1、山东省菏泽市定陶县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、精挑细选，火眼金睛（每小题 3 分，共 24 分） 1计算 6tan452cos60的结果是（ ） A4 B4 C5 D5 2关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D 3若一元二次方程（12k） x2+8x6=0 没有实数根，那么 k 的最小值是（ ） A2 B0 C1 D3 4用配方法解方程 3x26x+2=0，则方程可变形为（ ） A （x3 ） 2= B3（x 1） 2= C （3x 1） 2=1 D （x1） 2= 5D、E 分别是ABC 的
2、 AB、AC 边的中点，延长 DE 至 F，使 EF=DE，连接 CF，则CEF 与四 边形 BCED 的面积之比为（ ） A1：3 B2：3 C1：4 D2：5 6如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（ ） A4 米 B6 米 C12 米 D24 米 7如图，反比例函数 y= （k0）与一次函数 y=kx+k（k 0）在同一平面直角坐标系内的图象可能 是（ ） A B C D 8已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ） Aa0，b0，c0 Ba 0，b0，c0 Ca 0，b0，c0 Da0，b
3、0，c0 二、认真填写，试一试自己的身手（每小题 3 分，共 18 分） 9已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，将ABE 沿 AE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上 的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= 10若正数 a 是一元二次方程 x25x+m=0 的一个根， a 是一元二次方程 x2+5xm=0 的一个根，则 a 的值是 11如果把抛物线 y=2x2 向左平移 l 个单位，同时向上平移 4 个单位，那么得到的新抛物线的解析 式为 12如图，PA，PB 是O 是切线，A，B 为切点，AC 是O 的直径，若 BAC=25，则P= 度 13如
4、果抛物线 y=ax2+bx+c 经过顶点（2，3） ，且过点（2， 5） ，则抛物线解析式为 14 O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d，R ，d 是方程 x24x+m=0 的两根，当直线 l 与O 相切时，m 的值为 三、认真解答，一定要细心呦（本题 4 个小题，满分 30 分，要写出必要的计算推理、解答过程） 15解方程： （x 8） （x 1）=12（公式法） ； 3（x5） 2=2（5x） 16已知方程 x2+5x3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的 2 倍 17如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8 ，将矩形 ABCD 折叠，使点
5、C 与点 A 重合，折痕交 BC 于 M，交 AC 于 O，交 AD 于 N，求： （1）OM 的长； （2）S COM：S 矩形 ABCD 的值 18如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象都经过点 A（ 2，6）和点（4，n） （1）求这两个函数的解析式； （2）直接写出不等式 kx+b 的解集 四、综合解答题（本题 5 小题，满分 48 分，写出必要的计算推理、解答过程） 19雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援 ”赈灾捐款活动第一天收 到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元 （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，
6、求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 20如图，AC 是 O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E （1）求证：ADEBCE； （2）如果 AD2=AEAC，求证：CD=CB 21已知抛物线 y=x22x24 （1）求证：抛物线与 x 轴一定有两个交点 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积 22如图，小明想测山高和索道的长度，他在 B 处仰望山顶 A，测得仰角B=30再往山的方向 （水平方向）前进 80m 至索道口 C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 ACE=45 （1）求这座山的高度（小明的身
7、高忽略不计） ； （2）求索道 AC 的长（带根号即可） 23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了 调研，结果如下：每件商品的售价 M（元）与时间 t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如 图 1） ，每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如 图 2） （说明：图 1，图 2 中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本 ） 请你根据图象提供的信息回答： （1）每件商品在 3 月份出售时的利润（利润=售价成本）是多少元？ （2）求图 2 中表示的每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）之间的
8、函数关系式（不要求写自变量 的取值范围） ； （3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润 W（元）与时间 t（月）之间的函数关系式吗（请 写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品 30000 件，准备在一个月内 全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？ 山东省菏泽市定陶县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、精挑细选，火眼金睛（每小题 3 分，共 24 分） 1计算 6tan452cos60的结果是（ ） A4 B4 C5 D5 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可 【解答】解：原式=612 =5 故选：D 【点评
9、】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数 值 2关于 x 的一元二次方程（a 1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的 定义即可求解 【解答】解：根据题意得：a 21=0 且 a10， 解得：a= 1 故选 B 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于 0 3若一元二次方程（12k） x2+8x6=0 没有实数根，那么 k 的最小值是（ ）
10、 A2 B0 C1 D3 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【专题】探究型 【分析】根据一元二次方程（12k）x 2+8x6=0 没有实数根，可知0 且 12k0，然后代入数值即 可解答本题 【解答】解：一元二次方程（12k）x 2+8x6=0 没有实数根， 0 且 12k0， =824（12k） （ 6）=64 4（12k） （6）=8848k0 且 k ， k 且 k ， k ， k 的最小值整数值是 2 故选：A 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当 0 时方程没有实数根，注意二次项系数不 等于 0，才能保证这个方程是一元二次方程 4用配方法解方程 3x26x+2=0，则
11、方程可变形为（ ） A （x3 ） 2= B3（x 1） 2= C （3x 1） 2=1 D （x1） 2= 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先移项得到 3x26x=2，再把方程两边都除以 3，然后把方程两边加上 1 即可得到（x1） 2= 【解答】解：移项得 3x26x=2， 二次系数化为 1 得 x22x= ， 方程两边加上 1 得 x22x+1= +1， 所以（x1） 2= 故选：D 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键 5D、E 分别是ABC 的 AB、AC 边的中点，延长 DE 至 F，使 EF=DE，连接 CF，则CEF 与四
12、边形 BCED 的面积之比为（ ） A1：3 B2：3 C1：4 D2：5 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【专题】计算题；图形的相似 【分析】利用 SAS 得到三角形 ADE 与三角形 CFE 全等，利用全等三角形面积相等得到两三角形 面积相等，由 DE 为三角形 ABC 中位线，利用中位线定理得到 DE 与 BC 平行，且等于 BC 的一半， 进而确定出三角形 ADE 与三角形 ABC 相似，且相似比为 1：2，面积之比为 1：4，即可确定出所 求面积之比 【解答】解：在ADE 和CFE 中， ， ADECFE（SAS） ， SADE=SCFE， DE 为ABC 的中位线
13、， DEBC，DE= BC， ADEABC，且相似比为 1：2， SADE= SABC，即 SCFE= SABC， 则CEF 与四边形 BCED 的面积之比为 1：3， 故选 A 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判 定与性质是解本题的关键 6如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 米，斜面坡度为 1：2，则斜坡 AB 的长为（ ） A4 米 B6 米 C12 米 D24 米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】先根据坡度的定义得出 BC 的长，进而利用勾股定理得出 AB 的长 【解答】解：在 RtABC 中， i=
14、 = ，AC=12 米， BC=6 米， 根据勾股定理得： AB= =6 米， 故选：B 【点评】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，难度适中根据坡度的定义 求出 BC 的长是解题的关键 7如图，反比例函数 y= （k0）与一次函数 y=kx+k（k 0）在同一平面直角坐标系内的图象可能 是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象 【专题】计算题；压轴题 【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k0 时， 一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【解答】解：当 k0 时，y=kx+k 过一、二、三
15、象限；y= 过一、三象限； 当 k0 时，y=kx+k 过二、三、四象象限；y= 过二、四象限 观察图形可知只有 D 符合 故选 D 【点评】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键 8已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中，正确的是（ ） Aa0，b0，c0 Ba 0，b0，c0 Ca 0，b0，c0 Da0，b0，c0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答
16、】解：由抛物线的开口向下知 a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上，c0， 对称轴为 x= 0， a、b 异号，即 b0 故选 D 【点评】考查二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定 二、认真填写，试一试自己的身手（每小题 3 分，共 18 分） 9已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，将ABE 沿 AE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上 的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= 【考点】相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题 【分析】可设 AD=x，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边的
17、比相等列出比 例式，求解即可 【解答】解：AB=1 ， 设 AD=x，则 FD=x1，FE=1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， = ， = ， 解得 x1= ，x 2= （不合题意舍去） ， 经检验 x1= 是原方程的解 故答案为 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似得到比例式 10若正数 a 是一元二次方程 x25x+m=0 的一个根， a 是一元二次方程 x2+5xm=0 的一个根，则 a 的值是 5 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】把 x=a 代入方程 x25x+m=0，得 a
18、25a+m=0，把 x=a 代入方程方程 x2+5xm=0，得 a25am=0，再将+ ，即可求出 a 的值 【解答】解：a 是一元二次方程 x25x+m=0 的一个根，a 是一元二次方程 x2+5xm=0 的一个根， a25a+m=0，a 25am=0， +，得 2（a 25a）=0， a0， a=5 故答案为：5 【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等 的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所 以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 11如果把抛物线 y=2x2 向左平移 l 个单位，同时向上平
19、移 4 个单位，那么得到的新抛物线的解析 式为 y=2（x+1） 2+4 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可 【解答】解：抛物线 y=2x2 先向左平移 1 个单位得到解析式：y=2（x+1） 2，再向上平移 4 个单位 得到抛物线的解析式为：y=2（x+4） 2+4 故答案为：y=2（x+1 ） 2+4 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 12如图，PA，PB 是O 是切线，A，B 为切点，AC 是O 的直径，若 BAC=25，则P= 50 度 【考点】切线的性质；多边形内角与外
20、角 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】首先利用切线长定理可得 PA=PB，再根据 OBA=BAC=25，得出 ABP 的度数，再根据 三角形内角和求出 【解答】解：PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点， PA=PB，OBP=90 ， OA=OB， OBA=BAC=25， ABP=9025=65， PA=PB， BAP=ABP=65， P=1806565=50， 故答案为：50 【点评】此题主要考查了切线的性质以及三角形内角和定理，得出ABP 是解决问题的关键 13如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过顶点（2，3） ，且过点（2， 5） ，则抛物线解析式为 y= x22x+1 【考
21、点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】设抛物线的解析式为 y=a（x+2） 2+3，将点（2， 5）代入解析式即可求出 a 的值，从而得 到二次函数解析式 【解答】解：设抛物线的解析式为 y=a（x+2） 2+3， 将（2，5）代入 y=a（x+2） 2+3 得， a= ， 函数解析式为 y= （x+2） 2+3= x22x+1 所以该抛物线的函数解析式为 y= x22x+1 故答案为 y= x22x+1 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键 14 O 的半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d，R ，d 是方程 x24x+m=0 的两根，当直线 l
22、 与O 相切时，m 的值为 4 【考点】直线与圆的位置关系；根的判别式 【专题】判别式法 【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据=0 即可求出 m 的值 【解答】解：d、R 是方程 x24x+m=0 的两个根，且直线 L 与O 相切， d=R， 方程有两个相等的实根， =164m=0， 解得，m=4， 故答案为：4 【点评】本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键 三、认真解答，一定要细心呦（本题 4 个小题，满分 30 分，要写出必要的计算推理、解答过程） 15解方程： （x 8） （x 1）=12（公式法） ； 3（x5） 2=2（5x）
23、 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 【专题】计算题 【分析】方程整理为一般形式，找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式大于 0，代入求根公式即 可求出解； 方程变形后提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化 为两个一元一次方程来求解 【解答】解：（x8） （x 1）=12， 方程整理得：x 29x+20=0， 这里 a=1，b= 9，c=20， =8180=1， x= ， 则 x1=5，x 2=4； 方程变形得：3（x5） 2+2（x5）=0， 分解因式得：（x5） （3x 13） =0， 解得：x 1=5，x 2= 【点评
24、】此题考查了解一元二次方程因式分解法以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关 键 16已知方程 x2+5x3=0，不解方程，求作一个一元二次方程使它的根分别是已知方程各根的 2 倍 【考点】根与系数的关系 【分析】设方程 x2+5x3=0 的两根分别为 a、b，根据根与系数的关系得到 a+b=5，ab=3，再计算 2a+2b 和 2a2b 的值，然后根据根与系数的关系写出新方程 【解答】解：设方程 x2+5x3=0 的两根分别为 a、b，则 a+b=5，ab=3， 2a+2b=2（a+b ）=2（ 5）=10， 2a2b=4ab=12， 所求的新方程为 x2+10x12=0 【点评】本题考查了
25、根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时， x1+x2= ，x 1x2= 17如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8 ，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 BC 于 M，交 AC 于 O，交 AD 于 N，求： （1）OM 的长； （2）S COM：S 矩形 ABCD 的值 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】 （1）由勾股定理可求得 AC=10，由翻折的性质可知：OA=OC=5，ACMN，然后根据 OCMBCA，从而可求得 OM 的长； （2）然后根据三角形的面积公式和矩形的面积公式求得 SCOM 与 S 矩形 A
26、BCD 的值即可求得答案 【解答】解：（1）在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= = =10 由翻折的性质可知：OA=OC=5，ACMN COM=B=90，OCM= BCA， OCMBCA ，即 解得：OM= （2）OCM 的面积 = = 矩形 ABCD 的面积=6 8=48 SCOM：S 矩形 ABCD= =25：128 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握相关定 理是解题的关键 18如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象都经过点 A（ 2，6）和点（4，n） （1）求这两个函数的解析式； （2）直接写出不等式 kx+b
27、 的解集 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点 的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式 【专题】计算题 【分析】 （1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式求出 m，得出反比例函数的解析式，把 B 的坐 标代入反比例函数的解析式，能求出 n，即可得出 B 的坐标，分别把 A、B 的坐标代入一次函数的 解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案 【解答】解：（1）把 A（2，6）代入 y= 得：m= 12， y= ， 把（ 4，n）代入 y= 得：n=3， B（4，3） ， 把
28、 A、B 的坐标代入 y=kx+b 得： ， 解得：k= ，b=3， 即 y= x+3， 答：反比例函数的解析式是 y= ，一次函数的解析式是 y= x+3 （2）不等式 kx+b 的解集是2 x0 或 x4 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交 点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较 好的题目 四、综合解答题（本题 5 小题，满分 48 分，写出必要的计算推理、解答过程） 19雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援 ”赈灾捐款活动第一天收 到捐款 10 000 元，第三天收
29、到捐款 12 100 元 （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数（1+每次增长的百分率） 2=第三 天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； （2）第三天收到捐款钱数 （1+每次增长的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即 可 【解答】解：（1）设捐款增长率为 x，根据题意列方程得， 10000（1+x） 2=12100， 解得 x1=0.1，x 2=2.1（不合题意，舍去） ； 答
30、：捐款增长率为 10% （2）12100（ 1+10%）=13310 元 答：第四天该单位能收到 13310 元捐款 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数（1+每次降价 的百分率） 2=第三天收到捐款钱数 20如图，AC 是 O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E （1）求证：ADEBCE； （2）如果 AD2=AEAC，求证：CD=CB 【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】 （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A= B，又由对顶角相 等，可证得：ADEBCE； （2）由 AD2=AEAC，可得 ，又由
31、A 是公共角，可证得ADEACD ，又由 AC 是O 的直径，以求得 ACBD，由垂径定理即可证得 CD=CB 【解答】证明：（1）如图，A 与B 是 对的圆周角， A=B， 又1=2， ADEBCE； （2）如图， AD2=AEAC， ， 又A= A， ADEACD， AED=ADC， 又 AC 是O 的直径， ADC=90， 即AED=90， 直径 ACBD， = ， CD=CB 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意数形 结合思想的应用 21已知抛物线 y=x22x24 （1）求证：抛物线与 x 轴一定有两个交点 （2）若该抛物线与 x 轴的两个
32、交点分别为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （1）根据 b24ac 与 0 的关系即可证明出二次函数的图象与 x 轴交点的个数； （2）由抛物线的解析式可求出点 A 和点 B 的坐标，进而可求出 AB 的长，而三角形的高即为顶点 的纵坐标，由此可求出ABP 的面积 【解答】解：（1） 由函数表达式可知：=b 24ac， =（2） 241（24） =100 0， 该抛物线一定与 x 轴有两个交点； （2）根据题意，得 x22x24=0 解得 x1=4，x 2=6， 即 A（4，0） ，B （6，0） ， 在 ABP 中，AB=10 ， PC=
33、| |=25， 在 ABP 中，S ABP= ABPC=125 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴交点问题，根据二次函数的对称性求得底边 AB 的长度，根据顶 点坐标求得底边上的高，是解题的关键 22如图，小明想测山高和索道的长度，他在 B 处仰望山顶 A，测得仰角B=30再往山的方向 （水平方向）前进 80m 至索道口 C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 ACE=45 （1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计） ； （2）求索道 AC 的长（带根号即可） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）作 AHBE 于 H，设 AC=xm，根据正切的概念表示出 CH、BH，根据题
34、意列出方程， 解方程即可； （2）根据等腰直角三角形的性质解答即可 【解答】解：（1）作 AHBE 于 H， 设 AC=xm， ACE=45， CH=AH=xm， tanB= ， BH= x， 则 BHCH=BC，即 xx=80， 解得 x=40（ +1） 答：这座山的高度为 40（ +1）m ； （2）ACE=45 ， AC= AH=40（ + ）m 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数 的概念是解题的关键 23某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进行了 调研，结果如下：每件商品的售价 M（元）与时间 t
35、（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如 图 1） ，每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如 图 2） （说明：图 1，图 2 中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本 ） 请你根据图象提供的信息回答： （1）每件商品在 3 月份出售时的利润（利润=售价成本）是多少元？ （2）求图 2 中表示的每件商品的成本 Q（元）与时间 t（月）之间的函数关系式（不要求写自变量 的取值范围） ； （3）你能求出三月份至七月份每件商品的利润 W（元）与时间 t（月）之间的函数关系式吗（请 写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种
36、商品 30000 件，准备在一个月内 全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）从图易知 3 月份每件商品售价 6 元，成本 1 元，易求利润； （2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式； （3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，运用函数性质计算利润 【解答】解：（1）每件商品在 3 月份出售时的利润为 5 元； （2）抛物线的顶点坐标为（6，4） 设抛物线的解析式为 Q=a（ t6） 2+4 抛物线过（3，1）点 1=a（ 36） 2+4 解得：a= Q= （t 6） 2+4= t2+4t8，其中 t=3、4、5、6、7； （3）设每
37、件商品的售价 M（元）与时间 t（月）之间的函数关系式为 M=kt+b 线段过（3，6） 、 （6，8）两点 3k+b=6 6k+b=8 解得：k= ，b=4 M= t+4，其中 t=3、4、5、6、7 所以每件商品的利润 W（元）与时间 t（月）的函数关系式为 W=MQ=（ t+4）（ t2+4t8）= t2 t+12 W= （ t5） 2+ ，其中 t=3、4、5、6、7 当 t=5 时，W 的最小值为 元 30000 件商品一个月内售完，至少获利 30000 =110000 元 答：30000 件商品一个月内售完，至少获利 110000 元 【点评】此题难度在第 3 个问题：表示利润运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法
