1、2015-2016 学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 1如果式子 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） Ax Bx Cx 0 Dx= 2请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化 对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 3下列事件中，是不可能事件的是（ ） A买一张电影票，座位号是奇数 B射击运动员射击一次，命中 9 环 C哥哥的年龄比弟弟的年龄大 D度量三角形的内角和，结果是 360 4下列式子为最简二次根式的是（ ） A B
2、 C D 5在实数 和 6.1 之间存在着无数个实数，其中整数有（ ） A无数个 B3 个 C4 个 D5 个 6已知一个等腰三角形两边长分别为 5，6，那么它的周长为（ ） A16 B17 C16 或 17 D10 或 12 7下列等式从左到右变形正确的是（ ） A B C D 8下列计算结果正确的有（ ） ； 8a2b2 =6a3； ； ab =a； A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9已知 x1，那么化简 的结果是（ ） Ax1 B1 x C x1 Dx+1 10把 14cm 长的铁丝截成三段，围成不是等边三角形的三角形，并且使三边均为整数， 那么（ ） A有 1 种截法 B有 2
3、 种截法 C有 3 种截法 D有 4 种截法 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11 = 12若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 13直角三角形有两边长分别为 3，4，则该直角三角形第三边为 14某机器零件的横截面如图所示，按要求线段 AB 和 DC 的延长线相交成直角才算合格， 一工人测得A=23，D=31，AED=143，请你帮他判断该零件是否合格 （填“ 合格 ”或“不合格”） 15如图，已知AOB=45，A 1、A 2、A 3、在射线 OA 上，B 1、B 2、B 3、在射线 OB 上， 且 A1B1OA，A 2B2OA，A nBnOA；A 2B1OB，A
4、n+1BnOB（n=1，2，3，4，5，6 ）若 OA1=1，则 A6B6 的长是 16读取表格中的信息，解决问题： n=1 a1= +2 b1= +2 c1=1+2 n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 c2=a1+2b1 n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 c3=a2+2b2 （1）计算：a 1+b1+c1= ； （2）满足 的 n 可以取得的最小正整数是 三、解答题（本题共 19 分，第 1719 题，每题 5 分，第 20 题 4 分） 17计算： 18计算： 19解分式方程： 20一只小狗在如图所示的地板上走来走去，地板是由大小相等的小正方形铺成的求最 终停在黑
5、色方砖上的可能性是多少 四、解答题（本题共 17 分，第 21 题 5 分，第 22、23 题，每题 6 分） 21如图，点 E、F 在 BC 上，BE=FC，AB=DC ，B=C求证：A=D 22先化简，再求值： ，其中 a=3 23已知：如图，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D，BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CD求证：BD=DE 五、解答题（本题共 10 分，第 24 题 6 分，第 25 题 4 分） 24为解决“最后一公里” 的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用到 2013 年底，全市已有公租自行车 25 000 辆，租赁点 600 个预计到 201
6、5 年底，全市将有 公租自行车 50 000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每个租赁 点的公租自行车数量的 1.2 倍预计到 2015 年底，全市将有租赁点多少个？ 25如图，已知ABC，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成面积相等的两部 分（保留作图痕迹，不写作法） 六、解答题（本题共 6 分） 26已知ABC 中，M 为 BC 的中点，直线 m 绕点 A 旋转，过 B，M，C 分别作 BDm 于点 D， MEm 于点 E，CF m 于点 F当直线 m 经过点 B 时，如图 1，可以得到 （1）当直线 m 不经过 B 点，旋转到如图 2，图 3 的位
7、置时，线段 BD，ME，CF 之间有 怎样的数量关系，请直接写出你的猜想 图 2，猜想： ； 图 3，猜想： （2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明 2015-2016 学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的 1如果式子 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） Ax Bx Cx 0 Dx= 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分式的意义，分母不等于 0，就可以求解 【解答】解：根据题意，得：2x1 0， 解得：x 故选 B 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为
8、 0 2请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化 对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答 【解答】解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形是轴对称 图形，第四个图形是轴对称图形， 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合 3下列事件中，是不可能事件的是（ ） A买一张电影票，座位号
9、是奇数 B射击运动员射击一次，命中 9 环 C哥哥的年龄比弟弟的年龄大 D度量三角形的内角和，结果是 360 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】解：买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，A 错误； 射击运动员射击一次，命中 9 环是随机事件，B 错误； 哥哥的年龄比弟弟的年龄大是必然事件，C 错误； 度量三角形的内角和，结果是 360是不可能事件，D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件 下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随 机事件是指在一定条件
10、下，可能发生也可能不发生的事件 4下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 【考点】最简二次根式 【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件对各个选项进行判断即可 【解答】解： 被开方数含分母，不是最简二次根式，A 不正确； 是最简二次根式，B 正确； 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C 不正确； 被开方数含分母，不是最简二次根式，D 不正确； 故选：B 【点评】本题考查的是最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数 不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式 5在实数 和 6.1 之间存在着无数个实数，其中整数有（ ） A无数个 B3 个 C4 个 D5
11、 个 【考点】估算无理数的大小 【分析】估算出 的取值范围即可得出结果 【解答】解：2 3， 在实数 和 6.1 之间存在着整数 3，4，5，6 共 4 个， 故选 C 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根估算出 的取值范围是解答 此题的关键 6已知一个等腰三角形两边长分别为 5，6，那么它的周长为（ ） A16 B17 C16 或 17 D10 或 12 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分腰为 6 和腰为 5 两种情况，再求其周长 【解答】解：当腰为 6 时，则三角形的三边长分别为 6、6、5，满足三角形的三边关系， 周长为 17； 当腰为 5 时，则三角
12、形的三边长分别为 5、5、6，满足三角形的三边关系，周长为 16； 综上可知，等腰三角形的周长为 16 或 17 故选 C 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键 7下列等式从左到右变形正确的是（ ） A B C D 【考点】分式的基本性质 【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答 案 【解答】解：A 分子分母加减，分式的值改变，故 A 错误； B 当 a=0 时分式无意义，故 B 错误； C 当 a=0 时分式无意义，故 C 错误； D 分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故 D 正确， 故选：D
13、【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式 的值不变 8下列计算结果正确的有（ ） ； 8a2b2 =6a3； ； ab =a； A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】分式的乘除法 【专题】计算题；分式 【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：原式= = ，正确；原式=6a 3，正确；原式= = ，正确；原式=a = ，错误；原式= ，正确 故选 C 【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9已知 x1，那么化简 的结果是（ ） Ax1 B1 x C x1 Dx+1 【考点】二次根式的性质与化简 【分析】根据
14、题意确定 x1 的符号，根据二次根式的性质解答即可 【解答】解：x1， x10 ， =|x1|=1x 故选：B 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的 关键 10把 14cm 长的铁丝截成三段，围成不是等边三角形的三角形，并且使三边均为整数， 那么（ ） A有 1 种截法 B有 2 种截法 C有 3 种截法 D有 4 种截法 【考点】三角形三边关系 【分析】根据题目要求，根据构成三角形的条件，周长为 14，可逐步分析，将每个符合题 意的三角形写出即可 【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是 1 时，不成立； 当最短的边是 2
15、时，三边长是：2，6，6； 当最短的边是 3 时，三边长是：3，5，6； 当最短的边是 4 时，三边长是：4，4，6 和 4，5，5 最短的边一定不能大于 4 综上，有 2，6，6；3，5，6；4，4，6 和 4，5，5 共 4 种截法 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11 = 3 【考点】二次根式的乘除法 【专题】计算题 【分析】直接进行平方的运算即可 【解答】解：原式=3 故答案为：3 【点评】此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可 12若式子 在实数范围内有意义，则
16、x 的取值范围是 x 1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解 【解答】解：根据题意得：x+10， 解得 x1， 故答案为：x1 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质 概念：式子 （a 0）叫二次根式 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 13直角三角形有两边长分别为 3，4，则该直角三角形第三边为 5 或 【考点】勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析 【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为 5 （2）当 4 为斜边时，由勾股定理得，第
17、三边为 故直角三角形的第三边应该为 5 或 【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析 14某机器零件的横截面如图所示，按要求线段 AB 和 DC 的延长线相交成直角才算合格， 一工人测得A=23，D=31，AED=143，请你帮他判断该零件是否合格 不合格 （填“ 合格 ”或“不合格”） 【考点】三角形的外角性质 【分析】根据三角形的外角的性质：三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和，解答 【解答】解：延长 AB、DC 相交 F，连接 F、E 并延长至 G 则有（A+AFG）+（D+DFG）= AEG+DEG=AED=143； A=23，D=31， AFD=AF
18、G+DFG=AEDAD=1432331=8990 所以零件不合格 【点评】这是一道实际问题，考查了同学们灵活运用知识的能力，作出辅助线 FG 是解决 问题的关键 15如图，已知AOB=45，A 1、A 2、A 3、在射线 OA 上，B 1、B 2、B 3、在射线 OB 上， 且 A1B1OA，A 2B2OA，A nBnOA；A 2B1OB，A n+1BnOB（n=1，2，3，4，5，6 ）若 OA1=1，则 A6B6 的长是 32 【考点】等腰直角三角形 【专题】压轴题；规律型 【分析】仔细观察图形，分析其中的规律，得到 AnBn 的规律性公式，然后求得 n=6 时的 值 【解答】方法一： 解
19、：由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形， OA1=1， A1B1=A1A2=1，B 1A2=B1B2= ，A 2B2=A2A3=2，B 2A3=B2B3= ，A 3B3=A3A4 =4， 从中发现规律为 AnBn=2An1Bn1，其中 A1B1=1， AnBn=2n1 当 n=6 时，A 6B6=261=25=32 故答案为：32 方法二： A2B1= ， A2B1=2， q=2，a 1=1， AnBn=12n1=2n1， A6B6=261=32 解题技巧：由以上例题可知，确定数列第一项及公比是解题关键 【点评】本题考查图形的规律性本题的图形是由一系列有规律的等腰直角三角形所组成， 仔细
20、观察图形，发现其中的规律，是解决本题的关键 16读取表格中的信息，解决问题： n=1 a1= +2 b1= +2 c1=1+2 n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 c2=a1+2b1 n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 c3=a2+2b2 （1）计算：a 1+b1+c1= 3 +3 +3 ； （2）满足 的 n 可以取得的最小正整数是 4 【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类 【专题】实数 【分析】（1）根据表格中的数据确定出 a1+b1+c1 的值即可； （2）根据表格中数据得出 an+bn+cn=3n1（a 1+b1+c1）=3 n（ + +1），代入不等式计算
21、 可得 n 的取值范围 【解答】解：（1）根据表格中的数据得： a1+b1+c1= +2 + +2+1+2 =3 +3 +3； （2）a 2+b2+c2=b1+2c1+c1+2a1+a1+2b1=3（a 1+b1+c1）， a3+b3+c3=b2+2c2+c2+2a2+a2+2b2=3（a 2+b2+c2）=3 2（a 1+b1+c1）， an+bn+cn=3n1（a 1+b1+c1）=3 n1（3 +3 +3）=3 n（ + +1）， 又 ， 81（ +1） 解得：n4， n 可以取得最小正整数是 4， 故答案为：（1）3 +3 +3；（2）4 【点评】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算
22、及解不等式的能力，根据表格数据发 现 an+bn+cn 的规律是关键 三、解答题（本题共 19 分，第 1719 题，每题 5 分，第 20 题 4 分） 17计算： 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先将括号内的式子通分，然后根据分式的除法进行计算即可 【解答】解： = = = 【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法 18计算： 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先去括号得到原式= + ，再根据二次根式的性质和乘法法则得 到原式=2 + 然后合并即可 【解答】解：原式= + =2 + =2 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
23、先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式 的加减运算；运用二次根式的性质和乘法法则进行运算 19解分式方程： 【考点】解分式方程 【专题】计算题 【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为：（x2），将方程去分 母转化为整式方程即可求解 【解答】解：方程两边同乘（x2）， 得：x+x 2=4， 整理得：2x=6， 解得：x=3， 经检验 x=3 是原方程的解， x=3 【点评】解分式方程去分母时有常数项的注意不要漏乘，求解后要进行检验，这两项是都 是容易忽略的地方，要注意检查 20一只小狗在如图所示的地板上走来走去，地板是由大小相等的小正方形铺成的求最 终停在黑色方砖上的可能性
24、是多少 【考点】几何概率 【分析】利用方砖共有 15 块，而阴影方砖有 5 块，进而求出最终停在阴影方砖上的概率 【解答】解：因为方砖共有 15 块，而阴影方砖有 5 块， 所以 P 最终停在黑色方砖上= 【点评】此题主要考查了几何概率的求法，利用阴影方砖个数除以总数是解题关键 四、解答题（本题共 17 分，第 21 题 5 分，第 22、23 题，每题 6 分） 21如图，点 E、F 在 BC 上，BE=FC，AB=DC ，B=C求证：A=D 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】可通过证ABFDCE，来得出A= D 的结论 【解答】证明：BE=FC， BE+EF=CF+E
25、F， 即 BF=CE； 又 AB=DC，B= C， ABFDCE；（SAS） A=D 【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先 根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条 件，再去证什么条件 22先化简，再求值： ，其中 a=3 【考点】分式的化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a=5 代入进行计算即可 【解答】解：原式= = ， 当 a=3 时，原式= 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 23已知：如图，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D，
26、BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CD求证：BD=DE 【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】欲证 BD=DE，只需证DBE= E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明 DBE=E=30 【解答】证明：ABC 为等边三角形，BD 是 AC 边的中线， BDAC，BD 平分ABC ， DBE= ABC=30 CD=CE， CDE=E ACB=60，且ACB 为CDE 的外角， CDE+E=60 CDE=E=30， DBE=DEB=30， BD=DE 【点评】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为 180等知识此类已 知三
27、角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关 角的度数，进而求出所求角的度数 五、解答题（本题共 10 分，第 24 题 6 分，第 25 题 4 分） 24为解决“最后一公里” 的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用到 2013 年底，全市已有公租自行车 25 000 辆，租赁点 600 个预计到 2015 年底，全市将有 公租自行车 50 000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每个租赁 点的公租自行车数量的 1.2 倍预计到 2015 年底，全市将有租赁点多少个？ 【考点】分式方程的应用 【分析】根据租赁点的公租自行
28、车数量变化表示出 2013 年和 2015 年平均每个租赁点的公 租自行车数量，进而得出等式求出即可 【解答】解：设到 2015 年底，全市将有租赁点 x 个，根据题意可得： 1.2= ， 解得：x=1000， 经检验得：x=1000 是原方程的根， 答：到 2015 年底，全市将有租赁点 1000 个 【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键 25如图，已知ABC，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成面积相等的两部 分（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图复杂作图 【分析】作 BC 边上的中线，即可把 ABC 分成面积相等的两部分 【解答】解：
29、如图，直线 AD 即为所求： 【点评】此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的 面积相等 六、解答题（本题共 6 分） 26已知ABC 中，M 为 BC 的中点，直线 m 绕点 A 旋转，过 B，M，C 分别作 BDm 于点 D， MEm 于点 E，CF m 于点 F当直线 m 经过点 B 时，如图 1，可以得到 （1）当直线 m 不经过 B 点，旋转到如图 2，图 3 的位置时，线段 BD，ME，CF 之间有 怎样的数量关系，请直接写出你的猜想 图 2，猜想： ； 图 3，猜想： （2）选择第（1）问中任意一种猜想加以证明 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题
30、】探究型 【分析】（1）根据题意可以写出图 2 和图 3 的猜想，从而本题得以解决； （2）对于图 2 和图 3 的猜想可以画出相应的图形，利用图 1 的结论可以推导出图 2 和 3 猜 想，并写出证明过程 【解答】解：（1）图 2 的猜想为： ， 图 3 的猜想为； ， 故答案为： ， ； （2）图 2 的猜想证明如下， 连接 DM 并延长交 FC 的延长线于点 K， BDm，CF m， BDCF， DBM=KCM， 又 M 为 BC 的中点， BM=CM， 在DBM 和KCM 中， ， DBMKCM（ASA）， DB=CK，DM=MK， 由（1）知： ， 图 3 的猜想证明如下， 连接 DM 并延长交 FC 于点 K， BDm，CF m， BDCF， MBD=KCM， 又 M 为 BC 的中点， BM=CM， 在DBM 和KCM 中， ， DBMKCM（ASA） DB=CK，DM=MK， 由（1）知： 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用数形结合的思想、找出所 求问题需要的条件
