1、湖南省益阳市南县 20152016 学年度八年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A2 或1 B0 C2 D1 2计算（ ） 2 的结果为（ ） A B2 C D16 3若关于 x 的分式方程 + =2 有增根，则 m 的值是（ ） Am= 1 Bm=0 Cm=3 Dm=0 或 m=3 4如图，在ABC 中，AB=AD=DC，B=70，则C 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 5如图，已知ABC= DCB，下列所给条件不能证明 ABCDC
2、B 的是（ ） AA=D BAB=DC CACB=DBC DAC=BD 6若 mn，下列不等式不一定成立的是（ ） Am+2n+2 B2m2n C Dm 2n 2 7使不等式 x12 与 3x78 同时成立的 x 的整数值是（ ） A3，4 B4，5 C3，4， 5 D不存在 8下列根式中，不能与 合并的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 的算术平方根为 10如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB，已知ADE=40 ，则DBC= 11定义新运算：对于任意实数 a，b 都有：a b=a（ab）+1，其中等式右边
3、是通常的加法、减法 及乘法运算如：25=2 （2 5）+1=2（3）+1= 5，那么不等式 3x13 的解集为 12如图，ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC、AD 、AB 于点 E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 13方程 =2 的解是 14若代数式 有意义，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 15计算： （ ） 16已知 a、b 都是实数，且|a |+ =0，计算 a0+b2ab 的值 四、解答题（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分） 17解一元一次不等式组 ，并把解在数轴上表示
4、出来 18先化简，再求值： + ，其中 x 是从1、0、1、2 中选取的一个合适的 数 19甲、乙两校教师为教育基金会进行爱心捐款，其中甲校捐款额为 6000 元，乙校捐款额为 9600 元，已知乙校捐款人数比甲校捐款人数多 30 人，且两校人均捐款数相等求甲、乙两校各有多少 人捐款？人均捐款额多少元？ 20如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 延长线上的一点，且 BE=BD （1）求BAD 和 BDE 的度数； （2）求证：AD=DE 五、解答题（本大题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分） 21已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海轮公式告诉你
5、计算的方法是：S= ，其中 S 表示三角形的面积， a，b，c 分别表示三边之长，p 表示周长之半，即 p= 我国宋代数学家秦九昭提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海轮秦九昭 公式” 请你利用公式解答下列问题 （1）在ABC 中，已知 AB=5，BC=6，CA=7 ，求 ABC 的面积； （2）计算（1）中ABC 的 BC 边上的高 22思考：已知直线 l1，l 2，l 3 相互平行，怎样在三条直线上各取一点作出一个等边三角形？仔细 阅读小明的作图方法并证明他的方法是正确的作法：如图，先作等边三角形 ADE，使 A、E 在 l1 上，D 在 l3 上，DE 与 l2 交
6、于 B 点，连接 AB；再在 l3 上取一点 C，使 DC=EB，连接 AC、BC 则ABC 是等边三角形 23探究：如图，已知直线 l1，l 2，l 3 相互平行，在直线 l1 上任意一点 A 作为直角顶点，求作等腰 直角三角形ABC，使点 B、 C 分别落在直线 l2 和 l3 上请你给出作图方法并说明你的作图方法正 确的理由 湖南省益阳市南县 20152016 学年度八年级上学期期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A2 或1 B0
7、 C2 D1 【考点】分式的值为零的条件 【分析】分式的值为 0 的条件是：（1）分子为 0；（2）分母不为 0两个条件需同时具备，缺一 不可据此可以解答本题 【解答】解：由题意可得：x2=0 且 x+10， 解得 x=2 故选：C 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不 等于零注意：“分母不为零”这个条件不能少 2计算（ ） 2 的结果为（ ） A B2 C D16 【考点】负整数指数幂 【分析】首先把 化成 22，然后利用幂的乘方法则计算即可 【解答】解：原式=（ 22） 2 =（2） 4 =24 =16 故选 D 【点评】本题考查了负整数指
8、数次幂的计算，负指数次幂的计算与正指数次幂的计算方法相同，同 样可以利用幂的运算性质 3若关于 x 的分式方程 + =2 有增根，则 m 的值是（ ） Am= 1 Bm=0 Cm=3 Dm=0 或 m=3 【考点】分式方程的增根 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x3） ，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就 是使最简公分母等于 0 的未知数的值求出 x 的值，然后代入进行计算即可求出 m 的值 【解答】解：方程两边都乘以（x3）得， 2xm=2（x3） ， 分式方程有增根， x3=0， 解得 x=3， 23m=2（33） ， 解得 m=1 故选 A 【点评】本题考查了分式方程的增根
9、，增根问题可按如下步骤进行： 让最简公分母为 0 确定增根； 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 4如图，在ABC 中，AB=AD=DC，B=70，则C 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【考点】等腰三角形的性质 【分析】先根据等腰三角形的性质求出ADB 的度数，再由平角的定义得出 ADC 的度数，根据等 腰三角形的性质即可得出结论 【解答】解：ABD 中，AB=AD，B=70， B=ADB=70， ADC=180ADB=110， AD=CD， C=（180ADC） 2=（180110） 2=35， 故选：A 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知
10、等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 5如图，已知ABC= DCB，下列所给条件不能证明 ABCDCB 的是（ ） AA=D BAB=DC CACB=DBC DAC=BD 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据题目所给条件ABC=DCB ，再加上公共边 BC=BC，然后再结合判定定理分别进行 分析即可 【解答】解：A、添加A=D 可利用 AAS 判定ABC DCB，故此选项不合题意； B、添加 AB=DC 可利用 SAS 定理判定ABCDCB，故此选项不合题意； C、添加 ACB=DBC 可利用 ASA 定理判定ABCDCB，故此选项不合题意； D、添加 AC=BD 不能判定 ABCDCB，
11、故此选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两 边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6若 mn，下列不等式不一定成立的是（ ） Am+2n+2 B2m2n C Dm 2n 2 【考点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质 1，可判断 A；根据不等式的性质 2，可判断 B、C；根据不等式的性质 3，可判断 D 【解答】解：A、不等式的两边都加 2，不等号的方向不变，故 A 正确； B、不等式的两边都乘以 2，
12、不等号的方向不变，故 B 正确； C、不等式的两条边都除以 2，不等号的方向不变，故 C 正确； D、当 0mn 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质， “0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切 关注“ 0”存在与否，以防掉进“ 0”的陷阱不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子） ，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两 边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 7使不等式 x12 与 3x78 同时成立的 x 的整数值是（ ） A3，4 B4，5 C3
13、，4， 5 D不存在 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定 x 的取值范围，最后根据 x 的取值范围找出 x 的 整数解即可 【解答】解：根据题意得： ， 解得：3x5， 则 x 的整数值是 3，4； 故选 A 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较 大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 8下列根式中，不能与 合并的是（ ） A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果 【解答】解：A、 ，本选项不合题意； B、 ，本选项不合题意； C、 ，本选项合题意； D
14、、 ，本选项不合题意； 故选 C 【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 的算术平方根为 【考点】算术平方根 【专题】计算题 【分析】首先根据算术平方根的定义计算先 =2，再求 2 的算术平方根即可 【解答】解： =2， 的算术平方根为 故答案为： 【点评】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道 =2，实际上这个题是求 2 的算术平 方根注意这里的双重概念 10如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB，已知ADE=40 ，则DBC= 15 【考点】线段垂直平分线
15、的性质；等腰三角形的性质 【分析】根据线段垂直平分线求出 AD=BD，推出A=ABD=50，根据三角形内角和定理和等腰 三角形性质求出ABC ，即可得出答案 【解答】解：DE 垂直平分 AB， AD=BD，AED=90 ， A=ABD， ADE=40， A=9040=50， ABD=A=50， AB=AC， ABC=C= （180A）=65， DBC=ABCABD=6550=15， 故答案为：15 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确 运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中 11定义新运算：对于任意实数 a，b 都有：a b=a（ab
16、）+1，其中等式右边是通常的加法、减法 及乘法运算如：25=2 （2 5）+1=2（3）+1= 5，那么不等式 3x13 的解集为 x 1 【考点】一元一次不等式的应用 【专题】新定义 【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可 【解答】解：3x13， 3（3x） +113， 解得：x1 故答案为：x1 【点评】此题考查一元一次不等式解集的求法，理解运算的方法，改为不等式是解决问题的关键 12如图，ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC、AD 、AB 于点 E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 4 【考点】线段垂直平分线的性质
17、【分析】由 AB=AC，D 是 BC 的中点，易得 AD 是 BC 的垂直平分线，则可证得ACD ABD，OCD OBD，AOCAOB，又由 EF 是 AC 的垂直平分线，证得OCEOAE 【解答】解：AB=AC，D 是 BC 的中点， CAD=BAD，ADBC ， OC=OB， 在ACD 和 ABD 中， ， ACDABD（SAS ） ； 同理：CODBOD， 在AOC 和 AOB 中， ， OACOAB（SSS） ； EF 是 AC 的垂直平分线， OA=OC，OEA= OEC=90， 在 RtOAE 和 RtOCE 中， ， RtOAERtOCE（HL ） 故答案为：4 【点评】此题考查
18、了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质注 意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 13方程 =2 的解是 x=2 【考点】无理方程 【分析】首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出 x 的值是多 少，最后验根，求出方程 =2 的解是多少即可 【解答】解： =2， 3x2=4， x=2， 当 x=2 时， 左边= ， 右边=2， 左边 =右边， 方程 =2 的解是：x=2 故答案为：x=2 【点评】此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理 方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要
19、注意根据方程的结构特征选择解题 方法 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等 （2） 注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增 根，应注意验根 14若代数式 有意义，则 m 的取值范围是 m 1，且 m1 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 m+10，根据分式有意义的条件可得 m10，再解即可 【解答】解：由题意得：m+1 0，且 m10， 解得：m1，且 m1， 故答案为：m 1，且 m1 【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，
20、分母不为 0； 二次根式的被开方数是非负数 三、解答题（本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分） 15计算： （ ） 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式=2 =2 4 =3 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除 运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 16已知 a、b 都是实数，且|a |+ =0，计算 a0+b2ab 的值 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的
21、性质：绝对值；零指数幂；负整数指数幂 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】解：|a |+ =0， a =0，b1=0 ， a= ， b=1， a0+b2ab=2 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 四、解答题（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分） 17解一元一次不等式组 ，并把解在数轴上表示出来 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 【解答】解： 由得，x3， 由得，x2， 故此不等式组的解集为：3
22、 x2 在数轴上表示为： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大 小小找不到”的原则是解答此题的关键 18先化简，再求值： + ，其中 x 是从1、0、1、2 中选取的一个合适的 数 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再 约分得到原式= ，由于 x 不能取1，2，所以把 x=0 代入计算即可 【解答】解：原式= + = + = = ， 当 x=0 时，原式= = 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式 的值在化
23、简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注 意运算的结果要化成最简分式或整式 19甲、乙两校教师为教育基金会进行爱心捐款，其中甲校捐款额为 6000 元，乙校捐款额为 9600 元，已知乙校捐款人数比甲校捐款人数多 30 人，且两校人均捐款数相等求甲、乙两校各有多少 人捐款？人均捐款额多少元？ 【考点】分式方程的应用 【分析】设甲校捐款人数为 x 人，则乙校捐款人数为（x+30）人，根据“两校人均捐款数相等” 列出 方程并解答 【解答】解：设甲校捐款人数为 x 人，则乙校捐款人数为（x+30）人， 依题意可得 = ， 解得 x=50 经检验，x=50 是方程的解
24、，且符合题意 此时 =120 答：甲、乙两校捐款人数分别为 50 人、80 人，人均捐款 120 元 【点评】本题考查了分式方程的应用利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系， 这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设 未知数 20如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 延长线上的一点，且 BE=BD （1）求BAD 和 BDE 的度数； （2）求证：AD=DE 【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质 【分析】 （1）根据等边三角形三线合一的性质可得DAB=30 ，ABD=60 ，根据 BE=BD 可得
25、BDE=BED，根据BDE+ BED=ABD 即可求得BDE=30 （2）根据等角对等边即可证得结论 【解答】解：（1）等边三角形三线合一， BD 为ABC 的角平分线， BAD=30， ABD=60， BE=BD， BDE=BED， BDE+BED=ABD， BED=BDE=30， BAD=BDE=30； （2）BAD= BDE=30 AD=DE 【点评】本题考查了等边三角形各边相等的性质，等腰三角形底角相等的性质，本题中求证 BAD=BDE=30是解题的关键 五、解答题（本大题 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分） 21已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海轮公式告诉你计算的
26、方法是：S= ，其中 S 表示三角形的面积， a，b，c 分别表示三边之长，p 表示周长之半，即 p= 我国宋代数学家秦九昭提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海轮秦九昭 公式” 请你利用公式解答下列问题 （1）在ABC 中，已知 AB=5，BC=6，CA=7 ，求 ABC 的面积； （2）计算（1）中ABC 的 BC 边上的高 【考点】二次根式的应用 【分析】 （1）由三角形的边角命名修改找出 a、b、c 的值，代入海伦公式即可得出结论； （2）由三角形的面积 S=底高 2，代入数据，即可得出结论 【解答】解：（1）AB=5 ， BC=6，CA=7， a=6， b=7，
27、c=5 ，p= =9， ABC 的面积 S= =6 （2）设 BC 边上的高为 h， 则 6h=6 ， 解得 h=2 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可 22思考：已知直线 l1，l 2，l 3 相互平行，怎样在三条直线上各取一点作出一个等边三角形？仔细 阅读小明的作图方法并证明他的方法是正确的作法：如图，先作等边三角形 ADE，使 A、E 在 l1 上，D 在 l3 上，DE 与 l2 交于 B 点，连接 AB；再在 l3 上取一点 C，使 DC=EB，连接 AC、BC 则ABC 是等边三角形 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 【分
28、析】可以判定AEBADC，即可得EAB= DAC，可得 DAC+BAD=EAB+BAD=60， 即可解题 【解答】证明：由于AED 为等边三角形，直线 l1，l 2，l 3 相互平行， AE=AD，EAD=ADC=AED=60， 又 EB=DC， 在AEB 与ADC 中 ， AEBADC， 则 AC=AB， EAB=DAC， DAC+BAD=EAB+BAD=60， ABC 为等边三角形 【点评】此题考查了全等三角形的判定与全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握全等三角形的判 定与性质是解本题的关键 23探究：如图，已知直线 l1，l 2，l 3 相互平行，在直线 l1 上任意一点 A 作为直角顶
29、点，求作等腰 直角三角形ABC，使点 B、 C 分别落在直线 l2 和 l3 上请你给出作图方法并说明你的作图方法正 确的理由 【考点】作图复杂作图；全等三角形的判定与性质 【专题】作图题 【分析】先作 ADl2，垂足为 D，再在 l1 上取一点 E，使 AE=AD，作 EBl3，垂足为 B，连接 AB，接着在 l2 上取一点 C，使 DC=EB，连接 AC、BC，则 ABC 为所作要说明ABC 为等腰直 角三角形，证明AEBADC 得到BAE= DAC，AB=AC，则可得到 DAC+BAD=EAB+BAD=90，于是可判断 ABC 为等腰直角三角形 【解答】解：作法如图， 在直线 l1 上任取一点 A，作 ADl2，垂足为 D；在 l1 上取一点 E，使 AE=AD；再作 EBl3，垂足 为 B，连接 AB；在 l2 上取一点 C，使 DC=EB，连接 AC、BC ，则ABC 是等腰直角三角形； 证明：在AEB 和ADC 中， AEBADC， BAE=DAC，AB=AC DAC+BAD=EAB+BAD=90， ABC 为等腰直角三角形 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作
