1、2015-2016 学年福建省南平市浦城县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列事件中，属于必然事件的是（ ） A随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝上 B一个袋中只装有 5 个黑球，从中摸出一个球是黑球 C某射击运动射击一次，命中靶心 D某种彩票的中奖率是 10%，则购买该种彩票 100 张一定中奖 3下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax 2+2xy=3 B C（3x 21） 23=0 D x28= x 4若关于 x 的方程 2x2ax+a2=0 有两个相等的实根，则 a
2、的值是（ ） A4 B4 C4 或 4 D2 5如图，在半径为 5cm 的 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 6抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ） Ay=3（x+3 ） 22 By=3（x+3） 2+2 Cy=3（x 3） 22 Dy=3（x 3） 2+2 7如果两圆的半径长分别为 2cm 和 5cm，圆心距为 8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ） A内切 B外切 C相交 D外离 8某农场的粮食产量在两年内从 2800 吨增加到 3090 吨，若设平均每年增
3、产的百分率为 x，则所列的方程为（ ） A2800（1+2x ）=3090 B 2=3090 D2800（1+x 2） =3090 9如图，ABC 和ADE 均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ） AABC 和ADE BABC 和ABD C ABD 和 ACE DACE 和 ADE 10已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： abc0；2a+b=0； 当 x=1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0；4a+2b+c0，其中 正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共 6 小题每小题 4 分，共 24
4、分） 11用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 12已知关于 x 的方程（a1）x 22x+1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 13直接写出抛物线 y= （x 4） 2+3 的顶点坐标 14如图，O 的半径为 4cm，BC 是直径，AC 是 O 的切线，若 AB=10cm，那么 AC= cm 15若扇形面积为 15cm2，半径为 6cm，则扇形的弧长是 cm 16如图，在直角坐标系中，已知点 A（3，0）、B（0，4），对 OAB 连续作旋转变换， 依次得到 1、 2、 3、 4，则 2013 的直角顶点的坐标为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分请在答题卡的相
5、应位置作答） 17用适当的方法解方程 （1）x 2+x=0 （2）2x 22 x+1=0 18在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABO 的三个顶 点都在格点上 （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（3，1），则点 A 的坐标为 ； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后的 OA1B1，并求线段 AB 扫过的面积 19无论 p 取何值，方程（x3）（x 2）p 2=0 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明 理由 20已知抛物线 y=a（x3） 2+2 经过点（1， 2） （1）求 a 的值； （2）若点 A（m，y 1）、B（ n，y 2）
6、（m n3）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大 小 21把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两 组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张 （1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙 胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 22如图，AO 是ABC 的中线， O 与 AB 边相切于点 D （1）要使O 与 AC 边也相切，应增加条件 （任写一个）； （2）增加条件后，请你说明O 与 AC 边相切的理由 23某商品的进价为每件 50 元，售价为每件
7、 60 元，每个月可卖出 200 件，如果每件商品 的售价上涨 1 元，则每个月少买 10 件（每件售价不能高于 72 元），设每件商品的售价上 涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4），O（0，0）， B（2，0）三点 （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值 25如图（1），在
8、矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 恰好落在对角线 AC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN， （1）求证：ADNCBM ； （2）请连接 MF、NE ，证明四边形 MFNE 是平行四边形；四边形 MFNE 是菱形吗？请说 明理由； （3）点 P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连接 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN，且 AB=4cm，BC=3cm，求 PC 的长度 2015-2016 学年福建省南平市浦城县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1下列图形中，是
9、中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能 够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行分析即可求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故 A 选项错误； B、是中心对称图形故 B 选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故 C 选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形故 D 选项错误 故选 B 【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后 与原图重合 2下列事件中，属于必然事件的是（ ） A随机抛一枚硬币，落地后国徽的一面一定朝
10、上 B一个袋中只装有 5 个黑球，从中摸出一个球是黑球 C某射击运动射击一次，命中靶心 D某种彩票的中奖率是 10%，则购买该种彩票 100 张一定中奖 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断 【解答】解；A、是随机事件，选项错误； B、是必然事件，选项正确； C、是随机事件，选项错误； D、是随机事件，选项错误 故选 B 【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在 一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定 事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3下列方程是一元二次方程的是
11、（ ） Ax 2+2xy=3 B C（3x 21） 23=0 D x28= x 【考点】一元二次方程的定义 【专题】证明题 【分析】根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：A、方程含有两个未知数，故选项错误； B、不是整式方程，故选项错误； C、含未知数的项的最高次数是 4，故选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故选项正确 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先
12、要看 是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 4若关于 x 的方程 2x2ax+a2=0 有两个相等的实根，则 a 的值是（ ） A4 B4 C4 或 4 D2 【考点】根的判别式 【分析】根据的意义由题意得 =0，即（a） 242（a 2）=0，整理得 a28a+16=0，然后 解关于 a 的一元二次方程即可 【解答】解：关于 x 的方程 2x2ax+a2=0 有两个相等的实根， =0，即（ a） 242（a 2）=0，整理得 a28a+16=0， a1=a2=4 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 2
13、4ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 5如图，在半径为 5cm 的 O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连结 OA易知在 RtAOC 中OA=r=5cm ，OC=3cm，根据勾股定理可知 AC=4cm所以 AB=2AC=8cm 【解答】解：连接 OA， OCAB， AB=2AC， 在 RtOAC 中，AC= = =4（cm）， AB=8cm 故选 C 【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理本题难度较低，主要考查学生对圆
14、的知识点的 学习 6抛物线 y=3x2 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得的抛物线为（ ） Ay=3（x+3 ） 22 By=3（x+3） 2+2 Cy=3（x 3） 22 Dy=3（x 3） 2+2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先得到抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0），然后分别确定每次平移后得顶点坐 标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0），抛物线 y=3x2 向上平移 2 个单位，再 向右平移 3 个单位后顶点坐标为（3，2），此时解析式为 y=3（x3） 2+2 故选：D 【点评】主要考查的是函数
15、图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减 ”直接代入函数 解析式求得平移后的函数解析式 7如果两圆的半径长分别为 2cm 和 5cm，圆心距为 8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ） A内切 B外切 C相交 D外离 【考点】圆与圆的位置关系 【分析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系 【解答】解：因为 2+5=78，圆心距=8， 根据圆心距大于两圆半径和时，两圆外离可知，两圆外离 故选 D 【点评】本题利用了两圆外离时圆心距大于两圆半径的和求解 8某农场的粮食产量在两年内从 2800 吨增加到 3090 吨，若设平均每年增产的百分率为 x，则所列的方程为（ ） A2
16、800（1+2x ）=3090 B 2=3090 D2800（1+x 2） =3090 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】根据增长率的公式，列出方程 【解答】解：从 2800 吨增加到 3090 吨，增长年数为 2，增长率为 x，则方程为： 2800（1+x） 2=3090 故选 C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的增长率问题关键是明确增长的 基数，增长次数，增长后的值 9如图，ABC 和ADE 均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ） AABC 和ADE BABC 和ABD C ABD 和 ACE DACE 和 ADE 【考点】旋
17、转的性质 【分析】根据两个等边三角形的三边相等，每个角都是 60，观察三角形的旋转 【解答】解：根据旋转的性质可知，可看作是旋转关系的三角形是ABD 和ACE，即为 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 度得到ACE故选 C 【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、 形状都不改变同时要注意旋转的三要素：定点 旋转中心；旋转方向；旋转角 度准确的找到对称中心和旋转角是解题的关键 10已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： abc0；2a+b=0； 当 x=1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0；4a+2b+c0，其中
18、正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】本题可以先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各 个结论进行判断 【解答】解：根据函数图象，我们可以得到以下信息：a0，c0，对称轴 x=1，b0， 与 x 轴交于（1，0）（3，0 ）两点 abc0，正确； 对称轴 x= =1 时， 2a+b=0，正确； 当 x=1 或 x=3 时，函数 y 的值都等于 0，正确； 当 x=2 时， y=4a+2b+c0，正确； 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，并结合系数和图象正确判断各结论 二、填空题（本大题
19、共 6 小题每小题 4 分，共 24 分） 11用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 两直线平行，同位角不相等 【考点】反证法 【分析】首先确定命题的结论，进而从反面假设得出答案 【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设：两直线平行，同位角 不相等 故答案为：两直线平行，同位角不相等 【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题 的结论正确 12已知关于 x 的方程（a1）x 22x+1=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 a1 【考点】一元二次方程的
20、定义 【分析】根据一元二次方程的定义得到 a10，由此可以求得 a 的取值范围 【解答】解：关于 x 的方程（a 1）x 22x+1=0 是一元二次方程， a10， 解得，a1 故答案是：a1 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式 方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0）特别要注意 a0 的条件这 是在做题过程中容易忽视的知识点 13直接写出抛物线 y= （x 4） 2+3 的顶点坐标 （4，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标 【解答】解：y= （x4） 2+3 为抛物线的顶点
21、式， 根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（4， 3） 故答案为：（4，3） 【点评】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式 y=a（xh） 2+k，顶点坐标是（h，k）， 对称轴是 x=h 14如图，O 的半径为 4cm，BC 是直径，AC 是 O 的切线，若 AB=10cm，那么 AC= 6 cm 【考点】切线的性质 【分析】由 AC 是圆 O 的切线，可得：ACB=90，在直角 ABC 中，利用勾股定理即可 求解即可 【解答】解：AC 是O 的切线， ACB=90， O 的半径为 4cm， BC=8cm， 在直角ABC 中，AC= =6cm 故答案为：6 【点评】本题考查了切线的
22、性质以及勾股定理，正确理解切线的性质定理是关键 15若扇形面积为 15cm2，半径为 6cm，则扇形的弧长是 5 cm 【考点】弧长的计算；扇形面积的计算 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解：设扇形的弧长为 lcm， 扇形面积为 15cm2，半径为 6cm， 6l=15， l=5， 故答案为：5 【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= lR（l 为扇形的弧长，R 为半径），熟记扇形的 面积公式是解题的关键 16如图，在直角坐标系中，已知点 A（3，0）、B（0，4），对 OAB 连续作旋转变换， 依次得到 1、 2、 3、 4，则 2013 的直角顶点的坐标为 （8052，0）
23、 【考点】规律型：点的坐标 【专题】压轴题；规律型 【分析】根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相 同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用 2013 除以 3，根据商为 671 可知第 2013 个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的 顶点，求出即可 【解答】解：点 A（ 3，0）、 B（0，4）， AB= =5， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12， 20133=671， 2013 的直角顶点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 67112=805
24、2， 2013 的直角顶点的坐标为（8052，0） 故答案为：（8052，0） 【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三 角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分请在答题卡的相应位置作答） 17用适当的方法解方程 （1）x 2+x=0 （2）2x 22 x+1=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 【专题】计算题 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用完全平方公式得到（ x1） 2=0，然后利用直接开平方法解方程 【解答】解：（1）x（x+1）=0， x=0 或
25、 x+1=0， 所以 x1=0，x 2=1； （3）（ x） 22 x+1=0， （ x1） 2=0 x1=0， 所以 x1=x2= 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过 因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得 到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一 元一次方程的问题了（数学转化思想） 18在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，ABO 的三个顶 点都在格点上 （1）以 O 为原点建立直角坐标系，点 B 的坐标为（3，1），则点 A 的坐标为 （
26、2，3） ； （2）画出ABO 绕点 O 顺时针旋转 90后的 OA1B1，并求线段 AB 扫过的面积 【考点】作图-旋转变换 【专题】计算题；作图题 【分析】（1）先画出直角坐标系，然后根据第二象限点的坐标特征写出 A 点坐标； （2）先利用网格特点和旋转的性质画出点 A 和 B 的对应点 A1、B 1，即可得到OA 1B1， 再利用勾股定理计算出 OA 和 OB，然后根据扇形面积公式计算 S 扇形 OAA1S 扇形 BOB1 的 即 可 【解答】解：（1）如图 1，点 A 的坐标为（2，3）； （2）如图 2，OA 1B1 为所作； OA= = ，OB= = 线段 AB 扫过的面积=S 扇
27、形 OAA1S 扇形 BOB1 = = 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对 应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了扇形的面积公式 19无论 p 取何值，方程（x3）（x 2）p 2=0 总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明 理由 【考点】根的判别式 【分析】首先把（x3）（x 2）p 2=0 变形为 x25x+6p2=0，再计算=b 24ac 可证出结论 【解答】解：（x3）（x 2） p2=0 变形得： x25x+6p2=0， =b24ac=254（6p 2）=1+4
28、p 21， 故方程（x3）（ x2）p 2=0 总有两个不等的实数根 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 20已知抛物线 y=a（x3） 2+2 经过点（1， 2） （1）求 a 的值； （2）若点 A（m，y 1）、B（ n，y 2）（m n3）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大 小 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换 【分析】（1）将点（1，2）代入 y=a（x 3） 2+2，运用待定系数法即可求出 a 的值； （2）先求得抛物线的对称轴
29、为 x=3，再判断 A（m，y 1）、B（n，y 2）（m n3）在对 称轴左侧，从而判断出 y1 与 y2 的大小关系 【解答】解：（1）抛物线 y=a（x3） 2+2 经过点（1，2）， 2=a（13） 2+2， 解得 a=1； （2）函数 y=（x3） 2+2 的对称轴为 x=3， A（ m，y 1）、B （n，y 2）（mn3）在对称轴左侧， 又 抛物线开口向下， 对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大， mn3， y1 y2 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得 出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键 21把大小和形状完全相同的 6 张卡
30、片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两 组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张 （1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙 胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率 公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案 【解答】解：（1）画树状图得： ， 由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种
31、 P= （2）不公平； 理由： 由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为： ， 这个游戏不公平 【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率 的常用方法用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 22如图，AO 是ABC 的中线， O 与 AB 边相切于点 D （1）要使O 与 AC 边也相切，应增加条件 （任写一个）； （2）增加条件后，请你说明O 与 AC 边相切的理由 【考点】切线的判定；等腰三角形的性质 【专题】开放型 【分析】（1）要使O 与 AC 边也相切，则应满足 AOBC，结合已知 OB=OC，所以只 要符合等腰三角形的三线合一
32、即可； （2）根据所添加的条件，利用等腰三角形的三线合一即可证明 【解答】（1）解：AB=AC（或 B=C 或 AO 平分 BAC 或 AOBC） （2）证明：过 O 作 OEAC 于 E，连 OD； AB 切O 于 D， ODAB AB=AC，AO 是 BC 边上中线， OA 平分 BAC， 又 ODAB 于 D，OEAC 于 E， OE=OD， AC 是O 的切线 【点评】熟练掌握切线的判定方法以及等腰三角形的性质 23某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件，如果每件商品 的售价上涨 1 元，则每个月少买 10 件（每件售价不能高于 72 元），设每件
33、商品的售价上 涨 x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数 关系式 （2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当 x=5 时得出 y 的最大 值 【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数）， 则每件商品的利润为：（6050+x）元， 总销量为：（20010x）件， 商品利润为：
34、 y=（60 50+x）（20010x）， =（10+x）（20010x）， =10x2+100x+2000 原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元， 0 x12 且 x 为正整数； （2）y= 10x2+100x+2000， =10（x 210x）+2000 ， =10（x 5） 2+2250 故当 x=5 时，最大月利润 y=2250 元 这时售价为 60+5=65（元） 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每天的利润=一 件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c
35、经过 A（2，4），O（0，0）， B（2，0）三点 （1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；数形结合 【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析 （2）根据 O、B 点的坐标发现：抛物线上，O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那 么只需连接 A、B，直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的 M 点，而 AM+OM 的 最小值正好是 AB 的长 【解答】解：（1）把 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入 y=
36、ax2+bx+c 中，得 解这个方程组，得 a= ，b=1，c=0 所以解析式为 y= x2+x （2）由 y= x2+x= （x1） 2+ ，可得 抛物线的对称轴为直线 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OB OM=BM OM+AM=BM+AM 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小 过点 A 作 ANx 轴于点 N， 在 RtABN 中，AB= = =4 ， 因此 OM+AM 最小值为 【点评】此题在二次函数的综合类型题中难度适中，难点在于点 M 位置的确定，正确理解 二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键 25如图（1），在矩形 ABCD 中，把B、D
37、 分别翻折，使点 B、D 恰好落在对角线 AC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN， （1）求证：ADNCBM ； （2）请连接 MF、NE ，证明四边形 MFNE 是平行四边形；四边形 MFNE 是菱形吗？请说 明理由； （3）点 P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连接 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN，且 AB=4cm，BC=3cm，求 PC 的长度 【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的 判定 【专题】压轴题 【分析】（1）根据折叠的性质得出DAN= NAC， BCM=ACM，从而根据 ADBC 可 得出D
38、AN=BCM，从而即可判断出 ADNCBM （2）连接 NE、MF ，根据（1）的结论可得出 NF=ME，再由NFE= MEF 可判断出 NFME，在直角三角形 NFE 中，NE 为斜边，NF 为直角边，可判断四边形 MFNE 不是菱 形 （3）设 AC 与 MN 的交点为 O，EF=x，作 QGPC 于 G 点，首先求出 AC=5，根据翻折变 换知：AF=CE=3，于是可得 AF+（CEEF ）=5，可得 EF=1，在 RtCFN 中， NF=tanNCFCF，在 RtNFE 中，NO 2=NF2+OF2，求出 NO 的长，即 NM=PQ=QC=2NO，PC=2 【解答】（1）证明：由折叠的
39、性质得出DAN= NAC， BCM=ACM， ADBC， DAC=BCA， DAN=BCM， 在 RtADN 和 RtCBM 中， ， ADNCBM， （2）解：连接 NE、MF ， ADNCBM， NF=ME， NFE=MEF， NFME， 四边形 MFNE 是平行四边形， MN 与 EF 不垂直， 四边形 MFNE 不是菱形； （3）解：设 AC 与 MN 的交点为 O，EF=x，作 QGPC 于 G 点， AB=4，BC=3， AC=5， AF=CE=BC=3， 2AFEF=AC，即 6x=5， 解得 x=1， EF=1， CF=2， 在 RtCFN 中， = = ， 解得 NF= ， OE=OF= EF= ， 在 RtNFO 中，ON 2=OF2+NF2， ON= ， MN=2ON= ， PQMN，PNMQ， 四边形 MQPN 是平行四边形， MN=PQ= ， PQ=CQ， PQC 是等腰三角形， PG=CG， 在 RtQPG 中， PG2=PQ2QG2，即 PG= =1， PC=2PG=2 【点评】本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形、菱形的证明，解答（3）问 的关键是求出 EF 的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中 考试卷中，请同学们关注
