1、2017-2018 学年河北省秦皇岛市青龙县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 16 个小题，每小题各 2 分，共 32 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，把选项的序号填入卷 I 对应表格中 ） 1 （2 分）下列各数，是无理数的是（ ） A B C D 2 （2 分）下列各式： ， ， ， ， ，其中分式共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （2 分）下列各数，准确数是（ ） A小亮同学的身高是 1.72m B小明同学买了 6 支铅笔 C教室的面积是 60m2 D小兰在菜市场买了 3 斤西红柿 4 （2 分）要使分式 有意义，x 应满足的条
2、件是（ ） Ax 3 Bx=3 Cx 3 Dx 3 5 （2 分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （2 分）计算 a 的结果是（ ） Aa Ba 2 C D 7 （2 分）如图，直线 l1， l2，l 3 表示三条相交叉的公路现在要建一个加油站，要求 它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ） A四处 B三处 C两处 D一处 8 （2 分）若将分式 的分子、分母中的字母的系数都扩大 10 倍，则分式的值（ ） A扩大 10 倍 B扩大 100 倍 C不变 D缩小 10 倍 9 （2 分）如图所示，在ABC 中，ACB=90 ，BE 平分A
3、BC，DEAB 于点 D，如果 AC=3cm，那么 AE+DE 等于（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 10 （2 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 11 （2 分）下列命题中，属于假命题的是（ ） A三角形三个内角和等于 180 B两直线平行，同位角相等 C同位角相等，两直线平行 D相等的两个角是对顶角 12 （2 分）下列约分正确的是（ ） A = B =1 C =1 D =1 13 （2 分）等腰三角形有两条边长为 5cm 和 9cm，则该三角形的周长是（ ） A19cm B23cm C19cm 或 23cm D18cm 14 （2 分）用反证法证明“
4、一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（ ） A假设一个三角形中只有一个锐角 B假设一个三角形中至多有两个锐角 C假设一个三角形中没有一个锐角 D假设一个三角形中至少有两个钝角 15 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC=6，CD=3 ，将 BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C处， BC交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为（ ） A3 B C5 D 16 （2 分）如图，直角三角板 ABC 的斜边 AB=12cm，A=30 ，将三角板 ABC 绕 C 顺 时针旋转 90至三角板 ABC的位置后，再沿 CB 方向向左平移，使点 B落在原三角 板 ABC 的斜边 A
5、B 上，则三角板 ABC平移的距离为（ ） A6cm B4cm C （6 ）cm D （ ）cm 二、填空题（本大题共 10 个小题，每题 2 分，共 20 分 17 （2 分）4 的平方根是 18 （2 分）把 3.2968 按四舍五入精确到 0.01 得 19 （2 分）使二次根式 有意义的 x 的取值范围是 20 （2 分）若分式 的值是 0，则 x 的值是 21 （2 分）分母有理化： = 22 （2 分）对分式 、 、 进行通分，确定的最简公分母应是 23 （2 分）如图，点 D 在ABC 的中线 AM 的延长线上，若使AMC DMB ，则需 添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加
6、辅助线） 24 （2 分）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 25 （2 分）如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从 一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米 26 （2 分）如图，OP=1 ，过 P 作 PP1OP 且 PP1=1，得 OP1= ；再过 P1 作 P1P2OP 1 且 P1P2=1，得 OP2= ；又过 P2 作 P2P3OP 2 且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续作 下去，得 OP2017= 三、解答题（本大题共 48 分.解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 27 （16 分）计算：
7、（1） （1+ ） （2） （5+ ） （ 3） （3）解方程： 1= （4）化简求值：（ + ） ，其中 x=1 28 （6 分）如图，已知点 A、E 、F 、C 在同一直线上， AE=CF，ADBC ，B=D，求 证：AD=BC 29 （8 分）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造已知这项工 程由甲工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天，那么剩下的 工程还需要两队合做 20 天才能完成 （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数 30 （8 分）已知：如图，在ABC 中，ACB=90，D 为 AC 上一点，
8、DEAB，垂足为 E，且 BE=BC，BD 与 CE 相交于 F，求证：EF=CF 31 （10 分）如图，在ABC 中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等， 请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与CQP 全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来
9、的运动速度从点 B 出发都逆时 针沿ABC 三边运动，直接写出经过多少秒后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的那一 条边上相遇 2017-2018 学年河北省秦皇岛市青龙县八年级（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 16 个小题，每小题各 2 分，共 32 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，把选项的序号填入卷 I 对应表格中 ） 1 （2 分）下列各数，是无理数的是（ ） A B C D 【分析】根据立方根、平方根计算，根据无理数的概念判断 【解答】解：A、 =2，是有理数； B、 =4，是有理数； C、 是有理数； D、 是无理数， 故选：D
10、 【点评】本题考查的是无理数的概念、掌握平方根、立方根的计算方法是解题的关 键 2 （2 分）下列各式： ， ， ， ， ，其中分式共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】直接利用分式的定义分析得出答案 【解答】解： ， ， ， ， ，其中分式有： ， ， 共 3 个 故选：C 【点评】此题主要考查了分式的定义，正确把握定义是解题关键 3 （2 分）下列各数，准确数是（ ） A小亮同学的身高是 1.72m B小明同学买了 6 支铅笔 C教室的面积是 60m2 D小兰在菜市场买了 3 斤西红柿 【分析】根据准确数和近似数的定义对各选项进行判断 【解答】解：A、小亮同学的身高是
11、 1.72m，其中 1.72 为近似数，所以 A 选项错误； B、小明同学买了 6 支铅笔，其中 6 为准确数，所以 B 选项正确； C、教室的面积为 60m2，其中 60 为近似数，所以 C 选项错误； D、小兰在菜市场买了 3 斤西红柿，其中 3 为近似数，所以 D 选项错误 故选：B 【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度 表示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法从一个数的左边第一个 不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 4 （2 分）要使分式 有意义，x 应满足的条件是（ ） Ax 3 Bx=3 Cx 3 Dx 3
12、【分析】根据分式有意义的条件：分母0，列式解出即可 【解答】解：当 x30 时，分式 有意义， 即当 x3 时，分式 有意义， 故选：D 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0 5 （2 分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图 形，以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】解：A、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形， 是轴对称图形，故 A 选项错误； B、此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，也不是轴对 称图形
13、，故 B 选项错误； C、 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形，是轴对称图 形，故 C 选项错误； D、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形， 故 D 选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解 决问题的关键 6 （2 分）计算 a 的结果是（ ） Aa Ba 2 C D 【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案 【解答】解：a =a = 故选：C 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 7 （2 分）如图，直线 l1， l2，l 3 表示三条
14、相交叉的公路现在要建一个加油站，要求 它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ） A四处 B三处 C两处 D一处 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分 线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交 点到其三边的距离也相等，这样的点有 3 个，可得可供选择的地址有 4 个 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处 故选：A 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解 题的关键，作出图形更形象直观 8 （2 分）若将分式 的分子
15、、分母中的字母的系数都扩大 10 倍，则分式的值（ ） A扩大 10 倍 B扩大 100 倍 C不变 D缩小 10 倍 【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案 【解答】解：将分式 的分子、分母中的字母的系数都扩大 10 倍， 则 = ， 故分式的值不变 故选：C 【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质进行化简是解题 关键 9 （2 分）如图所示，在ABC 中，ACB=90 ，BE 平分ABC，DEAB 于点 D，如果 AC=3cm，那么 AE+DE 等于（ ） A2cm B3cm C4cm D5cm 【分析】直接利用角平分线的性质得出 DE=EC，进而得出答案 【解答
16、】解：ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，DEAB 于点 D， EC=DE ， AE +DE=AE+EC=3cm 故选：B 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，得出 EC=DE 是解题关键 10 （2 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式 的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、 是最简二次根式，正确； B、 不是最简二次根式，错误； C、 不是最简二次根式，错误； D、 不是最简二次根式，错误； 故选：A 【点评】此题考查最简二次根式，根据最简二次
17、根式的定义，最简二次根式必须满足 两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 11 （2 分）下列命题中，属于假命题的是（ ） A三角形三个内角和等于 180 B两直线平行，同位角相等 C同位角相等，两直线平行 D相等的两个角是对顶角 【分析】根据三角形内角和定理、平行线的判定和性质定理、对顶角的概念判断即 可 【解答】解：三角形三个内角和等于 180，A 是真命题； 两直线平行，同位角相等，B 是真命题； 同位角相等，两直线平行，C 是真命题； 相等的两个角不一定是对顶角，D 是假命题； 故选：D 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错
18、误的命题叫做假命 题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 12 （2 分）下列约分正确的是（ ） A = B =1 C =1 D =1 【分析】根据分式的基本性质作答分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为 0 的数或整式，分式的值不变 【解答】解： = =1， 故选：C 【点评】本题考查了分式的约分的知识，是分式运算的基础，应要求学生重点掌握 13 （2 分）等腰三角形有两条边长为 5cm 和 9cm，则该三角形的周长是（ ） A19cm B23cm C19cm 或 23cm D18cm 【分析】由于等腰三角形的腰和底边的长不能确定，故应分两种情况进行讨论 【解答】解：当等腰三角形的腰
19、长为 5cm，底边长为 9cm 时， 5+5 9 ，9 55， 能够成三角形， 三角形的周长=5+5+9=19cm； 当等腰三角形的腰长为 9cm，底边长为 5cm 时， 9+5 9 ，9 55， 能够成三角形， 三角形的周长=9+9+5=23cm； 该三角形的周长是 19cm 或 23cm 故选：C 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解答此题时要注意分 类讨论，不要漏解 14 （2 分）用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（ ） A假设一个三角形中只有一个锐角 B假设一个三角形中至多有两个锐角 C假设一个三角形中没有一个锐角 D假设一个三角形中
20、至少有两个钝角 【分析】熟记反证法的步骤，利用“至少有两个” 的反面为“最多有一个” 或者从钝角个数 入手分析，据此直接写出逆命题即可 【解答】解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形 中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角 故选：D 【点评】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步 骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种， 那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定 15 （2 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC=6，CD=3 ，将 BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C处，
21、 BC交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为（ ） A3 B C5 D 【分析】首先根据题意得到 BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段 AB、AE、BE 的方 程，解方程即可解决问题 【解答】解：设 ED=x，则 AE=6x， 四边形 ABCD 为矩形， ADBC， EDB= DBC； 由题意得：EBD=DBC ， EDB= EBD， EB=ED=x； 由勾股定理得： BE2=AB2+AE2， 即 x2=9+（6 x） 2， 解得：x=3.75 ， ED=3.75 故选：B 【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻 折变换的性质，结合全等三角形的判定及其
22、性质、勾股定理等几何知识，灵活进行 判断、分析、推理或解答 16 （2 分）如图，直角三角板 ABC 的斜边 AB=12cm，A=30 ，将三角板 ABC 绕 C 顺 时针旋转 90至三角板 ABC的位置后，再沿 CB 方向向左平移，使点 B落在原三角 板 ABC 的斜边 AB 上，则三角板 ABC平移的距离为（ ） A6cm B4cm C （6 ）cm D （ ）cm 【分析】如图，过 B作 BDAC，垂足为 B，则三角板 ABC平移的距离为 BD的长， 根据 AB=ACBC，A=30，在 RtABD 中，解直角三角形求 BD即可 【解答】解：如图，过 B作 BDAC，垂足为 B， 在 Rt
23、ABC 中，AB=12，A=30， BC= AB=6，AC=ABcos30=6 ， 由旋转的性质可知 BC=BC=6， AB=ACBC=6 6， 在 RtABD 中，A=30， BD=ABtan30=（6 6） =（6 2 ）cm 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质，30直角三角形的性质，平移的问题关键是找出表 示平移长度的线段，把问题集中在小直角三角形中求解 二、填空题（本大题共 10 个小题，每题 2 分，共 20 分 17 （2 分）4 的平方根是 2 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就 是 a 的平方根，由此即可解决问题 【
24、解答】解：（2） 2=4， 4 的平方根是2 故答案为：2 【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 18 （2 分）把 3.2968 按四舍五入精确到 0.01 得 3.30 【分析】根据近似数的精确度求解 【解答】解：把 3.2968 按四舍五入精确到 0.01 得 3.30 故答案为：3.30 【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数 的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数 字近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示一般有，精确到哪一位，保 留几个有效数
25、字等说法 19 （2 分）使二次根式 有意义的 x 的取值范围是 x5 【分析】根据二次根式有意义的条件得到 x+50 ，然后解不等式即可 【解答】解：二次根式 有意义， x+50，即 x5 故答案为 x5 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件： 有意义的条件为 a0 20 （2 分）若分式 的值是 0，则 x 的值是 1 【分析】根据分式的值为零的条件列出方程，解方程即可 【解答】解：由题意得，x1=0， 解得，x=1， 当 x=1 时，3x+1 0， 故答案为：1 【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且 分母不等于零是解题的关键 21 （2 分）分母有
26、理化： = 【分析】原式分母有理化即可得到结果 【解答】解：原式= = = ， 故答案为： 【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22 （2 分）对分式 、 、 进行通分，确定的最简公分母应是 4a 2b3 【分析】根据确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可得出答案 【解答】解：分式 、 、 的最简公分母为 4a2b3 故答案为：4a 2b3 【点评】本题考查了最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式 的最高次幂
27、的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母通分的关键是准确求出 各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握 23 （2 分）如图，点 D 在ABC 的中线 AM 的延长线上，若使AMC DMB ，则需 添加的一个条件是 AM=DM 或MAC= MDB 或MCA=MBD 或 ACDB （只 写一个即可，不添加辅助线） 【分析】根据全等三角形的判定解答即可 【解答】解：添加的条件有：AM=DM 或MAC= MDB 或MCA=MBD 或 ACDB， 添加 AM=DM 时， 在AMC 与 DMB 中 ， AMC DMB（SAS ） ， 故答案为：AM=DM 或MAC=MDB 或MCA=
28、MBD 或 ACDB 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪 一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第 三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边， 若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边 24 （2 分）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 到线段 两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 【分析】把原命题的题设与结论交换得到逆命题 【解答】解：命题“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段 两端的距离相等的点在线段垂直平分线上， 故答案
29、为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够区分原命题的题设和结论， 难度不大 25 （2 分）如图，有两棵树，一棵高 12 米，另一棵高 6 米，两树相距 8 米，一只鸟从 一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米 【分析】根据“ 两点之间线段最短” 可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行 的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出 【解答】解：如图，设大树高为 AB=12m， 小树高为 CD=6m， 过 C 点作 CEAB 于 E，则四边形 EBDC 是矩形， 连接 AC， EB=6m，EC=8m，AE=AB
30、 EB=126=6（m） ， 在 RtAEC 中， AC= =10（m ） 故小鸟至少飞行 10m 故答案为：10 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际 问题的能力 26 （2 分）如图，OP=1 ，过 P 作 PP1OP 且 PP1=1，得 OP1= ；再过 P1 作 P1P2OP 1 且 P1P2=1，得 OP2= ；又过 P2 作 P2P3OP 2 且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续作 下去，得 OP2017= 【分析】首先根据勾股定理求出 OP4，再由 OP1，OP 2，OP 3 的长度找到规律进而求出 OP2017 的长 【解答】解：由
31、勾股定理得： OP1= = ； 得 OP2= ； 得 OP3=2； OP4= = ； 依此类推可得 OPn= ， OP 2017= = ， 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律 三、解答题（本大题共 48 分.解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 27 （16 分）计算： （1） （1+ ） （2） （5+ ） （ 3） （3）解方程： 1= （4）化简求值：（ + ） ，其中 x=1 【分析】 （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （3）先将方程两边都乘以 2（3x 1）化分式方程为
32、整式方程，解之求得 x 的值，检验 即可得； （4）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：（1）原式= = = ； （2）原式=5 15+33 =2 12； （3）两边都乘以 2（3x1） ，得：42（3x1）=3， 解得：x= ， 经检验：x= 是原方程的解； （4）原式= = =3x+2， 当 x=1 时，原式=5 【点评】此题考查了分式的混合运算化简求值与解分式方程，解题的关键是掌握分式 的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤 28 （6 分）如图，已知点 A、E 、F 、C 在同一直线上， AE=CF，ADBC ，B=D，求 证：AD=B
33、C 【分析】欲证明 AD=BC，只要证明ADFCBE 即可； 【解答】证明：AE=CF， AF=CE， ADBC， A=C ， 在ADF 和CBE 中， ， ADFCBE， AD=BC 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判 定方法，属于中考常考题型 29 （8 分）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造已知这项工 程由甲工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天，那么剩下的 工程还需要两队合做 20 天才能完成 （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数 【分析】本题的等量关系为
34、：工作时间=工作总量工作效率，根据题意可得出：甲队 的总工作量+乙队的总工作量=1，由此可列出方程求解 【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要 x 天， 根据题意得： 20=1， 解之得：x=60， 经检验，x=60 是原方程的解 答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为 60 天 （2）设两队合做完成这项工程所需的天数为 y 天， 根据题意得： y=1， 解之得：y=24 答：两队合做完成这项工程所需的天数为 24 天 【点评】本题主要考查分式方程的应用，考查学生对方程知识的应用能力，属于中难 度题 30 （8 分）已知：如图，在ABC 中，ACB=90，D 为 AC 上一点，DE
35、AB，垂足为 E，且 BE=BC，BD 与 CE 相交于 F，求证：EF=CF 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可证明； 【解答】证明：DEAB， BED=90 ， BE=BC，BD=BD， RtBEDRtBCD （HL） ， EBD= CBD， EF=CF（三线合一） 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 31 （10 分）如图，在ABC 中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点 D 为 AB 的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段
36、CA 上由点 C 向点 A 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等， 请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与CQP 全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 出发都逆时 针沿ABC 三边运动，直接写出经过多少秒后，点 P 与点 Q 第一次在ABC 的那一 条边上相遇 【分析】 （1）根据 SAS 即可判断； 利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间路程、速度之间的关系即可解 决问题； （2）求出 Q 的运动路程，与根据
37、三角形 ABC 周长的整数倍进行比较，即可得出相遇 点的位置 【解答】解：（1）BPD 与CQP 全等， 点 P 的运动速度是 1cm/s， 点 Q 的运动速度是 1cm/s， 运动 1 秒时，BP=CQ=1cm， BC=6cm， CP=5cm， AB=10，D 为 AB 的中点， BD=5， BD=CP， AB=AC， B= C， BPDCQP 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则 BPCQ， 若BPD 与CQP 全等，只能 BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm， 此时，点 P 运动 3cm，需 3 秒，而点 Q 运动 5cm， 点 Q 的运动速度是 cm/s （2）设经过 t 秒时，P 、Q 第一次相遇， P 的速度是 1 厘米/秒，Q 的速度是 厘米/秒， 10+10+t= t， 解得：t=30， 此时点 Q 的路程 =30 =50（厘米） ， 502 26， 此时点 Q 在 BC 上， 经过 30 秒后点 P 与点 Q 第一次在ABC 的边 BC 上相遇 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形 的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性 质解题时注意全等三角形的对应边相等
