1、第 1 页（共 30 页） 2016-2017 学年天津市西青区九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1下列事件中，属于必然事件的是（ ） A明天我市下雨 B抛一枚硬币，正面朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零 2有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9 位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮 演的角色，事先做好 9 张卡牌（除所写文字不同，其余均相同） ，其中有法官牌 1 张，杀手牌 2 张，好人牌 6 张小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么 小易抽到杀
2、手牌的概率是（ ） A B C D 3如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD，若AOB=15， 则AOD 的度数是（ ） A15 B60 C45 D75 4已知 y 与 x1 成反比例，那么它的解析式为（ ） Ay= 1（k0） By=k（x1） （k0） Cy= （k0） Dy= （k0） 5如图，ODC 是由OAB 绕点 O 顺时针旋转 31后得到的图形，若点 D 恰好 落在 AB 上，且AOC 的度数为 100，则DOB 的度数是（ ） 第 2 页（共 30 页） A34 B36 C38 D40 6如图，四边形 ABCD 内接于O，如果它的一个外角DCE=64 ，那
3、么 BOD=（ ） A128 B100 C64 D32 7已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为（ ） A2 B3 C4 D6 8已知O 的半径为 6， A 为线段 PO 的中点，当 OP=10 时，点 A 与O 的位 置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 9如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长 为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm 2B350cm 2C cm2 D150cm 2 10对于 y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ） A当
4、b=0 时，二次函数是 y=ax2+c B当 c=0 时，二次函数是 y=ax2+bx C当 a=0 时，一次函数是 y=bx+c D以上说法都不对 11某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班 第 3 页（共 30 页） 共送 1035 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax （x +1）=1035 Bx（x1）=1035 2 Cx（x1）=1035 D2x（x +1） =1035 12用 mina，b表示 a，b 两数中的最小数，若函数 y=minx2+1，1x 2，则 y 的图象为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 6 小题，每
5、小题 0 分，共 18 分） 13如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点，过点 A 作 ABx 轴， ACy 轴，垂足点分别为 B、C ，矩形 ABOC 的面积为 4，则 k= 14如图，将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，连结 AA，若 AAB=20，则B 的度数为 152016 年 6 月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一 排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 第 4 页（共 30 页） 16制造一种商品，原来每件成本为 100 元，由于连续两次降低成本，现在的 成本是每件 81 元，则平均每次降低成本的百分数是 17如图，直线 AB 与
6、O 相切于点 A，AC ，CD 是O 的两条弦，且 CDAB ， 若O 的半径为 ，CD=4，则弦 AC 的长为 18在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于 坐标轴，A 点的坐标为（a，a） 如图，若曲线 与此正方形的边有交 点，则 a 的取值范围是 三、作图题（本大题共 1 小题，共 8 分） 19如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 6，0） 、B（2，3） 、 C（ 1，0） （1）请直接写出与点 B 关于坐标原点 O 的对称点 B1 的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90画出对应的ABC图形，直接写 出点 A 的对应点
7、A的坐标； （3）若四边形 ABCD为平行四边形，请直接写出第四个顶点 D的坐标 第 5 页（共 30 页） 四、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分） 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 的图象与一次函数 y=x+2 的图象的一个交点为 A（m，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）设一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 y 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 3，直接写出点 P 的坐标 21国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了中国足球发展改革总体方案 ， 这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市 某
8、区在中小学举行了“ 足球在身边” 知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如 图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得一等奖的学生人数； （2）在本次知识竞赛活动中，A，B ，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四 所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法 求恰好选到 A，B 两所学校的概率 第 6 页（共 30 页） 22已知 P 是O 外一点，PO 交O 于点 C，OC=CP=2，弦 ABOC ，AOC 的 度数为 60，连接 PB （1）求 BC 的长； （2）求证：PB 是O 的切线 23合肥某商场要经营一种新上市的文
9、具，进价为 20 元/件试营销阶段发现： 当销售单价为 25 元/件时，每天的销售量是 150 件；销售单价每上涨 1 元，每 天的销售量就减少 10 件 （1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之 间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）现商场规定该文具每天销售量不少于 120 件，为使该文具每天的销售利润 最大，该文具定价多少元时，每天利润最大？ 24在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且EAF=CEF=45 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图） ，求证： AEGA
10、EF ； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图） ，求证： EF2=ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图） ，请你直 接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系 第 7 页（共 30 页） 25如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，求抛物线经 过 A（1，0 ） ，C （0，3）两点，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的 距离之
11、和最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为该抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形 的点 P 的坐标 （提示：若平面直角坐标系内两点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则 线段 PQ 的长度 PQ= ） 第 8 页（共 30 页） 2016-2017 学年天津市西青区九年级（上）期末数学模 拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1下列事件中，属于必然事件的是（ ） A明天我市下雨 B抛一枚硬币，正面朝下 C购买一张福利彩票中奖了 D掷一枚骰
12、子，向上一面的数字一定大于零 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A，B，C 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 一定发生的事件只有 D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然 事件，符合题意 故选 D 2有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9 位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮 演的角色，事先做好 9 张卡牌（除所写文字不同，其余均相同） ，其中有法官牌 1 张，杀手牌 2 张，好人牌 6 张小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么 小易抽到杀手牌的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】找到小易抽到杀手牌的个
13、数除以 9 张卡牌是小易抽到杀手牌的概率 【解答】解：小易抽到杀手牌的概率= 故选 C 第 9 页（共 30 页） 3如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD，若AOB=15， 则AOD 的度数是（ ） A15 B60 C45 D75 【考点】旋转的性质 【分析】根据AOD=DOB AOB 求解 【解答】解：将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD， BOD=60， AOB=15， AOD=DOBAOB=60 15=45 故选：C 4已知 y 与 x1 成反比例，那么它的解析式为（ ） Ay= 1（k0） By=k（x1） （k0） Cy= （k0） Dy=
14、（k0） 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【分析】根据 y 与 x1 成反比例，直接列出解析式即可 【解答】解：y 与 x1 成反比例， y= （k0） ； 故选 C 第 10 页（共 30 页） 5如图，ODC 是由OAB 绕点 O 顺时针旋转 31后得到的图形，若点 D 恰好 落在 AB 上，且AOC 的度数为 100，则DOB 的度数是（ ） A34 B36 C38 D40 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质求出AOD 和BOC 的度数，计算出DOB 的度数 【解答】解：由题意得，AOD=31，BOC=31，又AOC=100， DOB=100 3131=38 故选：C 6如
15、图，四边形 ABCD 内接于O，如果它的一个外角DCE=64 ，那么 BOD=（ ） A128 B100 C64 D32 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，A=DCE=64，由圆周角 定理知，BOD=2A=128 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， A=DCE=64， BOD=2A=128 故选 A 第 11 页（共 30 页） 7已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为（ ） A2 B3 C4 D6 【考点】正多边形和圆 【分析】作 ADBC 与 D，连接 OB，则 AD 经过圆心 O，ODB=90，OD=1， 由等边三
16、角形的性质得出 BD=CD，OBD= ABC=30，得出 OA=OB=2OD，求 出 AD、BC，ABC 的面积= BCAD，即可得出结果 【解答】解：如图所示： 作 ADBC 与 D，连接 OB， 则 AD 经过圆心 O，ODB=90 ，OD=1 ， ABC 是等边三角形， BD=CD，OBD= ABC=30， OA=OB=2OD=2， AD=3 ，BD= ， BC=2 ， ABC 的面积= BCAD= 2 3=3 ； 故选：B 8已知O 的半径为 6， A 为线段 PO 的中点，当 OP=10 时，点 A 与O 的位 置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 【考点】点与圆的
17、位置关系 【分析】知道 OP 的长，点 A 是 OP 的中点，得到 OA 的长与半径的关系，求出 点 A 与圆的位置关系 第 12 页（共 30 页） 【解答】解：OP=10，A 是线段 OP 的中点， OA=5，小于圆的半径 6， 点 A 在圆内 故选 C 9如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120，AB 长 为 25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A175cm 2B350cm 2C cm2 D150cm 2 【考点】扇形面积的计算 【分析】贴纸部分的面积等于扇形 ABC 减去小扇形的面积，已知圆心角的度数 为 1
18、20，扇形的半径为 25cm 和 10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的 面积 【解答】解：AB=25，BD=15， AD=10， S 贴纸 =2（ ） =2175 =350cm2， 故选 B 第 13 页（共 30 页） 10对于 y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ） A当 b=0 时，二次函数是 y=ax2+c B当 c=0 时，二次函数是 y=ax2+bx C当 a=0 时，一次函数是 y=bx+c D以上说法都不对 【考点】二次函数的定义；一次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义和一次函数的定义解答即可 【解答】解：A、当 b=0，a0 时二次函数是 y=a
19、x2+c，故此选项错误； B、当 c=0，a0 时，二次函数是 y=ax2+bx，故此选项错误； C、当 a=0，b0 时一次函数是 y=bx+c，故此选项错误； D、以上说法都不对，故此选项正确； 故选 D 11某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班 共送 1035 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax （x +1）=1035 Bx（x1）=1035 2 Cx（x1）=1035 D2x（x +1） =1035 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x 1）张，共有 x 名学生， 那么总共
20、送的张数应该是 x（x 1）张，即可列出方程 【解答】解：全班有 x 名同学， 每名同学要送出（x1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x 1）=1035 故选 C 12用 mina，b表示 a，b 两数中的最小数，若函数 y=minx2+1，1x 2，则 y 第 14 页（共 30 页） 的图象为（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质 【分析】由于 x2+11x 2，又由于 mina，b 表示 a，b 两数中的最小数，则 minx2+1，1x 2表示 x2+1 与 1x2 中的最小数；据解析式即可画出函数图象 【解答】解：根据题意，minx 2+1，1x
21、2表示 x2+1 与 1x2 中的最小数， 不论 x 取何值，都有 x2+11x 2， 所以 y=1x2； 可知，当 x=0 时，y=1 ；当 y=0 时，x= 1； 则函数图象与 x 轴的交点坐标为（ 1，0 ） ， （ 1，0） ；与 y 轴的交点坐标为 （0，1） 故选 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 0 分，共 18 分） 13如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点，过点 A 作 ABx 轴， ACy 轴，垂足点分别为 B、C ，矩形 ABOC 的面积为 4，则 k= 4 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 第 15 页（共 30 页） 【分析】由于点 A
22、是反比例函数 y= 上一点，矩形 ABOC 的面积 S=|k|=4，则 k 的值即可求出 【解答】解：由题意得：S 矩形 ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则 k=4， 故答案为：4 14如图，将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，连结 AA，若 AAB=20，则B 的度数为 65 【考点】旋转的性质 【分析】由将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，可得ACA 是等腰直角三角形，CAA的度数，然后由三角形的外角的性质求得答案 【解答】解：将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC， AC=AC，ACA=90，B=ABC， CAA=4
23、5， AAB=20， ABC=CAA+AAB=65， B=65 答案为：65 152016 年 6 月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一 排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 【考点】列表法与树状图法 第 16 页（共 30 页） 【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出甲、乙二人相邻的结 果数，然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中甲、乙二人相邻的结果数为 4 种， 所以甲、乙二人相邻的概率= = 故答案为 16制造一种商品，原来每件成本为 100 元，由于连续两次降低成本，现在的 成本是每件 81 元，则平均每次降
24、低成本的百分数是 10% 【考点】一元二次方程的应用 【分析】等量关系为：原来成本价（1平均每次降低成本的百分数） 2=现在的 成本，把相关数值代入即可求解 【解答】解：设平均每次降低成本的百分数是 x 第一次降价后的价格为：100（1x） ，第二次降价后的价格是：100（1x） （1x） ， 100 （1x） 2=81， 解得 x=0.1 或 x=1.9， 0x1， x=0.1=10%， 答：平均每次降低成本的百分数是 10% 17如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC ，CD 是O 的两条弦，且 CDAB ， 若O 的半径为 ，CD=4，则弦 AC 的长为 2 第 17 页（共 30
25、页） 【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理 【分析】首先连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC，由直线 AB 与O 相切 于点 A，根据切线的性质，可得 AEAB，又由 CDAB，可得 AECD，然后由 垂径定理与勾股定理，求得 OE 的长，继而求得 AC 的长 【解答】解：连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC， 直线 AB 与O 相切于点 A， EA AB ， CDAB， CEA=90， AE CD， CE= CD= 4=2， 在 RtOCE 中，OE= = ， AE=OA+OE=4， 在 RtACE 中，AC= =2 故答案为：2 18在平面直角坐标系的第一象限
26、内，边长为 1 的正方形 ABCD 的边均平行于 坐标轴，A 点的坐标为（a，a） 如图，若曲线 与此正方形的边有交 第 18 页（共 30 页） 点，则 a 的取值范围是 a 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据题意得出 C 点的坐标（a 1，a1） ，然后分别把 A、C 的坐标代入求 得 a 的值，即可求得 a 的取值范围 【解答】解：A 点的坐标为（a，a） 根据题意 C（ a1，a1） ， 当 C 在曲线 时，则 a1= ， 解得 a= +1， 当 A 在曲线 时，则 a= ， 解得 a= ， a 的取值范围是 a 故答案为 a 三、作图题（本大题共 1 小题，共 8 分
27、） 19如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（ 6，0） 、B（2，3） 、 C（ 1，0） （1）请直接写出与点 B 关于坐标原点 O 的对称点 B1 的坐标； （2）将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90画出对应的ABC图形，直接写 出点 A 的对应点 A的坐标； （3）若四边形 ABCD为平行四边形，请直接写出第四个顶点 D的坐标 第 19 页（共 30 页） 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （2）根据网格结构找出点 A、B 、C 关于原点对称的点 A、B、C 的坐标，然后 顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出
28、点 A的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等解答 【解答】解：（1）B 1（2，3） ； （2）ABC 如图所示，A （0，6） ； （3）D（3，5） 四、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分） 20如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 的图象与一次函数 y=x+2 的图象的一个交点为 A（m，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）设一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 y 轴上一点，且满足 第 20 页（共 30 页） PAB 的面积是 3，直接写出点 P 的坐标 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）将 A（m，1）代入
29、一次函数 y=x+2 解析式，即可得出 A 点坐标， 进而求出反比例函数解析式； （2）利用三角形面积公式得出底边长进而得出 P 点坐标 【解答】解：（1）点 A（m， 1）在一次函数 y=x+2 的图象上， m=3 A 点的坐标为（3，1） 点 A （3 ，1）在反比例函数 y= 的图象上， k=3 反比例函数的解析式为：y= （2）一次函数 y=x+2 的图象与 y 轴交于点 B，满足PAB 的面积是 3，A 点 的坐标为（3，1） ， ABP 的高为 3，底边长为：2， 点 P 的坐标为（ 0，0）或（0，4 ） 21国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了中国足球发展改革总
30、体方案 ， 这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市 某区在中小学举行了“ 足球在身边” 知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如 第 21 页（共 30 页） 图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得一等奖的学生人数； （2）在本次知识竞赛活动中，A，B ，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四 所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法 求恰好选到 A，B 两所学校的概率 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图 【分析】 （1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等 奖所占的百分
31、比即可求得一等奖的学生数； （2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：（1）三等奖所在扇形的圆心角为 90， 三等奖所占的百分比为 25%， 三等奖为 50 人， 总人数为 5025%=200 人， 一等奖的学生人数为 200（120%25% 40%）=30 人； （2）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D D A DB DC 共有 12 种等可能的结果，恰好选中 A、B 的有 2 种， P（选中 A、B）= = 第 22 页（共 30 页） 22已知 P 是O 外一点，PO 交O 于点 C，OC=CP=2，
32、弦 ABOC ，AOC 的 度数为 60，连接 PB （1）求 BC 的长； （2）求证：PB 是O 的切线 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OB，根据已知条件判定OBC 的等边三角形，则 BC=OC=2； （2）欲证明 PB 是O 的切线，只需证得 OBPB 即可 【解答】 （1）解：如图，连接 OB ABOC ，AOC=60 ， OAB=30， OB=OA， OBA= OAB=30 ， BOC=60， OB=OC， OBC 的等边三角形， BC=OC 又 OC=2， BC=2； （2）证明：由（1）知，OBC 的等边三角形，则COB=60，BC=OC OC=CP， 第 23 页（
33、共 30 页） BC=PC， P=CBP 又OCB=60，OCB=2P， P=30， OBP=90，即 OBPB 又OB 是半径， PB 是 O 的切线 23合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营销阶段发现： 当销售单价为 25 元/件时，每天的销售量是 150 件；销售单价每上涨 1 元，每 天的销售量就减少 10 件 （1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之 间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）现商场规定该文具每天销售量不少于 120 件，为使该文具每天的销售利润 最大，该文具定价多少元时，每
34、天利润最大？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据利润=（单价 进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）利用二次函数增减性直接求出最值即可 【解答】解：（1）由题意得，销售量=150 10（x 25）=10x+400， 则 w=（x20） （10x+400） 第 24 页（共 30 页） =10x2+600x8000； （2）w=10x 2+600x8000=10（x 30） 2+1000 100 ， 函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x=30 时，w max=1000， 故当单价为 30 元时，该文具每天的利润最大； （
35、3）400 10x120 ， 解得 x28， 对称轴：直线 x=30， 开口向下， 当 x30 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x=28 时，w 最大 =960 元 24在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且EAF=CEF=45 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图） ，求证： AEGAEF ； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图） ，求证： EF2=ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图） ，请你直 接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系 【考点】四边形综合题
36、 第 25 页（共 30 页） 【分析】 （1）根据旋转的性质可知 AF=AG，EAF= GAE=45 ，故可证 AEGAEF ； （2）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG，连结 GM由（1）知 AEGAEF ，则 EG=EF再由BME、DNF、 CEF 均为等腰直角三角形，得 出 CE=CF，BE=BM ，NF= DF，然后证明GME=90，MG=NF，利用勾股定理得 出 EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2； （3）延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到AGH，连结 HM，
37、HE 由（1）知AEH AEF ，结合 勾股定理以及相等线段可得（GH+BE ） 2+（BE GH） 2=EF2，所以 2（DF 2+BE2） =EF2 【解答】 （1）证明：ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG， AF=AG，FAG=90， EAF=45 ， GAE=45， 在AGE 与AFE 中， ， AGEAFE（SAS） ； （2）证明：设正方形 ABCD 的边长为 a 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG，连结 GM 则ADFABG，DF=BG 由（1）知AEGAEF， EG=EF CEF=45， BME、 DNF、CEF 均为等腰直角三角形， 第 26 页
38、（共 30 页） CE=CF，BE=BM ，NF= DF， a BE=aDF， BE=DF ， BE=BM=DF=BG， BMG=45 ， GME=45 +45=90， EG 2=ME2+MG2， EG=EF，MG= BM= DF=NF， EF 2=ME2+NF2； （3）解：EF 2=2BE2+2DF2 如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点， 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到AGH，连结 HM，HE 由（1）知AEHAEF， 则由勾股定理有（GH+BE ） 2+BG2=EH2， 即（GH+BE ） 2+（BMGM） 2=EH2 又EF=HE
39、， DF=GH=GM，BE=BM ，所以有（GH+BE） 2+（BEGH） 2=EF2， 即 2（DF 2+BE2）=EF 2 第 27 页（共 30 页） 25如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，求抛物线经 过 A（1，0 ） ，C （0，3）两点，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的 距离之和最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为该抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角
40、三角形 的点 P 的坐标 （提示：若平面直角坐标系内两点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则 线段 PQ 的长度 PQ= ） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据 A 和 B 关于 x=1 对称即可求得 B 的坐标，然后利用待定系数 法即可求得抛物线的解析式； 第 28 页（共 30 页） （2）求得 BC 与对称轴的交点就是 M； （3）设 P 的坐标是（1，p ） ，利用两点之间的距离公式表示出 BC、BP 和 PC 的 长，然后分成BPC 的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求 得 p 的值，得到 P 的坐标 【解答】解：（1）A（1，0）关于 x=1
41、 的对称点是（3，0） ，则 B 的坐标是 （3 ，0） 根据题意得： ， 解得： ， 则抛物线的解析式是 y=x+3； 根据题意得： ， 解得： 则抛物线的解析式是 y=x22x+3； （2）在 y=x+3 中令 x=1，则 y=1+3=2， 则 M 的坐标是（1，2 ） ； （3）设 P 的坐标是（1，p ） 则 BP2=（1+3） 2+p2=4+p2 PC=（0+1） 2+（3p） 2=p26p+10 BC=32+32=18 当 BC 时斜边时，BP 2+PC2=BC2，则（4+p 2）+（p 26p+10）=18， 解得：p=1 或 2， 则 P 的坐标是（1，1）或（ 1，2） ； 第 29 页（共 30 页） 当 BP 是斜边时，BP 2=PC2+BC2，则 4+p2=（p 26p+10）+18， 解得：p=4， 则 P 的坐标是（1，4） ； 当 PC 是斜边时，PC 2=BP2+BC2，则 p26p+10=4+p2+18， 解得：p=2， 则 P 的坐标是（1，2） 总之，P 的坐标是（ 1， 1）或（1，2）或（1，4 ）或（ 1，2） 第 30 页（共 30 页） 2017 年 2 月 21 日
