1、山东省菏泽市定陶县 2015 届九年级上学期期末数学试卷 一、精挑细选，火眼金睛（每小题 3 分，共 24 分） 1下列命题中真命题是( ) A位似图 形一定是相似形 B相似形一定是位似图形 C两个直角三角形是相似三角形 D两个直角三角形是 位似三角形 考点：命题与定理 分析：根据位似图形与相似图形的定义对 A、B 进行判断；根据相似三角形的判定方法对 C 进行判断；根据位似三角形的定义对 D 进行判断 解答： 解：A、位似图形一定是相似形，所以 A 选项正确； B、相似形不一定是位似图形，所以 B 选项错误； C、两个直角三角形不一定相似，所以 C 选项错误； D、两个直角三角形不一定是位似
2、三角形，所以 D 选项错误 故选 A 点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和 结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如 果那么” 形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 2在ABC 中，I 是内心，BIC=130，则 A 的度数是( ) A40 B50 C65 D80 考点：三角形内角和定理；角平分线的定义 专题：压轴题 分析：已知BIC=130，则根据三角形内角和定理可知IBC+ ICB=50，则得到 ABC+ACB=100 度，则本题易解 解答： 解：BIC=130 ， IBC+ICB=50，
3、又 I 是内心即 I 是三角形三个内角平分线的交点， ABC+ACB=100， A=80 故选 D 点评：正确理解三角形的角平分线的定义，以及三角形的内角和定理是解决的关键 3下列说法： （1）三点确定一个圆 （2）垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧 （3）三角形的外心到三条边的距离相等 （4）圆的切线垂直于经过切点的半径 正确的个数是( ) A0 B2 C3 D4 考点：切线的性质；垂径定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心 分析：根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据垂径定理对（2）进行判断；根据三角形 外心的性质对（3）进行判断；根据切线的性质对（4）进行判断 解答： 解：不共线的三
4、点确定一个圆，所以（1）错误； 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，所以（2）正确； 三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以（3）错误； 圆的切线垂直于经过切点的半径，所以（4）正确 故选 B 点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了垂径定理和三 角形外心 4下列方程是关于 x 的一元二次方程的是( ) Aax 2+bx+c=0 B + =2 Cx 2+2x=x21 D3（x+1） 2=2（x+1） 考点：一元二次方程的定义 分析：本题根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整 式方程，依据定义即可解答 解答： 解：A、缺少 a0 这一条
5、件，若 a=0，则方程就不是一元二次方程，故错误； B、是分式方程，故错误； C、化简后不含二次项，故错误； D、符合一元二次方程的形式，正确 故选 D 点评：判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否 是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 5二次函数 y=x2+ax+b，若 a+b=0，则其图象经过点( ) A （1， 1） B （1 ， 1） C （1，1） D （1， 1） 考点：二次函数图象上点的坐标特征 专题：计算题 分析：先计算 x=1 的函数值为 y=a+b+1，利用 a+b=0 得 y=1，然后根据二次函数图象上点 的坐标特征可判断点（1，1
6、）在二次函数图象上 解答： 解：当 x=1 时，y=a+b+1， 而 a+b=0， x=1 时，y=1 ， 二次函数 y=x2+ax+b 的图象经过点（1，1） 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析 式 6若 y=（a 2+a） 是二次函数，那么( ) Aa= 1 或 a=3 Ba 1 或 a0 Ca=3 Da=1 考点：二次函数的定义 分析：根据一元二次方程的定义，令 a22a1=2 且满足 a2+a0 即可 解答： 解：y= （a 2+a） 是二次函数， a22a1=2， 即 a22a3=0， （a+1） （a3）=0， 解得 a1=1，a 2=3
7、当 a=1 时，a 2+a=11=0，不合题意，故 a=3 故选 C 点评：本题考查了二次函数的定义，解题的关键是知道二次项系数不为 0，二次项指数为 2 7如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD AB，垂足为 D若 AC= ，BC=2，则 sinACD 的值为( ) A B C D 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理 分析：在直角ABC 中，根据勾股定理即可求得 AB，而B=ACD，即可把求 sinACD 转化为求 sinB 解答： 解：在直角ABC 中，根据勾股定理可得： AB= = =3 B+BCD=90，ACD+ BCD=90， B=ACD sinACD=sinB= = ， 故选
8、 A 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度 适中 8如果 b0，c0，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象大致是( ) A B C D 考点：二次函数图象与系数的关系 专题：压轴题 分析：由 A 可确定 a0，又 b0，所以得到 0，这与图象矛盾，因此可以判断 A 错 误； 由 B 可确定 a 0，又 b0，所以得到 0，这与图象矛盾，所以可以判断 B 错误； 由 c0 可以推出与 y 轴相交于正半轴，于是可以判断 C 答案错误； 由 D 可得到 a0，又 b0，所以 0，因此可以判断 D 正确 解答： 解：A、根据图象可知， a0，又 b0，
9、0，而这与图象矛盾； B、根据图象可知，a 0，又 b0， 0，而这与图象矛盾； C、c0，与 y 轴相交于正半轴，这与已知图象矛盾； D、根据图象可知，a0，又 b0，所以 0，符合题意 故选 D 点评：解答此题，要将题干和各选项结合起来， 根据二次函数的性质推理出矛盾，舍去错 误结论，选出正确答案 二、认真填写，试一试自己的身手（每小题 3 分，共 18 分） 9如图，点 D、E 分别在 AB、AC 上，且ABC=AED，若 DE=4，AE=5，BC=8，则 AB 的长为 10 考点：相似三角形的判定与性质 分析：根据已知条件可知ABC AED，再通过两三角形的相似比可求出 AB 的长 解
10、答： 解：在ABC 和AED 中， ABC=AED，BAC= EAD， AEDABC， = ， 又 DE=4，AE=5 ，BC=8 ， AB=10 故答案为：10 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出ABCAED，是一 道基础题 10在O 中，弦 AB=4cm，O 到 AB 的距离为 1.5cm，则 O 的半径为 2.5cm 考点：垂径定理；勾股定理 分析：根据题意画出图形，先根据垂径定理求出 AD 的长，连接 OA，再由勾股定理即可 得出结论 解答： 解：如图所示， AB=4cm，OD AB， AD= AB=2cm OD=1.5cm， OA= = =2.5cm 故答案
11、为：2.5cm 点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧 是解答此题的关键 11现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 ab=a 23a+b，如：35=3 233+5，若 x2=6，则实数 x 的值是 1 或 4 考点：解一元二次方程-因式分解法 专题：压轴题；新定义 分析：根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得 到 x 的值 解答： 解：根据题中的新定义将 x2=6 变形得： x23x+2=6，即 x23x4=0， 因式分解得：（x4） （x+1）=0， 解得：x 1=4，x 2=1， 则实数 x 的值是1 或
12、4 故答案为：1 或 4 点评：此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化 为 0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个 一元一次方程来求解 12已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（2，0） ，抛 物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB 的长为 8 考点：抛物线与 x 轴的交点 分析：由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=2，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标 为（2， 0） ，根据二次函数的对称性，求得 B 点的坐标，再求出 AB 的长度
13、 解答： 解：对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）与 x 轴相交于 A、B 两点， A、 B 两点关于直线 x=2 对称， 点 A 的坐标为（ 2，0） ， 点 B 的坐标为（6，0） ， AB=6（2）=8 故答案为：8 点评：此题考查了抛物线与 x 轴的交点此题难度不大，解题的关键是求出 B 点的坐标 13从1，1， 2 三个数中任取一个，作为二次函数 y=kx2+3 的 k 值，则所得函数中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大的概率是 考点：概率公式；二次函数的性质 分析：从1，1 ，2 三个数中任取一个，共有三种取法，其中能使函数 y=kx2+3 中 y
14、随 x 增 大而增大的为1，所以符合题意的概率为 解答： 解：1 作为一次函数 y=kx2+3 的 k 值，则所得二次函数中当 x0 时，y 随 x 的增 大而增大， 从三个数中取到1 的概率是 ， 故答案为： 点评：本题考查的是用列举法求概率的知识注意概率=所求情况数与总情况数之比 14如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 OB、OD，BCE=55 ，则 BOD=110 考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理 分析：首先根据邻补角的定义求得BCD 的度数，然后利用圆内接四边形的性质求得 A 的度数，然后利用圆周角定理求得BOD 的度数 解答： 解：DCE=5
15、5 ， BCD=125， 四边形 ABCD 内接于O， A=55， BOD=2A=110， 故答案为：110 点评：本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补，圆内接 四边形的任意一个外角等于它的内对角 三、认真解答，一定要细心呦！（本题 5 个小题，满分 38 分，要写出必要的计算推理、解 答过程） 15解方程： （1） （2x1） 2=9 （2）x 22x3=0 考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -直接开平方法 分析：（1）开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答： 解：（1） （2
16、x1） 2=9， 开方得：2x1= 3， 2x1=3，2x1=3， x1=2，x 2=1； （2）x 22x3=0 （x3） （ x+1）=0， x3=0，x+1=0， x1=3，x 2=1 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次 方程 16已知关于 x 的方程 x2（ m2）x+m 2=0 若方程有两个相等的实数根，求 m 的值； 求出此时方程的根 考点：根的判别式 分析：（1）由于方程有两个相等的实数根，利用判别式可以列出关于 m 的方程即可求解； （2）把求出 m 的值代入原方程，进而求出方程的根； 解答： 解：（1）方程有两个相等的实数根， （
17、m2） 24 m2=0， m24m+4m2=0， 解得：m=1； （2）把 m=1 代入 x2（m2） x+m2=0 得： x2x+1=0 解得：x 1=x2=2 点评：本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别 式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的 实 数根；（3）0方程没有实数根，此题难度不大 17一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 P（ 2，1） 、Q （1，n）两点， 试求此反比例函数和一次函数的解析式 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 分析：将 P 的坐标代入反比例函数解析式中，求出 m
18、的值，确定出反比例函数解析式，将 Q 坐标代入反比例函数解析式中，即可求出 n 的值，确定出 Q 的坐标，将 P 和 Q 坐标代入 一次函数解析式中，根据待定系数法即可确定出一次函数解析式 解答： 解：由一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 P（ 2，1） 、 Q（1，n）两点， 将 P（2，1）代入反比例函数解析式得：1= ， 解得：m=2 反比例函数解析式为 y= ， 将 Q（1，n）代入反比例解析式得： n= =2， Q（ 1， 2） ， 将 P 和 Q 坐标代入一次函数解析式得： ， 解得： 故一次函数解析式为 y=x1 点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交
19、点问题，利用了待定系数法，待定系数法是 数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用 18如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东 45方向、距离小岛 180 海里的 A 处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东 60方向的 B 处，求渔船从 A 到 B 的 航行过程中与小岛 M 之间的最小距离 （结果用根号表示） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：过点 M 作 MDAB 于点 D，根据三角函数求出 AM 的长 解答： 解：过点 M 作 MDAB 于点 D， AME=45， AMD=MAD=45， AM=180 海里， MD=AMcos45=90 （海里） 答：渔船
20、从 A 到 B 的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离是 90 里 点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角 三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想 19已知：如图，圆内接ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 边上一点，E 是直线 AD 和ABC 外接圆的交点，求证：AB 2=ADAE 考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理 分析：连接 BE，由圆周角定理可知 E=C，根据等腰三角形的性质可知ABC=C，所以 E=ABC，再加公共角相等即可证明 ABEADB，利用相似三角形的性质即可得到 AB2=ADAE； 解答： 证明：连接 BE，
21、E=C， AB=AC， ABC=C， E=ABC， BAE=DAB， ABEADB， AB：AD=AE ：AB， AB2=ADAE 点评：本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，题目的 综合性较强，难度中等 四、综合解答题：（本题 5 小题，满分 40 分，要写出必要的计算，推理、解答过程） 20不透明的口袋里装有 3 个球，这 3 个球分别标有数字 1，2，3，这些球除了数字以外 都相同 （1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是 2 的球的概率是多少？ （2）小明和小东玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后 放回，搅匀后再由小东随
22、机摸出一个球，记下球的数字谁摸出的球的数字大，谁获 胜现请你利用树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由 考点：游戏公平性；列表法与树状图法 分析：游 戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率 是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等 解答： 解：（1）从 3 个球中随机摸出一个，摸到标有数字是 2 的球的概率是 或 P（摸 到标有数字是 2 的球）= ； （2）游戏规则对双方公平 （注：学生只用一种方法做即可） 由图（或表）可知，P（小明获胜）= ，P （小东获胜）= ， P（小明获胜）=P（小东获胜） ， 游
23、戏规则对双方公平 点评：本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率 相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 21 “低碳生活，绿色出行” ，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车 销售量自 2013 年起逐月增加据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆，3 月份销售了 100 辆若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4 月份卖出多少辆自 行车？ 考点：一元二次方程的应用 专题：销售问题 分析：首先根据 1 月份和 3 月份的销售量求得月平均增长率，然后求得 4 月份的销量即可 解答： 解：设前
24、 4 个月自行车销量的月平均增长率为 x，根据题意列方程： 64（1+x） 2=100， 解得 x1=225%（不合题意，舍去） ，x 2=25%， 100（1+25%）=125（辆） 答：该商城 4 月份卖出 125 辆自行车 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程，这也是本题的难 点 22如图，AB 是 O 的直径，AE 平分BAF，交O 于点 E，过点 E 作直线 EDAF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C （1）求证：CD 是 O 的切线； （2）若 CB=2，CE=4，求 AE 的长 考点：切线的判定；角平分线的性质；相似三角形的判定与性
25、质 专题：几何综合题 分析：（1）连接 OE，由角平分线的性质，结合平行线的性质；易证得 OECD；故可得 CD 是O 的切线 （2）设 r 是O 的半径，在 RtCEO 中，CO 2=OE2+CE2，进而有 OEAD 可得 CEO CDA，可得比例关系式，代入数据可得答案 解答： （1）证明：连接 OE， AE 平分BAF， BAE=DAE OE=OA， BAE=OEA OEA=DAE OEAD ADCD， OECD CD 是O 的切线 （2）解：设 r 是O 的半径， 在 RtCEO 中，CO 2=OE2+CE2， 即（2+r） 2=r2+42， 解得 r=3 OEAD， CEOCDA，
26、， 即 解得 = 点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定 及线段长度的求法，要求学生掌握常见 的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题 23某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营销阶段发现；当销售单价 25 元/件时，每天的销售量是 250 件，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函 数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 考点：二次函数的应用 分析：（1）利用每件利润 销量=总利润，进而得出 w 与 x 的函数关系式； （2
27、） 利用配方法求出二次函数最值进而得出答案 解答： 解：（1）由题意可得：w=（x20）25010（x25） =10（x 20） （x50） =10x2+700x10000； （2）w= 10x2+700x10000=10（x 35） 2+2250， 当 x=35 时，w 取到最大值 2250， 即销售单价为 35 元时，每天销售利润最大，最大利润为 2250 元 点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解 题关键 24如图所示，二次函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，另一个交点 为 B，且与 y 轴交于点 C （1）求
28、m 的值； （2）求点 B 的坐标； （3）该二次函数图象上有一点 D（x，y） （其中 x0，y0）使 SABD=SABC，求点 D 的坐标 考点：二次函数综合题 专题：代数几何综合题；方程思想 分析：（1）由二次函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，利用待定系数 法将点 A 的坐标代入函数解析式即可求得 m 的值； （2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将 y=0 代入函数解析式，即可求得点 B 的坐 标； （3）根据（2）中的函数解析式求得点 C 的坐标，由二次函数图象上有一点 D（x，y） （其中 x0，y0） ，可得点 D 在第一象限，又由 SA
29、BD=SABC，可知点 D 与点 C 的纵 坐标相等，代入函数的解析式即可求得点 D 的坐标 解答： 解：（1）二次函数 y=x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ， 9+23+m=0， 解得：m=3； （2）二次函数的解析式为：y=x 2+2x+3， 当 y=0 时， x2+2x+3=0， 解得：x 1=3，x 2=1， B（ 1，0） ； （3）如图，连接 BD、AD，过点 D 作 DEAB， 当 x=0 时，y=3 ， C（0，3） ， 若 SABD=SABC， D（ x， y） （其中 x0，y 0） ， 则可得 OC=DE=3， 当 y=3 时， x2+2x+3=3， 解得：x=0 或 x=2， 点 D 的坐标为（2，3） 另法：点 D 与点 C 关于 x=1 对称， 故 D（2，3） 点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角 形的面积问题等知识此题综合性较强，但难度不大，属于中档题，解题的关键是掌握二 次函数与一元二次方程的关系，注意数形结合与方程思想的应用
