1、2015-2016 学年河南省漯河市召陵区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1当 x0 时，函数 y= 的图象在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x212x+35=0 的根 ，则该三角形的周长为（ ） A14 B12 C12 或 14 D以上都不对 3 “a 是实数，|a| 0”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 4如图，正 方形 ABOC 的边长是 2，反比例函数 y= （x0）图象经过点 A，则 k 的值是（ ） A2 B2 C4
2、D4 5有五张一面分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外， 其余均相同） ，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片 的概率是（ ） A B C D 6已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 22x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba 2 Ca 2 且 al Da2 7如图，在长为 8cm、宽为 4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与 原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A2cm 2 B4cm 2 C8cm 2 D16cm 2 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线
3、y= 经过平移得到抛物线 y= ，其对称轴与两 段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 二、填空题（本题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分） 9点 P（2a+1，b 1）与点 Q（3，1）关于坐标原点中心对称那么 a+b= 10反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的图象的一个交点是（ 1，k） ，则反比例函数的解析 式是 11如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC，BD 交于点 O，S AOD：S COB=1：9，则 SDOC：S BOC= 12如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点 E，连结 EC若 AB=8，C
4、D=2，则 EC 的长为 13将抛物线 y=3x26x+4 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到新的抛物线，则新抛 物线的顶点坐标是 14在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r，扇 形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 r 与 R 之间的关系是 r= 15如图所示，在ABC 中，AB=6，AC=4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点 Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以 A、B 、C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分） 16解方程：（2x1） 2=x（3x+2）
5、+17 17先化简，再求值： ，其中 ， 18不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同） ，其中红球 2 个（分别标有 1 号、2 号） ，蓝球 1 个若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回） ，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求 两次摸到不同颜色球的概率 19如图，直线 y=2x6 与反比例函数 y= 的图象交于点 A（4，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理
6、由 20某超市在元旦节期间实行让利销售，全部商品一律按九折销售，这样每天所获 得的利润恰是销 售收入的 20%，如果笫一天的销售收入为 4 万元，且每天的销售收入都有增长笫三天的利润是 0.968 万元 （1）求第三天的销售收入是多少万元？ （2）第二天和第三天销售收入平均每天增长率是多少？ 21 （1）如图 1 所示，在等边ABC 中，点 D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 EDC，连接 AE，求证：AEBC ； （2）如图 2 所示，将（1）中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形，所作EDC 相似 于ABC，请问仍有 AEBC？证明你的结论 22如图，已知
7、点 P 是 O 外一点， PO 交圆 O 于点 C，OC=2，ABOC，劣弧 AB 的度数为 120， 连接 PB （1）求征：OC=BC； （2）当 PB 的长是多少时，PB 是 O 的切线？写出证明过程 23已知直线 y=kx3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C抛物线 y= x2+mx+n 经过点 A 和点 C且与 x 轴交于点 B，动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍 （1）求直线的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点 P 和点 Q 同时出发运动时
8、间为 t（秒） 试问当 t 为何值时，以 A、P、Q 为顶点的三 角形与AOC 相 似 2015-2016 学年河南省漯河市召陵区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1当 x0 时，函数 y= 的图象在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的性质：k0，反比例函数图象在第二、四象限内进行分析 【解答】解：函数 y= 的图象在第二、四象限，当 x0 时，图象在第二象限， 故选：B 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质： （1）反
9、比例函数 y= （k0）的图象是双曲线； （2）当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小； （3）当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点 2三 角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x212x+35=0 的根，则该三角形的周长为（ ） A14 B12 C12 或 14 D以上都不对 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长 即可 【解答】解：解方程 x212x+
10、35=0 得：x=5 或 x=7 当 x=7 时，3+4=7，不能组成三角形； 当 x=5 时，3+45，三边能够组成三角形 该三角形的周长为 3+4+5=12，故选 B 【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形 3 “a 是实数，|a| 0”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答 【解答】解：因为数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值， 因为 a 是实数， 所以|a|0 故选：A 【点评】用到的知识点为：必然事件指在一
11、定条件下一定发生的事件 4如图，正方形 ABOC 的边长是 2，反比例函数 y= （x0）图象经过点 A，则 k 的值是（ ） A2 B2 C4 D4 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【专题】计算题；反比例函数及其应用 【分析】根据正方形 ABOC 边长是 2，确定出 A 的坐标，代入反比例解析式求出 k 的值即可 【解答】解：正方形 ABOC 边长为 2， AB=AC=2， A 在第三象限， A（ 2， 2） ， 把 A（2， 2）代入反比例解析式 y= 得：k=4， 故选 C 【点评】此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 5有五张一面分别印有圆
12、、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外， 其余均相同） ，现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片 的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式；中心对称图形 【分析】由有五张一面分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片，中心对称图案 的卡片是圆、矩形、菱形、正方形，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：有五张一面分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片，中心对称 图案的卡片是圆、矩形、菱形、正方形， 从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是： 故选 D 【点评】此题考查了概率公式的应用注意概
13、率=所求情况数与总情况数之比 6已知关于 x 的一元二次方程（a 1）x 22x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba 2 Ca 2 且 al Da2 【考点】根的判别式 【专题】计算题；压轴题 【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出 a 的取值范围 【解答】解：=4 4（a 1） =84a0 得：a2 又 a10 a2 且 a1 故选 C 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零， 求出 a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零 7如图，在长为 8cm、宽为 4cm 的矩形中，截
14、去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与 原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A2cm 2 B4cm 2 C8cm 2 D16cm 2 【考点】相似多边形的性质 【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析 【解答】解：长为 8cm、宽为 4cm 的矩形的面积是 32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， 相似比是 4：8=1：2， 因而面积的比是 1：4， 因而留下矩形的面积是 32 =8cm2 故选：C 【点评】本题考查相似多边形的性质相似多边形面积之比等于相似比的平方 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 经过平移得到抛物线 y= ，其对称轴与两 段抛物线
15、所围成的阴影部分的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】压轴题 【分析】根据抛物线解析式计算出 y= 的顶点坐标，过点 C 作 CAy 轴于点 A，根据抛物 线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 ACBO 的面积，然后求解即可 【解答】解：过点 C 作 CAy， 抛物线 y= = （x 24x）= （x 24x+4）2= （x2） 22， 顶点坐标为 C（2，2） ， 对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：22=4， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式， 并对阴影部分的面积进行转换是解
16、题的关键 二、填空题（本题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分） 9点 P（2a+1，b 1）与点 Q（3，1）关于坐标原点中心对称那么 a+b= 1 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x， y） ，记忆方法是结合 平面直角坐标系的图形记忆 【解答】解：点 P（2a+1， b1）与点 Q（ 3，1）关于坐标原点中心对称， 2a+1=3，b1= 1， a=1， b=0， a+b=1 故答案为：1 【点评】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题 10反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的图象的一个
17、交点是（ 1，k） ，则反比例函数的解析 式是 y= 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】计算题；压轴题 【分析】将（1，k）代入一次函数 y=2x+1，求出 k 的值即可得到反比例函数解析式 【解答】解：将（1，k）代入一次函数 y=2x+1 得，k=2+1=3； 则反比例函数解析式为 y= 故答案为 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要知道，函数图象的交点坐标符合函数的 解析式 11如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC，BD 交于点 O，S AOD：S COB=1：9，则 SDOC：S BOC= 1：3 【考点】相似三角形的判定与性质；梯形 【专题】压轴题
18、 【分析】根据在梯形 ABCD 中，ADBC，AC，易得 AODCOB，且 SAOD：S COB=1：9，可 求 = ，则 SAOD：S DOC=1：3，所以 SDOC：S BOC=1：3 【解 答】解：根据题意，ADBC AODCOB SAOD：S COB=1：9 = 则 SAOD：S DOC=1：3 所以 SDOC：S BOC=3：9=1：3 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方 12如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为 2 【考点】垂径定理；勾股定理；三角形中
19、位线定理；圆周角定理 【专题】计算题 【分析】连结 BE，设O 的半径为 R，由 ODAB，根据垂径定理得 AC=BC= AB=4，在 Rt AOC 中，OA=R ，OC=RCD=R 2，根据勾股定理得到（R 2） 2+42=R2，解得 R=5，则 OC=3，由于 OC 为 ABE 的中位线，则 BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到 ABE=90，然后在 RtBCE 中利 用勾股定理可计算出 CE 【解答】解：连结 BE，设O 的半径为 R，如图， ODAB， AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=R ，OC=RCD=R2， OC2+AC2=OA2， （ R2） 2+42
20、=R2，解得 R=5， OC=52=3， BE=2OC=6， AE 为直径， ABE=90， 在 RtBCE 中，CE= = =2 故答案为：2 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾 股定理、圆周角定理 13将抛物线 y=3x26x+4 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到新的抛物线，则新抛 物线的顶点坐标是 （4，3） 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】几何变换 【分析】先把 y=3x26x+4 配方得到 y=3（x1） 2+1，则抛物线 y=3x26x+4 的顶点坐标为（1，1） ， 然后把点（1，1）先向右平移 3 个
21、单位，再向上平移 2 个单位即可得到新抛物线的顶点坐标 【解答】解：y=3x 26x+4=3（x1） 2+1， 抛物线 y=3x26x+4 的顶点坐标为（1，1） ， 把点（1，1）先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到点的坐标为（ 4，3） ， 即新抛物线的顶点坐标为（4，3） 故答案为（4，3） 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移 后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系 数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 14在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰
22、好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r，扇 形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 r 与 R 之间的关系是 r= 【考点】圆锥的计算 【分析】让扇形的弧长等于圆的周长列式求解即可 【解答】解： =2r， 解得 r= 【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长 15如图所示，在ABC 中，AB=6，AC=4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点 Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以 A、B 、C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为 3 或 【考点】相似三角形的判定 【分析】由在ABC 中，AB=6，AC=4，P 是 AC 的中点，即可求得 AP
23、的长，然后分别从 APQACB 与APQ ABC 去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 【解答】解：AC=4 ，P 是 AC 的中点， AP= AC=2， 若APQ ACB，则 ， 即 ， 解得：AQ=3 ； 若APQ ABC，则 ， 即 ， 解得：AQ= ； AQ 的长为 3 或 故答案为：3 或 【点评】此题考查了相似三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的 应用 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分） 16解方程：（2x1） 2=x（3x+2）+17 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】先把方程整理为一般式，然后利用因式分
24、解法解方程 【解答】解：x 26x16=0， （x8） （ x+2）=0， x8=0 或 x+2=0， 所以 x1=8，x 2=2 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解 化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方 程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学 转化思想） 17先化简，再求值： ，其中 ， 【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值 【分析】先对 通分，再对 x2+2xy+y2 分解因式，进行化简求值 【解答】解： = = = ， 把 ， 代
25、入上式，得 原式= 【点评】考查分式的化简求值，注意先化简，再代值计算 18不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同） ，其中红球 2 个（分别标有 1 号、2 号） ，蓝球 1 个若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为 （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回） ，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求 两次摸到不同颜色球的概率 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】 （1）利用概率的求解方法，借助于方程求解即可； （2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实 验还是不放回实验，此题属
26、于不放回实验 【解答】解：（1）设袋中黄球的个数为 x 个， = x=1 袋中黄球的个数为 1 个；（ 2 分） （2）方法一、列表如下：（6 分） * 红 1 红 2 黄 蓝 红 1 * （红 1，红 2） （红 1，黄） （红 1，蓝） 红 2 （红 2，红 1） * （红 2，黄） （红 2，蓝） 黄 （黄，红 1） （黄，红 2） * （黄，蓝） 蓝 （蓝，红 1） （蓝，红 2） （蓝，黄） * 一共有 12 种情况，两次摸到不同颜色球的有 10 种情况， 两次摸到不同颜色球的概率为： （8 分） 方法二，画树状图如下： 【点评】 （1）注意利用方程思想，掌握概率公式的求法； （2）
27、此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验 还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19如图，直线 y=2x6 与反比例函数 y= 的图象交于点 A（4，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k 的值及点 B 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】反比例函数综合题 【专题】数形结合 【分析】 （1）先把（4，2）代入反比例函数解析式，易求 k，再把 y=0 代入一次
28、函数解析式可求 B 点坐标； （2）假设存在，然后设 C 点坐标是（ a，0） ，然后利用两点之间的公式可得 = ，借此无理方程，易得 a=3 或 a=5，其中 a=3 和 B 点重合，舍去，故 C 点坐标可求 【解答】解：（1）把（4，2）代入反比例函数 y= ，得 k=8， 把 y=0 代入 y=2x6 中，可得 x=3， 故 k=8；B 点坐标是（3，0） ； （2）假设存在，设 C 点坐标是（ a，0） ， AB=AC， = ， 即（4a） 2+4=5， 解得 a=5 或 a=3（此点与 B 重合，舍去） 故点 C 的坐标是（5，0） 【点评】本题考查了反比 函数的知识，解题的关键是理
29、解点与函数的关系，并能灵活使用两点之间 的距离公式 20某超市在元旦节期间实行让利销售，全部商品一律按九折销售，这样每天所获得的利润恰是销 售收入的 20%，如果笫一天的销售收入为 4 万元，且每天的销售收入都有增长笫三天的利润是 0.968 万元 （1）求第三天的销售收入是多少万元？ （2）第二天和第三天销售收入平均每天增长率是多少？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）用第三天的利润除以其所占的百分比即可求得第三天的销售收入； （2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是 x，则根据第一天的 4 万元增长到 4.84 万元 列方程求解； 【解答】解：（1）0
30、.968 20%=4.84（万元） ， 答：第三天的销售收入是 4.84 万元； （2）设第二天和第三天收入平均每天的增长率为 x，根据题意列方程： 4（1+x） 2=4.84， 解之得：x 1=0.1，x 2=2.1（舍去） 所以第二天和第三天收入平均每天的增长率为 10% 【点评】本题考查了一元二次方程的解的知识，可根据题意列出方程，再判断所求的解是否符合题 意，舍去不合题意的解，解题的关键是能够读懂题意并根据题意列出方程 21 （1）如图 1 所示，在等边ABC 中，点 D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 EDC，连接 AE，求证：AEBC ； （2）如图 2 所示，
31、将（1）中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形，所作EDC 相似 于ABC，请问仍有 AEBC？证明你的结论 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 【专题】动点型；探究型 【分析】 （1）证明ACEBCD 推出ACB=EAC 即可证 （2）证明ABCEDC 后可推出 EAC=ACB，由此可证 【解答】证明：（1）ABC 和 EDC 是等边三角形 ACB=ECD=60，AC=CB，EC=DC， ACD+BCD=ACE+ACD， BCD=ACE， ACEBCD， EAC=B=60， 又ACB=60， ACB=EAC， AEBC； （2）仍平行； ABCEDC， AC
32、B=ECD， ， ACD+BCD=ACE+ACD， BCD=ACE， AECBDC， EAC=B， 又ACB=B， EAC=ACB， AEBC 【点评】本题考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有关知识关键是证明ACE BCD 和ABCEDC 22如图，已知点 P 是 O 外一点， PO 交圆 O 于点 C，OC=2，ABOC，劣弧 AB 的度数为 120， 连接 PB （1）求征：OC=BC； （2）当 PB 的长是多少时，PB 是 O 的切线？写出证明过程 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）根据垂径定理得 OC 平分劣弧 AB，则劣弧 AC 和劣弧 BC 的度数为
33、 60，则利用圆心 角的度数等于它所对弧的度数得COB=60，连接 OB，如图，易证得 OBC 是等边三角形，所以 BC=OC； （2）由OBC 是等边三角形，则 BC=OC=OB=2，BOP=60 ，所以当P=30时， OBP=90，则 根据切线的判定定理可判断此时 PB 是O 的切线，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 PB= OB=2 ，即当 PB=2 时，PB 是O 的切线 【解答】 （1）证明：AB OC， OC 平分劣弧 AB， 劣弧 AB 的度数为 120， 劣弧 AC 和劣弧 BC 的度数为 60， 即COB=60， 连接 OB，如图， OC=OB，COB=60， OB
34、C 是等边三角形， BC=OC； （2）当 PB=2 时，PB 是O 的切线 证明如下：OBC 是等边三角形， BC=OC=OB=2，BOP=60， 当P=30 时， OBP=90， OBPB， 此时 PB 是O 的切线， PB= OB=2 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线记住 含 30 度的直角三角形三边的关系 23已知直线 y=kx3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C抛物线 y= x2+mx+n 经过点 A 和 点 C且与 x 轴交于点 B，动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动点 Q
35、 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍 （1）求直线的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点 P 和点 Q 同时出发运动时间为 t（秒） 试问当 t 为何值时，以 A、P、Q 为顶点的三 角形与AOC 相似 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y=kx3 可求出 k 得到直线的解析式为 y= x3，再利用直线解析式 求出 C（0 ， 3） ，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）利用抛物线与 x 轴的交点问题求出 B（1，0） ，则可根据勾股定理计算出 AB=5，则 AP=3t，AQ=5 2t，然后分类讨论：由
36、于 PAQ=OAC，所以当APQ= AOC 时， APQAOC， 利用相似比得到 = ；当APQ=AOC 时，APQ ACO，利用相似比得到 = ，再分别解关于 t 的方程求出 t 即可 【解答】解：（1）把 A（4， 0）代入 y=kx3 得 4k3=0，解得 k= ，则直线的解析式为 y= x3； 当 x=0 时，y= x3=3，则 C（0， 3） ， 把 A（4，0） ，C（0， 3）代入 y= x2+mx+n 得 ，解得 所以抛物线的解析式为 y= x2+ x3； （2）对于抛物线 y= x2+ x3； 当 y=0， x2+ x3=0，解得 x1=1，x 2=4， B（1，0） ， AB=3， AO=4， AC= =5， AP=3t，AQ=52t， PAQ=OAC， 当 APQ=AOC 时， APQAOC，则 = ，即 = ，解得 t= ； 当APQ= AOC 时，APQ ACO，则 = ，即 = ，解得 t= ， 综上所述，当 t 的值 时，以 P、Q、A 为顶点的三角形与AOC 相似 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上 点的坐标特征；能用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与 x 轴的交点坐标；灵活运用相似三角 形的判定与性质和分类讨论思想
