1、丰台区 20142015 学年度第一学期期末练习 2015.01 高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 ， ，那么 20Ax1,23BAB (A) ,013(B) (C) 1,23(D) 1,2 2已知向量 ， ，则“ 且 ”是“ ”的(2,)a(,)xyb4yab (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学 生进行抽样调查假
2、设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边， ， ， ，那么 a 等于7b3c6B (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1 或 4 5已知函数 （b0 且 b1）的图象如图所示，那么函数log()byxa 的图象可能是sinaxy 3-12O2 (A) xy 3O212 (B)xy3 3O212 (C) xy 3O212 (D
3、) 62014 年 11 月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有 21 个国家 和地区的领导人或代表其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排 11 人， 后排 10 人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果 对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 (A) 种18A(B) 种218A(C) 种28103A(D) 种20Axy 4-13211O 7如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视 图可能是 (A) (B) (C) (D) 8在
4、平面直角坐标系 xOy 中，如果菱形 OABC 的边长为 2，点 B 在 y 轴上，则菱形内（不含边界）的整 点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) 1， 3 (B) 0， 1，3 (C) 0， 1，3，4 (D) 0， 1，2，3，4 第二部分 （非选择题 共 110 分） 一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在复平面内，复数 ， 对应的点分别是 A，B（如图所示） ，则复数 的值是 1z2 12z 10等差数列a n的前 n 项和为 Sn，如果 a1=2，a 3+a5=22，那么 S3 等于 11执行如图所示的程序框图，则输出的结果是_ xyAB-1-111
5、O 开始 结束 输出 S a=1，b=1，S=2 c=a+b S=S+c 是 c5 否 a= b b= c 侧侧 12若变量 x，y 满足条件 且 的最大值是 10，则 k 的值是 210,xykzxy 13过点 作圆 O： 的切线，切点为 ，如果 ，那么切线的斜率是 ；如果0(3,)M 21xyN0=y ，那么 的取值范围是 6 ON0 14设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，()yfxDTxD()()fxTfx 则称函数 是“似周期函数 ”，非零常数 为函数 的“似周期” 现有下面四个关于()yf “似周期函数”的命题： 如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那
6、么它是周期为 2 的周期函数；()yfx 函数 是“似周期函数 ”； ()fx 函数 是“似周期函数” ； -2 如果函数 是“似周期函数” ，那么“ ”()cosfx,kZ 其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号） 二、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题共 13 分） 已知函数 ， 2()23sin()cos()cos()144fxxxxR （）求函数 的最小正周期； （）求函数 在区间 上的最大值和最小值及相应的 x 的值)(xf 0,2 16. （本小题共 13 分） 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机
7、抽取了近千名学生参加汉字听写考 试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中 样本数据分组区间为 ， ， ， ，50,6),70),8)0,9) 90,1 （）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求 这名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 ，求X 的分布列及数学期望X （注：频率可以视为相应的概率） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.1 50 60 70 8 90 10 考 试 成
8、 绩 （ 分 ） 频 率 组 距 O 17. （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA底面 ABCD，M 是棱 PD 的中点，且 PA=AB=AC=2， 2BC （）求证：CD平面 PAC； （）求二面角 M-AB-C 的大小； （）如果 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 ，求 的值105ANB 18.（本小题共 13 分） 已知函数 ()e1xf （）求函数 的极小值； （）如果直线 与函数 的图象无交点，求 的取值范围ykx()fxk 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 ： 的右焦点 ，点 在椭圆
9、上C 21(0)xyab(3,0)F1(3,)2MC （）求椭圆 的标准方程； （）直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，如果lFCABOlP 的面积为 （ 为实数） ，求 的值OAB|42|P 20.（本小题共 13 分） 已知数列 满足 ， ， ， 且 na11na(2n*)N （）求证：当 时，数列 为等比数列；0 （）如果 ，求数列 的前 项和 ；2nnS （）如果 表示不超过 的最大整数，当 时，求数列 的通项公式naa21(1)na （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） NBACDPM 丰台区 20142015 学年度第一学期期末练习
10、 2015.01 高三数学（理科）答案及评分参考 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B B A D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 i 1015 1120 125 13 2 ； 01y 14 注：第 13 题第一个空 2 分；第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. 解：（） 1)4(cos2)4cos()sin(3)( xxxf2 xsico )3in( 2T 7 分 （）因为 0x， 所以 433 所以 当 2x，即 12x
11、时， 2maxy； 当 ，即 时， 3in 13 分 所以当 12x时，函数有最大值是 ；当 2x时，函数有最小值是 3 16. 解：（）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 0.5.60.375.280.159.76 2 分 （）设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A ().214PA 答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4 6 分 （）由（）知，从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 52， X 可能的取值是 0，1，2，3 NBACDPM z yx MP DCABN 1257)3()0(0CXP； 45113 ； 6
12、)()2(2 ； 1803CXP 的分布列为： 0 1 2 32572545361258 12 分 所以 368()011EX 13 分 （或 2(3,)5B ，所以 2()5EXnp ） 17. 证明：（）连结 AC 因为在ABC 中， AB= AC=2， 2BC， 所以 2A， 所以 因为 D， 所以 又因为 P底面 BC， 所以 A 因为 ， 所以 CD平面 PAC 4 分 （）如图建立空间直角坐标系， 则 (0,)A， (,02)P， (,0)B， (,2)C， (,20)D 因为 M 是棱 PD 的中点， 所以 (1,) 所以 ,A， (2,0)AB 设 ),(zyxn为平面 MAB
13、 的法向量， 所以 0M ， z yx MP DCABN 即 02xyz， 令 1，则 1z， 所以平面 MAB 的法向量 ),-0(n 因为 PA平面 ABCD， 所以 (0,2)AP是平面 ABC 的一个法向量 所以 2cos,n 因为二面角 M-AB-C 为锐二面角， 所以二面角 M-AB-C 的大小为 4 10 分 （）因为 N 是在棱 AB 上一点，所以设 )0,(xN， (,20)Cx 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ， 因为平面 MAB 的法向量 )1,-(n， 所以 sinco()2NC21054x 解得 1x，即 AN， 1B，所以 1A 14 分 18. 解：（）函
14、数的定义域为 R 因为 ()xfe， 所以 1()xef 令 0，则 x(,) 0 (,)()f - 0 +x 极小值 所以 当 0x时函数有极小值 ()=(0)fxf极 小 值 6 分 （）函数 1()xfe 当 x时 0， 1yk， 所以要使 1yk与 ()fx无交点，等价于 ()fxk恒成立 令 ()xgxe，即 ()ge， 所以 ()x 当 1k时， 10ge，满足 1ykx与 ()f无交点； 当 时， ()(kek， 而 01， 1e ， 所以 ()gk，此时不满足 1ykx与 ()f无交点 当 时，令 ()0xe ， 则 ln(1)xk， 当 (,ln1)xk时， ()g， ()在
15、 ,l上单调递减； 当 时， 0x， 在 n(1)k上单调递增； 当 l()xk时， min()(l1)lk 由 1 得 e， 即 ykx与 ()f无交点 综上所述 当 ,1e时， 1ykx与 ()f无交点 13 分 19. 解：（）由题意知： 3c= 根据椭圆的定义得： 212(3)(a-+， 即 a 所以 2431b=- 所以椭圆 C的标准方程为 214xy 4 分 （）由题意知，ABC 的面积 1|4=|=22|ABCABSOP ， 整理得 24=|OP 当直线 l的斜率不存在时， l的方程是 3x 此时 |1AB， |3，所以 24=|=1|OPAB 当直线 l的斜率存在时，设直线 l
16、的方程为 (3)ykx-， 设 1(,)xy， 2(,) 由 24=(3)ykx+- 可得 222(41)83140kxk+-+-= 显然 0，则 212,4.kx=-+ 因为 1=(3)yk-， 2(3)yk-， 所以 211|ABx221()kx=+-22112()4kx+-2 所以 22|3| kOP-=， 此时， 2241k 综上所述， 为定值 14 分 20. 解：（）当 0时，设 1nba， 则 当 2时， 1n 因为 na， 所以 11nnab11()nnaa 为常数 因为 10， 所以 数列 na是首项为 1，公比为 的等比数列 4 分 （）由（）知 2时 n为首项为 ，公比为 的是等比数列， 所以 1 nna a 设 2nA ， 则 3122n 相减得 2nn 1()2n 设 1nB ，nSnA21()nn 即 21 9 分 （）由（）可知 11nnna 设 (1)(2) nnnc ， 由二项式定理可知 1 n 为整数， 所以 (2)(),2,1.nnnkc *()N 所以 3(1)()()2nn 13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）
