1、2017-2018 学年河南省安阳市林州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题每小题 3 分，满分 30 分，每小题的 4 个选项中，仅有一 个符合题目要求请把符合题目要求的选项序号填在题后括号内） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax 2+ =1 Bax 2+bx+c=0 C （ x1） （x +2）=1 D3x 22xy5y2=0 2已知O 的半径是 4， OP=3，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 3人类的遗传物质是 DNA，DNA 是一个很长的链，最短的 22 号染色体也长达 30
2、000000 个核苷酸，30000000 用科学记数法表示为（ ） A3 107 B3010 6 C0.310 7 D0.3 108 4如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（ ） A B C D 5一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4 的四个乒乓球，现从袋中随机摸 出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为（ ） A B C D 6A ，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B 两地间行驶的长途客车平 均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为（
3、 ） A =1 B =1 C =1 D =1 7如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF OC 交圆 O 于点 F，则BAF 等于（ ） A12.5 B15 C20 D22.5 8如图，在矩形 ABCD 中，AD= AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 DE，下列结论：AED=CED；AED 为等腰三角形；EH=CE；图 中有 3 个等腰三角形结论正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X 1 0 1
4、 3 y 1 3 5 3 下列结论： （1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax2+（b1）x +c=0 的一个根； （4）当1x3 时，ax 2+（b 1）x +c0 其中正确的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10在五边形 ABCDE 中，B=90 ，AB=BC=CD=1，ABCD，M 是 CD 边的中点，点 P 由点 A 出发，按 ABCM的顺序运动设点 P 经过的路程 x 为自变量，APM 的面积为 y，则函数 y 的大致图象是（ ） A B C D 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11如果
5、关于 x 的一元二次方程 kx23x1=0 有两个不相等的实根，那么 k 的取值范围是 12已知一个函数的图象与 y= 的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为 13已知ABC DEF，且相似比为 3：4，S ABC =2cm2，则 SDEF = cm 2 14如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆 心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 15如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0） ，B（2，0） ，AP 1B 是等腰直角三角 形，且P 1=90，把AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C，把BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 18
6、0，得到 CP 3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 P2017 的坐标为 三、解答题（解答题要有必要的文字说明证明过程或计算步骤 16 （8 分）请在下列两个小题中，任选其一完成即可 （1）2 22cos60+| |+（ 3.14） 0 （2） （ ） 17 （9 分）某校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足 球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同） ，若购买 3 个足球和 2 个 篮球共需 310 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元 （1）购买一个足球，一个篮球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需从该体育用品商店一次性购买足
7、球和篮球共 96 个，要 求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元，这所中学最多可以购买多少个篮球？ 18 （9 分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，某读书小组 随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、文艺类、 科普类、其他等四类） ，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你 结合图中的信息解答下列问题 （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有 2400 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 19 （8 分）如图，要测量 A 点到河岸 BC 的距离，在 B 点测得 A 点在 B 点的北偏东
8、30 方向上，在 C 点测得 A 点在 C 点的北偏西 45方向上，又测得 BC=150m求 A 点到 河岸 BC 的距离 （结果保留整数） （参考数据： 1.41， 1.73） 20 （9 分）如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，APC=CPB=60，AP，CB 的延长线 相交于点 D （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）若PAC=90，AB=2 ，求 PD 的长 21 （9 分）如图，一次函数 y=x+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点， 与 x 轴交于 D 点，且 C，D 两点关于 y 轴对称 （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求ABC 的面积 22 （1
9、0 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA若OCP 与PDA 的 面积比为 1：4，求边 CD 的长 （）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度
10、23 （13 分）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）D 是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、B 不重合） ，过点 D 作 DFx 轴于 点 F，交直线 BC 于点 E，连结 BD、CD设点 D 的横坐标为 m，BCD 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式及自变量 m 的取值范围； 当 m 为何值时，S 有最大值，并求这个最大值； 直线 BC 能否把 BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标； 若不能，请说明理由 2017-2018 学年河南省安阳
11、市林州市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小题每小题 3 分，满分 30 分，每小题的 4 个选项中，仅有一 个符合题目要求请把符合题目要求的选项序号填在题后括号内） 1下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax 2+ =1 Bax 2+bx+c=0 C （ x1） （x +2）=1 D3x 22xy5y2=0 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确 答案 【
12、解答】解：A、是分式方程不是一元二次方程，故 A 错误； B、a=0 是一元一次方程，故 B 错误； C、是一元二次方程，故 C 正确； D、是二元二次方程，故 D 错误； 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先 要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数 是 2 2已知O 的半径是 4， OP=3，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D不能确定 【分析】点在圆上，则 d=r；点在圆外，d r ；点在圆内， dr（d 即点到圆心的距离， r 即圆的半径） 【解答】解
13、：OP=34，故点 P 与O 的位置关系是点在圆内 故选：A 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等 价关系是解决问题的关键 3人类的遗传物质是 DNA，DNA 是一个很长的链，最短的 22 号染色体也长达 30000000 个核苷酸，30000000 用科学记数法表示为（ ） A3 107 B3010 6 C0.310 7 D0.3 108 【分析】先确定出 a 和 n 的值，然后再用科学记数法的性质表示即可 【解答】解：30000000=310 7 故选：A 【点评】本题主要考查的是科学记数法，熟练掌握用科学记数法表示较大数的方法是 解题的关键 4如图，
14、圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为（ ） A B C D 【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图的观察角度得出答案 【解答】解：由几何体所示，可得主视图和俯视图分别为： 和 故选：B 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键 5一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4 的四个乒乓球，现从袋中随机摸 出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为（ ） A B C D 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的与这两个乒乓球上的 数字之和大于 5 的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：列表
15、得： 1 2 3 4 1 2+1=3 3+1=4 4+1=5 2 1+2=3 3+2=5 4+2=6 3 1+3=4 2+3=5 4+3=7 4 1+4=5 2+4=6 3+4=7 共有 12 种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的有 4 种情况， 这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为： = 故选：B 【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识注意列表法与树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合 两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比 6A ，B 两地相距 180km，新修的高速公路开通后，在 A，B
16、 两地间行驶的长途客车平 均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h若设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【分析】直接利用在 A，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%，而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1h，利用时间差值得出等式即可 【解答】解：设原来的平均车速为 xkm/h，则根据题意可列方程为： =1 故选：A 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是 解题关键 7如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OF OC 交圆 O
17、于点 F，则BAF 等于（ ） A12.5 B15 C20 D22.5 【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB 为等边三角形，根据等腰 三角形的三线合一得到BOF=AOF=30 ，根据圆周角定理计算即可 【解答】解：连接 OB， 四边形 ABCO 是平行四边形， OC=AB，又 OA=OB=OC， OA=OB=AB， AOB 为等边三角形， OFOC，OCAB ， OFAB， BOF= AOF=30 ， 由圆周角定理得BAF= BOF=15， 故选：B 【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综 合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
18、所对的圆心角的一半、 等腰三角形的三线合一是解题的关键 8如图，在矩形 ABCD 中，AD= AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接 DE，下列结论：AED=CED；AED 为等腰三角形；EH=CE；图 中有 3 个等腰三角形结论正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】先证明ABE 和ADH 等腰直角三角形，得出 AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出 ADE=AED，即可得出 正确；证出EDH=EDC，由角平分线的性质得出 正确；图中有 3 个等腰三角形，得出正确即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BAD=ABC=C=ADC
19、=90，AB=DC，AD BC， ADE= CED， BAD 的平分线交 BC 于点 E， BAE=DAH=45， ABE 和ADH 是等腰直角三角形， AE= AB，AD= AH， AD= AB= AH， AD=AE，AB=AH=DH=DC， ADE= AED， AED= CED，故 正确； DH AE ，DCCE ，AED= CED ， EDH=EDC， EH=CE，故正确； ABE 和ADH 是等腰直角三角形，AED 为等腰三角形， 图中有 3 个等腰三角形，故正确； 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形 的判定、角平分线的性质以及等腰直角
20、三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质 和等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键 9二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论： （1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax2+（b1）x +c=0 的一个根； （4）当1x3 时，ax 2+（b 1）x +c0 其中正确的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5，然后根据二次函数的性质 对各小题分析判断即可得解 【
21、解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1 时，y=5，所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口 向下，a0；又 x=0 时，y=3，所以 c=30，所以 ac0，故（1）正确； （2）二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x= =1.5，当 x1.5 时，y 的 值随 x 值的增大而减小，故（ 2）错误； （3）x=3 时，y=3 ，9a+3b+c=3，c=3 ，9a+3b +3=3，9a+3b=0，3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根，故（ 3）正确； （4）x=1 时，ax 2+bx+c=1，x= 1 时，ax 2+（b1）x+c=0，x=3 时，ax 2+（
22、b1） x+c=0，且函数有最大值， 当1x3 时，ax 2+（b 1）x +c0 ，故（4）正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的 交点，二次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关 键 10在五边形 ABCDE 中，B=90 ，AB=BC=CD=1，ABCD，M 是 CD 边的中点，点 P 由点 A 出发，按 ABCM的顺序运动设点 P 经过的路程 x 为自变量，APM 的面积为 y，则函数 y 的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据已知条件，可以分别求出各段对应的函数解析式，从而可以得到各段对 应的函数
23、图象，从而可以解答本题 【解答】解：由已知可得， 当点 P 从 A 到 B 的过程中，y= （0x1） ； 当点 P 从 B 到 C 的过程中， y= = = （1x2） ； 点 P 从 C 到 M 的过程中，y= （2x ） 故选：A 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以求出各段的函 数解析式 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11如果关于 x 的一元二次方程 kx23x1=0 有两个不相等的实根，那么 k 的取值范围是 k 且 k0 【分析】根据一元二次方程的定义和的意义得到 k0 且0，即（3） 24k（1） 0，然后解不等式即可得到
24、k 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx23x1=0 有两个不相等的实数根， k0 且0，即（3 ） 24k（1）0， 解得：k 且 k0 故答案为：k 且 k0 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0， 方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义 12已知一个函数的图象与 y= 的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的解析式为 y= 【分析】根据图象关于 y 轴对称，可得出所求的函数解析式 【解答】解：关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等， 即 y
25、= ， y= 故答案为：y= 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容 13已知ABC DEF，且相似比为 3：4，S ABC =2cm2，则 SDEF = cm 2 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求 SDEF 的值 【解答】解：ABCDEF，且相似比为 3：4 S ABC ：S DEF =9：16 S DEF = 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平 方 14如图，半径为 1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点 M 与圆 心 O 重合，则图中阴影部分的面积是 【分析】连接 OM 交 AB
26、于点 C，连接 OA、OB，根据题意 OMAB 且 OC=MC= ，继 而求出AOC=60 、AB=2AC= ，然后根据 S 弓形 ABM=S 扇形 OABSAOB 、S 阴影 =S 半圆 2S 弓 形 ABM 计算可得答案 【解答】解：如图，连接 OM 交 AB 于点 C，连接 OA、OB， 由题意知，OMAB，且 OC=MC= ， 在 RTAOC 中，OA=1，OC= ， cosAOC= = ，AC= = AOC=60，AB=2AC= ， AOB=2AOC=120 ， 则 S 弓形 ABM=S 扇形 OABSAOB = = ， S 阴影 =S 半圆 2S 弓形 ABM = 122（ ） =
27、 故答案为： 【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇 形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是 关键 15如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0） ，B（2，0） ，AP 1B 是等腰直角三角 形，且P 1=90，把AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C，把BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 180，得到 CP 3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点 P2017 的坐标为 （4033，1） 【分析】作 P1x 轴于 H，利用等腰直角三角形的性质得 P1H= AB=1，AH=BH=1，则 P1 的纵坐标
28、为 1，再利用旋转的性质易得 P2 的纵坐标为1，P 3 的纵坐标为 1，P 4 的 纵坐标为1，P 5 的纵坐标为 1， ，于是可判断 P1017 的纵坐标为 1，而横坐标为 201721=4033，所以 P1017（4033，1 ） 【解答】解：作 P1x 轴于 H， A（0，0 ） ， B（2，0 ） ， AB=2， AP 1B 是等腰直角三角形， P 1H= AB=1，AH=BH=1 ， P 1 的纵坐标为 1， AP 1B 绕点 B 顺时针旋转 180，得到BP 2C；把 BP 2C 绕点 C 顺时针旋转 180，得 到CP 3D， P 2 的纵坐标为1，P 3 的纵坐标为 1，P
29、4 的纵坐标为1，P 5 的纵坐标为 1， P 1017 的纵坐标为 1，横坐标为 201721=4033， 即 P1017（4033，1） 故答案为：（4033，1） 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45 ，60， 90，180也考查了等腰直角三角形的性质 三、解答题（解答题要有必要的文字说明证明过程或计算步骤 16 （8 分）请在下列两个小题中，任选其一完成即可 （1）2 22cos60+| |+（ 3.14） 0 （2） （ ） 【分析】 （1）根据特殊角三角函数值，绝对值的性质，
30、非零的零次幂，可得答案； （2）根据分式的运算，可得答案 【解答】解：（1）2 22cos60+| |+（ 3.14） 0 = 2 +2 +1 = +2 ； （2） （ ） = = = 【点评】本题考查了实数的运算，熟记特殊角三角函数值，绝对值的性质，非零的零 次幂是解题关键 17 （9 分）某校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足 球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同） ，若购买 3 个足球和 2 个 篮球共需 310 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元 （1）购买一个足球，一个篮球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需从该体育用品商店
31、一次性购买足球和篮球共 96 个，要 求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元，这所中学最多可以购买多少个篮球？ 【分析】 （1）设一个足球、一个篮球分别为 x、y 元，根据购买 3 个足球和 2 个篮球共 需 310 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元，列出方程组，再进行求解即可得 出答案； （2）设最多买篮球 a 个，则买足球（96a）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元建立不等式求出其解即可 【解答】解：（1）设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元，列方程得： ， 解得： ， 答：购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元 （2
32、）设购买了 a 个篮球，则购买了（96a）个足球列不等式得： 80a+50（96 a）5720， 解得 a30 a 为正整数， a 最多可以购买 30 个篮球 这所学校最多可以购买 30 个篮球 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题 时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键 18 （9 分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，某读书小组 随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、文艺类、 科普类、其他等四类） ，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你 结合图中的信息解答下列问题
33、（1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该校有 2400 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？ 【分析】 （1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数； （2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可； （3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的 学生数 【解答】解：（1）被调查的学生人数为：1220%=60（人） ； （2）喜欢艺体类的学生数为：6024 1216=8（人） ， 如图所示： ； （3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：2400 =960（人） 【点评】此题主要考查了条形统计图的应
34、用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体 等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键 19 （8 分）如图，要测量 A 点到河岸 BC 的距离，在 B 点测得 A 点在 B 点的北偏东 30 方向上，在 C 点测得 A 点在 C 点的北偏西 45方向上，又测得 BC=150m求 A 点到 河岸 BC 的距离 （结果保留整数） （参考数据： 1.41， 1.73） 【分析】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 AD=xm用含 x 的代数式分别表示 BD，CD再 根据 BD+CD=BC，列出方程 x+x=150，解方程即可 【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，设 AD=xm 在 R
35、tABD 中，ADB=90，BAD=30， BD=ADtan30= x 在 RtACD 中， ADC=90，CAD=45， CD=AD=x BD+CD=BC ， x+x=150， x=75 （3 ）95 即 A 点到河岸 BC 的距离约为 95m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形， 再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解 20 （9 分）如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，APC=CPB=60，AP，CB 的延长线 相交于点 D （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）若PAC=90，AB=2 ，求 PD 的长 【分析
36、】 （1）由圆周角定理可知ABC= BAC=60，从而可证得ABC 是等边三角形； （2）由ABC 是等边三角形可得出 “AC=BC=AB=2 ，ACB=60”，在直角三角形 PAC 和 DAC 通过特殊角的正、余切值即可求出线段 AP、AD 的长度，二者作差即可得出 结论 【解答】 （1）证明：ABC= APC，BAC=BPC，APC=CPB=60， ABC=BAC=60， ABC 是等边三角形 （2）解：ABC 是等边三角形， AB=2 ， AC=BC=AB=2 ，ACB=60 在 RtPAC 中， PAC=90，APC=60，AC=2 ， AP= =2 在 RtDAC 中， DAC=90
37、，AC=2 ，ACD=60， AD=ACtanACD=6 PD=ADAP=62=4 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质以及特殊角的三角函数值， 解题的关键是：（1）找出三角形内两角都为 60；（ 2）通过解直角三角形求出线 段 AD 和 AP 得长度本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解直角 三角形找出各边长度，再根据边与边之间的关系求出结论即可 21 （9 分）如图，一次函数 y=x+2 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点， 与 x 轴交于 D 点，且 C，D 两点关于 y 轴对称 （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求ABC 的面积 【分析】
38、 （1）求出两函数式子组成的方程组的解，即可求出答案； （2）求出 C、 D 的坐标，分别求出BCD 和BCD 的面积，即可求出答案 【解答】解：（1）解方程组 得： 或 ， 即 A 点的坐标为（1，3） ，B 点的坐标为（3， 1） ； （2）把 y=0 代入 y=x+2 得： x=2， 即 D 点的坐标为（ 2，0） ， C ，D 两点关于 y 轴对称， C 点的坐标为（2，0 ） ， 即 OD=2，OC=2， CD=2+2=4 ， A 点的坐标为（1，3） ，B 点的坐标为（3， 1） ； S ABC =SACD +SBCD = 43+ =8 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点
39、问题、一次函数图象上点的坐标特 征，能求出 D、C 的坐标是解此题的关键 22 （10 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA若OCP 与PDA 的 面积比为 1：4，求边 CD 的长 （）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，
40、线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度 【分析】 （1）先证出C=D=90，再根据1+3=90，1+2=90，得出2=3， 即可证出OCPPDA； 根据OCP 与PDA 的面积比为 1：4，得出 CP= AD=4，设 OP=x，则 CO=8x，由勾股 定理得 x2=（ 8x） 2+42，求出 x，最后根据 AB=2OP 即可求出边 AB 的长； （2）作 MQAN，交 PB 于点 Q，求出 MP=MQ，BN=QM，得出 MP=MQ，根据 MEPQ ，得出 EQ= PQ，根据QMF=BNF，证出 MFQ NFB，得出 QF= QB， 再求出 EF= P
41、B，由（1）中的结论求出 PB= ，最后代入 EF= PB 即可得出 线段 EF 的长度不变 【解答】解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形， C=D=90， 1+3=90， 由折叠可得APO= B=90， 1+2=90， 2=3， 又D=C， OCPPDA； OCP 与PDA 的面积比为 1：4， ， CP= AD=4， 设 OP=x，则 CO=8x， 在 RtPCO 中，C=90， 由勾股定理得 x2=（8x ） 2+42， 解得：x=5， AB=AP=2OP=10， 边 CD 的长为 10； （2）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2， AP=AB，MQ AN ， APB=A
42、BP=MQP MP=MQ， BN=PM， BN=QM MP=MQ， MEPQ， EQ= PQ MQAN， QMF= BNF， 在MFQ 和NFB 中， ， MFQNFB（AAS） QF= QB， EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB， 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90， PB= ， EF= PB=2 ， 在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2 【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三 角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等 和相似的三角形 23 （13 分）如
43、图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）D 是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点 C、B 不重合） ，过点 D 作 DFx 轴于 点 F，交直线 BC 于点 E，连结 BD、CD设点 D 的横坐标为 m，BCD 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式及自变量 m 的取值范围； 当 m 为何值时，S 有最大值，并求这个最大值； 直线 BC 能否把 BDF 分成面积之比为 2：3 的两部分？若能，请求出点 D 的坐标； 若不能，请说明理由 【分析】 （1）由抛物线与 x 轴的两个交点坐标可设抛
44、物线的解析式为 y=a（x+1） （x 5） ， 将点 C（0，3 ）代入抛物线解析式中即可得出关于 a 一元一次方程，解方程即可求 出 a 的值，从而得出抛物线的解析式； （2）设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b，结合点 B、点 C 的坐标，利用待定系数法 求出直线 BC 的函数解析式，再由点 D 横坐标为 m 得出点 D、点 E 的坐标，结合两 点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可得出结论；由的结论，利用配方 法将 S 关于 m 的函数关系式进行变形，从而得出结论；结合图象可知BDE 和 BFE 是等高的，由此得出它们的面积比=DE ：EF，分两种情况考虑，根据两点间的距 离公
45、式即可得出关于 m 的分式方程，解方程即可得出 m 的值，将其代入到点 D 的 坐标中即可得出结论 【解答】 （1）抛物线经过 A（ 1，0） ，B（5，0） ，C （0，5） ， 设 y=a（x +1） （x 5） ， 5=a（0+1） （05） ， 解得 a=1， 抛物线的函数关系式为 y=（x+1） （x 5） ， 即 y=x2+4x+5； （2）设直线 BC 的函数关系式为 y=kx+b，则 解得 ， y= x+5， 设 D（m， m2+4m+5） ，E（m，m +5） ， DE=m 2+4m+5+m5=m2+5m s= （ m2+5m）= m2+ m （0m5） ； s= m2+ m= ， ， 当 m= 时，S 有最大值，S 最大值 = ； BDE 和 BFE 是等高的， 它们的面积比=DE：EF， （）当 DE：EF=2 ：3 时， 即 ， 解得： （舍） ， 此时，D（ ） ； （）当 DE：EF=3 ：2 时， 即 ， 解得： （舍） ， 此时，D（ ） 综上所述，点 D 的坐标为（ ）或（ ） 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数 解析式、两点间的距离公式以及三角形的面积公式的综合应用，解题的关键是运用 待定系数法求函数解析式；找出直线 BC 的函数解析式；运用配方法解决最值问 题解题时注意分类讨论思想的运用
