1、北京市西城区 20082009 学年度第一学期期末测试 初三数学试卷 2009.1 第卷 （机读卷 共 32 分） 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 1. 若方程 的一个根是 a，则 的值为（ ）.250x25 A. 2 B. 0 C. 2 D.4 2. 如图， O 的半径 OA 等于 5，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 D ，若 OD=3，则弦 AB 的长为（ ）. A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 将抛物线 经过怎样的平移可得到抛物线 ？答：（ ）. 2yx 2(3)yx A. 先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 B. 先向左平移
2、3 个单位，再向下平移 4 个单位 C. 先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 D. 先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 4. 小莉站在离一棵树水平距离为 a 米的地方，用一块含 30的直角三角板按如图所示的 方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 1.5 米 ，那么她测得这棵树 的高度为（ ）. A. 米 3()a B. 米 C. 米 3(1.5)a D. 米. 5. 如图，以某点为位似中心，将 AOB 进行位似变换得到 CDE，记 AOB 与 CDE 对应边 的比为 k，则位似中心的坐标和 k 的值分别为（ ）. A. ，2 B. ， C. ，2 D. ，
3、3(0)， (2)， 1()， (2)， 6. 将抛物线 绕原点 O 旋转 180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. 21yx A. B. C. D. 21yx21yx21yx 7如图， PA、 PB 分别与 O 相切，切点分别为 A、 B， PA =3， P=60，若 AC 为 O 的直径，则图中阴影部分 的面积为（ ）. A. B. C. D. 2363 8. 已知 b0 时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示.221yaxb 根据图象分析， 的值等于（ ）.a A. -2 B.-1 C. 1 D. 2 第卷 （非机读卷 共 88 分） 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共
4、16 分） 9. 若 ABC DEF，且对应边 BC 与 EF 的比为 23，则 ABC 与 DEF 的面积 比等于 10. 如图， O 的直径是 AB， CD 是 O 的弦，若 D=70，则 ABC 等于 11. 如 图 ， ABC=90， O 为 射 线 BC 上 一 点 ， 以 点 O 为圆心， OB 长为半径作21 O，若射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转至 ，若 与 O 相切，则旋转的角度A （0 180）等于 12. 等腰 ABC 中， ，若 AB、 AC 的长是关于 x 的方程 的根，则 m8210x 的值等于 三、解答题（本题共 29 分，1317 题每小题 5 分，第 1
5、8 题 4 分） 13解方程： .2610x 14计算： .2cos60tan45sii3 15已知：关于 x 的方程 有两个不相等的实数根（其中 k 为实数）. 234xk （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为非负整数，求此时方程的根. 16已 知 ： 如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， BC 是 弦 ， B=30， 延长 BA 到 D，使 BDC=30. （1）求证： DC 是 O 的切线； （2）若 AB=2，求 DC 的长. 17已 知 ： 如 图 ， ABC 中 ， AB=2， BC=4， D 为 BC 边上一点， BD=1. （1）求证： ABD CBA； （2）若
6、DE AB 交 AC 于点 E，请再写出另一个与 ABD 相似的三角形，并直接写出 DE 的长. 18已知：如图， MAN=45， B 为 AM 上的一个定点， 若点 P 在射线 AN 上，以 P 为圆心， PA 为半径的圆 与射线 AN 的另一个交点为 C，请确定 P 的位置，使 BC 恰与 P 相切. （1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法） ； （2）连结 BP 并填空： ABC= ； 比较大小： ABP CBP.（用“” 、 “”或“=”连接） 四、解答题（本题共 21 分，第 19 题 6 分，第 20 题 4 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分） 19已知抛物线
7、经过点 .2yaxbc0310ABC（ ， ） 、 （ ， ） 、 （ ， ） （1）填空：抛物线的对称轴为直线 x= ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的 坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式. 20已知：如图，等腰 ABC 中， AB= BC， AE BC 于 E， EF AB 于 F，若 CE=2， ，求 EF 的长. 4cos5AEF 21某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利 10 元， 每天可售出 500 千克.经 市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每 涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克. （1）如果市场每天销售这种水果盈利了 6 00
8、0 元，同时顾客又得到了实惠，那么 每千克这种水果涨了多少元？ （2）设每千克这种水果涨价 x 元时（0 x25） ，市场每天销售这种水果所获利 润为 y 元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多 少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？ 22已知：如图， ABC 中， AB=3， BAC=120， AC=1， D 为 AB 延长线上一点， BD=1，点 P 在 BAC 的平分线上，且满足 PAD 是等边三角形. （1）求证： BC=BP； （2）求点 C 到 BP 的距离. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25
9、题 8 分） 23已知关于 x 的方程 ，其中 a、 b 为实数.20axb （1）若此方程有一个根为 2 a（ a 0） ，判断 a 与 b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数 a ，此方程都有实数根，求 b 的取值范围. 24已知：如图， O 的内接 ABC 中， BAC=45， ABC =15， AD OC 并交 BC 的延长线于 D， OC 交 AB 于 E. （1）求 D 的度数； （2）求证： ；2AC （3）求 的值.B 25已知：抛物线 与 x 轴交于点 A（ x1，0） 、223(1)3()yxaxa B（ x2，0） ，且 x1 1 x2 . （1）求 A、 B
10、两点的坐标(用 a 表示)； （2）设抛物线得顶点为 C, 求 ABC 的面积； （3）若 a 是整数, P 为线段 AB 上的一个动点（ P 点与 A、 B 两点不重合） ，在 x 轴上方作等边 APM 和等边 BPN，记线段 MN 的中点为 Q，求抛物线的 解析式及线段 PQ 的长的取值范围. 北京市西城区 20082009 学年度第一学期期末 初三数学试卷答案及评分参考 2009.1 第卷 （机读卷 共 32 分） 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C D A B 第卷 （非机读卷 共 88 分） 二、
11、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 题号 9 10 11 12 答案 49 20 60或 120（各 2 分） 16 或 25（各 2 分） 三、解答题（本题共 29 分，1317 题每小题 5 分，第 18 题 4 分） 13解：因为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 261abc， ， ， - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 所以 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22448c（ ） - - - - - - - - - - - - - 2
12、分 代入公式，得 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - bacx - - - - - - - - - - - - - - 3 分 6287342. 所以 原方程的根为 （每个根各 1 分）- - - - - - - - 13xx， - - - - - 5 分 14解： .2cos60tan45sii3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1() - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 - - - - - - - -
13、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 15 （1）解一：原方程可化为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2(1)4xk - - - - - - - - - - - - - 1 分 该方程有两个不相等的实数根， .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 40k - - - - - - - - - - - - - -
14、- - - - 2 分 解得 .1 k 的取值范围是 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1k - - - - - - - - - - - - - - -3 分 A B C D O 解二：原方程可化为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - 2430xk - - - - - - - - - - - - 1 分 .以下同解法一.24(3)()k （2）解： k 为非负整数， ， k = 0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 此时方程为 ，它的根为 ， . - - - - - - - - - - - 23x13x21 - - - - - - - - 5 分 16 （1）证明：连结 OC. OB=OC， B=30， OCB= B=30. COD= B+ OCB=60. - - - - - - - - - - 1 分 BDC=30， BDC + COD =90， DC OC. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 BC 是弦， 点 C 在 O 上. DC 是 O
16、的切线. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 （2）解： AB=2， . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12ABC - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 在 Rt COD 中， OCD=90， D=30， .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3DCO - - - - - - - - - - - - - - -
17、 - 5 分 17 （1）证明： AB=2 ， BC=4 ， BD=1 ， - - - - - - - - - - - - 1 分ABC ABD = CBA ，- - - - - - - - 2 分 A B CD E ABD CBA - - - - - - -3 分 （2）答： ABD CDE ；- - - - - - - 4 分 DE = 1.5 . - - - - - - - - - - - - - - 5 分 18解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2） ABC= 45 ；- - - - - - -3 分 ABP CBP
18、 . - - - - - - 4 分 四、解答题（本题共 21 分，第 19 题 6 分，第 20 题 4 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分） 19解：（1）抛物线的对称轴为直线 x= 2 ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的坐标为 （3，0） ； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2） 抛物线经过点 ，103CD（ ， ） 、 （ ， ） 设抛物线的解析式为 .- - - - - - - - 4 分(1)yax 由抛物线经过点 ，得 a =1. - - - - - - - - - - -
19、- - - 5 分03A（ ， ） 抛物线的解析式为 .- - - - - - - - - - - - - - - - - 243yx - - - - - - - - - - - 6 分 20解： AE BC， EF AB， 1+2=90， B+2=90. 1= B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ，4cos5AEF Rt ABE 中， .- - - - - - - - - - - - 2 分4cos5BEA 设 B
20、E =4k，则 AB=BC=5k， .2Ck BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 Rt BEF 中， .- - - - - - - - - - - - - - - - 24sin85EFB M N P A B C 21 F E CB A x y 4O-1 3 1 -1 31C BA - - - - - - - - - - 4 分 21解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了 6 000 元，同时顾客又得到
21、了实惠时，每千 克这种水果涨了 x 元. 由题意得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - (10)520) - - - - - - - - - - - -1 分 整理，得 .2x 解得 ， . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1520 - - - - - - - - - - - - - - - - -2 分 因为顾客得到了实惠，应取 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - 5x - - - - - - - - - - - - - 3 分 答：市场某天销售这种水果盈利 6
22、 000 元，同时顾客又得到了实惠时，每千 克这 种水果涨了 5 元. （2）因为每千克这种水果涨价 x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为 y 元， y 关于 x 的函数解析式为 （0 x25）.- - - - - - (10)52)y - - - - 4 分 而 2 2 (10)5)3=(7.5)61.yxxx 所以，当 x=7.5 时（07.525） ， y 取得最大值，最大值为 6 125. - - - - - - 6 分 答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元时， 市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利 6 125 元. 22.（1）证明：如图 1，
23、连结 PC.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 AC=1， BD =1， AC=BD. BAC=120， AP 平分 BAC， .602BAC PAD 是等边三角形， PA=PD， D=60. 图 1 43 2 1 A B C D P 1 = D. PAC PDB. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 PC= PB，2 =
24、3. 2+4 =3+4， BPC= DPA=60. PBC 是等边三角形， BC=BP. - - - - - - - - - - 3 分 证法二：作 BM PA 交 PD 于 M ，证明 PBM BCA. （2）解法一：如图 2，作 CE PB 于 E， PF AB 于 F. AB=3， BD=1， AD=4. PAD 是等边三角形， PF AB， ， .2DFAsin6023PFD ， .- - - - - - - - - - 1B1BPF - - - - - - - 4 分 . - - - - - - - - 39sin60sin602CE - - - - - - 5 分 即点 C 到 B
25、P 的距离等于 .392 解法二：作 BN DP 于 N， DN= ， ， BN= ，172PDN3 .213BPN 以下同解法一. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23解：（1） 方程 有一个根为 2a ，20xab .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 - - - - - - - - - - - - - - - -1 分 整理，得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2ab - - - - - - -
26、 - - - - - - - - - - - 2 分 ， ，即 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - 0ab - - - - - - - - - - - - - 3 分 图 2 F E PD C B A （2） .- - - - - - - - - - - - - - - - - 224()48abab - - - - - - - - - - - -4 分 对于任何实数 此方程都有实数根， 对于任何实数 都有 0 ，即 0. - - - - - a， 248ab2ab - - - 5 分 对于任何实数 都有 b .， 2 ， 221()8a 当 时， 有最小
27、值 .- - - - - - - - - - - - - - - - - a1 - - - - - - - - - - - -6 分 b 的取值范围是 b . - - - - - - - - - - -7 分18 24 （1）解：如图 3，连结 OB.- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 O 的内接 ABC 中， BAC=45， BOC =2 BAC =90. OB=OC ， OBC = OCB =45. AD OC ， D = OCB =45. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
28、 - - - - - - - - - - - -2 分 （2）证明： BAC =45， D =45， BAC = D . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 AD OC ， ACE = DAC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4 分 ACE DAC ACED - - - - - - - - - - - - - - - - - -
29、 - - - - - 2 D OE A CB 图 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 （3）解法一：如图 4，延长 BO 交 DA 的延长线于 F，连结 OA . AD OC ， F= BOC =90. ABC =15， OBA = OBC ABC =30. OA = OB ， FOA= OBA OAB =60， OAF =30. .12OFA AD OC ， BOC BFD BCDF ，即 的值为 2. - - - - - - - - - - - - 2OABCD - - - - - - - - - -7 分 解法二：作 OM BA 于 M，设 O
30、 的半径为 r，可得 BM= ， OM= ，32r ， ， BE= ， AE= ，所以30OEtan306r .2BCDA 25解：（1） 抛物线与 x 轴交于点 A（ x1，0） 、 B（ x2，0） ， x1、 x2是关于 x 的方程 的解.223(1)3()0aa 方程可化简为 .2()(a 解方程，得 或 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - x2 - - - - - - - - - - - - - - 1 分 x1 x2 ， ，a ， . 2 A、 B 两点的坐标分别为 ， . - - - - - - - - - (,0)Aa(2,0)B - -
31、 - - - - - 2 分 B C A F EO D 图 4 （2） AB=2， 顶点 C 的纵坐标为 ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 - - - - - - - - - - - 3 分 ABC 的面积等于 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 （3） x1 1 x2 ， .12a . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - a - - - - - - - -
32、- - - - - - - - - - - 5 分 a 是整数， a = 0 ，所求抛物线的解析式为 . - - - - - - - - - 23yx - - - - - - - 6 分 解一：此时顶点 C 的坐标为 C .(1)， 如图 5，作 CD AB 于 D ，连结 CQ. 则 AD=1， CD= ，tan BAC= .33 BAC=60. 由抛物线的对称性可知 ABC 是等边三角形. 由 APM 和 BPN 是等边三角形，线段 MN 的中点为 Q 可得，点 M、 N 分别在 AC 和 BC 边上，四边形 PMCN 为平行四边形， C、 Q、 P 三点共线，且 .- - - - - -
33、 - - - - - - - - -7 分12P 点 P 在线段 AB 上运动的过程中， P 与 A、 B 两点不重合， DC PC AC ， ， AC=2，3DC PQ1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 32 - - - - - - - - - - - - - - - -8 分 解二：设点 P 的坐标为 P （0 x2）.如图 6，作 MM1 AB 于 M1 ， NN1()， AB 于 N1. APM 和 BPN 是等边三角形，且都在 x 轴上方， AM=AP= x， BN=BP= ， MAP=60， NBP=60.2x图 5 x y P QM N1 O(A) B C D ，1cos2xAMAB ，3in ，1cos2xBNP .3inB .112xA M、 N 两点的坐标分别为 ， .3(,)M23(,)xxN 可得线段 MN 的中点 Q 的坐标为 . 1,x 由勾股定理得 .- - - - - - 2223()(1)3Px - - - - -7 分 点 P 在线段 AB 上运动的过程中， P 与 A、 B 两点不重合，0 x2 ， 3 4. PQ1. - - - - - - - - - - - - - 2(1)3x2 - - - - - - - - 8 分 x y N P QM1 OA BM1 N1 图 6
