1、2014-2015 学年福建省泉州市安溪县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共 21 分每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后 的括号内 ） 1下列计算正确的是( ) A B C D 2cos60的值等于( ) A B C D 3如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止 时，指针指向阴影区域的概率是( ) A B C D 4已知 RtABC 中， C=90，A=50，AB=2，则 AC=( ) A2sin50 B2sin40 C2tan50 D2tan40 5某商品经过两次降价，零售价降为原来的 ，已知两次降价的百分率均为
2、 x，则列出方 程正确的是( ) A B C （1+x） 2=2 D （1x） 2=2 6二次函数 y=x2+2x 的图象可能是( ) A B C D 7如图，在正ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且 ，AE=BE，则有( ) AAED ABC BADB BEDC BCDABCDAEDCBD 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分） 8当 x_时，二次根式 有意义 9若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是_ 10关于 x 的方程 x2mx2=0 有一根是1，则 m=_ 11如图，在ABC 中，DEBC，EC=2AE ，BD=6 ，则 AD=_
3、 12如图，已知ABCACP，A=70， APC=65，则B=_ 13随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是_ 14一个袋中装有 10 个红球、8 个黑球、6 个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任 意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是_ 15已知二次函数 y=ax2+bx +c（a 0）的图象如图所示，则 ac_0 （填“” 、 “=” 或“ ”） 16抛物线 y=2（x+2 ） 21 的顶点坐标是_ 17在 RtABC 中， C=90，AC=BC=4 ，D 是 AC 中点，则： （1）sin DBC=_； （2）tanDBA=_ 三、解答题（共 89 分） 18计算： 19解方
4、程：2 x（x 1）3（x 1）=0 20已知抛物线的顶点坐标为（1，2） ，且抛物线经过点（2，3） ，求抛物线的表达式 21一副直角三角板如图放置，点 A 在 ED 上，F=ACB=90 ，E=30， B=45， AC=12，试求 BD 的长 22如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ADB+EDC=120 （1）求证：ABD DCE； （2）若 BD=3，CE=2，求ABC 的边长 23一个不透明的口袋中装有 4个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，另外有一 个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字 1，2，3（
5、如图 所示） （1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为_； （2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中 摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5，那 么小龙去；否则小东去你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由 24如图，点 A、B 为 66 的网格中的格点，每个小正方形的边长都为 1，其中 A 点的坐 标为（0，4） （1）请直接写出 B 点的坐标； （2）若点 C 为 66 的网格中的格点，且 ACB=90，请求出符合条件的点 C 的坐标 25 （13 分）如图，在ABC 中，AB=6cm ，
6、BC=12cm ，B=90点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如 果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，设移动时间为 t（s） （1）当 t=2 时，求 PBQ 的面积； （2）当 t 为多少时，四边形 APQC 的面积最小？最小面积是多少？ （3）当 t 为多少时，PQB 与ABC 相似？ 26 （13 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，抛物线 y=a（x2） 2+k 经过点 A、B求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3
7、）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2014-2015 学年福建省泉州市安溪县九年级 （上）期末 数学试卷 一、选择题（每题 3 分，共 21 分每题有且只有一个正确答案，请将正确的代号填在题后 的括号内 ） 1下列计算正确的是( ) A B C D 【考点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的除法法则对 B 进行判断； 根据二次根式的乘法法则对 C、D 进行判断 【解答】解：A、 与 不能合并，所以 A 选项错误； B、原式= ，所以 B 选项错误；
8、C、原式= = ，所以 C 选项正确； D、原式=2 ，所以 D 选项错误 故选 C 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式 2cos60的值等于( ) A B C D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可 【解答】解：cos60= 故选：A 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键 3如图，一个正六边形转盘被分成 6 个全等三角形，任意转动这个转盘 1 次，当转盘停止 时，指针指向阴影区域的概率是( ) A B C D 【考点】几何概率 【分析】确定阴影部分的
9、面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转 动时指针指向阴影部分的概率 【解答】解：如图：转动转盘被均匀分成 6 部分，阴影部分占 2 份， 转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是： = ； 故选：C 【点评】本题考查了几何概率用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比 4已知 RtABC 中， C=90，A=50，AB=2，则 AC=( ) A2sin50 B2sin40 C2tan50 D2tan40 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对 边比邻边，可得答案 【解答】解：由 RtABC 中， C=90，A
10、=50，得 B=40， 由 sinB= ，得 AC=ABsinB=2sin40， 故选：B 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 5某商品经过两次降价，零售价降为原来的 ，已知两次降价的百分率均为 x，则列出方 程正确的是( ) A B C （1+x） 2=2 D （1x） 2=2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】可设原价为 1，关系式为：原价（1 降低的百分率） 2=现售价，把相关数值代入 即可 【解答】解：设原价为 1，则现售价为 ， 可得方程为：1（1x） 2= ， 故选
11、B 【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量（1x） 2=后来的量，增长 用+，减少用 6二次函数 y=x2+2x 的图象可能是( ) A B C D 【考点】二次函数的图象 【分析】由二次函数性质知道其对称轴 x= =1，当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0） 的开口向上，最后得到答案 【解答】解：二次函数 y=x2+2x， 此二次函数图象的开口向上，对称轴是 x=1， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的称轴 x= ；当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的开口向上，x 时，y 随 x 的增大而减小；x 时，y 随 x 的增 大而
12、增大 7如图，在正ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且 ，AE=BE，则有( ) AAED ABC BADB BEDC BCDABCDAEDCBD 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据等边三角形的性质得出角相等，再由已知条件求出 ，即两边对应成比 例并且夹角相等，因此两个三角形相似 【解答】解：ABC 是等边三角形， = ， AB=BC=AC，A= C， 设 AD=x，AC=3x， 则 BC=3x，CD=2x ， AE=BE= x， ， ， ， AEDCBD； 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等边三角形的性质；熟练掌握相似三角形的 判定方法是解决问题的关键 二、填
13、空题（每小题 4 分，共 40 分） 8当 xx1 时，二次根式 有意义 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，据此即可求解 【解答】解：根据题意得：x+10 解得：x1 故答案是：x1 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，是一个基础的题目 9若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 有实数根，则 a 的取值范围是 a1 【考点】根的判别式 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有实数根下必须满足=b 24ac0 【解答】解：因为关于 x 的一元二次方程有实根， 所以=b 24ac=
14、44a0， 解之得 a1 故答案为 a1 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有 实数根 10关于 x 的方程 x2mx2=0 有一根是1，则 m=1 【考点】一元二次方程的解 【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出 m 的值 【解答】解：方程 x2mx2=0 的一根是1， （ 1） 2m（1）2=0 ， 解答：m=1， 故答案为：1； 【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未 知数的值 11
15、如图，在ABC 中，DEBC，EC=2AE ，BD=6 ，则 AD=3 【考点】平行线分线段成比例 【专 题】计算题 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 DEBC 得到 = ，然后把 EC=2AE，BD=6 代入后利用比例的性质计算即可 【解答】解：DEBC， = ， EC=2AE，BD=6， = = ， AD=3 故答案为 3 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例 12如图，已知ABCACP，A=70， APC=65，则B=45 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形对应角相等可得ACB=APC=65，再根据三角形内角和定理即
16、可求解 【解答】解：ABCACP， ACB=APC=65， A=70， B=180AACB=1807065=45 故答案为 45 【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键也考 查了三角形内角和定理 13随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先可以利用列举法，求得随机掷一枚均匀的硬币两次所出现的所有等可能的结 果，然后利用概率公式直接求解即可 【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反 反， 两次都是正面朝上的概率是 【点评】此题考查了列举法求概率的知识解题的关键是注意不重不漏的列
17、举出所有等可 能的结果用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 14一个袋中装有 10 个红球、8 个黑球、6 个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任 意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是 【考点】概率公式 【分析】用黑球的个数除以所有球的个数即可求得摸到黑球的概率 【解答】解：共有 10+8+6=24 个球，其中黑球有 8 个， 从袋中任意摸出一个球，那么摸到黑球的概率是 = ， 故答案为： 【点评】考查了概率的公式，解题时用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 15已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则 ac0 （填“”、 “=”或“ ”） 【考点】二
18、次函数图象与系数的关系 【分析】根据开口方向、抛物线与 y 轴的交点，确定 a、c 的符号，得到答案 【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线与 y 轴交于正半轴， c0，ac0 故答案为： 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形 结合思想是解题的关键 16抛物线 y=2（x+2 ） 21 的顶点坐标是（2， 1） 【考点】二次函数的性质 【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论 【解答】解：抛物线的解析式为：y=2（x+2 ） 21， 其顶点坐标为（ 2，1） 故答案为：（2， 1） 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题
19、的关键 17在 RtABC 中， C=90，AC=BC=4 ，D 是 AC 中点，则： （1）sin DBC= ； （2）tanDBA= 【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形 【分析】 （1）先由 D 是 AC 中点，AC=4，得出 CD= AC=2，然后在 RtBCD 中，利用勾 股定理求出 BD= =2 ，再根据三角函数定义即可求出 sinDBC 的值； （2）过点 D 作 DEAB 于点 E，先由 ABC 是等腰直角三角形，得出 A=ABC=45， AB=4 再证明ADE 是等腰直角三角 形，得出 DE=AE= AD= ，于是 BE=ABAE=4 =3 ，然后在 RtBDE 中
20、，根据三角函数定义即可求出 tanDBA 的 值 【解答】解：（1）D 是 AC 中点，AC=4， CD=AD= AC=2， 在 RtBCD 中，C=90 ，BC=4，CD=2， BD= =2 ， sinDBC= = = ； （2）过点 D 作 DEAB 于点 E， 在 RtABC 中，C=90 ，AC=BC=4 ， A=ABC=45，AB=4 在 RtADE 中，AED=90 ， A=45，AD=2， DE=AE= AD= ， BE=ABAE=4 =3 ， 在 RtBDE 中，tanDBA= = = 故答案为： ； 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三
21、角 函数的定义，难度适中准确作出辅助线构造直角三角形是解决（2）小题的关键 三、解答题（共 89 分） 18计算： 【考点】二次 根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算得到原式= +31，然后 合并即可 【解答】解：原式= +31 =3 32 +2 = 1 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式 19解方程：2x（x1） 3（x 1）=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】将（x1）作为公因式，提公因式解答即可 【解答】解：原方程可化为（x1） （2x 3）=0 ， 解得
22、x1=1，x 2= 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法， 配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 20已知抛物线的顶点坐标为（1，2） ，且抛物线经过点（2，3） ，求抛物线的表达式 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】抛物线的顶点式解析式 y=a（xh） 2+k 代入顶点坐标另一点求出 a 的值即可 【解答】解：由抛物线的顶点坐标为（1，2） ，设抛物线的表达式为 y=a（x 1） 22， 抛物线经过点（2，3） ， 3=a（ 21） 22， 解得 a=5， 所求的二次函数的表达式为 y=5（x1） 22 【点评】此题考
23、查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数 解析式的形式解决问题是解题的关键 21一副直角三角板如图放置，点 A 在 ED 上，F=ACB=90 ，E=30， B=45， AC=12，试求 BD 的长 【考点】解直角三角形 【分析】先解 RtABC，由ACB=90，B=45，得出 BC=AC=12再解 RtACD，求出 ADC=90E=60，根据三角函数定义得到 CD= =4 ，那么 BD=BCDC=124 【解答】解：在 RtABC 中， ACB=90，B=45， BC=AC=12 在 RtACD 中， ACD=90，ADC=90E=60 ， CD= =4 ， BD=B
24、CDC=124 【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，求出 BC 与 DC 的长是解题的 关键 22如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ADB+EDC=120 （1）求证：ABD DCE； （2）若 BD=3，CE=2，求ABC 的边长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）根据等边三角形性质求出B=C=60，根据等式性质求出 BAD=CDE，即 可证明ABD DCE； （2）由（1）知道ABDDCE，对应边成比例得出 ，列方程解答即可 【解答】解：（1）ABC 为正三角形， B=C=60， ADB+BAD=120， ADB+CD
25、E=120， BAD=CDE， ABDDCE （2）ABD DCE ， 设正三角形边长为 x， 则 ， 解得 x=9， 即ABC 的边长为 9 【点评】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用性质 进行推理和计算的能力能够证明ABD DCE是解决问题的关键 23一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，另外有一 个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字 1，2，3（如图 所示） （1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为 ； （2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则
26、为：一人从口袋中 摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5，那 么小龙去；否则小东去你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法 【分析】 （1）因为口袋中有 4 个小球，大于 2 的有两个分别是 3，4，由此可求出其概率 （2）游戏公平，分别求出题目各自获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公 平 【解答】解：（1）的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4， 从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为 ； 故答案为： ； （2）游戏公平 列举所有等可能的结果 12
27、个： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5 的概率为 P= ， 游戏公平 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不 遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就 公平，否则游戏不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 24如图，点 A、B 为 66 的网格中的格点，每个小正方形的边长都为 1，其中 A 点的坐 标为（0，4） （1）请直接写出 B 点的坐标； （2）若点 C 为 66 的网格中的格点，且 ACB=90，请求出符合条件的
28、点 C 的坐标 【考点】勾股定理；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理 【分析】 （1）由 A 点的坐标为（ 0，4）可建立平面直角坐标系，由此即可求出点 B 的坐标； （2）由（1）中的平面直角坐标系，当ACB=90，利用勾股定理的逆定理即可求出符合 条件的点 C 的坐标 【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则点 B（ 2，0） ； （2）如图所示：则 C（0，0 ）或（ 2，4）或 C（1，1）或 C（1，3） 【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是熟记勾股定理以及其逆 定理勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的 平方；勾股定理
29、的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形 就是直角三角形 25 （13 分）如图，在ABC 中，AB=6cm ，BC=12cm ，B=90点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如 果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，设移动时间为 t（s） （1）当 t=2 时，求 PBQ 的面积； （2）当 t 为多少时，四边形 APQC 的面积最小？最小面积是多少？ （3）当 t 为多少时，PQB 与ABC 相似？ 【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值
30、 【专题】动点型 【分析】 （1）根据直角三角形的面积公式求解即可； （2）四边形 APQC 的面积=ABC 的面积 PBQ 的面积，再根据配方法即可求解； （3）分两种情况讨论，BPQBAC， BPQCBA，列比例式求解即可 【解答】解：（1）当 t=2 时， AP=2，BQ=4，PB=4， SPBQ= BPBQ=8（cm 2） ， （2）AP=t，BQ=2t，PB=6t ， S 四边形 APQC= ABBC BPBQ=36（6 t）t=t 26t+36=（ t3） 2+27， 当 t=3 时，S 四边形 APQC 有最小值 27cm2 （3）PQB、ABC 是直角三角形 由 即 解得 t=
31、3， 由 即 解得 t=1.2， 当 t=1.2 或 t=3 时，PQB 与 ABC 相似 【点评】此题主要考查了二次函数应用和相似三角形的判定，熟悉二次函数的性质和相似 三角形的判定是解决问题的关键 26 （13 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，抛物线 y=a（x2） 2+k 经过点 A、B求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）由 y=3x+3 得，当 x
32、=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1，即可确定点 A，B 的坐标； （2）把点 A（1，0） 、B（0，3）代入 y=a（x2） 2+k 得： ，解得 ，即可解答； （3）存在，由 AO=1，BO=3，得到 AB= 设对称 x 轴交于点 D，P（2y） ， D（2，0） ，所以 DA=1，PD=|y|，PA 2=PD2+DA2=y2+1， 分三种情况讨论解答：当 PA=AB 即 PA2=AB2=10 时；当 PB=AB 即 PB2=AB2=10 时；当 PA=PB 即 PA2=PB2 时 【解答】解：（1）由 y=3x+3 得，当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1 A（ 1， 0
33、） 、B（0，3） （2）把点 A（1，0 ） 、B （0，3）代入 y=a（x 2） 2+k 得： 解得 抛物线的函数表达式为 y=（ x2） 21 （3）AO=1 ，BO=3， AB= 设对称 x 轴交于点 D，P （2，y） ，D （2，0） ， DA=1，PD=|y|，PA 2=PD2+DA2=y2+1， 当 PA=AB 即 PA2=AB2=10 时， y2+1=10， 解得 y=3 P（ 2，3） ， 但当 P（2，3）时，P、A、 B 在同一条直线上，不合题意舍去 P1（ 2，3） ， 当 PB=AB 即 PB2=AB2=10 时，如图，过 B 作 BE对称轴于点 E， 则 E（2，3） ，EB=2 ，PE 2=（ y3） 2， PB2=PE2+BE2=（y 3） 2+4=10， 解得 P2（ 2，3+ ） 、P 3（2，3 ） ，当 PA=PB 即 PA2=PB2 时， y2+1=（ y3） 2+4 解得 y=2， P4（ 2，2） 综上所述，所求的点为 P1（2，3） ，P 2（2，3+ ） ，P 3（2，3 ） ，P 4（2，2） 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等 腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，在（3）中解决问题的关键是采用分类讨论 思想解答
