1、第 1 页 共 9 页 福建省莆田一中 2008-2009 学年第一学期期末考试卷 高三数 学(理科) 注意事项： 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，否则答案无效 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（AB）= P（A）+ P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）= P（A） P（B）2221136n 第一部分 选择题( 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ,则集合 的(,)|0,(,)|0,AxyxyRBxyxyRAB 元素个数是 A. 0 B. 1
2、 C. 2 D. 3 2已知向量 和向量 对应的复数分别为 和 ，则向量 对应的复数为OC34iC A B C D53i5i155i 3.函数 的最小正周期是()snco()fxxR A. B. C. D. 223 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,那么这个椭圆的离心率为 A. B. C. D. 543212 5.如图 1 所示的算法流程图中，第 3 个输出的数是 A. 1 B. C. 2 D. 5 6.如果一个几何体的三视图如图 2 所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是 4 A. 22(806)cm B. 429 C. 主视图 左视图2(1)c 4 D. 2m 结束 N=
3、1 A=1 输出 A N=N+15N 开始 12A 图 1 图 2俯视图 是 否 第 2 页 共 9 页 7函数 的图像大致是ln1fx 8某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任正、副班长，其中至 少有 1 名女生当选的概率是 A B C D7277475 9.若函数 有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是3()fxaa A. B. C. D. 2,2,1, 10.如图 3 所示,面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 此四边形Si(1,234),i 内任一点 P 到第 条边的距离记为 ，若i(,234)ih .类比以上性质，体积为 V 三棱锥的第 个面的面积
4、 431241,()iiakk则 i 记为 ，(,)iS 此三棱锥内任一点 Q 到第 个面的距离记为 ，i(1,234)iH 若 431241,()iiK则 A. B. 4VKV C. D. 2 第二部分 非选择题 (共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11.命题“若 ”的逆命题是 20, 0mxm则 方 程 有 实 数 根 12.已知数列 则 , 1,na为 奇 数为 偶 数 10a1234910aa a2 a3 a1 a4 h2 h3 h4 h1 P 图 3 x y O D x y O B x y O A x y O C 第 3 页 共 9 页
5、 13已知 且 与 垂直，则实数 的值为 .,3,2,baba2 14.不等式组 所确定的平面区域记为 ,若圆 上的所有点都 02xy D22:Oxyr 在区域 内上，则圆 的面积的最大值是 DO 15设奇函数 上是单调函数，且 若函数 对所1,)(在xf ,1)(f 12)(atxf 有的 都成立，当 时，则 的取值范围是 ,1x,at 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 16 （本小题满分 12 分） 已知 a、b、c 分别是 ABC 中角 A、B、C 的对边，且 22acba （）求角 的大小； （）若 ，求 的值B3ctnA 17
6、（本小题满分 14 分） 如图，正方体 的棱长为 2，E 为 AB 的中1DAC 点 ()求证： 1B平 面 ()求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值； （）求点 B 到平面 的距离.ECA 18 （本小题满分 14 分） 某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 艘的产值函数为x （单位：万元） ，成本函数为 （单位：万元）23()370451Rxx()4605Cx ，又在经济学中，函数 的边际函数 定义为 。()f()Mf 1)(ffx （）求利润函数 及边际利润函数 ；（提示：利润=产值 成本）PxPx （）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （）求边际利润函数
7、单调递减时 的取值范围，并说明单调递减在本题中() 的实际意义是什么？ 19 （本小题满分 12 分） 中央电视台同一首歌大型演唱会曾在我市湄洲岛举行，之前甲、乙两人参加 1BCEDBA11A 第 4 页 共 9 页 x y 大会青年志愿者的选拔已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答 对其中的 8 题。规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才 能入选 （）求甲答对试题数 的概率分布（列表）及数学期望； （）求甲、乙两人至少有一人入选的概率 20.(本小题满分 14 分) 如图所示，已知曲线 交于点 O、A ，直线2212:(1)Cyxyxa与
8、曲 线 与曲线 、 分别交于点 D、B，连结 OD，DA，AB.(0)xt2 (1) 求证:曲边四边形 ABOD（阴影部分）的 面积 的函数表达式为()Sft321()(01)6ftat (2)求函数 在区间 上的最大值. )f, 21 （本小题满分 14 分） 已知曲线 ： （其中 为自然对数的底数）在点 处的切线与 轴交于Cxye1,Pex 点 ，过点 作 轴的垂线交曲线 于点 ，曲线 在点 处的切线与 轴交于1Q1 C1 点 ，过点 作 轴的垂线交曲线 于点 ，依次下去得到一系列点 、22x2 1P 、 ，设点 的坐标为 （ ） PnnP,nxy*N （）分别求 与 的表达式；xy （）
9、设 O 为坐标原点，求 21 niiOX=t 4 3 2 1 -1 -2 -2 2 4 6 D B A O x 第 5 页 共 9 页 莆田一中 2008-2009 学年第一学期期末考试卷 高三 数学(理) 参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C A B D A B 二、填空题(本大题共 5 小题，满分 20 分) 则 0 ; 100、 5000； ； ； 20xm若 方 程 有 实 数 根 m2 345 tt或或 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分) 16 （本小
10、题满分 12 分） （）解：由余弦定理，得 (2 分) ， (4 22cosacbB10B3 分) （）解法一：将 代入 ，得 6 分322c7a 由余弦定理，得 8 分57cos14bcaA ， (10 分) 02inossin3taco5A (12 分) 解法二：将 代入 ，得 6 分3ca22cba7a 由正弦定理，得 (8 分) ， sin7siBA3B21sin4A (10 分) 又 ，则 ， 。 7ba257cos1in4Asi3taco5 (12 分) 解法三： ， 由正弦定理，得 63csi3iC 分 ， 8B23CAB2in3sinA 分 1022sincosinsi3331
11、cosin3si2 第 6 页 共 9 页 分 12 分sin3taco5A 17 （本小题满分 14 分） 解法一：（1）连接 BD，由已知有 ABCD平 面1 得 1 分DAC1 又由 ABCD 是正方形，得： 2 分 与 相交，ACD1B 3 分1B平 面 （2）延长 DC 至 G，使 CG=EB，,连结 BG、D 1G ， ，四边形 EBGC 是平行四边 形. BGEC. 就是异面直线 BD1 与 CE 所成角5 分D1 在 中， 6 分B1321325B， 53cos121G 异面直线 与 CE 所成角的余弦值是 8 分1BD5 （3） 又 点 E 到 的距CEA11CEA321CA
12、CA1 离 ，有： 235d 6211dS ，11 分11BSEA 又由 ， 设点 B 到平面 的距离为 ，CBV11 ECA1h 则 ， 有 ， ， 所以点 B 到平面 的距离ShEBAECA11326h36ECA1 为 14 分6 解法二：（1）见解法一3 分 （2）以 D 为原点，DA、DC 、 为 轴建立空间直角坐标系，则有 B（2，2，0） 、1Dzyx, （0，0，2） 、E（2，1，0 ） 、C（0，2，0） 、 （2，0，2） （-2 ，-2，2） ，1 1A1D EBC/ 第 7 页 共 9 页 （2，-1，0）5 分CE 7 分 即余弦值是1532,cos11 CEBD 1
13、5 8 分 （3）设平面 的法向量为 ， 有： ， ，8A1 ),(zyxn01nEAC 分 由： （0，1，-2） ， （2，-1 ，0）9 分ECE 可得： ，令 ，得 11 分2yxz)1,(n 由 （0，1，0） 有：点 B 到平面 的距离B ECA1 为 14 分362nEh 18 （本小题满分 14 分） 解：（） , ; 2 分32()()104505PxRCxx*(,x0)xN且 1 , . 4 分2M167*()9且 （） () ().2x309x3x9 (), P12P0且且 且. 12()xPx， 有 最 大 值 . 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大
14、8 分 （） 11 分() )2Mx306x75=3x5,( 所以，当 时， 单调递减， 的取值范围为 ，且 12 分1() 19.xN 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少14 分()P 19 （本小题满分 12 分） 解：（）依题意，甲答对试题数 的可能取值为 0、1、2、3，则 ， ， ， 3410()C126430()CP216430()CP3610()CP (4 分) 第 8 页 共 9 页 其分布列如下： 甲答对试题数 的数学期望： E= 6 分596132103 （）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)= = ， P(B)= 9 分 31064
15、 26C3154206310828C 因为事件 A、B 相互独立， 甲、乙两人考试均不合格的概率为 ，4513A 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 451BP 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 12 分45 另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为（三种情况两两互斥、A、B 相互独立） 45132132BAPP 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 20. （本小题满分 14 分） 解：(1)由 又由已知得 2 2(0,),)yxOAaa得 点 22(,),(BtatD 2 分 故 222201()()(tSxdtttt 3216t 6 分32)0)6ftat 8 分
16、2211(2(,0:(2)2)fttfttaaa 令 即解 得 或 由 舍 去 若 1即 时 ,01,()0tft 10 分21() 6ft fa在 区 间 (0,上 单 调 递 增 ,S的 最 大 值 是221a若 即 时 , t, 0 1 2 3 P 36 第 9 页 共 9 页 (2)ta当 0时 ,()0ft()fta在 区 间 (0,2-上 单 调 递 增 当 1t时 ,1在 区 间 上 单 调 递 减 13 分32()()(1)ftf a的 最 大 值 是 综上所述 14 分 2max3,6() 2(1),fta 21. （本小题满分 14 分） 解：（） ，曲线 ： 在点 处的切线方程为 ，即xyeCxye1,P1yex yex 此切线与 轴的交点 的坐标为 ，点 的坐标为 2 分1Q0,10, 点 （ ） ，曲线 ： 在点 处的切线方程为 nP,*Nxyen nxnyex 4 分 令 ，得点 的横坐标为 0y1n1n 数列 是以 0 为首项， 为公差的等差数列。 ， （ ） nx1nx1nye*N 7 分 （） ， （8 分）2212iiiiOPye22 2131ni ni PO 10 分21202241 neee 12 分241n 14 分 226nne2161ne
