1、开始 m =1, i=1 m=m (2-i)+1 i= i +1 m=0? 结束 输出 i 是 否 北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 20161 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分 为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1已知集合 ， ，则 |1Mx|01xNMN A B C D|0|0x|x|10x 2复数 （ 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
2、i()zi A B C D 1, (1,)(1,)(1,) 3执行如图所示的程序框图，则输出的 值为i A B C D456 第 3 题图 4在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统 计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h120km/h ，试 估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130 车速（km/h） 频 率组 距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 A 辆 B 辆 3030 C 辆 D 辆1717 第 4
3、题图 5“ ”是“函数 在 上单调递增”的1a()cosfxaxR A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是)0,2(Q24xy(,)PxyPQ A B1 C 2 D 31 7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 A27 B30 C32 D36 第 7 题图 8设函数 的定义域 ，如果存在正实数 ，使得对任意 ，都有 ，()fxDmxD()(fxmf 则称 为 上的“ 型增函数” 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，m()fxR0 （ ） 若 为 上的“20 型增函数” ，则实数 的取值范围是(
4、)faR()fxa A B C D05a10a2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9函数 的最小正周期是 ，最小值是 2sin()1yx 3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 10若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 xy21xy ， ， ， zxy 11在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 的最小值是 na2=132a+ 12甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念要求老师必须站在正中间，甲同学不 与老师相邻，则不同站法种数为 13已知 为圆 ( )上两个不同的点（ 为BA, 9)()(:22nym
5、xC,mRC 圆心） ，且满足 ，则 |25 14已知点 在 的内部，且有 ，记 的面积分OxOyBzC0,AOB 别为 若 ，则 ；若ABCAOSS， ， 1z:AOBCSS ，则 2,34xyz:BCAO 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题满分 13 分） 某中学高一年级共 8 个班，现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选 取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区老年中心 参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学来自
6、不同班级的概率； （）设 X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 16 （本小题满分 13 分） 如图，在 中，点 在 边上， ， ABCD7,42CAD2cos10ADB （）求 的值； sin （）若 求 的面积5, 17 （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 中，底面PABCD 是菱形，且 点 是棱 的中点，ABCD60EP 平面 与棱 交于点 EF ADB CFBDCPEA （）求证： ；ABEF （）若 ，且平面 平面 ，PDPADBC 求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 18（本小题满分 14 分） 已知函数 ,其中 ()lnfxaaR
7、（）若 在区间 上为增函数，求 的取值范 f1,2 围； （）当 时，（）证明： ；ea()20fx （）试判断方程 是否有实数解，并说明理由ln3 19（本小题满分 14 分） 已知圆 的切线 与椭圆 相交于 ， 两点:O21xyl:C234xyAB （）求椭圆 的离心率；C （）求证： ；AB （）求 面积的最大值. 20（本小题满分 13 分） 已知有穷数列： 的各项均为正数，且满足条件：*123,(,3)kaN ； 1ka1,2,1nn k （）若 ，求出这个数列；13,2 （）若 ，求 的所有取值的集合；4ka （）若 是偶数，求 的最大值（用 表示）1k 北京市朝阳区 2015-2
8、016 学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案（理工类） 20161 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D A C A B 二、填空题：（满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ，142141:4:23 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15（本小题满分 13 分） 解：（）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A，则 12037749().6CPA 所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 5 分4960 （）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，
9、则 ； ； 0371()24CP12730()4CPX ； 23710()X 3710()2 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 724240740120 随机变量 X 的数学期望 13 分119()0302E 16 （本小题满分 13 分） 解：（）因为 ，所以 cos1ADB7sin10ADB 又因为 ，所以 4C4C 所以 sini()sincossin444CADBABADB 7 分722105 （）在 中，由 ，得 ACDADC sini 7sin2510ACD 所以 13 分117i252BSB 17 （本小题满分 13 分） （）证明：因为底面 是菱形，所以 A
10、CAC 又因为 面 ， 面 ，所以 面 PDPPD 又因为 四点共面，且平面 平面 ，,BEFBEFEF 所以 5 分 （）取 中点 ，连接 ADG,P 因为 ，所以 PAD 又因为平面 平面 ，BC 且平面 平面 ，A 所以 平面 所以 GPG 在菱形 中，因为 ， BDA ， 是 中点，60 所以 A 如图，建立空间直角坐标系 设 ，Gxyz2PDAa 则 ，(0,)(,0)Ga 323,(,0)(,3)BCDaa 又因为 ，点 是棱 中点，所以点 是棱 中点所以 ，AEFPCFPD3(,)2aE 所以 ， 3(,0)2a3(,0)2a 3(,0)2aE z yxGAEP CDBF 设平面
11、 的法向量为 ，则有 所以 AFE(,)xyzn0,.AFEn3,.zxy 令 ，则平面 的一个法向量为 3x(3,) 因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量BGPAD0,GBaPAF 因为 ，1cos, 39n 所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 13 分PAFE1 18（本小题满分 14 分） 解：函数 定义域 ， ()fx),0(fxa （）因为 在区间 上为增函数，所以 在 上恒成立，f1,2()0fx1,2 即 ， 在 上恒成立，()0xax1,2 则 4 分.2 （）当 时， , ea()e lnfxxe()xf （）令 ，得 01 令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单
12、调 递 增 ()fx(,)e)(xf10,e 令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 减 0f1,(,) 所以， max1()()eln2ff 所以 成立 9 分20 （）由（）知， ， 所以 max()2f|)(|xf 设 所以 ln3(),0.2xg2ln1g 令 ，得 e 令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 增 ，()0gx(,)(x0,e 令 ,得 ， 所 以 函 数 在 单 调 递 减 ；e,g,) 所以， ， 即 maxlne31()()2g2)(xg 所以 ，即 |f|)(|xfl 所以，方程 没有实数解 14 分|)(|xln32 19（本小题满分 14 分）
13、解：（）由题意可知 ， ，所以 4ab2283cab 所以 所以椭圆 的离心率为 3 分63ceC6 （）若切线 的斜率不存在，则 l:1lx 在 中令 得 214xyy 不妨设 ，则 所以 (,),AB10OABOAB 同理，当 时，也有 :lx 若切线 的斜率存在，设 ，依题意 ，即 :lykxm21k22km 由 ，得 显然 234ykxm2(1)6340 设 ， ,则 ， 1(,)Axy2()B1221kx21xk 所以 .212122()kmm 所以 1Oxy112()kxkx222346()k 22 21)(31)mkm243k 22(1)40k 所以 OAB 综上所述，总有 成立
14、 9 分 （）因为直线 与圆 相切，则圆 半径即为 的高，OAB 当 的斜率不存在时，由（）可知 l 2 则 .1OABS 当 的斜率存在时，由（）可知， l2211()4kxx222634()311kmk2229(3)(3mk2 22 21143(1)4k k 2913k 所以 24222 44(1)(01)()6961kkAB （当且仅当 时，等 24269139kk 3 号成立） 所以 此时, .3ABmax2(S)OAB 综上所述，当且仅当 时， 面积的最大值为 14 分k3 20（本小题满分 13 分） 解：（）因为 ，由知 ；13,2a32a 由知， ，整理得， 解得， 或 212
15、1021a2 当 时，不满足 ，舍去；21a231aa 所以，这个数列为 3 分1, （）若 ，由知 4k4a1 因为 ，所以 12(,23)nna 11(2)()0nnaa 所以 或 1nn1(,)na 如果由 计算 没有用到或者恰用了 2 次 ，显然不满足条件；1a4 1na 所以由 计算 只能恰好 1 次或者 3 次用到 ，共有下面 4 种情况：14 1n （1）若 ， ， ，则 ，解得 ；21a32a4341a12a （2）若 ， ， ，则 ，解得 ；2132431411 （3）若 ， ， ，则 ，解得 ；21a32a4341a12a （4）若 ， ， ，则 ，解得 ；2132431411 综上， 的所有取值的集合为 8 分a, （）依题意，设 由（II）知， 或*,mkN12nna 1(,231)na 假设从 到 恰用了 次递推关系 ，用了 次递推关系 ，12mai1na21mi12nna 则有 其中 (1)2it， 2,tmitZ 当 是偶数时， ， 无正数解，不满足条件；i0t1()taa 当 是奇数时，由 得 ，2,2tmtim221()tma 所以 1 又当 时，若 ，1i21321221,mmaaa 有 ， ，即 2211()m21 所以， 的最大值是 即 13 分1a21ka
