1、广东省佛山市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1下列选项中一元二次方程的是（ ） Ax=2y 3 B2（x+1）=3 C2x 2+x4 D5x 2+3x4=0 2如图所示的正三棱柱的主视图是（ ） A B C D 3如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的中点，连接 DE，那么ADE 与ABC 的面积 之比是（ ） A1：16 B1：9 C1： 4 D1：2 4在 RtABC 中， C=90， a=4，b=3，则 sinA 的值是（ ） A B C D 5如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形
2、ABCD，转动这个四边形，使它 形状改变，当 AB=2， B=60时，AC 等于（ ） A B2 C D2 6如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 A，关于 A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间， 叙述正确的是（ ） AsinA 的值越大，梯子越陡 BcosA 的值越大，梯子越陡 CtanA 的值越小，梯子越陡 D陡缓程度与 A 的函数值无关 7一元二次方程 x2+x2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 8如图，某个反比例函数的图象经过点 P，则它的解析式为（ ） Ay= （x0 ） By= （x0） Cy= （x0） D
3、y= （x0） 9下列命题中正确的是（ ） A有一组邻边相等的四边形是菱形 B有一个角是直角的平行四边形是矩形 C对角线垂直的平行四边形是正方形 D一组对边平行的四边形是平行四边形 10反比例函数 y= 和一次函数 y=kxk 在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11已知 x=1 是方程 x2ax+6=0 的一个根，则它的另一个根为 12某学校共有学生 3000 人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了 200 名同学，其中 120 人 有阅读课外书的习惯，则该学校大约 人有阅读课外书的习惯 13如图，点 C 为线
4、段 AB 的黄金分割点（ ACBC） ，已知 AC=4，则 AB= 14如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E，使 AE=AC，则BCE 的度数是 度 15某网店一种玩具原价为 100 元， “双十一”期间，经过两次降价，售价变成了 81 元，假设两次降 价的百分率相同，则每次降价的百分率为 16如图，已知矩形 ABCD 的长和宽分别为 16cm 和 12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺 次连接矩形 AEFG 各边中点，得到菱形 l1；连接矩形 FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连 接矩形 FNPQ 各边中点，得到菱形 l2；如此操作下去，则 l4 的面积是 cm 2
5、 三、解答题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 17解方程：x（2x3）=3 2x 18计算：cos 230+2sin60tan45 19如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形，且 ACPPDB，求APB 的度数 四、解答题：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 20如图，AB 表示路灯，当身高为 1.6 米的小名站在离路灯 1.6 的 D 处时，他测得自己在路灯下 的影长 DE 与身高 CD 相等，当小明继续沿直线 BD 往前走到 E 点时，画出此时小明的影子，并计 算此时小明的影长 21两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字 1，2，3，4，现在
6、同时投掷这两枚骰子，并分别记 录着地的面所得的点数为 a、b （1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情 形（例如（1，2） ，表示 a=1，b=2） ，并求出两次着地的面点数相同的概率 b a 1 2 3 4 1 （1，2） 2 3 4 （2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试 验试验中标号为 1 的面着地的数据如下： 试验总次数 50 100 150 200 250 500 “标号 1”的面着地的次 数 15 26 34 48 63 125 “标号 1”的面着地的频 率 0.3 0.26 0.23 0.2
7、4 请完成表格（数字精确到 0.01） ，并根据表格中的数据估计“标号 1 的面着地” 的概率是多少？ 22如图，在 RtABC 中， ACB=90，D 为 AB 的中点，AECD，CEAB，连接 DE 交 AC 于点 O （1）证明：四边形 ADCE 为菱形； （2）证明：DE=BC 五、解答题：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 23已知正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y= 的图象的一个交点是（2，3） （1）求出这两个函数的表达式； （2）作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标； （3）直接写出使反比例函数值大于正比例函
8、数值的 x 的取值范围 24如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最 高点 E 到地面的距离 EF经测量，支架的立柱 BC 与地面垂直，即 BCA=90，且 BC=1.5m，点 F、A、C 在同一条水平线上，斜杆 AB 与水平线 AC 的夹角 BAC=30，支撑杆 DEAB 于点 D， 该支架的边 BE 与 AB 的夹角 EBD=60，又测得 AD=1m请你求出该支架的边 BE 及顶端 E 到地 面的距离 EF 的长度 25如图，在 RtACB 中， C=90，AC=30cm ，BC=25cm，动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动， 速度是 2
9、cm/s，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向运动，速度是 1cm/s （1）几秒后 P、Q 两点相距 25cm？ （2）几秒后PCQ 与ABC 相似？ （3）设CPQ 的面积为 S1，ABC 的面积为 S2，在运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 S1：S 2=2：5？若存在，求出 t 的值；若不存在，则说明理由 广东省佛山市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1下列选项中一元二次方程的是（ ） Ax=2y 3 B2（x+1）=3 C2x 2+x4 D5x 2+3x4=0 【考点】一元二次方程的定义
10、【分析】本题根据一元二次方程的定义解答一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最 高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对 四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误； B、是一元一次方程，故此选项错误； C、不是方程，故此选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整 式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 2如图所示的正三棱柱的主视图是（ ） A B C
11、D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】主视图是分别从物体正面看所得到的图形 【解答】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线， 故选：D 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图 中 3如图，在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的中点，连接 DE，那么ADE 与ABC 的面积 之比是（ ） A1：16 B1：9 C1： 4 D1：2 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【专题】计算题 【分析】由于 D，E 分别是 AB，AC 边上的中点，利用三角形中位线定理可知 DEBC， = ，再 利用平行线分线段成比
12、例定理的推论易证ADEABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的 平方可求两个三角形面积比 【解答】解：D，E 分别是 AB，AC 边上的中点， DEBC， = ， ADEABC， SADE：S ABC=（ ） 2= 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定 理 4在 RtABC 中， C=90， a=4，b=3，则 sinA 的值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】先由勾股定理求出斜边 c 的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可 【解答】解：Rt ABC 中， C=90，a=4，b=3， c= = ， si
13、nA= = 故选 A 【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单 5如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使它 形状改变，当 AB=2， B=60时，AC 等于（ ） A B2 C D2 【考点】菱形的性质 【分析】首先连接 AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形 ABCD，AB=2，B=60 ，易得 ABC 是等边三角形，继而求得答案 【解答】解：连接 AC， 将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形 ABCD， AB=BC， B=60， ABC 是等边三角形， AC=AB=2 故选 B 【点评】此题考查了菱
14、形的性质以及等边三角形的判定与性质此题能证得ABC 是等边三角形是 解此题的关键 6如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为 A，关于 A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间， 叙述正确的是（ ） AsinA 的值越大，梯子越陡 BcosA 的值越大，梯子越陡 CtanA 的值越小，梯子越陡 D陡缓程度与 A 的函数值无关 【考点】锐角三角函数的增减性；解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【专题】压轴题 【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值 都是随着角的增大而减小 【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知 sinA 的值越大，A 越大，梯子越陡
15、故选：A 【点评】掌握锐角三角函数值的变化规律 7一元二次方程 x2+x2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【专题】压轴题 【分析】先计算出根的判别式的值，根据 的值就可以判断根的情况 【解答】解：=b 24ac=1241（2）=9， 9 0， 原方程有两个不相等的实数根 故选 A 【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式的值 0，有两个不 相等的实数根；=0，有两个相等的实数根； 0，没有实数根 8如图，某个反比例函数的图象经过点 P，则它的解析式为（ ） Ay= （x0 ） B
16、y= （x0） Cy= （x0） Dy= （x0） 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【专题】待定系数法 【分析】先设 y= ，再把已知点的坐标代入可求出 k 值，即得到反比例函数的解析式 【解答】解：设反比例函数的解析式为 （k0） 由图象可知，函数经过点 P（1，1） 得 k=1 反比例函数解析式为 y= （x0） 故选 D 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，由反比例函数图象上点的坐标代入求得 k 值即可 9下列命题中正确的是（ ） A有一组邻边相等的四边形是菱形 B有一个角是直角的平行四边形是矩形 C对角线垂直的平行四边形是正方形 D一组对边平行的四边形是平行四边形
17、【考点】命题与定理 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项 【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误 故选：B 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大， 属于基础题 10反比例函数 y= 和一次函数 y=kxk 在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】因为 k 的符号不确定，所以应根据 k 的符号及一次函数与反比例函数图象的性
18、质解答 【解答】解：当 k0 时，k 0，反比例函数 y= 的图象在一，三象限，一次函数 y=kxk 的图象过 一、二、四象限，选项 B 符合； 当 k0 时，k 0，反比例函数 y= 的图象在二、四象限，一次函数 y=kxk 的图象过一、三、四象 限，无符合选项 故选 B 【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 11已知 x=1 是方程 x2ax+6=0 的一个根，则它的另一个根为 6 【考点】根与系数的关系 【分析】此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根 【解答】解
19、：x 2ax+6=0 的一个根为1， 另一个根 x=6（ 1）=6 故答案为：6 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 12某学校共有学生 3000 人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了 200 名同学，其中 120 人 有阅读课外书的习惯，则该学校大约 1800 人有阅读课外书的习惯 【考点】用样本估计总体 【分析】先求出阅读课外书的习惯的人数所占的百分比，再乘以全校的总人数即可得出答案 【解答】解：根据题意得： 3000 =1800（人） ， 答：学校大约 1800 人有阅读课外书
20、的习惯； 故答案为：1800 【点评】此题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计整体让整体样本的百分比是本题的关键 13如图，点 C 为线段 AB 的黄金分割点（ ACBC） ，已知 AC=4，则 AB= 2 +2 【考点】黄金分割 【分析】根据黄金比值是 列出算式，计算即可 【解答】解：点 C 为线段 AB 的黄金分割点， AC= AB，又 AC=4， AB=2 +2， 故答案为：2 +2 【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较 短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金比 14如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB
21、 到 E，使 AE=AC，则BCE 的度数是 22.5 度 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；正方形的性质 【专题】计算题 【分析】根据正方形的性质，易知CAE= ACB=45；等腰 CAE 中，根据三角形内角和定理可求 得ACE 的度数，进而可由 BCE=ACEACB 得出 BCE 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， CAB=BCA=45； ACE 中，AC=AE ，则： ACE=AEC= （180CAE）=67.5； BCE=ACEACB=22.5 故答案为 22.5 【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理 15某网店一种玩具原价为 10
22、0 元， “双十一”期间，经过两次降价，售价变成了 81 元，假设两次降 价的百分率相同，则每次降价的百分率为 10% 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】设每次降价的百分率为 x，根据题意可得，原价（1降价百分率） 2=售价，据此列方程求 解 【解答】解：设每次降价的百分率为 x， 由题意得，100 （1 x） 2=81， 解得：x=0.1=10% 故答案为：10% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的 等量关系，列出方程求解 16如图，已知矩形 ABCD 的长和宽分别为 16cm 和 12cm，连接其对边中点，得到四个矩
23、形，顺 次连接矩形 AEFG 各边中点，得到菱形 l1；连接矩形 FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连 接矩形 FNPQ 各边中点，得到菱形 l2；如此操作下去，则 l4 的面积是 cm 2 【考点】中点四边形 【专题】规律型 【分析】根据题意和菱形的面积公式求出菱形 l1 的面积，根据中点的性质进行计算即可求出菱形 l4 的面积 【解答】解：矩形 ABCD 的长和宽分别为 16cm 和 12cm， EF=8cm，AE=6cm， 菱形 l1 的面积 = 86=24cm2， 同理，菱形 l2 的面积= 43=6cm2， 则菱形 l3 的面积= 2 = cm2， 菱形 l4 的面积 = 1
24、= cm2， 故答案为： 【点评】本题考查的是中点四边形的性质，掌握菱形的面积公式、通过计算找出规律是解题的关 键 三、解答题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 17解方程：x（2x3）=3 2x 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先移项得到 x（2x3）+（2x3）=0，然后提取公因式（2x3） ，最后解两个一元一次方程 即可 【解答】解：x（2x 3）=32x ， x（ 2x3）+（2x3）=0 ， （ 2x3） （x+1）=0， 2x3=0 或 x+1=0， x1=1，x 2= 【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解
25、法解 一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式 的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解 就都是原方程的解 18计算：cos 230+2sin60tan45 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解 【解答】解：原式=（ ） 2+2 1 = + 1 = 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 19如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形，且 ACPPDB，求APB 的度数 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据等边三角形的性质得到PC
26、D=60，根据相似三角形的判定定理证明 ACPABP， 根据相似三角形的性质得到答案 【解答】解：PCD 是等边三角形， PCD=60， ACP=120， ACPPDB， APC=B，又 A=A， ACPABP， APB=ACP=120 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键 四、解答题：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 20如图，AB 表示路灯，当身高为 1.6 米的小名站在离路灯 1.6 的 D 处时，他测得自己在路灯下 的影长 DE 与身高 CD 相等，当小明继续沿直线 BD 往前走到 E 点时，画出此时小明的影子，并计 算此时
27、小明的影长 【考点】相似三角形的应用 【分析】画出图形，根据题意得出 BD=CD=DE=EF=1.6 米，ABCD，得出 BE=3.2 米，CDE ABE，由相似三角形的性质得出比例式求出 AB，同理：FEGABG，得出 ，即可得出 EG 的长 【解答】解：如图所示： 线段 EG 表示小明此时的影子； 根据题意得：BD=CD=DE=EF=1.6 米，AB CD， BE=3.2 米，CDEABE， ，即 ， 解得：AB=3.2 米， 同理：FEG ABG， ，即 ， 解得：EG=3.2 米； 答：此时小明的影长为 3.2 米 【点评】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；证明三角形
28、相似得出比例式是 解决问题的关键 21两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字 1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记 录着地的面所得的点数为 a、b （1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情 形（例如（1，2） ，表示 a=1，b=2） ，并求出两次着地的面点数相同的概率 b a 1 2 3 4 1 （1，2） 2 3 4 （2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试 验试验中标号为 1 的面着地的数据如下： 试验总次数 50 100 150 200 250 500 “标号 1”的面着地的次 数 15
29、26 34 48 63 125 “标号 1”的面着地的频 率 0.3 0.26 0.23 0.24 请完成表格（数字精确到 0.01） ，并根据表格中的数据估计“标号 1 的面着地” 的概率是多少？ 【考点】利用频率估计概率 【分析】 （1）根据题意先在表格内列举出所有情形，再用两次着地的面点数相同的情况数除以总情 况数即可； （2）用“标号 1”的面着地的次数除以试验总次数得到“ 标号 1”的面着地的频率，再利用频率估计概 率即可估计“标号 1 的面着地”的概率 【解答】解：（1）填表如下： b a 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2
30、） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 从图表可知，共有 16 种等可能的情况，其中两次着地的面点数相同的情况有 4 种，分别是（1，1） ， （2，2） ， （3，3） ， （4，4） ， 所以，两次着地的面点数相同的概率为 = ； （2）填表如下： 试验总次数 50 100 150 200 250 500 “标号 1”的面着地的次 数 15 26 34 48 63 125 “标号 1”的面着地的频 率 0.3 0.26 0.23 0.24 0.25 0.25 由各组实验的频率可估计“标号 1 的面着
31、地”的概率是 0.25 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆 动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这 个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越 来越精确 22如图，在 RtABC 中， ACB=90，D 为 AB 的中点，AECD，CEAB，连接 DE 交 AC 于点 O （1）证明：四边形 ADCE 为菱形； （2）证明：DE=BC 【考点】菱形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】 （1）先证明四边形 ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中
32、线性质得出 CD= AB=AD，即可得出四边形 ADCE 为菱形； （2）由菱形的性质得出 ACDE，证出 DEBC，再由 CEAB，证出四边形 BCED 是平行四边形， 即可得出结论 【解答】 （1）证明：AECD，CE AB， 四边形 ADCE 是平行四边形， ACB=90，D 为 AB 的中点， CD= AB=AD， 四边形 ADCE 为菱形； （2）证明：四边形 ADCE 为菱形， ACDE， ACB=90， ACBC， DEBC， 又 CEAB， 四边形 BCED 是平行四边形， DE=BC 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质； 熟
33、练掌握菱形的判定与性质，证明四边形 BCED 是平行四边形是解决问题（2）的关键 五、解答题：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 23已知正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y= 的图象的一个交点是（2，3） （1）求出这两个函数的表达式； （2）作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标； （3）直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数解析式确定出图象所经过的点的坐标，再画出图象即可 （3）根据图象和交点坐标即可
34、求得 【解答】解：（1）由正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y= 的图象的一个交点是（2，3） ， 得 3=2k1，3= 解得 k1= ，k 2=6 正比例函数 y= x；反比例函数 y= ； （2）画出函数的图象如图： 两个函数图象的一个交点的坐标（2，3） ，猜想另一个交点的坐标（2， 3） ， 把（2， 3）代入 y= 成立； （3）由图象可知：比例函数值大于正比例函数值的 x 的取值范围是 x2 或 0x2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数和反比例函数的图象，以及函数 与不等式的关系，正确画出函数的图象是解题的关键 24如图是某地下商业街的入口，数学
35、课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最 高点 E 到地面的距离 EF经测量，支架的立柱 BC 与地面垂直，即 BCA=90，且 BC=1.5m，点 F、A、C 在同一条水平线上，斜杆 AB 与水平线 AC 的夹角 BAC=30，支撑杆 DEAB 于点 D， 该支架的边 BE 与 AB 的夹角 EBD=60，又测得 AD=1m请你求出该支架的边 BE 及顶端 E 到地 面的距离 EF 的长度 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过 B 作 BHEF 于点 H，在 RtABC 中，根据BAC=30 ，BC=1.5 ，可求得 AB 的长度， 又 AD=1m，可求得 BD 的长度，在 R
36、tEBD 中解直角三角形求得 EB 的长度，然后根据 BHEF， 求得EBH=30，继而可求得 EH 的长度，易得 EF=EH+HF 的值 【解答】解：过 B 作 BHEF 于点 H， 四边形 BCFH 为矩形，BC=HF=1.5m，HBA=BAC=30 ， 在 RtABC 中， BAC=30，BC=1.5m， AB=3m， AD=1m， BD=2m， 在 RtEDB 中， EBD=60， BED=9060=30， EB=2BD=22=4m， 又HBA=BAC=30， EBH=EBDHBD=30， EH= EB=2m， EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m） 答：该支架的边 BE 为 4m
37、，顶端 E 到地面的距离 EF 的长度为 3.5m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三 角形并解直角三角形，难度适中 25如图，在 RtACB 中， C=90，AC=30cm ，BC=25cm，动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动， 速度是 2cm/s，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 方向运动，速度是 1cm/s （1）几秒后 P、Q 两点相距 25cm？ （2）几秒后PCQ 与ABC 相似？ （3）设CPQ 的面积为 S1，ABC 的面积为 S2，在运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 S1：S 2=2：5？若存在，求出 t 的
38、值；若不存在，则说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）设 x 秒后 P、Q 两点相距 25cm，用 x 表示出 CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方 程即可； （2）分PCQACB 和PCQ BCA 两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即 可； （3）用 t 分别表示出 CP、CQ ，根据题意列出方程，解方程即可 【解答】解：（1）设 x 秒后 P、Q 两点相距 25cm， 则 CP=2xcm， CQ=（25 x）cm， 由题意得， （2x） 2+（25 x） 2=252， 解得，x 1=10，x 2=0（舍去） ， 则 10 秒后 P、Q 两点相距 25cm； （2）
39、设 y 秒后PCQ 与ABC 相似， 当PCQ ACB 时， = ，即 = ， 解得，y= ， 当PCQ BCA 时， = ，即 = ， 解得，y= ， 故 秒或 秒后PCQ 与 ABC 相似； （3）CPQ 的面积为 S1= CQCP= 2t（25t ）=t 2+25t， ABC 的面积为 S2= ACBC=375， 由题意得，5（t 2+25t）=3752， 解得，t 1=10， t2=15， 故运动 10 秒或 15 秒时，S 1：S 2=2：5 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定 定理和性质定理、正确解出一元二次方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用
