； （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d，求 d 关于 m 的函数解析式 （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M， 求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； 点 D 的坐标为（0，2） ，m 0，n0，作 MHx 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A、M、H 为顶点的三角形与AOD 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理 由 第 8 页（共 30 页） 2015-2016 学年北京市通州区九年级（上）
13、期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1已知点（2，2）在二次函数 y=ax2 上，那么 a 的值是（ ） A1 B2 C D 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把点 P 坐标点（2，2）代入二次函数解析式计算即可求出 a 的值 【解答】解：点（2，2）在二次函数 y=ax2 上， 4a=2， 解得 a= 故选 C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式计算即可， 比较简单 2在 RtABC 中， C=90， AB=2BC，那么 sinA 的值为（ ） A B C D1 【考点】锐角三角函数的
14、定义 【分析】根据正弦的定义列式计算即可 【解答】解：C=90 ，AB=2BC ， sinA= = ， 故选：A 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边， 余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A三棱锥 B圆柱 C球 D圆锥 【考点】由三视图判断几何体 【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再 根据左视图的形状，即可得出答案 【解答】解：几何体的主视图和俯视图都是三角形， 该几何体是一个锥体， 第 9 页（共 30 页） 俯视图是一个圆， 该几何体是一个圆锥； 故选 D
15、 【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如 果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，OCAB，垂足为 C，若 OC=3，则弦 AB 的长为（ ） A8 B6 C4 D10 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】探究型 【分析】先连接 OA，根据勾股定理求出 AC 的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得 出结论 【解答】解：连接 OA， OA=5，OC=3，OC AB， AC= = =4， OCAB， AB=2AC=24=8 故选 A 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构
16、造出直角三角形是 解答此题的关键 5如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝 ”字所在的面相对的面上标的字是 （ ） A考 B试 C顺 D利 【考点】专题：正方体相对两个面上的文字 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 第 10 页（共 30 页） “祝”与“利”是相对面， “你”与“试”是相对面， “考”与“顺”是相对面 故选 D 【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解 答问题 6如果点 M（2，y 1） ，N（1，y 2）在抛物线 y=x
17、 2+2x 上，那么下列结论正确的是 （ ） Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y2Dy 1y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】首先求得抛物线 y=x 2+2x 的对称轴是 x=1，利用二次函数的性质，点 M、N 在 对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大，得出答案即可 【解答】解：抛物线 y=x 2+2x 的对称轴是 x= =1， a=1 0，抛物线开口向下，211， y1 y2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握 二次函数图象的性质解决问题 7如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿
18、，使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树的高度是（ ） A7m B6m C5m D4m 【考点】相似三角形的应用 【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形， 利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度 【解答】解：如图； AD=6m，AB=21m，DE=2m； 由于 DEBC，所以ADEABC，得： ，即 ， 解得：BC=7m， 故树的高度为 7m 故选：A 第 11 页（共 30 页） 【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用；解题的关键是找出题中的相似三角 形，并建立适当的数学模型来解
19、决问题 8如果弧长为 6 的弧所对的圆心角为 60，那么这条弧所在的圆的半径是（ ） A18 B12 C36 D6 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式 l= 进行计算即可 【解答】解：l= ， r= = =18， 故选 A 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式 l= 是解题的关键 9如图，AB 是 O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交O 于 C 点，连接 BC，若 A=30，AB=2 ，则 AC 等于（ ） A4 B6 C D 【考点】切线的性质 【分析】连接 OB，则AOB 是直角三角形，利用三角函数即可求得 OA 的长，则 AC 即 可求解 【解答】解：连接 OB AB 是
20、O 的切线，B 为切点， OBAB， 在直角OAB 中，OB=ABtanA=2 =2， 则 OA=2OB=4， AC=4+2=6 故选 B 【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断OAB 是直角三角形是关键 第 12 页（共 30 页） 10如图 1，AD，BC 是 O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发沿图中某一个扇形 顺时针匀速运动，设APB=y（单位：度） ，如果 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的函 数关系的图象大致如图 2 所示，那么点 P 的运动路线可能为（ ） AOBAO BO ACO COC DO DO BDO 【考点】动点问题的函数图象 【分析】根
21、据图 2，分三段考虑：当点 P 沿 OC 运动时；当点 P 沿 CD 运动时；当点 P 沿 DO 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位： 秒）的关系即可 【解答】解：当点 P 沿 OC 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时，y=90， 当点 P 在点 C 的位置时， OA=OC， y=45， y 由 90逐渐减小到 45； 当点 P 沿 CD 运动时， 根据圆周角定理，可得 y902=45； 当点 P 沿 DO 运动时， 当点 P 在点 D 的位置时，y=45， 当点 P 在点 0 的位置时，y=90 ， y 由 45逐渐增加到 90 故点 P
22、的运动路线可能为 OCDO 故选：C 【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息， 并能解决生活中的实际问题，明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等 的圆周角所对的弧也相等 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 y=x 21（答 案不唯一） 【考点】二次函数的性质 【专题】开放型 【分析】抛物线开口向上，二次项系数大于 0，然后写出即可 【解答】解：抛物线的解析式为 y=x21 故答案为：y=x 21（答案不唯一） 第 13 页（共 30 页） 【点评
23、】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写函数解析式的二次 项系数一定要大于 0 12把二次函数的表达式 y=x24x+6 化为 y=a（xh） 2+k 的形式，那么 h+k= 4 【考点】二次函数的三种形式 【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是 1，只需加上一次项系数的一半 的平方来凑成完全平方式，从而得出 h，k 的值，进而求出 h+k 的值 【解答】解：y=x 24x+6=x 24x+44+6=（x2） 2+2， h=2，k=2 ， h+k=2+2=4 故答案为 4 【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c（a0，a
24、、b、c 为常数） ； （2）顶点式：y=a（xh） 2+k； （3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx 1） （xx 2） 13如图，边长为 a 的正方形发生形变后成为边长为 a 的菱形，如果这个菱形的一组对边 之间的距离为 h，记 =k，我们把 k 叫做这个菱形的“ 形变度” 若变形后的菱形有一个角是 60，则形变度 k= 【考点】菱形的性质；正方形的性质 【专题】新定义 【分析】利用解直角三角形的知识，用 a 表示出 h，继而可得 k 的值 【解答】解：由题意得，B=60， 在 RtABC 中， B=60， h=AC=ABsinB= a， k= = 故答案为： 【点评】本题考查了菱形的性
25、质，解答本题的关键是通过三角函数的知识求出 h 的值，难 度一般 第 14 页（共 30 页） 14学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题： “如图，在正方形网格上有A 1B1C1 和A 2B2C2，这两个三角形是否相似？” 那么你认为 A1B1C1 和A 2B2C2 相似 （填相似或不相似） ；理由是 = = 【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型 【分析】由勾股定理求出 A1B1=2 ，B 1C1=2 ，A 2B2= ，B 2C2= ，证出 = = =2，由三边成比例的两个三角形相似即可得出结论 【解答】解：由题意得：A 1C1=4，A 2C2=2，
26、由勾股定理得：A 1B1= =2 ，B 1C1= =2 ， A2B2= = ，B 2C2= = ， = =2， = =2， = =2， = = =2， A1B1C1A2B2C2 故答案为：相似， = = 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握勾股定理，熟记三边成 比例的两个三角形相似是解决问题的关键 15小明四等分弧 AB，他的作法如下： （1）连接 AB（如图） ； （2）作 AB 的垂直平分线 CD 交弧 AB 于点 M，交 AB 于点 T； 第 15 页（共 30 页） （3）分别作 AT，TB 的垂直平分线 EF，GH ，交弧 AB 于 N，P 两点，则 N，M，P
27、 三点 把弧 AB 四等分 你认为小明的作法是否正确： 不正确 ，理由是 弦 AN 与 MN 不相等，则 【考点】作图复杂作图；线段垂直平分线的性质 【分析】由作法可知，弦 AN 与 MN 不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到 ，由此得出小明的作法不正确 【解答】解：小明的作法不正确理由是： 如图，连结 AN 并延长，交 CD 于 J，连结 MN，设 EF 与 AB 交于 I 由作法可知，EFCD，AI=IT， AN=NJ， NMJNJM， NJMN ， ANMN， 弦 AN 与 MN 不相等， 则 故答案为不正确；弦 AN 与 MN 不相等，则 【点评】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平
28、分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定 理根据作法得出弦 AN 与 MN 不相等或弦 BP 与 PM 不相等是解题的关键 第 16 页（共 30 页） 16如图，弦 AB 的长等于O 的半径，那么弦 AB 所对的圆周角的度数是 30 或 150 【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质 【分析】首先在优弧上取点 C，连接 AC，BC ，在劣弧 AB 上取点 D，连接 AD，BD，由 弦 AB 的长等于 O 的半径，可得OAB 是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接 四边形的性质求得答案 【解答】解：在优弧上取点 C，连接 AC，BC ，在劣弧 AB 上取点 D，连接 AD，BD， 弦 AB
29、的长等于 O 的半径， OAB 是等边三角形， AOB=60， ACB= AOB=30， ADB=180 ACB=150， 弦 AB 所对的圆周角的度数是：30或 150 故答案为：30或 150 【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等边三角形的判定与性 质注意准确作出辅助线是解此题的关键 三、解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17如图，已知1=2， AED=C，求证： ABCADE 【考点】相似三角形的判定 【专题】证明题 【分析】已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出DAE= BAC，即 可得出结论 【解答】证明：1=2， 第 17 页（共 30
30、页） 1+BAE=2+BAE， 即DAE= BAC， AED=C， ABCADE 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题 的关键 18已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过（2，1）和（4，3）两点，求二次函数 y=x2+bx+c 的表达式 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【专题】计算题 【分析】把（2，1）和（4，3）代入 y=x2+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组，然后解方程 组即可 【解答】解：把（2，1）和（4，3）代入 y=x2+bx+c 得 ，解得 ， 所以二次函数解析式为 y=x24x+3 【点评】本题考查了待定系数法求二次
31、函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系 式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地， 当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知 抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交 点时，可选择设其解析式为交点式来求解 19已知：如图，A，B，C 为 O 上的三个点，O 的直径为 4cm，ACB=45 ，求 AB 的长 【考点】圆周角定理；等腰直角三角形 【分析】首先连接 OA，OB，由ACB=45，利用圆周角定理，即可求得AOB=90 ，再利 用勾股定理求解即可求得答案 【解答】解：连
32、接 OA，OB， ACB=45， AOB=2ACB=90， O 的直径为 4cm， OA=OB=2cm， AB= =2 （cm） 第 18 页（共 30 页） 【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理注意准确作出辅助线是解此题的关键 20如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角 形”，这条中线为“ 有趣中线”如图，在 ABC 中， C=90，较短的一条直角边 BC=1，且 ABC 是“有趣三角形”，求ABC 的“有趣中线”的长 【考点】勾股定理 【专题】新定义 【分析】 “有趣中线” 分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点 距离相等，
33、不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为 1但是不符合较短的一条直角 边边长为 1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可 【解答】解：“有趣中线” 有三种情况： 若“有趣中线” 为斜边 AB 上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题 意； 若“有趣中线” 为 BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立； 若“有趣中线” 为另一直角边 AC 上的中线，如图所示，BC=1， 设 BD=2x，则 CD=x， 在 RtCBD 中，根据勾股定理得： BD2=BC2+CD2，即（ 2x） 2=12+x2， 解得：x= ， 则ABC 的“有趣中线”的长等于 【点评】此题考
34、查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题 的关键，注意分类讨论 21如图所示，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，作 AD，BC 于 E，F，延长 BA 交 A 于 G，判断弧 EF 和 EG 是否相等，并说明理由 第 19 页（共 30 页） 【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的性质 【分析】要证明 = ，则要证明DAF=GAD，由 AB=AF，得出ABF=AFB，平行四 边形的性质得出，AFB=DAF，GAD= ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出 = 【解答】解：相等 理由：连接 AF A 为圆心， AB=AF， ABF=AFB，
35、 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC，AFB=DAF，GAD= ABF， DAF=GAD， = 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点 的应用，关键是求出DAF=GAD，题目比较典型，难度不大 22如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连结 AE，BD，且 AE，BD 交于点 F，S DEF：S ABF=4：25，求 DE：EC 的值 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得DEF BAF，然后由相似三角形面积比等 于相似比的平方，求得相似比，继而求得 DE：EC 的值 【
36、解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD DEFBAF 第 20 页（共 30 页） 又 AB=CD， DE：EC=2 ： 3 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注 意掌握数形结合思想的应用 23一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长 AB=50cm，拉杆最大伸长距离 BC=30cm，点 A 到地面的距离 AD=8cm，旅行箱与水平面 AE 成 60角，求拉杆把手处 C 到地面的距离（精确到 1cm） （参考数据： ） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】作 CGAE 于点 G，在直角 ACG 中利用三角函数即可求得 CG 的长，再加上 A
37、D 的长度即可求解 【解答】解：作 CGAE 于点 G 在直角ACG 中，AC=AB+BC=50+30=80cm sinCAG= ， CG=ACsinCAG=80 =40 69.2（cm） 则拉杆把手处 C 到地面的距离是： 69.2+8=77.277cm 【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦概念及运算，关键把实际问题转化 为数学问题加以计算 24 （1）抛物线 m1：y 1=a1x2+b1x+c1 中，函数 y1 与自变量 x 之间的部分对应值如表： x 2 1 1 2 4 5 y1 5 0 4 3 5 12 第 21 页（共 30 页） 设抛物线 m1 的顶点为 P，与 y 轴
38、的交点为 C，则点 P 的坐标为 （1，4） ，点 C 的坐标 为 （0，3） （2）将设抛物线 m1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 m2：y 2=a2x2+b2x+c2，则当 x=3 时，y 2= 12 （3）在（1）的条件下，将抛物线 m1 沿水平方向平移，得到抛物线 m3设抛物线 m1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，抛物线 m3 与 x 轴交于 M，N 两点（点 M 在 点 N 的左侧） 过点 C 作平行于 x 轴的直线，交抛物线 m3 于点 K问：是否存在以 A，C，K，M 为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点 K 的坐标；若不存在，请 说明理由 【
39、考点】二次函数综合题 【专题】综合题 【分析】 （1）先利用待定系数法求出抛物线 m1 的解析式为 y1=x 2+2x+3，再配成顶点式 可得到 P 点坐标，然后计算自变量为 0 时的函数值即可得到 C 点坐标； （2）根据抛物线的几何变换得到抛物线 m1 与抛物线 m2 的二次项系数互为相反数，然后 利用顶点式写出抛物线 m2 的解析式，再计算自变量为 3 时的函数值； （3）先确定 A 点坐标，再根据平移的性质得到四边形 AMKC 为平行四边形，根据菱形的 判定方法，当 CA=CK 时，四边形 AMKC 为菱形，接着计算出 AC= ，则 CK= ， 然后根据平移的方向不同得到 K 点坐标
40、【解答】解：（1）把（1，0） ， （1，4） ， （2，3）分别代入 y1=a1x2+b1x+c1 得 ， 解得 所以抛物线 m1 的解析式为 y1=x 2+2x+3=（x1） 2+4，则 P（1，4） ， 当 x=0 时，y=3，则 C（0，3） ； （2）因为抛物线 m1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 m2， 所以 y2=（x1） 24，当 x=3 时，y 2=（x+1） 24=（31） 24=12 故答案为（1，4） ， （0，3） ，12； （3）存在 当 y1=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3，则 A（1，0） ，B（3，0） ， 抛物线 m1 沿水平方向平移
41、，得到抛物线 m3， CKAM，CK=AM， 四边形 AMKC 为平行四边形， 当 CA=CK 时，四边形 AMKC 为菱形，而 AC= = ，则 CK= ， 当抛物线 m1 沿水平方向向右平移 个单位，此时 K（ ，3） ；当抛物线 m1 沿水平方 向向左平移 个单位，此时 K（ ，3） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和菱形的判定；会利用 待定系数法求二次函数解析式；会运用数形结合的数学思想方法解决问题 第 22 页（共 30 页） 25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 与 y 轴相切于点 ，与 x 轴相交于 M、N 两点如果点 M 的坐标为 ，求点 N 的
42、坐标 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【分析】连接 AB、AM、过 A 作 ACMN 于 C，设A 的半径是 R，根据切线性质得出 AB=AM=R，求出 CM=R ，AC= ，MN=2CM ， 由勾股定理得出方程 R2=（R ） 2+（ ） 2，求出方程的解即可 【解答】解： 连接 AB、AM、过 A 作 ACMN 于 C，设A 的半径是 R， A 与 y 轴相切于 B， ABy 轴， 点 ，与 x 轴相交于 M、N 两点，点 M 的坐标为 ， AB=AM=R，CM=R ，AC= ，MN=2CM， 由勾股定理得：R 2=（R ） 2+（ ） 2， R=2.5， CM=C
43、N=2.5 =2， ON= +2+2=4 ， 即 N 的坐标是（4 ，0） 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理的应用，关键是能根据题意得出关 于 R 的方程 第 23 页（共 30 页） 26根据下列要求，解答相关问题 （1）请补全以下求不等式2x 24x0 的解集的过程 构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y=2x 24x；并在下面的坐标系 中（图 1）画出二次函数 y=2x 24x 的图象（只画出图象即可） 求得界点，标示所需，当 y=0 时，求得方程2x 24x=0 的解为 x 1=0，x 2=2 ；并 用锯齿线标示出函数 y=2x 24x 图象中 y0 的部分
44、 借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式2x 24x0 的解集为 2x0请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式 x22x+14 的解集 【考点】二次函数与不等式（组） 【分析】利用描点法即可作出函数的图象； 当 y=0 时，解方程求得 x 的值，当 y0 时，就是函数图象在 x 轴上方的部分，据此即 可解得； 仿照上边的例子，首先作出函数 y=x22x+1 的图象，然后求得当 y=4 时对应的 x 的值， 根据图象即可求解 【解答】解：图所示： ； 方程2x 24x=0 即2x（x+2）=0， 解得：x 1=0，x 2=2； 则方程的解是 x1=0，x 2=2， 图象如图 1；
45、 第 24 页（共 30 页） 函数 y=x2 2x+1 的图象是： 当 y=4 时，x 22x+1=4，解得：x 1=3，x 2=1 则不等式的解集是：x 3 或 x1 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解函数的图象在 x 轴上方，则函数值大 于 0 是本题的关键 27如图，在 RtABC 中， C=90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D （1）动手操作：利用尺规作圆 O，使圆 O 经过点 A、D，且圆心 O 在 AB 上；并标出圆 O 与 AB 的另一个交点 E，与 AC 的另一个交点 F（保留作图痕迹，不写作法） （2）综合应用：在你所作的图中 判断直线 BC 与圆
46、O 的位置关系，并说明理由； 如果BAC=60 ，CD= ，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积（结果保留根 号和 ） 【考点】作图复杂作图；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算 【分析】 （1）根据题意得：O 点应该是 AD 垂直平分线与 AB 的交点； （2）由BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D，与圆的性质可证得 ACOD，又由 C=90， 则问题得证； 设O 的半径为 r则在 RtOBD 中，利用勾股定理列出关于 r 的方程，通过解方程即 可求得 r 的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的图形面积为：S ODBS 扇形 ODE=2 【解答】解：（1）如图 1； （2）直线 BC 与O 的位置关系为相切理由如下： 如图 1，连接 OD， OA=OD， OAD=ADO， BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D， CAD=OAD， 第 25 页（共 30 页） CAD=ADO， ACOD，
