1、第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 8 页。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题 50 分） 参考公式： 三角函数的和差化积公式 2cossin2isnicscos2ini2 正棱台、圆台的侧面积公式 lcS)(21台 侧 其中 c、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式hSV)(3台 体 其中 S、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把你认
2、为正确的选项前的字母填在题后的括号内。 （1）设集合 ，若 ，则 a 的取值范围是12|xA0|axBBA （ ） （A） （B） （C） （D）,(),1,(),2 （2）已知二面角 ，直线 ， ，且 a 与 l 不垂直，b 与 l 不垂直，lab 那么（ ） （A）a 与 b 可能垂直，但不可能平行 （B）a 与 b 可能垂直，也可能平行 （C）a 与 b 不可能垂直，但可能平行 （D）a 与 b 不可能垂直，也不可能平行 （3）函数 在一个周期内的图象如图所示，函数 解析kxAxf)sin()()(xf 式为（ ） （A） 1)2sin(4)(xxf （B） （C） )6si()(xxf
3、 （D） 12n （4）双曲线 c： 的左、右焦点分别为 ，过焦点)0(2，babyx 21，F 且垂直于 x 轴的弦 O ， ，则双曲线 c 的离心率为（ ）2F91BAF （A） （B） （C） （D）)2(1212)2( （5）如图，O 为直二面角 的棱 MN 上的一点，射线 OE，OF 分别在MN 内，且EON=FON=45，则EOF 的大小为（ ）， （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 （6）在等差数列 中， ，公差 dB 的（ ）CAcos （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）即不充分也不必要条件 （10）过抛物线 的焦点作直线与此抛物
4、线交于 P，Q 两点，那么线段 PQ 中xy42 点的轨迹方程是（ ） （A） （B）12 22xy （C） （D）xy 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。 （11）已知 ，则 =_。3)1(xf )1(xf （12）在一个棱长为 的正四面体内有一点 P，它到三个面的距离分别是cm65 1cm，2cm，3cm ，则它到第四个面的距离为 _cm。 （13）设等比数列 的前 n 项和为 ，前 n+1 项的和为 ，则)1(qn nS1nS =_。1nSiml （14）抛物线 和圆 上最近两点的距离是_。2xy1)3(2
5、x 三、解答题：本大题共 6 小题，共 84 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题满分 14 分） 解关于 x 的不等式 （） ；)21lg()l()3lg(xx （） ，其中)217lg(7mxm 。351m （16） （本小题满分 14 分） 已知：定义在 R 上的函数 为奇函数，且在 上是增函数。)(xf ),0 （）求证： 在 上也是增函数；)(f0, （）对任意 ，求实数 m，使不等式 恒成立。 0)sin2()3(cosmff （17） （本小题满分 14 分） 在长方体 ABCD 中，AB=2， ，E 为 的中点，连结1DCBA11BC1D ED，EC
6、，EB 和 DB。 （）求证：平面 EDB平面 EBC； （）求二面角 E-DB-C 的正切值； （）求异面直线 EB 和 DC 的距离。 （18） （本小题满分 14 分） 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的二级污水处理池（平面图如 图所示） ，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁建造单价为 每米 100 元，池底建造单价每平方米 60 元（池壁厚度忽略不计） 。 （）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低； （）如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过 14.5 米，那么此时污水处理 池的长设计为多少米时，可使总造价最低。 （1
7、9） （本小题满分 14 分） P 为椭圆 c： 上除 ， 的两点外的一点。)0(12bayx)0,(1aA),(2 （）求直线 P 与 的斜率的乘积；1A （）设 P（x，y） ，求证： ；|)(221 ybarctg （）设 ，求证： 。21AtSPA221 （20） （本小题满分 14 分） 已知函数 ，满足条件：Nnf),( ； ； ；2)()(yfxyfNnf)( 当 xy 时，有 。 （）求 f(1)，f(3) 的值； （）由 f(1)，f(2) ，f(3)的值，猜想 f(n)的解析式； （）证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性。 高三期末试卷 数学（理工农医类）参考答案及评分标
8、准 2004.1 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D C C A B A C D 二、填空题 11. 12.4 13. 14.x31q112 三、解答题 15.解：（） ，)21()lg()3l(xx 4 分 .21)(3,021xxx 6 分 .0123,x ，7 分067)4(2 原不等式的解集为 。8 分31|x （） ，等价于)351)(27lg()2l()3lg( mxx).351(,27)21(3,0mxx).351(,02,mx 。10 分)35,1(),2(,12mxm 令直线 ，曲线 ，作出直线 l 与曲线 c4:yl )3,21(,:xyc 的
9、图象。 （1）当 ，即 时，直线 l 与曲线 c 有两个公共点，公共点的横坐2551 标是 ，此时不等式的解集为,2mxmx 。12 分)3,2(2 （2）当 ，即 时，直线 l 与曲线 c 有一个公共点，公共点的横310554x 坐标是 ，此时不等式的解集为 。14 分2mx )3,12m 16.（）证明：设 ，且 ，则 ，且)0,(,21x21x),0(,21x 。21x 2 分 在 上是增函数，)(f),0 4 分(21xf 又 为奇函数， 6 分)(f )(21xff 。)21xf 在 上也是增函数。8 分)(f0, （）函数 在 和 上是增函数，且 在 R 上是奇函数)(xf),),
10、0)(xf 在 上是增函数。10 分)(f, ，)sin2(3cosmf 。)(f ，)(si2csf ，12 分n3o ，2ii2m 。1654sin2m 当 时， 的最大值为 ，si16 54sin221 当 时，不等式恒成立。14 分21 17.（）证明：在长方体 ABCD- 中，AB=2， ，E 为1DCBA11BC 的中点。1CD 为等腰直角三角形， 。E451E 同理 。451 ，即 DEEC。2 分90C 在长方体 ABCD- 中，BC 平面 ，又 DE 平面 ，1DBA1DC1DC BCDE 。4 分 又 ，E DE平面 EBC。 平面 DEB 过 DE， 平面 DEB平面 E
11、BC。5 分 （）解：如图，过 E 胡平面 中作 EODC 于 O。1DC 在长方体 ABCD- 中，1BA 面 ABCD面 ， EO面 ABCD。 过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连结 EF EFBD 。 EFO 为二面角 E-DB-C 的平面角。 7 分 利用平几知识可得 。10 分515EO，tgF （）解：E 在 上，B 在 AB 上，在长方体 ABCD- 中， ，1CD1DCBA1/C EB 在平面 内。A 又DC/AB DC/平面 。1 直线 DC 到平面 的距离就等于异面直线 DC 和 EB 的距离。12DBC 分 在长方体 ABCD- 中，平面 平面 ，连结 ，
12、在平面1A1DABC1B1C 中，过 C 作 。1BH CH平面 ，CH 为所求的距离。1D 。14 分21B 18.（）解：设污水处理池的长为 x 米，则宽为 米。2 分x20 总造价 。4 分610240)( xf15820160x =36000（元）6 分 当且仅当 时，即 x=15 等号成立。)(5 答：当污水处理池的长为 15 米（宽为 米）时，总造价最低。8 分31 （）解：依（）有总造价 ，当且 当36012)5(80)( xxf x=15 等号成立， ，从而考虑条件：5.14.20,x 即 ， 在 上的单调性。10 分14,93()(xf214,93 设 ，且 。2,21x1
13、由于 )1(5)(80)( 21212 xxff 。12 分)5)(801212xx ，且 ，214,93, 。25)(021xx 。)(2ff 。1x 在 上单调递减。)(f24,93 。)fx 当长为 米时总造价最低。14 分1 19.（）解：设点 P（x，y） ，则有 ，2 分akxkAPA21, 由 .,2kaxyb 变形为 4 分 ).(,22xky 。即 。5 分2abk221abkPA （）证明：（1）当点 P 在 x 轴的上方时，y0。 ，122AkPAtg 。7 分0)(2)(12232 ybaxbaybxy （2）当点 P 在 x 轴的下方时，y0，同理可得 。0)(21y
14、baPAtg 是钝角， 10 分21A.|)(221 ybarctA （）证明：由三角形的面积公式得 。12|121 aSPA 分 。|)(2ybarctg 。|)(2tt 得 ,2|ctgbay 。14 分tSPA221 20.（）解： ，又 ，)1(2)()fff2)(f 。2 分1)(f 又 ，4 分4)()2(4ff ，且 。43)2f N3 。5 分( （）解：由 猜想 。8 分3)(,2)(,1)fff )()Nnf （）用数学归纳法证明： （1）当 n=1 时，f(1)=1 ，函数解析式成立； （2）假设 时， ，函数解析式成立；knkf)( 若 ，Nm 。10 分12)()2()1( kmffkf 若 ， ，2)()()1()( mffmf 。222m 。12 分)(kf 即 时，函数解析式成立。1kn 综合（1） （2）可知， 成立。14 分)()Nnf
