1、湖南省湘西州花垣县道二乡九年一贯制学校 2015 届九年级上学 期期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1 （2 分）下列计算正确的是（） A 2 +4 =6 B =4 C =3 D =3 2 （2 分）使二次根式 有意义的 x 的取值范围是（） A x2 B x2 C x2 D x2 3 （2 分）如图，已知ACB 是 O 的圆周角，ACB=50 ，则圆心角AOB 是（） A 40 B 50 C 80 D 100 4 （2 分）下列事件中是必然事件的是（） A 阴天一定下雨 B 随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C 男生的身高一定比女生高 D 将
2、油滴在水中，油会浮在水面上 5 （2 分）如果 x1，x 2 是一元二次方程 x26x2=0 的两个实数根，那么 x1+x2 的值是（） A 6 B 2 C 6 D 2 6 （2 分）如图，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90，得到 AOB若点 A 的坐标为 （a，b） ，则点 A的坐标为（） A （a ， b） B （b，a） C （ b，a） D （b，a） 7 （2 分）下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的 是（） A B C D 8 （2 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，点 P 是ABC 内一定点，延长 BP 至 P，使ABP 绕点 A
3、 旋转后，与ACP重合若 AP= ，则 PP的长为（） A 2 B C D 2 9 （2 分）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选 该边的一条绳子若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的机率为 （） A B C D 10 （2 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x=1，且经过点 P（3，0） ， 则 ab+c 的值为（） A 0 B 1 C 1 D 2 二、填空题（共 6 题，每题 2 分，共 12 分，直接把最简答案填写在题中的横线上） 11 （2 分）方程 x22x=0 的解是 12 （2 分）若 =a3，则 a 与
4、 3 的大小关系是 13 （2 分）将抛物线 y=x2+1 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得的抛物线 的顶点坐标是 14 （2 分）已知两圆的半径分别为 3cm 和 5cm，且它们内切，则两圆的圆心距为 cm 15 （2 分）如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若 C=90，B=30，AC=1，求 AB的长 16 （2 分）将二次函数 y=x24x+3 化为 y=a（x+m） 2+k 的形式：y= 三、解答题 17 （3 分）计算： （1）2 ； （2） （2 3 ） 18 （2 分）解方程： （1） （x+6） 2=9； （2）3x 28x+4=0； （3） （2x1
5、） 2=（x3） 2 19 （7 分）如图，在O 中，AB 是直径，AD 是弦， ADE=60，C=30 （1）求证：CD 是 O 的切线； （2）若 BC=3，求 CD 的长 20 （7 分） （1）判断方程 4x23x=1 是否有实数根？ （2）若关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有实数根，求实数 k 的取值范围 21 （8 分）已知一个二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A（ ，0） 、B（0，1）和 C（1，0）三点， （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数的图象（画草图即可，不必列表） ，写出开口方向和对称轴； （3）根据图象回答，x 取何值时，函数值 y
6、0？ 22 （8 分）有 3 张不透明的卡片，除正面写有不同 的数字外，其它均相同将这三张卡片 背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达 式中的 k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表 达式中的 b （1）写出 k 为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限的概率 （用树状图或列表法求解） 23 （7 分）如图，AB 是 O 的直径，AD、BC 和 CD 分别与 O 相切于点 A、B 和 E，DA=3.6，CB=6.4， （1）判断 CO 与 OD 是否垂直？ （2）求O 的半径和图中阴影部分
7、的面积（精确到 0.01） 24 （8 分）某工厂生产的瓷砖按色号及质量分为 10 个产品档次第 1 档次（最低档次） 的产品一天能生产 760 箱，每箱利润 100 元每提高一个档次，每件利润增加 20 元，但每 天产量会减少 40 箱 （1）若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元（其中 x 为正整数，且 1x10） ，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 108000 元，求该产品的质量档次 25 （9 分）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接
8、 EG，CG （1）求证：EG=CG； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 湖南省湘西州花垣县道二乡九年一贯制学校 2015 届九 年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1 （2 分）下列计算正确的是（） A 2 +4 =6 B =4 C =3
9、 D =3 考点： 实数的运算 分析： A、根据合并二次根式的法则即可判定； B、根据二次根式的乘法法则即可判定； C、根据二次根式的除法法则即可判定； D、根据二次根式的性质即可判定 解答： 解：A、2 +4 不是同类项不能合并，故 A 选项错误； B、 =2 ，故 B 选项错误； C、 =3，故 C 选项正确； D、 =3，故 D 选项错误 故选：C 点评： 此题主要考查了实数的运算无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样 的在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便 2 （2 分）使二次根式 有意义的 x 的取值范围是（） A x2 B x2 C x2 D x2 考点： 二次根式有意义
10、的条件 专题： 计算题 分析： 利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关 x 的一元一次不等式， 解之即可得到本题答案 解答： 解：二次根式 有意义， x20， 解得：x2， 故选 D 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的 2015 届中考看，几乎是一个必考点 3 （2 分）如图，已知ACB 是 O 的圆周角，ACB=50 ，则圆心角AOB 是（） A 40 B 50 C 80 D 100 考点： 圆周角定理 专题： 压轴题 分析： 根据同弧所对圆心角是圆周角 2 倍，可得AOB=2ACB=100 解答： 解：ACB=50， AOB=2ACB=1
11、00 故选 D 点评： 此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 4 （2 分）下列事件中是必然事件的是（） A 阴天一定下雨 B 随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C 男生的身高一定比女生高 D 将油滴在水中，油会浮在水面上 考点： 随机事件 分析： 必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 解答： 解：A，B ，C 选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意 是必然事件的是：将油滴在水中，油会浮在水面上，符合题意 故选 D 点评： 理解概念是解决这类基础题的主要方法 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件； 不可
12、能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件； 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 5 （2 分）如果 x1，x 2 是一元二次方程 x26x2=0 的两个实数根，那么 x1+x2 的值是（） A 6 B 2 C 6 D 2 考点： 根与系数的关系 专题： 压轴题 分析： 由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=6 解答： 解：x 1+x2= ， x1+x2=6 故答案为：6 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 6 （2 分）如图，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90
13、，得到 AOB若点 A 的坐标为 （a，b） ，则点 A的坐标为（） A （a ， b） B （b，a） C （ b，a） D （b，a） 考点： 坐标与图形变化- 旋转 专题： 动点型 分析： 根据旋转前后的三角形全等及所在象限符号的特点可得所求点的坐标 解答： 解：AOB AOB， AB=AB=b，OB=OB=a ， A在第二象限， A坐标为（b ，a） ， 故选 C 点评： 考查点的旋转问题；用到的知识点为：旋转前后图形的形状不变 7 （2 分）下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的 是（） A B C D 考点： 轴对称图形；中心对称图形 专题： 新定义
14、分析： 根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答 解答： 解：A、B、D 都是中心对称也是轴对称图形， C、是轴对称，但不是中心对称 故选 C 点评： 此题由复合图形组成，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关 键轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找 对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合 8 （2 分）如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，点 P 是ABC 内一定点，延长 BP 至 P，使ABP 绕点 A 旋转后，与ACP重合若 AP= ，则 PP的长为（） A 2 B C D 2 考点： 旋转的性质 专题： 计算题 分析： 根
15、据旋转的性质得 AP=AP， PAP=BAC=90，则可判断APP 为等腰直角三角 形，于是 PP= AP=2 解答： 解：ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边， BAC=90， ABP 绕点 A 旋转后，与ACP重合， AP=A P，PAP= BAC=90， APP为等腰直角三角形， PP= AP= =2 故选 A 点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形的性质 9 （2 分）如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选 该边的一条绳子若每边每条绳子被选中的机会相
16、等，则两人选到同一条绳子的机率为 （） A B C D 考点： 列表法与树状图法 分析： 列举出所有情况，让两人选到同一条绳子的情况数除以总情况数即为所求的概 率 解答： 解：将三条绳子记作 1，2，3，则列表得： （1，3） （2，3） （3，3） （1，2） （2，2） （3，2） （1，1） （2，1） （3，1） 可得共有 9 种情况，两人选到同一条绳子的有 3 种情况， 两人选到同一条绳子的机率为 = 故选 B 点评： 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到 的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 10 （2 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（
17、a0）的对称轴是直线 x=1，且经过点 P（3，0） ， 则 ab+c 的值为（） A 0 B 1 C 1 D 2 考点： 二次函数的图象 专题： 压轴题 分析： 由“对称轴是直线 x=1，且经过点 P（3，0） ”可知抛物线与 x 轴的另一个交点是 （1 ，0 ） ，代入抛物线方程即可解得 解答： 解：因为对称轴 x=1 且经过点 P（3，0） 所以抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0） 代入抛物线解析式 y=ax2+bx+c 中，得 ab+c=0 故选 A 点评： 巧妙利用了抛物线的对称性 二、填空题（共 6 题，每题 2 分，共 12 分，直接把最简答案填写在题中的横线上） 11 （2
18、 分）方程 x22x=0 的解是 x1=0，x 2=2 考点： 解一元二次方程- 因式分解法 分析： 首先把方程左边分解因式可得 x（x 2）=0 ，进而得到 x=0，x2=0，再解即可 解答： 解：x 22x=0， x（x2） =0， 则 x=0，x 2=0， x1=0，x 2=2 故答案为：x 1=0，x 2=2 点评： 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化 为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有 可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元 二次方程转化为解一元一次方程的问题了
19、（数学转化思想） 12 （2 分）若 =a3，则 a 与 3 的大小关系是 a3 考点： 二次根式的性质与化简 分析： 根据二次根式的性质： =a（a 0） ，可得答案 解答： 解：由 =a3，得 a30， 解得 a3 故答案为：a3 点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，注意二次根式的值是非负数 13 （2 分）将抛物线 y=x2+1 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后，所得的抛物线 的顶点坐标是（1，3） 考点： 二次函数图象与几何变换 分析： 根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可 解答： 解：抛物线 y=x2+1 的顶点坐标是（0，1） ，则其向左平
20、移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后的顶点坐标是（1 ，3） 故答案是：（1，3） 点评： 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 14 （2 分）已知两圆的半径分别为 3cm 和 5cm，且它们内切，则两圆的圆心距为 2cm 考点： 圆与圆的位置关系 分析： 内切时的圆心距=两圆的半径差，据此列式求解 解答： 解：两圆内切， 两圆的圆心距为 53=2cm 点评： 主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系：内切，则 P=Rr （P 表示圆 心距，R，r 分别表示两圆的半径） 15 （2 分）如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若 C=90，B=30，A
21、C=1，求 AB的长 2 考点： 中心对称 分析： 利用中心对称图形关于 A 为对称中心，得出两图形全等，即可解决 解答： 解：此图是中心对称图形，A 为对称中心， BACBAC， B=B， C=C，AC=AC C=90， B=30，AC=1， AB=2AC=2 故答案为：2 点评： 此题主要考查了中心对称图形的性质，以及在直角三角形中 30，所对的直角边 是斜边的一半 16 （2 分）将二次函数 y=x24x+3 化为 y=a（x+m） 2+k 的形式：y=（x2） 21 考点： 二次函数的三种形式 分析： 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的 平方来凑完全平方式， 把一般式
22、转化为顶点式 解答： 解：y=x 24x+3=（x 2） 24+3=（x2） 21 故填：（x2） 21 点评： 本题考查了二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c（a0，a 、b、c 为常数） ； （2）顶点式：y=a（xh） 2+k； （3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx 1） （x x2） 三、解答题 17 （3 分）计算： （1）2 ； （2） （2 3 ） 考点： 二次根式的混合运算 分析： （1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简； （2）先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算 解答： 解：（1）原式=2 ； （2）原式=（
23、8 9 ） =1 点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合 并 18 （2 分）解方程： （1） （x+6） 2=9； （2）3x 28x+4=0； （3） （2x1） 2=（x3） 2 考点： 解一元二次方程- 因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法 专题： 计算题 分析： （1）方程利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）方程利用平方相等的两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程，求出方程的解 即可 解答： 解：（1）开方得：x+6=3 或 x+6=3， 解得：x1= 3，x2=9； （2）分解因式得：（3x2）
24、 （ x2）=0 ， 可得 3x2=0 或 x2=0， 解得：x 1= ，x 2=2； （3）开方得：2x1=x3 或 2x1=3x， 解得：x 1=2，x 2= 点评： 此题考查了解一元二次方程 因式分解法，直接开平方法，熟练掌握运算法则是解 本题的关键 19 （7 分）如图，在O 中，AB 是直径，AD 是弦， ADE=60，C=30 （1）求证：CD 是 O 的切线； （2）若 BC=3，求 CD 的长 考点： 切线的判定 专题： 证明题 分析： （1）连结 OD，根据邻补角和三角形外角性质可得到 ADC=120， A=30，则 ODA=30，于是可计算出ODC=ADC ODA=90，然
25、后根据切线的判定定理即可得到 结论； （2）由于在 RtODC 中，C=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 OC=2OD， 则可计算出 OD=3，然后利用 DC= OD 求解 解答： （1）证明：连结 OD，如图， ADE=60，C=30 ， ADC=180ADE=120，A= ADEC=30， OA=OD， ODA=A=30， ODC=ADCODA=90， ODDC， CD 是O 的切线； （2）解：在 RtODC 中，C=30， OC=2OD，即 OB+BC=2OD， 而 OD=OB，BC=3， OD+3=2OD，解得 OD=3， DC= OD=3 点评： 本题考查了切线的判定
26、定理：经 过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系 20 （7 分） （1）判断方程 4x23x=1 是否有实数根？ （2）若关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有实数根，求实数 k 的取值范围 考点： 根的判别式 专题： 计算题 分析： （1）先把方程化为一般式得到 4x23x+1=0，再计算出=7，然后根据根的判别式 的意义进行判断方程根的情况； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k0 且=36 4k90，然后求出两 个不等式的公共部分即可 解答： 解：（1）移项得 4x23x+1=0， =（3） 2441=70，
27、 原方程没有实数根； （2）根据题意得 k0 且 =364k90， 所以 k1 且 k0 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式 =b24ac：当0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根也考查了一元二次方程的定义 21 （8 分）已知一个二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A（ ，0） 、B（0，1）和 C（1，0）三点， （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数的图象（画草图即可，不必列表） ，写出开口方向和对称轴； （3）根据图象回答，x 取何值时，函数值 y0？ 考点： 待定系数法求二次函数解
28、析式；二次函数的图象 分析： （1）将 A、B、C 三点坐标代入 y=ax2+bx+c 中，列方程组求 a、b、c 的值即可 （2）理由五点法画出图象，根据图象即可求得开口方向和对称轴 （3）由图象可知 y0 时 x 的取值 解答： 解：（1）将 A（ ， 0） 、B（0，1） 、C（1，0）三点代入 y=ax2+bx+c 中， 得 解得 此二次函数的解析式 y=2x23x+1 （2）如图： 开口向上，对称轴为 x= = （3）由图象可知：当 x 或 x1 时，y0 点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，学生画图的能力以及二次函 数的性质关键是数形结合思想的应用 22 （8 分
29、）有 3 张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同将这三张卡片 背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达 式中的 k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表 达式中的 b （1）写出 k 为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限的概率 （用树状图或列表法求解） 考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；概率公式 分析： （1）利用概率的计算方法解答；（2）由图表解答 解答： 解：（1）共有 3 张牌，两张为负数， k 为负数的概率是 ； （2）画树状图 共有 6 种情况，其
30、中满足一次函数 y=kx+b 经过第二、三、四象限， 即 k0，b0 的情况有 2 种， 所以一次函数 y=kx+b 经过第二、三、四象限的概率为 点评： 一次函数 y=kx+b 的图象有四种情况： 当 k0，b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大而增 大； 当 k0，b0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而增 大； 当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增大而 减小； 当 k0，b0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增大而
31、减小 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23 （7 分） 如图，AB 是O 的直径，AD、BC 和 CD 分别与O 相切于点 A、B 和 E，DA=3.6，CB=6.4， （1）判断 CO 与 OD 是否垂直？ （2）求O 的半径和图中阴影部分的面积（精确到 0.01） 考点： 切线的性质；扇形面积的计算 分析： 根据切线长定理得出 OD 平分ADE ，OC 平分BCE，从而求得 1=2，3=4，然后即可得出2+3=90 ，从而证得 COOD； （2）由A= B=90，利用切线的性质得到 AD 与 BC 都与圆 O 相切，再由 CD 与圆相切， 利用切线长定理得到 AD=DE，C
32、E=CB，可得出 CD=DE+CE=AD+BC， 解答： 解：（1）连接 OE，如图 1， AD、BC 和 CD 分别与O 相切于点 A、B 和 E， OAAD，OBBC，OE DC， ADO=EDO， BCO=ECO， 1=2， 3=4， 2+3=90， 即 DOC=90， CODO； （2）AB 为O 的直径，OA AD，OBBC ， ADBC， 四边形 ABCD 是直角梯形， AD、BC 均为O 的切线， 又 CD 与O 相切于点 E， DE=DA，CE=CB ， CD=AD+BC=10， 如图 2，过 D 作 DFBC，则 AD=BF=3.6，AB=DF ， CF=6.43.6=2.8
33、， 在 RtCDF 中，由勾股定理得：DF 2+FC2=CD2， DF= = 9.60 AB=9.60， O 的半径为 4.80， S 阴影 =S 梯形 S 半圆 = 109.60 =4836.17=11.83 点评： 此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及半圆的面积，熟练掌握切 线的性质是解本题的关键 24 （8 分）某工厂生产的瓷砖按色号及质量分为 10 个产品档次第 1 档次（最低档次） 的产品一天能生产 760 箱，每箱利润 100 元每提高一个档次，每件利润增加 20 元，但每 天产量会减少 40 箱 （1）若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元（其中 x 为正整数
34、，且 1x10） ，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 108000 元，求该产品的质量档次 考点： 二次函数的应用 分析： （1）由总利润=每箱利润数量就可以得出 y 关于 x 的函数关系式； （2）当 y=108000 时代入（1）的解析式求出 x 的值即可 解答： 解：（1）由题意，得 y=100+20（x1） 76040（x 1）， y=800x2+12800x+64000 答：y 关于 x 的函数关系式为 y=800x2+12800x+64000； （2）当 y=108000 时， 108000=800x2+12800x+64000， 解
35、得：x1=11，x 2=5 1x10， x=5 答：生产第 5 档次的产品一天的总利润为 108000 元 点评： 本题考查了销售问题的数量关系总利润=每箱利润数量的运用，二次函数的解析 式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键 25 （9 分）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）求证：EG=CG； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明； 若不成
36、立，请说明理由； （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） 考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性 质 专题： 压轴题 分析： （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG （2）结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点；再 证明DAGDCG，得出 AG=CG；再证出 DMGFNG，得到 MG=NG；再证明 AMGENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG （3）结论依然成立
37、还知道 EGCG 解答： （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， DCF=90， 在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= FD， 同理，在 RtDEF 中， EG= FD， CG=EG （2）解：（1）中结论仍然成立，即 EG=CG 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点 在DA G 与DCG 中， AD=CD，ADG= CDG，DG=DG ， DAGDCG（SAS） ， AG=CG； 在DMG 与 FNG 中， DGM=FGN，FG=DG ，MDG=NFG， DMGFNG（ASA） ， MG=NG； EAM=AEN=AMN=90，
38、四边形 AENM 是矩形， 在矩形 AENM 中，AM=EN ， 在AMG 与 ENG 中， AM=EN，AMG= ENG，MG=NG ， AMGENG（SAS） ， AG=EG， EG=CG 证法二：延长 CG 至 M，使 MG=CG， 连接 MF，ME ，EC， 在DCG 与 FMG 中， FG=DG，MGF= CGD，MG=CG， DCGFMG MF=CD，FMG=DCG， MFCDAB， EFMF 在 RtMFE 与 RtCBE 中， MF=CB，MFE=EBC，EF=BE， MFECBE MEF=CEB MEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90， MEC 为直角三角形 MG=CG， EG= MC， EG=CG （3）解：（1）中的结论仍然成立理由如下： 过 F 作 CD 的平行线并延长 CG 交于 M 点，连接 EM、EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N 由于 G 为 FD 中点，易证 CDGMFG，得到 CD=FM， 又因为 BE=EF，易证 EFM=EBC，则EFMEBC，FEM=BEC，EM=EC FEC+BEC=90，FEC+ FEM=90，即MEC=90， MEC 是等腰直角三角形， G 为 CM 中点， EG=CG，EG CG 点评： 本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定 和性质
