1、第 1 页 共 11 页 北京市东城区 2009-2010 学年度第一学期期末教学目标检测 高三数学 （理科） 2010.01 学校_ 姓名_ 准考证号_ 考 生 须 知 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 3页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 答题卡上，选择题，作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，请将本试卷，答题卡和草稿纸一并收回。 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5
2、分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。 1.在等比数列 中，若 ， ，则 的值为 （ A ）na42q7a A B C D664848 2.下列四个命题中的真命题为 （ D ） A ， B ，0xZ0143x0xZ051 C ， D ，R2R2x 3.在平面直角坐标系中，若点 在直线 的上方，则 的取值范围是（ B ）(,)t4xyt A B C D (,1)1(1,)(0,1) 4. “ ”是“函数 取得最大值”的 （ A ）4xsin2yx A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 在 中，如果 ， ，那么角 等于 （ D
3、 ）Bsin3siAC30=A A B C D30456120 6. 给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； 若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 （ D ） 第 2 页 共 11 页 A和 B和 C和 D和 7.若 的两个零点分别在区间 和区间 内，则 的取值范2()(1)0fxmx(1,0)(,2)m 围是 （ C ） A B
4、 C D1(,)24(,)421(,)42,42 8.如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为 和半径为1c3c 的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为 ，当这个几何体0 如图（3）水平放置时，液面高度为 ，则这个简单几何体的总高度为8cm （ A ） A B C D9cm3032c48cm 图（1） 图（2） 图（3） 第卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在答题卡相应位置的横线上。 9.计算复数 . 31i 10.已知直线 与圆520xym 相切，则 . 2x 11.右图是某个函数
5、求值的程序框图， 则满足该程序的函数解析式为 _ 12.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹ab32ba 角为 ，60 则 _，= 若 ，则实数 _()m- 13. 若双曲线 的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且 21(0,)xyab1F2P ，则该双曲线离心率的取值范围是 .123PF 14. 定义在 上的函数 满足 则R()fx12,0,()().xxfff _， _ (1)f3f 否开 始输 入 实 数 x x0 f(x)=2x-3是 f(x)=5-4x输 出 f(x) 结 束 第 3 页 共 11 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
6、步骤。 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 , 且 .()log(1)l()aafxx01a （）求 的定义域； （）判断 的奇偶性并予以证明；()fx （）当 时，求使 的 的取值范围.1a()0fx 16 （本小题满分 12 分） 已知向量 ， ， ，且 (cos,1)a(2,sin)b3(,)2ab （）求 的值；in （）求 的值t()4 17 （本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ， 是 上的SABCDSDABC2SDAESD 点 （）求证： ；E （）求二面角 的余弦值S 18 （本小题满分 14 分） 已知函数 在 处有极值2()ln(1)f
7、xax1 （）求实数 值； （）求函数 的单调区间；()f （）令 ，若曲线 在 处的切线与两坐标轴分别交于 ， 两点（ 为坐标原gx()gx1,() ABO 点） ，求 的面积AOB 第 4 页 共 11 页 19 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 C(0,2)F2:1 （）求椭圆 的方程； （）若椭圆 在第一象限的一点 的横坐标为 ，过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 ， 分P1PPAB 别交椭圆 于另外两点 ， ，求证：直线 的斜率为定值；ABAB （）求 面积的最大值P 20.(本小题满分 14 分) 设数列 的前 项和为 已知 ，
8、， nanS1a(3)13nnaS*N （）设 ，求数列 的通项公式；3bb （）若 ，证明对任意的 ，不等式2lognnca*()N* 恒成立3121()+()nc 第 5 页 共 11 页 北京市东城区 2009-2010 学年度第一学期期末教学目标检测 高三数学参考答案 （理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1A 2D 3B 4A 5D 6D 7C 8A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 10 或 11i1823,0()54.xf 12 13 14 32e 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3
9、分 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解: （） ,则()log(1)l()aafxx 解得 .10,. 故所求定义域为 .4 分1x （）由（）知 的定义域为 ,()f1x 且 ,()loglog()aafxlog()l(1)aaxx()f 故 为奇函数. 9 分 （）因为当 时， 在定义域 内是增函数，1()fx1x 所以 .()0fx 解得 . 所以使 的 的取值范围是 .13 分()f01x 16. （本小题满分 12 分） 解：（）由向量 ， ， ，且 (cos,1)a(2,sin)b3(,)2ab 得 b(s,)2in0 即 2coi
10、 所以 3 分1 因为 ，22sins 所以 45 第 6 页 共 11 页 因为 ，3(,)2 所以 6 分5sin （）由（）可得 cos 则 .8 分tan2 12 分t1()4an3 17. （本小题满分 14 分） 解：（）证明：连结 BD 因为底面 是正方形，AC 所以 因为 平面 ， 平面 ，SABCD 所以 3 分D 又因为 ，B 所以 平面 5 分ACS 因为 平面 ，E 所以 7 分 （）因为 平面 ，SDB 所以 C 因为底面 是正方形，A 所以 又因为 ，SD 所以 平面 ，所以 10 分CCDAS 过点 在平面 内作 于 ，连结 AFCF 由于 ，F 所以 平面 S
11、所以 C 故 是二面角 的平面角12 分DASD 在 中， ， ，可求得 RtAE2E23FA B CDE S F 第 7 页 共 11 页 在 中， ， ，可求得 RtCFS23D2C30CF 所以 10cos5 即二面角 的余弦值为 14 分CASD 解法（二） （）如图以 为原点建立空间直角 坐标系 xyz 则 ， ， ，(0,)D(2,0)A(2,0)B ， ， ，CES ，(,) 3 分2B 0ACE 所以 即 7 分ACBE （）由（）得 ， (2,)S(0,2)S 设平面 的法向量为 ，则由Exyzn ， ，得AnC 即0,.S 20,.xzy 取 ，得 11 分z(,)n 易知
12、平面 的一个法向量为 ASD(0,2)C 设二面角 的平面角为 C 则 10cos5n 即二面角 的余弦值为 14 分AED 18. （本小题满分 14 分） A B CD E S x y z 第 8 页 共 11 页 解：（）因为 ，2()ln(1)fxax 所以 2 分 2 由 ，可得 ， (1)0f 08a 经检验 时，函数 在 处取得极值，8a()fx1 所以 5 分 （） ，2()ln()fx 7 分8211(3)x 而函数 的定义域为 ，()fx, 当 变化时， ， 的变化情况如下表：()fx 1, 1 (1,) ()fx 0 极小值 由表可知， 的单调减区间为 ， 的单调减区间为
13、 10 分()fx(1,)(fx(1,) （）由于 ，82gx 所以 ，当 时， ， 2()1x1()4g(1)0 所以切线斜率为 ，切点为 ，4(,0) 所以切线方程为 ，即 13 分yx40y 令 ，得 ，令 ，得 0x1x 所以 的面积 14 分AOB12S 19 （本小题满分 13 分） 解：（）设椭圆 的方程为 C 21(0)yxab 第 9 页 共 11 页 y O x B A P F 1 F2 由题意 2 分 22,:1.abc 解得 ， 24a2b 所以椭圆 的方程为 4 分C 21yx （）由题意知，两直线 ， 的斜率必存在，设 的斜率为 ，PABPBk 则 的直线方程为 .
14、PB2()ykx 由 得 2 (1),.4ykx .6 分2 2()()()40kxkxk 设 ， ，则,Ay,By ， 21Bkx 同理可得 ， 2Ak 则 ， .24ABx 28(1)()ABABkyxk 所以直线 的斜率 为定值. 8 分2ABk （）设 的直线方程为 .AByxm 由 得 . 2 ,1.4yxm22440 由 ，得 .10 分22()6()028m 此时 ， .ABx4ABx 到 的距离为 ，P3d 第 10 页 共 11 页 22()()ABABxy 231m 则 23PAB mSd . 22118(8)2 因为 使判别式大于零，24m 所以当且仅当 时取等号， 所以
15、 面积的最大值为 13 分PAB2 20. （本小题满分 14 分） （）解：依题意， ，即 ，113nnnSaS123nS 由此得 132()n 因此，所求通项公式为 ， 5 分1()nnnb*N （）证明：由已知 ， 122(3)3loglog2nn aca 则 ，所以1n .7 分1211()+()()()432nccn 下面用数学归纳法证明不等式 成立.312()(1)(1)()1ncc 当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立. 8 分n3432 假设当 时不等式成立,即k 成立.31211()+()()()142k kcc 则当 时,左边nk = 121()()()()3(1)2kkcc kk 第 11 页 共 11 页 31()2k3 11 分 332()1k 要证 成立， 332()(1)kk 只需证 成立， 32()4 由于 ，(1)0k 只需证 成立，322(4)1k 只需证 成立，3275687547kk 只需证 成立，90k 由于 ，所以 成立*N4k 即 121()+()kkcc 成立.3(1)43()2k 所以当 时,不等式也成立.nk 由，可得不等式恒成立. 14 分
